专题28.2 中心对称（16大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年人教版数学九年级上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题28.2 中心对称》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1成中心对称 模块10 在方格中补画图形使之成为中心对称图形 模块2 中心对称的性质判断 模块11 已知关于原点对称求参数 模块3 画已知图形关于原点对称的图形 模块12判断两点是否关于原点对称 模块4 确定两个图形的对称中心 模块13 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形 模块5 根据中心对称的性质求线段长度 模块14 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形 模块6根据中心对称的性质求角度 微专题1与中心对称有关的图案设计 模块7根据中心对称的性质求面积 压轴1中心对称图形规律问题 模块8 中心对称图形的识别 通关检测 · 实战演练 模块9判断中心对称图形的对称中心 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）成中心对称的两个图形是全等图形； （2）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 知识点2 中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 知识点3 中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 知识点4 关于原点对称的点的坐标 如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5． 简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变． 知识点5 图案设计 一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 1. 利用平移设计图案 确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 3. 利用旋转设计图案 利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案． 4.几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 模块通关·举一反 三 【模块一】成中心对称 .判断两个图形是否成中心对称，关键要看能否找到一个点，使得其中一个图形绕这个点旋转180°后与另一个图形完全重合 【典例1】（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 【模块二】中心对称的性质判断 运用中心对称的全等性质解题时，首先要明确成中心对称的两个图形对应边相等、对应角相等，可直接借助这一特征推导未知的边长、角度或图形面积；解题过程中需注意先准确找准对应顶点、对应边与对应角的关系，避免因对应关系混淆出现等量匹配错误，同时要结合对称点连线过对称中心且被平分的特征，验证全等对应关系的合理性，确保推导过程有依据、结论准确。 【典例2】若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（    ） ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式2-1】关于成中心对称的两个图形，下列说法中正确的是（    ） ①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心必在对应点的连线上 A．①③ B．③④ C．①④ D．①③④ 【变式2-2】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】下列关于中心对称的描述不正确的是（    ） 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称 B．关于中心对称的两个图形是全等的 C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心 D．如果两个图形关于点O对称，点A与是对称点，那么 【模块三】画已知图形关于原点对称的图形 在平面直角坐标系中画已知图形关于原点对称的图形时，需先确定原图形的所有关键点，再根据“关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数”这一坐标规律，逐一算出各关键点的对应对称点坐标；描出对称点后，按照原图形的连接顺序顺次连线即可完成作图。作图过程中要注意准确计算各关键点的横纵坐标符号变化，避免出现只改变单一坐标符号的错误，同时要保持连线顺序与原图形一致，确保作出的对称图形与原图形形状、大小完全一致，不会出现图形变形或关键点错位的问题。 【典例3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【变式3-1】在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点坐标分别是． (1)画出关于y轴成轴对称的； (2)画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 【变式3-2】．在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点坐标分别是． (1)画出关于y轴成轴对称的； (2)画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 【变式3-3】如图，的顶点坐标为，，．    (1)画出向右平移个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； (3)的面积为________． 【模块四】确定两个图形的对称中心 确定两个成中心对称图形的对称中心时，可连接两组对应顶点，两条连线的交点即为对称中心；解题过程中要注意选取的对应顶点必须准确匹配，避免因对应关系错误导致连线交点偏移，同时可利用“对称中心平分对应点连线”的特征，验证所找交点是否同时平分所有对应点的连线，确保对称中心的位置准确无误。 【典例4】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【变式4-1】如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【变式4-3】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【模块五】根据中心对称的性质求线段长度 解题过程中要先明确两个成中心对称的图形的对应边匹配关系，避免将非对应边误判为相等关系导致计算错误，同时可结合中心对称图形中对应边平行或共线的特征，验证对应边匹配的合理性，确保线段长度的推导有明确的全等依据，不会出现等量关系错配的问题。利用全等性质求线段长度时，可先找准待求线段对应的全等图形中的对应边，直接借助“对应边长度相等”的等量关系，通过已知线段的长度直接推导未知线段的长度； 【典例5】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式5-1】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_____． 【变式5-3】（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【模块六】根据中心对称的性质求角度 利用中心对称的全等性质求解角度时，可先定位待求角对应的全等图形中的对应角，直接依据“对应角度相等”的等量关系，通过已知角的度数推导未知角的大小；解题时要先准确确认成中心对称两图形的对应角匹配关系，避免误将非对应角判定为相等而出现计算偏差，还可结合中心对称图形中对应角的位置特征，辅助验证对应角匹配的合理性，确保角度推导具备明确的全等依据，杜绝等量关系错配的问题。 【典例6】如图，线段和关于点O中心对称，若，则的度数为________． 【变式6-1】如图,△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转 (      ) A．30° B．90° C．180° D．360° 【变式6-2】如图，与关于O点成中心对称．则________，________，________． 【变式6-3】如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是________ 【模块七】根据中心对称的性质求面积 利用中心对称的全等性质求解面积时，可先明确成中心对称的两个图形面积完全相等，若待求面积的不规则图形可通过中心对称的旋转与另一已知面积的图形拼接为规则图形，可借助“全等图形面积相等”的等量关系，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的对应部分进行计算；解题过程中要先准确确认拼接前后图形的全等匹配关系，避免将非全等的对应图形误判为面积相等，同时可结合中心对称图形的对应边、对应角的特征，验证面积转化的合理性，确保面积推导具备明确的全等依据，杜绝等量关系错配的问题。 【典例7】（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（  ） A．3 B．6 C．12 D．24 【变式7-2】将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的折纸方法共有（    ） A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种 【变式7-3】．如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是(　　)cm2． A． B．π C． D．π 【模块八】中心对称图形的识别 对中心对称图形进行识别时，需将图形绕指定对称中心旋转180°，旋转后若能与原图形完全重合则可判定为中心对称图形，若存在不对称的局部结构、旋转后无法与原图形重合则不属于；识别过程中要先找准图形的潜在对称中心，避免仅凭视觉直觉误判，尤其需注意轴对称图形与中心对称图形的判定区别，不能将满足轴对称的图形直接等同于中心对称图形，同时需完整验证图形所有部分旋转后的重合情况，避免因局部结构观察疏漏导致判定偏差。 【典例8】下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级下·湖南永州·期末）观文昌古塔，览浯溪碑刻，赏祁剧风华，品乡土油茶．下列取自祁阳非遗风物的纹样中，属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【模块九】判断中心对称图形的对称中心 确定中心对称图形的对称中心时，可选取图形上两组不同的对应点，分别连接对应点得到两条线段，两条线段的交点即为该图形的对称中心，也可通过将图形旋转180°验证对应点连线的中点位置是否一致，交叉验证对称中心的准确性；解题时要先找准图形的对应点，避免选取非对应点连线导致交点位置偏差，尤其要注意对称中心可处于图形内部、边上或外部的不同情况，不能默认对称中心一定在图形的几何中心，同时需确认对应点连线被该点完全平分，若平分关系不成立则说明对称中心判定错误，需重新选取对应点校验。 【典例9】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【变式9-1】．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点 【变式9-2】如图所示的中心对称图形中，对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【模块十】在方格中补画图形使之成为中心对称图形 在方格中补画图形使之成为中心对称图形时，需先确定已知图形的对称中心，再根据中心对称对应点到对称中心距离相等、连线被对称中心平分的特征，逐个找出已知图形顶点的对应点，再按原有连接顺序补全图形即可；操作时要先准确锁定对称中心的位置，避免因对称中心定位错误导致补画的对应点完全偏移，同时需注意方格中横向与纵向的格数对应关系，补画完成后可将图形整体绕对称中心旋转180°验证是否与原已知部分完全匹配，及时修正补画错误。 【典例10】（25-26八年级下·广东深圳·期末）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【变式10-1】在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中四个涂黑的小正方形组成的图形是中心对称图形，选择的小正方形的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式10-2】图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式10-3】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） (1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形． (2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形． 【模块十一】 关于原点对称的点的坐标 求解平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标问题时，需牢记若两点关于原点对称，二者的横、纵坐标均互为相反数，已知其中一个点的坐标，直接对其横、纵坐标分别取相反数，即可得到其关于原点对称的对应点坐标；解题时要注意区分关于x轴对称、关于y轴对称的坐标变化规律，避免混淆不同对称方式下的坐标取值规则，尤其需注意坐标的正负号变化，取相反数时要准确处理原坐标的正负属性，防止出现符号错误，完成求解后可反向验证，确认所得对称点与已知点连线经过原点且两点到原点的距离相等，以此校验结果的准确性。 【典例11】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【变式11-1】把点向上平移3个单位后再关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】点P关于y轴的对称点的坐标为，那么点P关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始跳动，第一次跳到点关于轴的对称点处，接着跳到点关于轴的对称点处，第三次再跳到点关于原点的对称点处，，如此循环下去．当跳动第次时，棋子落点处的坐标是___________． 【模块十二】已知关于原点对称求参数 解决已知两点关于原点对称求解参数类问题时，需先根据关于原点对称的点的坐标特征，建立对称点横、纵坐标分别互为相反数的等式方程，再代入参数表达式求解对应参数值；解题时要注意先准确提取已知点的坐标，再对应列出横、纵坐标的相反数关系，避免因坐标项对应错位导致方程列写错误，同时需关注参数表达式的化简运算，防止符号或计算失误，求解完成后可将参数值回代，验证两个对称点是否满足横、纵坐标均互为相反数的关系，确认结果的合理性。 【典例12】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C．7 D．5 【变式12-2】在直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式12-3】在直角坐标系中，已知点关于原点对称，求a，b的值，并写出这两个点的坐标． 【模块十三】判断两点是否关于原点对称 判断两点是否关于原点对称时，需核对两个点的横、纵坐标是否分别互为相反数，若两组坐标均满足相反数关系，则两点关于原点对称，反之则不满足该对称关系；解题时要注意完整对比横、纵坐标两组对应关系，不能仅通过单一坐标的相反数关系直接判定，同时需留意坐标的正负号变化，避免因符号判断失误导致对称关系判定错误，必要时可计算两点连线的中点坐标，验证中点是否与坐标原点重合，以此进一步确认判断结果。 【典例13】如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________． 【变式13-1】．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称 D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称 【变式13-2】在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【变式13-3】已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【模块十四】 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形 在平面直角坐标系中绘制关于原点成中心对称的图形时，需先确定原图形的所有顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标变化规律，求出每个顶点对应的对称点坐标，最后按照原图形的顶点连接顺序，依次连接各对称点，即可得到原图形关于原点的中心对称图形；解题时要注意准确标记所有顶点的对称点坐标，避免遗漏顶点或坐标计算出现正负号错误，连线时需保持与原图形一致的连接顺序，防止图形变形或对应关系错乱，完成绘制后可抽查部分对应顶点，验证其连线是否经过原点且被原点平分，以此确认作图的准确性。 【典例14】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将向右平移5个单位长度，得到，点，，的对应点分别是，，，请在图中画出，写出点，的坐标； (2)以原点为对称中心，请在图中画出与成中心对称的，点，，的对应点分别是，，． 【变式14-1】如图，的顶点坐标为，，．    (1)画出向右平移个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； (3)的面积为________． 【变式14-2】在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点坐标分别是． (1)画出关于y轴成轴对称的； (2)画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 【变式14-3】（25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】与中心对称有关的图案设计 进行与中心对称相关的图案设计时，通常先选定设计的核心基础图形，结合中心对称的性质确定对称中心，再通过多次变换基础图形的位置、方向，构造出整体关于对称中心成中心对称的组合图案，设计过程中可搭配不同的色彩、线条样式丰富图案的视觉效果；解题时要注意明确标注对称中心的位置，保证最终图案上每一组对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，避免出现局部图形符合中心对称但整体图案不满足对称要求的问题，设计完成后可通过旋转180°的方式验证图案是否与自身重合，同时兼顾图案的美观性与对称性的统一。 【典例15】（25-26八年级下·全国·课后作业）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【变式15-1】图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． (1)线段的长为______； (2)在图①中，以线段为边画一个中心对称四边形，使其面积为6； (3)在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8． 【变式15-2】某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）． 【变式15-3】下列网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)选取1个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)选取1个涂上阴影，使阴影部分组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)选取2个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】中心对称图形规律问题 解决中心对称图形规律类问题时，需先从已知的连续图案或图形变换序列中，总结出图形完成一次完整中心对称变换的周期长度，明确图形在每一个周期内的位置、朝向或样式的变化规律，再结合题目要求的目标位置序号，通过序号除以周期长度的余数，匹配对应周期内的图形状态；解题时要注意精准确定最小正周期，不能仅凭前两组图形的变化就草率判定周期长度，避免因周期判断偏差导致后续规律应用错误，推导过程中可通过多组已知图形验证周期的合理性，同时留意图形变换过程中是否存在局部细节的周期性重复，防止忽略隐藏的变化细节影响最终结论。 【典例16】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【变式16-1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点、、作循环跳动，即第一次跳动到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，…如此下去． (1)在图中画出点、，并写出点、的坐标：________； (2)求经过第次跳动后，棋子落点与点的距离． 【变式16-3】如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下图是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下面的几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）． A．线段 B．圆 C．平行四边形 D．正五边形 3.在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中，关于原点对称的两点为（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 4.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,若AB=3,BC=4,那么阴影部分的面积为(   ) A．4 B．12 C．6 D．3 5.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________. 二 填空题 6.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____. 7.在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有________，这些直线都必须经过该矩形的________． 8.如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________． 9.．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 _____． 10如图，王源家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为________． 三解答题 11.已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 12．如图所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法） 13.如图： （1）写出A、B、C三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系； （3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系． 14.已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 15如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称． (1)画出对称中心E，并写出点E的坐标； (2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△； (3)画出与△关于点O成中心对称的△． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题28.2 中心对称》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1成中心对称 模块10 在方格中补画图形使之成为中心对称图形 模块2 中心对称的性质判断 模块11 已知关于原点对称求参数 模块3 画已知图形关于原点对称的图形 模块12判断两点是否关于原点对称 模块4 确定两个图形的对称中心 模块13 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形 模块5 根据中心对称的性质求线段长度 模块14 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形 模块6根据中心对称的性质求角度 微专题1与中心对称有关的图案设计 模块7根据中心对称的性质求面积 压轴1中心对称图形规律问题 模块8 中心对称图形的识别 通关检测 · 实战演练 模块9判断中心对称图形的对称中心 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）成中心对称的两个图形是全等图形； （2）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 知识点2 中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 知识点3 中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 知识点4 关于原点对称的点的坐标 如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5． 简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变． 知识点5 图案设计 一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 1. 利用平移设计图案 确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 3. 利用旋转设计图案 利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案． 4.几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 模块通关·举一反 三 【模块一】成中心对称 .判断两个图形是否成中心对称，关键要看能否找到一个点，使得其中一个图形绕这个点旋转180°后与另一个图形完全重合 【典例1】（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断． 【详解】解：A、与关于y轴对称，所以A选项不符合题意； B、与关于x轴对称，所以B选项不符合题意； C、与关于对称，所以C选项不符合题意； D、与关于原点对称，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 【变式1-2】如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【详解】A．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； B．∵点B与点G关于点O成中心对称， ∴，正确； C．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； D．∵点D与点E关于点O成中心对称， ∴， ∴错误， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式1-3】如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的定义．根据中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称． 故选：D． 【模块二】中心对称的性质判断 运用中心对称的全等性质解题时，首先要明确成中心对称的两个图形对应边相等、对应角相等，可直接借助这一特征推导未知的边长、角度或图形面积；解题过程中需注意先准确找准对应顶点、对应边与对应角的关系，避免因对应关系混淆出现等量匹配错误，同时要结合对称点连线过对称中心且被平分的特征，验证全等对应关系的合理性，确保推导过程有依据、结论准确。 【典例2】若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（    ） ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：①对称点的连线必过对称中心，正确； ②中心对称的两个图形一定全等，正确； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合，正确； ①②③④均符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的定义及性质，属于基础题，要在熟练掌握的基础上理解定义的内容及性质． 【变式2-1】关于成中心对称的两个图形，下列说法中正确的是（    ） ①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心必在对应点的连线上 A．①③ B．③④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】①成中心对称的图形全等，进行判断即可；②成中心对称的图形全等，进行判断即可；③对称中心不一定在图形上；④根据中心对称是旋转，进行判断即可． 【详解】解：①成中心对称的图形全等，因此一定形状相同；故①正确； ②成中心对称的图形全等，因此大小一定相等；故②错误； ③对称中心不一定在图形上；故③错误； ④成中心对称，是旋转，因此对称中心必在对应点的连线上；故④正确； 综上正确的为：①④； 故选C． 【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握成中心对称的两个图形全等，是解题的关键 【变式2-2】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质，对应边相等、对应角相等、对应点的连线被对称中点平分，据此来判断． 【详解】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确； 成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确； D选项的对应角应该是； 故选：D． 【点睛】本题考查了中点对称的性质，找到对应边、对应角是解题的关键． 【变式2-3】下列关于中心对称的描述不正确的是（    ） 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称 B．关于中心对称的两个图形是全等的 C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心 D．如果两个图形关于点O对称，点A与是对称点，那么 【答案】A 【分析】中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．据此作出判断． 【详解】解：A．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故选项错误，符合题意； B．关于中心对称的两个图形是全等的，故选项正确，不符合题意； C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故选项正确，不符合题意； D．根据中心对称的性质可得此说法正确，故选项正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 【模块三】画已知图形关于原点对称的图形 在平面直角坐标系中画已知图形关于原点对称的图形时，需先确定原图形的所有关键点，再根据“关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数”这一坐标规律，逐一算出各关键点的对应对称点坐标；描出对称点后，按照原图形的连接顺序顺次连线即可完成作图。作图过程中要注意准确计算各关键点的横纵坐标符号变化，避免出现只改变单一坐标符号的错误，同时要保持连线顺序与原图形一致，确保作出的对称图形与原图形形状、大小完全一致，不会出现图形变形或关键点错位的问题。 【典例3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点关于点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积． 【变式3-1】在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点坐标分别是． (1)画出关于y轴成轴对称的； (2)画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【分析】（1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出点A，B，C关于原点的对称点，然后顺次连接，再根据图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：如图所示，点的坐标为． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换与旋转变换，关键是正确作出三角形三个顶点的对应点． 【变式3-2】．在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点坐标分别是． (1)画出关于y轴成轴对称的； (2)画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【分析】（1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出点A，B，C关于原点的对称点，然后顺次连接，再根据图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：如图所示，点的坐标为． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换与旋转变换，关键是正确作出三角形三个顶点的对应点． 【变式3-3】如图，的顶点坐标为，，．    (1)画出向右平移个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； (3)的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的性质找到向右平移3个单位的对应点，顺次连接，得到； （2）根据中心对称的性质，找到关于原点对称的点，顺次连接，得到； （3）连接，根据网格的特点以及三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求；    （3）如图所示，连接，    则，到的距离为， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移作图，画中心对称图形，坐标与图形，熟练掌握平移的性质以及中心对称的性质是解题的关键． 【模块四】确定两个图形的对称中心 确定两个成中心对称图形的对称中心时，可连接两组对应顶点，两条连线的交点即为对称中心；解题过程中要注意选取的对应顶点必须准确匹配，避免因对应关系错误导致连线交点偏移，同时可利用“对称中心平分对应点连线”的特征，验证所找交点是否同时平分所有对应点的连线，确保对称中心的位置准确无误。 【典例4】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【变式4-1】如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】两组对应点连线的交点即是对称中心，根据对称中心的确定方法即可解答. 【详解】如解图，连接、，相交于点E，则点E是对称中心. 故选：B. 【点睛】此题考查成中心对称的图形的对称中心，正确掌握对称中心的定义即可正确解答. 错因分析  容易题.失分的原因是：不会判断对称中心. 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 【变式4-3】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选C 【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键． 【模块五】根据中心对称的性质求线段长度 解题过程中要先明确两个成中心对称的图形的对应边匹配关系，避免将非对应边误判为相等关系导致计算错误，同时可结合中心对称图形中对应边平行或共线的特征，验证对应边匹配的合理性，确保线段长度的推导有明确的全等依据，不会出现等量关系错配的问题。利用全等性质求线段长度时，可先找准待求线段对应的全等图形中的对应边，直接借助“对应边长度相等”的等量关系，通过已知线段的长度直接推导未知线段的长度； 【典例5】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式5-1】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， ∴BB′=2AB=4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 【变式5-2】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_____． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可得，再利用勾股定理即可得. 【详解】与关于点C成中心对称 故答案为：. 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键. 【变式5-3】（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到与互相垂直平分，从而求得的长和的长，再由与关于点D成中心对称，得到，从而求得的值，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 【模块六】根据中心对称的性质求角度 利用中心对称的全等性质求解角度时，可先定位待求角对应的全等图形中的对应角，直接依据“对应角度相等”的等量关系，通过已知角的度数推导未知角的大小；解题时要先准确确认成中心对称两图形的对应角匹配关系，避免误将非对应角判定为相等而出现计算偏差，还可结合中心对称图形中对应角的位置特征，辅助验证对应角匹配的合理性，确保角度推导具备明确的全等依据，杜绝等量关系错配的问题。 【典例6】如图，线段和关于点O中心对称，若，则的度数为________． 【答案】40° 【分析】根据线段和关于点O成中心对称，可以证明，则，从而可以得到答案． 【详解】解：∵线段和关于点O成中心对称，， ∵AO=CO，BO=DO， 又∵∠AOB=∠COD， ∴（SAS）， ∴， ∴的度数为． 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式6-1】如图,△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转 (      ) A．30° B．90° C．180° D．360° 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的性质得出，△ABC和△DEF关于点O中心对称即需要旋转180°，即可得出答案． 【详解】△ABC和△DEF关于点O中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC旋转180°． 故选C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据题意得出两图形的关系是解题关键． 【变式6-2】如图，与关于O点成中心对称．则________，________，________． 【答案】 = 【分析】利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出对应边与对应角之间的关系，进而解决． 【详解】∵与关于O点成中心对称， ∴， ∴，∠ABC=∠DEF ∴， ∴． 故答案为：=，EF，DF． 【点睛】此题主要考查了关于某点对称的图形之间的关系，涉及全等三角形，难度不大，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【变式6-3】如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是________ 【答案】180°/180度 【分析】如果一个图形绕一点O旋转180°后能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于点O中心对称，点O叫做对称中心．根据两个图形成中心对称的定义即可得到结果． 【详解】根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180° 故答案为：180° 【点睛】本题考查了两个图形成中心对称的含义，掌握此含义是关键． 【模块七】根据中心对称的性质求面积 利用中心对称的全等性质求解面积时，可先明确成中心对称的两个图形面积完全相等，若待求面积的不规则图形可通过中心对称的旋转与另一已知面积的图形拼接为规则图形，可借助“全等图形面积相等”的等量关系，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的对应部分进行计算；解题过程中要先准确确认拼接前后图形的全等匹配关系，避免将非全等的对应图形误判为面积相等，同时可结合中心对称图形的对应边、对应角的特征，验证面积转化的合理性，确保面积推导具备明确的全等依据，杜绝等量关系错配的问题。 【典例7】（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由为的对称中心，则点三点共线，三点共线，，，所以，从而即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 【变式7-1】如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（  ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由题意，图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答． 【详解】由题意，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，所以由中心对称图形的性质可得： 所求的面积=． 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定和性质，掌握中心对称图形的性质是解题关键． 【变式7-2】将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的折纸方法共有（    ） A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种 【答案】D 【分析】根据矩形的中心对称性解答即可. 【详解】根据矩形的中心对称性，过中心的直线可把矩形分成面积相等的两部分，所以使得折痕平分这个长方形的面积的方法共有无数种． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的中心对称性，比较简单，一定要熟练掌握并灵活运用． 【变式7-3】．如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是(　　)cm2． A． B．π C． D．π 【答案】A 【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积． 【详解】解：连AC，如图， ∵AB⊥BC，AB＝BC＝3cm， ∴△ABC为等腰直角三角形， 又∵与关于点O中心对称， ∴OA＝OC，＝， ∴弓形OA的面积＝弓形OC的面积， ∴AB、BC、与所围成的图形的面积＝三角形ABC的面积＝×3×3＝（cm2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都为；也考查了中心对称的性质以及三角形的面积公式． 【模块八】中心对称图形的识别 对中心对称图形进行识别时，需将图形绕指定对称中心旋转180°，旋转后若能与原图形完全重合则可判定为中心对称图形，若存在不对称的局部结构、旋转后无法与原图形重合则不属于；识别过程中要先找准图形的潜在对称中心，避免仅凭视觉直觉误判，尤其需注意轴对称图形与中心对称图形的判定区别，不能将满足轴对称的图形直接等同于中心对称图形，同时需完整验证图形所有部分旋转后的重合情况，避免因局部结构观察疏漏导致判定偏差。 【典例8】下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 【变式8-1】（25-26八年级下·湖南永州·期末）观文昌古塔，览浯溪碑刻，赏祁剧风华，品乡土油茶．下列取自祁阳非遗风物的纹样中，属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B． 该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D． 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式8-2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，中心对称图形是指：一个图形围绕某个点旋转180度以后能和原来的图形完全重合．轴对称图形是指：一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合． 【变式8-3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，，故本选项不符合题意； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分完全重合是解题的关键． 【模块九】判断中心对称图形的对称中心 确定中心对称图形的对称中心时，可选取图形上两组不同的对应点，分别连接对应点得到两条线段，两条线段的交点即为该图形的对称中心，也可通过将图形旋转180°验证对应点连线的中点位置是否一致，交叉验证对称中心的准确性；解题时要先找准图形的对应点，避免选取非对应点连线导致交点位置偏差，尤其要注意对称中心可处于图形内部、边上或外部的不同情况，不能默认对称中心一定在图形的几何中心，同时需确认对应点连线被该点完全平分，若平分关系不成立则说明对称中心判定错误，需重新选取对应点校验。 【典例9】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∴其中是平行四边形中心的是点； 故选：B 【变式9-1】．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点 【答案】D 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案． 【详解】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点． 故选：D． 【点睛】本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合． 【变式9-2】如图所示的中心对称图形中，对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案． 【详解】解：如图所示的中心对称图形中，对称中心是O2． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形，解题关键是熟练掌握中心对称图形的性质. 【变式9-3】如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】找出两组对应点，然后连接每组对应点，则两组对应点连线的交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B， 所以点B是对称中心． 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的对称中心的找法，找出其中的两组对应点，然后连线是解决此类问题的关键． 【模块十】在方格中补画图形使之成为中心对称图形 在方格中补画图形使之成为中心对称图形时，需先确定已知图形的对称中心，再根据中心对称对应点到对称中心距离相等、连线被对称中心平分的特征，逐个找出已知图形顶点的对应点，再按原有连接顺序补全图形即可；操作时要先准确锁定对称中心的位置，避免因对称中心定位错误导致补画的对应点完全偏移，同时需注意方格中横向与纵向的格数对应关系，补画完成后可将图形整体绕对称中心旋转180°验证是否与原已知部分完全匹配，及时修正补画错误。 【典例10】（25-26八年级下·广东深圳·期末）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【答案】C 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 【变式10-1】在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中四个涂黑的小正方形组成的图形是中心对称图形，选择的小正方形的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图形，据此判断即可． 【详解】解：①的位置涂黑，整个图形是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． 【变式10-2】图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义解决此题． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是：③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键． 【变式10-3】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） (1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形． (2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可求解． （2）根据中心对称的性质画出图象即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，答案不唯一，画出一种即可． （2）如图所示，答案不唯一，画出一种即可． 【点睛】本题考查了图案设计，轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形的性质是解题的关键． 【模块十一】 关于原点对称的点的坐标 求解平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标问题时，需牢记若两点关于原点对称，二者的横、纵坐标均互为相反数，已知其中一个点的坐标，直接对其横、纵坐标分别取相反数，即可得到其关于原点对称的对应点坐标；解题时要注意区分关于x轴对称、关于y轴对称的坐标变化规律，避免混淆不同对称方式下的坐标取值规则，尤其需注意坐标的正负号变化，取相反数时要准确处理原坐标的正负属性，防止出现符号错误，完成求解后可反向验证，确认所得对称点与已知点连线经过原点且两点到原点的距离相等，以此校验结果的准确性。 【典例11】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点中心对称的坐标变换规则求出各顶点的对称点，描点连线画出三角形； （2）根据题意得出平移规则：左移、下移，将各顶点按规则平移后连线即可； （3）取一组对应点​、，用中点坐标公式算出中点，该点即为两三角形的对称中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交于点， 则点为和的中心对称点， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，即， 和的中心对称点为． 【变式11-1】把点向上平移3个单位后再关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按照平移规律得到，再按关于原点对称得到即可． 【详解】解：把点向上平移3个单位后得到，再关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 【点睛】此题考查了点的平移和关于原点对称，熟练掌握规律是解题的关键． 【变式11-2】点P关于y轴的对称点的坐标为，那么点P关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是，由此即可解答． 【详解】解：∵点P关于y轴的对称点的坐标是， ∴点P的坐标是． ∴点P关于原点的对称点的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系，熟知平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点是是解决问题的关键． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始跳动，第一次跳到点关于轴的对称点处，接着跳到点关于轴的对称点处，第三次再跳到点关于原点的对称点处，，如此循环下去．当跳动第次时，棋子落点处的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据关于坐标轴以及原点对称的点的坐标的关系，以及循环的规律就可以得到棋子落点处的坐标． 【详解】解：首先发现点P的坐标是，第一次跳到点P关于x轴的对称点处是，接着跳到点关于y轴的对称点处是，第三次再跳到点关于原点的对称点处是…， 发现3次一循环． 又， 当跳动第次时，棋子落点处的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此类题应首先找到循环的规律，然后进行计算．熟悉：两个点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点若关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点若关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数． 【模块十二】已知关于原点对称求参数 解决已知两点关于原点对称求解参数类问题时，需先根据关于原点对称的点的坐标特征，建立对称点横、纵坐标分别互为相反数的等式方程，再代入参数表达式求解对应参数值；解题时要注意先准确提取已知点的坐标，再对应列出横、纵坐标的相反数关系，避免因坐标项对应错位导致方程列写错误，同时需关注参数表达式的化简运算，防止符号或计算失误，求解完成后可将参数值回代，验证两个对称点是否满足横、纵坐标均互为相反数的关系，确认结果的合理性。 【典例12】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 【变式12-1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C．7 D．5 【答案】C 【分析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出的值，然后代入求解即可． 【详解】由题意，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，熟记基本结论是解题关键． 【变式12-2】在直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的方程组，进而得出答案． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 【变式12-3】在直角坐标系中，已知点关于原点对称，求a，b的值，并写出这两个点的坐标． 【答案】， 【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，列出方程组，即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 【模块十三】判断两点是否关于原点对称 判断两点是否关于原点对称时，需核对两个点的横、纵坐标是否分别互为相反数，若两组坐标均满足相反数关系，则两点关于原点对称，反之则不满足该对称关系；解题时要注意完整对比横、纵坐标两组对应关系，不能仅通过单一坐标的相反数关系直接判定，同时需留意坐标的正负号变化，避免因符号判断失误导致对称关系判定错误，必要时可计算两点连线的中点坐标，验证中点是否与坐标原点重合，以此进一步确认判断结果。 【典例13】如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 【变式13-1】．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称 D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案． 【详解】解：A、点A的坐标为（-3，4），∴则点A与点B（-3，-4）关于x轴对称，故此选项错误； B、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点C（3，-4）关于原点对称，故此选项错误； C、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点E（-3，4）重合，故此选项错误； D、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点F（3，-4）关于原点对称，故此选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了关于xy轴对称点的坐标点的规律，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆． 【变式13-2】在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键． 【变式13-3】已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【详解】， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 【模块十四】 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形 在平面直角坐标系中绘制关于原点成中心对称的图形时，需先确定原图形的所有顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标变化规律，求出每个顶点对应的对称点坐标，最后按照原图形的顶点连接顺序，依次连接各对称点，即可得到原图形关于原点的中心对称图形；解题时要注意准确标记所有顶点的对称点坐标，避免遗漏顶点或坐标计算出现正负号错误，连线时需保持与原图形一致的连接顺序，防止图形变形或对应关系错乱，完成绘制后可抽查部分对应顶点，验证其连线是否经过原点且被原点平分，以此确认作图的准确性。 【典例14】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将向右平移5个单位长度，得到，点，，的对应点分别是，，，请在图中画出，写出点，的坐标； (2)以原点为对称中心，请在图中画出与成中心对称的，点，，的对应点分别是，，． 【答案】(1) 如图所示，点的坐标是，的坐标是 (2) 如上图所示. 【分析】（1）先根据平移的性质确定平移后的，，的坐标，再顺次连接即可； （2）先根据关于原点对称的点的坐标特点得到，，的坐标，再顺次连接即可． 【变式14-1】如图，的顶点坐标为，，．    (1)画出向右平移个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； (3)的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的性质找到向右平移3个单位的对应点，顺次连接，得到； （2）根据中心对称的性质，找到关于原点对称的点，顺次连接，得到； （3）连接，根据网格的特点以及三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求；    （3）如图所示，连接，    则，到的距离为， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移作图，画中心对称图形，坐标与图形，熟练掌握平移的性质以及中心对称的性质是解题的关键． 【变式14-2】在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点坐标分别是． (1)画出关于y轴成轴对称的； (2)画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【分析】（1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出点A，B，C关于原点的对称点，然后顺次连接，再根据图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：如图所示，点的坐标为． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换与旋转变换，关键是正确作出三角形三个顶点的对应点． 【变式14-3】（25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3) (4)或或 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标； （4）设出点D的坐标，分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将进行平移得到，，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即； （4）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】与中心对称有关的图案设计 进行与中心对称相关的图案设计时，通常先选定设计的核心基础图形，结合中心对称的性质确定对称中心，再通过多次变换基础图形的位置、方向，构造出整体关于对称中心成中心对称的组合图案，设计过程中可搭配不同的色彩、线条样式丰富图案的视觉效果；解题时要注意明确标注对称中心的位置，保证最终图案上每一组对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，避免出现局部图形符合中心对称但整体图案不满足对称要求的问题，设计完成后可通过旋转180°的方式验证图案是否与自身重合，同时兼顾图案的美观性与对称性的统一。 【典例15】（25-26八年级下·全国·课后作业）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)、、；和 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形． 【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； （2）解：如图所示    【点睛】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键． 【变式15-1】图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． (1)线段的长为______； (2)在图①中，以线段为边画一个中心对称四边形，使其面积为6； (3)在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可； （3）作一个菱形即可 【详解】（1）由图象可得，， 故答案为：； （2）如图①中，四边形即为所求； （3）如图②中，四边形即为所求． 【点睛】本题考查了作图—中心对称图形和轴对称图形，灵活运用相应图形的性质是解决本题的关键． 【变式15-2】某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）． 【答案】见解析 【分析】根据题目要求画出图形, 注意花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案. 【详解】如图所示： 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称图形定义, 利用中心对称图形的性质设计是解题关键. 【变式15-3】下列网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)选取1个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)选取1个涂上阴影，使阴影部分组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)选取2个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）轴对称图形定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此涂上阴影即可； （2）中心对称图形定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此涂上阴影即可； （3）根据轴对称图形定义涂上阴影即可． 【详解】（1）解：画出下列一种即可： （2）解：画出下列一种即可： （3）解：画出下列一种即可： 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】中心对称图形规律问题 解决中心对称图形规律类问题时，需先从已知的连续图案或图形变换序列中，总结出图形完成一次完整中心对称变换的周期长度，明确图形在每一个周期内的位置、朝向或样式的变化规律，再结合题目要求的目标位置序号，通过序号除以周期长度的余数，匹配对应周期内的图形状态；解题时要注意精准确定最小正周期，不能仅凭前两组图形的变化就草率判定周期长度，避免因周期判断偏差导致后续规律应用错误，推导过程中可通过多组已知图形验证周期的合理性，同时留意图形变换过程中是否存在局部细节的周期性重复，防止忽略隐藏的变化细节影响最终结论。 【典例16】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【变式16-1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点、、作循环跳动，即第一次跳动到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，…如此下去． (1)在图中画出点、，并写出点、的坐标：________； (2)求经过第次跳动后，棋子落点与点的距离． 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】（1）根据网格的特点，找到对称点，进而写出， （2）观察点的位置，可得棋子跳动3次后又回到处，则经过第2022次跳动后，棋子落在点处，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，， 故答案为：． （2）∵棋子跳动3次后又回到处，， ∴所以经过第2022次跳动后，棋子落在点处， ∴经过第次跳动后，棋子落点与点的距离为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称，数形结合是解题的关键． 【变式16-3】如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴A的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，A的纵坐标是，当n为偶数时，A的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下图是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项故符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．下面的几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）． A．线段 B．圆 C．平行四边形 D．正五边形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合的图形，依次进行判定即可． 【详解】A、    既是轴对称图形， 是中心对称图形，故不符题意； B、    既是轴对称图形， 是中心对称图形，故不符题意； C、    是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符题意； D、    是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念． 3.在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中，关于原点对称的两点为（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】D 【分析】由题意根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数进行分析即可得出答案． 【详解】解：B(2,−1)与关于原点对称， 故选：D． 【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标，熟练掌握P（a，b）关于原点对称点的坐标P′（-a，-b）是解题的关键． 4.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,若AB=3,BC=4,那么阴影部分的面积为(   ) A．4 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】根据矩形的中心对称性，运用中心对称图形的性质，易知阴影面积=三角形AOB或COD的面积． 【详解】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O， ∴△BOE≌△DOF． ∴阴影面积=△AOB的面积=AB•BC=3． 故选D． 【点睛】此题考查中心对称的性质，根据矩形的中心对称性进行转化求解． 5.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， 此时点与点重合． ∵， ∴与点重合， 故， 答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键． 二 填空题 6.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____. 【答案】（2,1） 【分析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答. 【详解】∵点P（1，1），N（2，0）， ∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1）， ∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分， ∴对称中心的坐标为（2，1）， 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 7.在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有________，这些直线都必须经过该矩形的________． 【答案】 无数条 对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质进行分析． 【详解】解：根据矩形是中心对称图形，则过对角线的交点的直线都能将矩形分成面积相等的两部分，且这两部分全等． 所以把此矩形面积两等分的直线最多有无数条，这些直线都必须经过该矩形的对称中心． 故答案为无数条，对称中心 【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合． 8.如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质AB=DE，DC=AC及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长． 【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝1， ∵∠D＝90°， ∴AE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，熟记中心对称图形的性质是解题关键． 9.．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 _____． 【答案】15 【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3， ∴AB＝2， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 10如图，王源家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为________． 【答案】①② 【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，判断出l=2（a+2b+c），a=b+d，b=c+d；然后分别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可． 【详解】解：如图， ， 设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l， 则l=2（a+2b+c）， 根据图示，可得 （1）-（2），可得：a-b=b-c， ∴2b=a+c， ∴l=2（a+2b+c）=2×2（a+c）=4（a+c），或l=2（a+2b+c）=2×4b=8b， ∴2（a+c）=，4b=， ∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，的值一定， ∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道． ∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②． 故答案为：①②． 【点睛】此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 三解答题 11.已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特征，得到关于a，b的方程，解之即可； （2）根据a，b的值得到点A坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求解； （3）根据关于y轴对称点的坐标特征求解． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为； （3）∵， ∴点B关于y轴的对称点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化，解题的关键是掌握关于原点和坐标轴对称点的坐标特征． 12．如图所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法） 【答案】见解析 【分析】将图形分成两个规则的图形，然后分别找出两个图形的中心对称点，连接两中心对称点即可． 【详解】解：按照直线分割，如图所示： 【点睛】本题考查中心对称的应用，难度不大，注意规则图形中心对称的找法． 13.如图： （1）写出A、B、C三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系； （3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系． 【答案】（1）A（3，4）B（1，2）C（5，1） （2）描点画图见解析，△A′B′C′与△ABC关于x轴对称； （3）描点画图见解析，△A″B″C″与原△ABC关于原点对称. 【分析】（1）根据各点坐标描出各点； （2）将题目中各点横坐标不变纵坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点； （3）将题目中各点纵坐标不变横坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点． 【详解】解：（1）根据各点的位置，各点坐标为：A（3，4）、B（1，2）、C（5，1）； 由（1）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），横坐标不变，纵坐标都乘以-1，得：A′（3，-4）、B′（1，-2）、C′（5，-1），△A′B′C′与△ABC关于x轴对称； （3）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，得：A″（-3，4）、B″（-1，2）、C″（-5，1），则△A″B″C″与△ABC关于原点对称． 14.已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等； （2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB=AC， 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE， ∴AB=CD， ∴AC=CD； (2)∠F=∠MCD. 理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA， ∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF， ∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α， 设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β， ∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β， ∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β， ∴∠F=∠MCD. 【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键. 15如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称． (1)画出对称中心E，并写出点E的坐标； (2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△； (3)画出与△关于点O成中心对称的△． 【答案】(1)见解析，（-3，-1） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，三线的交点就是所求，利用中点坐标公式计算即可． （2）根据旋转的性质，旋转方向，画图即可． （3）根据中心对称的性质，确定点的坐标，依次连接即可． （1）连接，三线的交点就是所求对称中心E，画图如下： 根据题意，得A（-3，2），， 故点E的坐标为（-3，）即（-3，-1）． （2）根据旋转的性质，画图如下： （3） 根据题意，得，，，根据中心对称的性质，得到，，，描点后，画图如下： 【点睛】本题考查了旋转的作图，中心对称作图，计算点的坐标，熟练掌握作图的要领，准确计算点的坐标是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $