31.2.3三角形相似的性质 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十一章 相似 31.2 相似三角形 31.2.3 三角形相似的性质 1.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方. 2.明确相似三角形的性质是从边、角、周长、高、角平分线、中线、面积等几何量中探究其数量关系的，并能综合运用相似三角形的性质解决有关线段长、周长、面积问题，提高运算能力和推理能力. 学习目标 2 问题1：观察这两个三角尺，一个大、一个小，形状完全相同，判断这两个三角形是什么关系？ 两个三角形是相似三角形. 问题2：我们前面学过，相似三角形对应角相等，对应边成比例，对应边的比叫作相似比. 也就是形状一样，大小按比例放大缩小. 那除了边和角之外，三角形还有哪些要素？ 高、中线、角平分线、周长、面积. 问题3：如果三角形按照相似比 k 放大，那么它的对应高、中线、角平分线也会跟着放大？还是不变？周长会变成原来的几倍？面积也是同样倍数放大吗？ 课堂导入 探究 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 如图，△ABC∽△A'B'C′，分别作它们的高AD和A'D'. ∵ △ABC∽△A'B'C'， ∴ ∠B=∠B'. 又∠ADB=∠A'D'B'=90°， ∴ △ABD∽△A'B'D'. ∴ . 对应高的比等于相似比. 对应中线、角平分线的证明请你自己完成！ 知识点1 相似三角形对应线段的性质 新知讲解 ∵△ABC ∽ △A′B′C′， ∴∠B=∠B′， . 又  分别是边  上的中线， 对应中线的比等于相似比. A A′ B M C B′ M′ C′ 如图，△ABC∽△A'B'C′，分别作它们的中线AM和A'M'. 知识点1 相似三角形对应线段的性质 新知讲解 A A′ B N C B′ N′ C′ 如图，△ABC∽△A'B'C′，分别作它们的角平分线 AN和A'N'. 又   分别平分 ， ， ∴ ， 对应角平分线的比等于相似比. 知识点1 相似三角形对应线段的性质 新知讲解 这样，我们得到相似三角形的一个性质： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 知识点1 相似三角形对应线段的性质 新知讲解 例1 已知 △ABC∽△DEF，且相似比为 4:3，若 △ABC 的角平分线 AM=8，则 △DEF的角平分线 DN 的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：∵ ，相似比为 4:3，AM，DN 为对应角的平分线， ∴ ∵ AM=8， ∴ ∴ DN=6. D 知识点1 相似三角形对应线段的性质 新知讲解 探究 相似三角形的周长有什么关系？ ∵ △ABC ∽ △A′B′C′， ∴ ==k . ∴ AB=k，BC=k，AC=k， ∴ k. 相似三角形周长的比等于相似比. 新知讲解 知识点2 相似三角形周长、面积的性质 探究 相似三角形的面积有什么关系？ ∵ △ABC ∽ △A′B′C′， ∴ ==k . 则 （相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴ k⋅k D D′ 这样，我们得到相似三角形的另一个性质： 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 新知讲解 知识点2 相似三角形周长、面积的性质 解：在  和  中， ∵ ，， 又  ， ∵  的边  上的高为 6，它的面积为 ， △DEF 的边 EF 上的高为 6=3它的面积为 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 若 ABC 的边 BC 上的高为 6，它的面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和它的面积. 例2 A B C D E F 新知讲解 知识点2 相似三角形周长、面积的性质 如图，在 △ABC 中，DE∥ BC，AE:BE3:4，BD与CE交于点O， 下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ① ；② ；③ ；④ . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 跟踪训练 解析：∵ AE:BE=3:4， ∵ ， 故①，②错误，③正确； 易错：相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比. 3 4 新知讲解 知识点2 相似三角形周长、面积的性质 如图，在 △ABC 中，DE∥ BC，AE:BE3:4，BD与CE交于点O， 下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ① ；② ；③ ；④ . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 跟踪训练 故④正确. 两个三角形同高，面积比等于底边的比. B 3 4 新知讲解 知识点2 相似三角形周长、面积的性质 1. 判断题. (1) 一个三角形各边长分别扩大为原来的 5 倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的 5 倍； (2) 一个三角形各边长分别扩大为原来的 9 倍，这个三角形的面积也扩大为原来的 9 倍. 随堂练习 2. 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的 2 cm 变成了 6 cm，复印前后三角形的相似比是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？ 解：复印前后三角形的相似比为 ，这个三角形的面积扩大为原来的 9 倍. 随堂练习 3. 如图，△ABC ∽△A'B'C'，AD，BE 是 △ABC 的高，A'D'，B'E' 是 △A'B'C' 的高. 求证： . 证明：∵ ， 是  的高，  是  的高， 随堂练习 4. 如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，∠DAF=∠EAC (1)求证：△ADC∽△ACB. (2)若 AD=3，BD=2，求  的值. (1)证明：∵ ， ∵ ， ∴ .（等角的余角相等） 又  ， 随堂练习 4. 如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，∠DAF=∠EAC (1)求证：△ADC∽△ACB. (2)若 AD=3，BD=2，求  的值. (2)解：由 (1) 知 ∵ ， ∴ ∵  分别是  边上的高， 随堂练习 相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 课堂小结 $