第27章 相似 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了相似图形、相似三角形的判定与性质、位似等核心知识，通过知识框架将定义、判定定理、性质及应用串联，构建从基础概念到实际应用的完整逻辑脉络。 其亮点在于结合实例培养数学思维与模型意识，如例2分类讨论相似对应关系，例8利用相似测高建立实际问题模型，配套变式训练实现分层复习，助力学生巩固知识，教师精准把握学情提升复习效率。

小结与复习 第二十七章 相 似 优翼九下数学教学课件（RJ） (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 形状相同，大小不计 各对应角相等、各对应边成比例. 要点梳理 ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线截三角形 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 2. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 4. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似，而且所有对应点的 连线都相交于同一点，那么这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时 的相似比也称为位似比) 5. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A B C D E F G A′ B′ G′ E′ D′ F′ ●P C′ 位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比 (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k. 考点一 相似三角形的判定和性质 例 1 如图，当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC∽△ACB： (1) ； (2) ； (3) . ∠ACD =∠B ∠ADC =∠ACB B C A D 或 AC2 = AD · AB 考点讲练 例 2 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF =　　　　. B C A E 【分析】从题干分析△AEF 与△ABC 相似，此时对应关系不明确，需分类讨论． 2 或 4.5 解析：当△AEF∽△ABC 时，AE∶AB = AF∶AC，即 3∶9 = AF∶6， 解得 AF = 2； 当△AFE∽△ABC时，AF∶AB = AE∶AC，即 AF∶9 = 3∶6， 解得 AF = 4.5． 综上所述，AF = 2 或 4.5. 例 3 如图，在 □ ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE∶EC = 1∶2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　 1∶9 A B C D E F 【变式题】如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，EF : AF =1 : 3，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △EFB的面积与 △ABD 的面积之比为 .　　　　　　 1∶12 A B C D E F 【注意】求面积比时，要注意相似三角形、等高三角形的区别． 解析：∵AD∥BC，∴△EFB∽△AFD，相似比为1∶3. ∴ S△EFB∶S△AFD = 1∶9． ∵ △EFB 与△ABF 同高， ∴ S△EFB∶S△ABF = 1:3． ∴ S△EFB∶S△ABD = 1:12. 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE 是外角平分线， ∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED． 例 4 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证：△ABD ∽△CED； A B C D F E (2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长. 解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD＝2CD， ∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. M A B C D F E 在 Rt△ABM 和 Rt△BDM 中， ， ，即 ， ∴ ， 由(1) △ABD ∽△CED，得 M A B C D F E 例 5 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB. B · A C D O P 证明：连接 AC，BC． ∵ AB 是直径，∴∠ACB = 90°． ∴ ∠A +∠B = 90°． ∵ CD⊥AB，∴∠APC =∠CPB = 90°． ∴∠PCB +∠B = 90°． ∴∠A =∠PCB． ∴ ∴△APC∽△CPB． ∴ PC2 = AP · PB． 考点二 位似的性质及应用 例 6 下列四组图形中，位似图形有 ( ) A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 C 已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A C' B C A' A. B. C. D. B 针对训练 例7 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点． A B C (1) 在图中△ABC 内部作 △A′B′C′，使△A′B′C′ 和△ABC 位似，且位 似中心为点 O，位似 比为 2 : 3. O A′ B′ C′ 解：如图所示. (2) 线段 AA′ 的长度是 . 如图，△ABC 在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中. (1) 请在方格纸上建 立平面直角坐标 系，使 A (2，3)， C (6，2)，并求 出 B 点坐标； 解：如图所示， B (2，1). x y O 针对训练 x y O (2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′； A′ B′ C′ 解：如图所示. (3) 计算△A′B′C′ 的 面积 S. 解： 考点三 相似的应用 例 8 如图，某一时刻小树 AB 的影子顶端与大树 CD 的刚好重合．已知小树 AB 高 2.4 米，大树 CD 高 5 米，而大树的影长为 2.5 米，求小树与大树之间的距离 BD. 解：由题知 △ABE∽△CDE， ∴ AB∶CD = BE∶DE， 即 2.4∶5 = BE∶2.5， 解得 BE = 1.2． ∴ BD = 2.5 - 1.2 = 1.3（米）. 2 m 1.2 m 3.6 m 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30° 角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长． 【注意】太阳光线是平行的． 针对训练 解：如图，由题意知 CD = 3.6 m，∠C =∠E = 90°，BD∥FG． ∴∠BDC =∠FGE． ∴△BDC∽△FGE． 解得 BC = 6 m. 2 m 1.2 m 3.6 m 即 ， ∴ ， 在 Rt△ABC 中， ∵∠A = 30°， ∴ AB = 2BC = 12 m， 即树长 AB 是 12 m. 例 9 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个 纪念碑有多高呢？”请你利用初 中数学知识，结合光的反射原理， 设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由． 解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶端 A. 若人眼到地面的距离为 CD，测量出 CD、 DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 根据 ， 即可算出 AB 的高． 你还有其他方法吗？ 理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED = ∠AEB，∠D =∠B = 90°，易得△ABE∽△CDE. 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离起跳点 2 m 远的地上，然后反弹撞到墙上．如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙 6 m， 假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面 离地多高的地方？ A B O C D 2 m 6 m 1.8 m 针对训练 解：∵∠ABO =∠CDO = 90°，∠AOB =∠COD， ∴△AOB∽△COD. ∴ ， 即 ， 解得 CD = 5.4. 故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方． A B O C D 2 m 6 m 1.8 m 例 10 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ A B C D E F G H 解：如图，设正方形 EFHG 为加工成 的正方形零件，边 GH 在 BC 上， 顶点 E、F 分别在AB、AC上， △ABC 的高 AD 与边EF 相交于 点 M，设正方形的边长为 x mm. M ∵ EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC． 又∵ AM = AD－MD = 80－x， 解得 x = 48． 即这个正方形零件的边长是 48 mm． ∴ ， ∴ A B C D E F G H M 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 课堂小结 见教材章末练习题 课后作业 $