精品解析：四川内江市威远县凤翔中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

威远县凤翔中学2026-2027学年九年级上学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 【A卷 满分100分】 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，判断解答即可． 【详解】解：，，被开方数均含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 的被开方数含分母，不是最简二次根式． 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2. 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项错误． 3. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示；则化简的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键． 【详解】解：由图知：， ，， ． 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则及二次根式的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算正确，故本选项符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； （26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测） 5. 估计的值应在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简原式，再估算的范围． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 关于x的方程是一元二次方程，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得． 7. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边加得， 即． 8. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式的值来判断方程根的情况． 【详解】解：A.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， B.方程， ∵， ∴方程没有实数根，符合题意， C.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， D.方程，整理为一般形式得， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意． 9. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A. 6 B. 8 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程及勾股定理的应用，设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺， 由勾股定理得：， 即， 解得或（舍）， 故选B． 10. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， ，，， ， ． 11. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点， ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 12. 如图，在中，E为上一点，连接交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再证明，得到，证明，设，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若，且相似比为，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：，且相似比为， ， 的面积为， 的面积为． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，方程有两个不相等实数根时判别式大于，分别求解不等式得到的范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 化简得， 解得． 综上，的取值范围是且． 15. 已知、都是实数且满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式组求出的值，再代入求出，计算得到的值即可． 【详解】解：满足， ∴， 解①得；解②得， ∴， 当时，， ∴． 16. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据线段之间的关系和黄金分割比建立关于的一元二次方程，利用求根公式解方程后排除负根即为答案． 【详解】解：∵，，且， ∴将代入比例式，得：， 整理得：， ∴根据求根公式，可得：， ∵线段长度为正数，舍去负根， ∴． 三、解答题（有5个小题，共48分，其中第19题8分，其余各题各10分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程移项后运用因式分解法解答即可； （2）方程运用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得即， 开方得， 解得，． 19. 如图，在中，，垂足为． （1）求证： （2）已知求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用公共角及直角通过角角判定相似即可． （2）利用（1）中的相似的性质解题即可． 【小问1详解】 证：∵ ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定及性质的应用，能够熟练判定三角形相似是解题关键． 20. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【小问1详解】 解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． 【小问2详解】 解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）证明：一元二次方程中、、， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，再根据平方的非负性可证结论成立； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：． 【B卷 满分60分】 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 若，则______． 【答案】2027 【解析】 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 23. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 24. 阅读材料：如果a、b分别是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果m、n是两个不相等的实数，且满足，那么代数式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据题意，是两个不相等的实数，且满足，，则可将看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入的值计算即可求解，将看作是一元二次方程的两个实数根是解题的关键． 【详解】解：∵是两个不相等的实数，且满足，， ∴可将看作是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴原式 ， ， ， ， 故答案为：． 25. 如图，矩形的边，．点E为边上一点，连结交延长线于点P，延长至点Q，使．连结、．则三角形的面积_________ 【答案】12 【解析】 【分析】利用矩形的性质证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，证明，又相似三角形的性质得出，再根据代入求解即可得出答案． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴． 二、解答题（每小题12分，共36分） 26. 阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1） （2）2025 （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给等式解答即可． （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再将所求式分母有理化找到规律，然后化简计算即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ∵， 由二次根式的性质可得，解得， 代入得，解得， 当、时， 原式， 上式每一项可写为， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴原式可写为， ， ． 27. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 抚顺生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升，8月份生产100个，同年10月份则生产144个． 素材2 该零部件成本为30元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题 解决 请回答下列问题 任务1 求该工厂8月份到10月份生产数量的月平均增长率． 任务2 批发商为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价定为多少元？ 任务3 在上述条件下，如果实际售价不低于50元/个，但不高于70元/个，请求出月销售利润最大值． 【答案】任务1：20%；任务2：50元；任务3：12250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． 任务1：设该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率为x,利用该车间10月份生产数量该车间8月份生产数量（该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 任务2：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论． 任务3：先表示出月销售利润与实际售价的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设车间8月份到10月份生产数量的平均增长率x, 由题意得， 解得或(舍去)， ∴该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率， 答：该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率． 任务2：设该零件的实际售价m元/个， 则每个的销售利润为元， 此时月销售量将减少个， 则月销售量为个， ∴， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， ∴该零件的实际售价应定为50元， 答：该零件的实际售价应定为50元． 任务3：设该零件的实际售价a元/个，月销售利润为y元， 则有 ， ∵实际售价不低于50元/个，但不高于70元/个， ∴， 当元/个时，y有最大值，最大值为元． 28. 已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，与相似？ （2）是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当或时，与相似 （2）存在，当时， （3）存在，当或或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； 【小问2详解】 解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； 【小问3详解】 解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远县凤翔中学2026-2027学年九年级上学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 【A卷 满分100分】 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示；则化简的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测） 5. 估计的值应在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 6. 关于x的方程是一元二次方程，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A. 6 B. 8 C. 12 D. 13 10. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，E为上一点，连接交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若，且相似比为，的面积为，则的面积为________． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 15. 已知、都是实数且满足，则的值为________． 16. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 三、解答题（有5个小题，共48分，其中第19题8分，其余各题各10分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在中，，垂足为． （1）求证： （2）已知求的长度． 20. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值． 【B卷 满分60分】 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 若，则______． 23. 若，则________． 24. 阅读材料：如果a、b分别是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果m、n是两个不相等的实数，且满足，那么代数式_____． 25. 如图，矩形的边，．点E为边上一点，连结交延长线于点P，延长至点Q，使．连结、．则三角形的面积_________ 二、解答题（每小题12分，共36分） 26. 阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 27. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 抚顺生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升，8月份生产100个，同年10月份则生产144个． 素材2 该零部件成本为30元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题 解决 请回答下列问题 任务1 求该工厂8月份到10月份生产数量的月平均增长率． 任务2 批发商为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价定为多少元？ 任务3 在上述条件下，如果实际售价不低于50元/个，但不高于70元/个，请求出月销售利润最大值． 28. 已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，与相似？ （2）是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $