专题01 反比例函数中k的几何意义（12大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学人教版九年级上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题01 反比例函数中k的几何意义》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 单反比例函数中由模型求面积 模块8知面积之间的关系求解 模块2 单反比例函数中等积变形 模块9求阴影部分图形面积 模块3 双反比例函数中由模型求面积 模块10确定面积之间的关系 模块4 双反比例函数中等积变形 微专题1反比函数求图形面积的“设而不求” 模块5 知三角形面积求k 压轴1反比函数背景下的规律探索 模块6知四边形面积求k 通关检测·实战演练 模块7知阴影部分面积求k 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 k的几何意义——单反比例函数 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 模型3：等积转化 图示 结论 ， 知识点2 k的几何意义——双反比例函数 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 图示 结论 模块通关·举一反 三 【模块一】单反比例函数中由模型求面积 先从最基础的单点模型入手梳理：对于单个反比例函数图像，已知过反比例函数图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|，所得直角三角形的面积为，这是利用k的几何意义直接求解面积的核心依据。 使用这一结论时，首先要明确点的位置，若点在第一、三象限，k为正，直接计算即可；若点在第二、四象限，k为负，计算面积时一定要加上绝对值，避免出现面积为负的错误结果。对于三角形面积，若三角形一边在坐标轴上，顶点在反比例函数图像上，面积可直接套用得到，若三角形的三个顶点都不在坐标轴上，则需要先对图形进行拆分，将不规则图形转化为多个可以套k几何意义的规则图形，再通过和差计算得到最终面积。 【典例1】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，点P是反比例函数图像上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【变式1-1】如图，过反比例函数图像上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设与的交点为，与梯形的面积分别为、，比较它们的大小，可得（   ） A． B． C． D．、的大小关系不能确定 【变式1-2】若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 【变式1-3】如图，、是反比例函数图像上两点，连接、，则的面积为（    ） A．3 B． C．2 D． 【模块二】单反比例函数中等积变形 与常规面积计算类似，反比例函数面积问题中的等积变形，核心是利用平行线间的距离处处相等，将所求面积转化为可直接利用k的几何意义计算的规则图形面积。具体来说，当所求三角形某一边平行于坐标轴，而顶点恰好落在反比例函数图像上时，我们可以通过平移三角形的顶点，保持顶点所在平行线不动，将三角形顶点转移到反比例函数图像上便于计算的位置，此时三角形面积不会发生改变，即可直接套用已有模型的结论计算。 应用等积变形方法求解时，首先要确认变形前后的图形面积确实保持相等，关键是保证顶点所在直线与已知边平行，不能随意进行顶点转移，否则会改变图形面积大小，得到错误结果。其次，变形后的图形要尽量贴合我们熟悉的基础模型，要保证变形后的图形可以直接利用k的几何意义计算面积，否则变形就失去了简化计算的意义。 【典例2】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【变式2-1】如图，点A是反比例函数的图像上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______． 【变式2-2】（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，点A是反比例函数图像上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B．以为边作平行四边形，其中C，D在x轴上，则四边形的面积为______． 【变式2-3】如图，，是反比例函数在第一象限内的图像上的两点，且，两点的横坐标分别是和，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【模块三】双反比例函数中由模型求面积 按照图形结构将双反比例函数面积问题分为两类，对应不同的求解思路。第一类是顶点分别落在两条反比例函数图像上，且存在边平行于坐标轴的矩形或三角形，这类图形可以直接套用固定模型：当两个顶点分别落在两条反比例函数图像上时，矩形面积直接为，同底三角形面积直接为，不需要再分步计算各点坐标推导面积。 使用这类模型结论计算时，有两点需要格外注意：第一，不能忽略k的符号，当反比例函数分属不同象限时，k1和k2符号相反，计算差的绝对值时要保留符号再运算，不能直接将二者的绝对值相减，否则会得到倍数错误的结果；第二，必须先验证图形结构，若图形不满足平行坐标轴的结构条件，不能强行套用上述结论，应当利用割补法拆分图形，再结合单个反比例函数\k的几何意义逐块计算面积后求和或求差，计算过程中还要注意避免重复计算拆分后图形的公共部分。 如果遇到非规则结构的双反比例函数面积问题，除了割补法之外，也可以通过设点法求解：设出其中一条反比例函数上一个点的坐标，再结合图形的位置关系推导出其余点的坐标，最后利用坐标法计算图形面积。这种方法虽然计算步骤稍多，但通用性更强，对任意结构的双反比例函数面积问题都适用，不容易出现模型套用错误的问题。使用设点法时，要注意坐标符号和点的位置对应，第二、四象限的点横纵坐标符号要对应准确，避免符号错误导致最终面积结果出错。 【典例3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点P在上，点B在上．轴于点A，则的面积为 _______ ． 【变式3-1】如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图像于点C．P为y轴上一点，连接．则的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．20 【变式3-2】．反比例函数和在第一象限的图像如图所示，点A在函数图像上，点B在函数图像上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】已知反比例y=(x>0)与y=−(x>0)的图像如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数y= (x>0)与y=− (x>0)的图像于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE=AC，则四边形ACDE的面积为______． 【模块四】双反比例函数中等积变形 和单反比例函数问题中的应用逻辑一致，我们可以利用平行线间等积转换的性质，将双反比例函数背景下位置不规则的图形转化为贴合我们现有结论的规则图形，简化计算过程。 具体来说，当所求图形的某条边和坐标轴平行，但顶点位置特殊不易计算面积时，可通过寻找平行于该边的直线，将图形的顶点沿平行线平移，转化为顶点在坐标轴或反比例函数特殊位置的图形，再套用现有面积模型计算。 应用双反比例函数背景下的等积变形方法，首先要注意确认平行关系，只有顶点平移所在直线与图形的一条边平行，才能保证变形前后图形面积相等，随意平移顶点会直接导致面积结果错误。最后要注意变形后的图形结构，变形后需要能够直接套用已有的面积结论，否则变形不仅无法简化计算，反而会增加解题的步骤量，违背了等积变形方法的应用初衷。 【典例4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图像分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接、，则的面积是___________． 【变式4-2】如图，点M和点N分别是反比例函数（）和（）的图像上的点，轴，点P为x轴上一点，若，则的值为_______． 【变式4-3】如图，点P为函数（x＞0）图像上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图像交于点A、B，则△AOB的面积为_____． 【模块五】 知三角形面积求k 首先，若三角形满足“一边平行于坐标轴，且该边一个顶点在反比例函数图像上，另一个顶点在坐标轴上”的基础结构，可以直接利用k的几何意义：该三角形面积等于，再结合反比例函数所在象限确定k的符号， 若三角形结构不满足上述基础模型，需要先通过等积变形将三角形转化为符合k几何意义的规则三角形，变形时依然要遵循之前所说的平行平移原则，保证变形前后面积不变。 遇到双反比例函数背景下已知三角形面积求k的问题，若满足一条边平行于坐标轴，可以结合已知k的反比例函数利用差模型计算。 最后，求解过程中要注意一定要先确定符号再计算大小，以免出现符号错误。 【典例5】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，已知点在反比例函数上，点B在轴上，点在上且，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为8，的面积为3，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知反比例函数和的图像分别为，，是上一点，过点作轴，垂足为，与交于点．若的面积为，则的值为(    ) A．3 B．5 C．-3 D．-5 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上第一象限上的点，过点A作轴交函数的图像于点B，点C是点A关于原点O中心对称的点，连接、．若的面积为3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，的直角顶点为坐标原点，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，交轴于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【模块六】知四边形面积求k 若四边形满足“一组邻边分别与两条坐标轴平行，且一个顶点位于坐标原点、一个顶点落在反比例函数图像上”的矩形结构，可直接得到四边形面积等于|k|， 若四边形不符合上述规则结构，则要根据四边形的顶点位置选择合适的转化方式：如果四边形存在平行于坐标轴的边，可以先通过割补法拆分出多个可以直接套用k几何意义的三角形或矩形，如果四边形的顶点都落在反比例函数图像上且没有平行于坐标轴的边，则可以采用设点法，先设出已知坐标关系的点坐标，结合反比例函数解析式得到其余顶点坐标，再利用鞋带公式写出面积表达式，结合已知面积条件求解|k|，最后根据象限确定符号。 【典例6】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图像上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图像，直接比较的大小： （填“”，“〈”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【变式6-1】如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图像上，菱形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A． B． C．3 D．4 【变式6-2】如图，点A在x轴上，点C在y轴上，四边形为矩形，双曲线与分别相交于点E，D，连接，四边形的面积为6，则k等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-3】如图，反比例函数的图像经过平行四边形对角线的交点．知，，三点在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C． D． 【模块七】 知阴影部分面积求k 这类问题本质上是规则图形面积问题的变形，求解思路依旧是先拆分阴影部分的图形结构，再结合反比例函数k的几何意义推导计算。如果阴影部分本身就是符合k几何意义的三角形、矩形或平行四边形，则可以直接套用对应的面积公式。如果阴影部分是多个规则图形的组合或不规则图形，则需要利用割补法将其转化为已知面积关系的规则图形，转化过程中要特别注意重叠部分的面积处理，不能重复计算也不能遗漏未覆盖的区域，转化后再结合各部分面积和k的几何意义整理出关于|k|的等式，完成大小计算。 【典例7】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图像上，点B、C在反比例函数（）的图像上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图像上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【变式7-1】如图，点A是反比例函数的图像上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 【变式7-2】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点M，N，与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点B，连接． 若四边形的面积为3，则(   ) A．3 B．-3 C． D．6 【变式7-3】如图，在直角坐标系中，矩形被三条直线分割成六个小矩形，D是边的中点，，反比例函数的图像经过小矩形的顶点F，G，若图中的阴影矩形面积和满足，则k的值为__________． 【模块八】知面积之间的关系求解 所谓面积关系，一般指两个或多个图形面积之间满足的倍数关系、比例关系或者差和为定值的关系，核心求解逻辑是把所有涉及的图形面积都用含有k的代数式表示出来，再根据题目给出的关系列等式求解。如果多个图形都可以直接套用k的几何意义，表示出来的代数式本身就是只含|k|的单项式，代入关系后就可以直接解出|k|的值；如果有不规则图形，则依旧通过割补法将其面积转化为规则图形面积的组合，再把每一个规则图形用含|k|的式子表示，整理后就能得到关于|k|的一元一次或一元二次方程，求解后代入验证即可。 【典例8】（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图像上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图像上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【变式8-1】如图，点，在反比例函数的图像上，点C，D在反比例函数的图像上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，与的面积之和为，则k=_____． 【变式8-2】如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图像上，交轴于点，若，则的值为______． 【变式8-3】如图，正方形的边长为4，A、两点分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为_______． 【模块九】求阴影部分图形面积 核心的求解思路是转化，将不规则的阴影面积转化为可直接计算的规则图形面积，最常用的转化方式就是割补法。首先观察阴影部分的轮廓，如果阴影本身就是符合反比例函数k几何意义的三角形或矩形，可以直接套用面积与|k|的对应关系快速得出结果。 如果阴影部分是不规则图形，就通过作坐标轴平行线的方式，将阴影切割为多个规则的小图形，或者将阴影补全为大的规则图形，再减去多余部分的面积，所有拆分得到的规则图形，都可以用顶点坐标k的几何意义表示出面积，整理后就能得到阴影面积的最终结果。 【典例9】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式9-1】．在反比例函数的图像中，阴影部分的面积不等于6的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，点在反比例函数（）的图像上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则______． 【变式9-3】如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，得直角三角形，，，，并设其面积分别为，，，，则的值为______． 【模块十】确定面积之间的关系 首先，我们需要明确各个图形的面积和反比例函数|k|的对应关系，若图形是顶点在反比例函数图像上、边与坐标轴平行的三角形或矩形，可以直接将其面积用|k|的式子表示出来；若涉及多个图形，再按照对应位置写出每个图形面积的表达式，最后根据题目给出的面积关系整理得到对应等式即可。若遇到不规则图形的面积参与关系推导，同样按照割补转化的思路，先将不规则面积转化为多个规则图形面积的和差，再将每部分规则图形的面积用含|k|的代数式表示，代入给出的面积关系就能推导出对应结论。 【典例10】如图，过反比例函数图像上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为_____________． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，轴，交函数的图像于点，轴交的延长线于点，随着m的增大，的面积（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值12.5 D．等于定值6.25 【变式10-2】在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y=(x>0)的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM=2DM，连接OM，ON，MN，则（    ） A． B． C． D．1 【变式10-3】如图，的一条直角边在轴上，双曲线与的斜边相交于点C，与另一直角边相交于点．若，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】反比函数求图形面积的“设而不求” 设而不求法一般应用在多个交点坐标中存在未知参数，直接计算坐标会让运算变得十分复杂的场景。我们先设出交点坐标，再结合反比例函数解析式找到横纵坐标乘积满足的关系，最后利用这个关系转化面积表达式，就能消去未知参数得到面积结果。 具体来说，若两条直线和反比例函数图像有多个交点，我们先设出每个交点的坐标，每一个交点都满足xy=k，在计算三角形或者四边形面积时，我们通常会用到坐标差的乘积，把xy=k代入之后，大部分未知参数会抵消，剩下的就是只含k的表达式，化简后就能直接得到面积结果。 【典例11】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，反比例函数（）的图像经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 【变式11-1】如图，函数和的图像分别是l1和l2，设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，△PAB的面积为____． 【变式11-2】如图，反比例函数与矩形一边交于点E，且点E为线段中点，若的面积为3，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-3】如图，点，在轴的正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图像经过的中点．若的面积为1，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 压轴拓展·素养提升 【压轴一】反比函数背景下的规律探索 这类问题通常围绕反比例函数图象与坐标轴平行的线段、多个直角三角形或矩形的面积变化、线段长度的递推关系展开命题，解题核心是先计算前1--3个特殊情形下的对应数值，总结出数值变化规律后，再推广到一般情形得到结论。 我们可以从已知条件出发，先设出初始点的坐标，结合反比例函数解析式计算出第一个图形的边长或面积，再根据题目给出的位置关系，依次写出后续点坐标满足的关系，重复代入解析式计算，就能找出每次计算过程中不变的规律，再将规律推广到第n个情形得到一般表达式。 【典例12】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图像上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【变式12-1】如图所示，在x轴的正半轴上依次截取，过分别作x轴的垂线与反比例函数的图像交于点，并设面积分别为，按此作法进行下去，的值为（　　）（n为正整数） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，点，，，…在x轴上，且，分别过点，，，…作y轴的平行线与反比例函数的图像分别交于点，，，…，分别过点，，，…作x轴的平行线，分别与y轴交于点，，，…，连接，，，…，那么图中从左到右第2023个阴影部分的面积为______． 【变式12-3】如图，在x轴正半轴上依次截取，过点、、、、分别作x轴的垂线，与反比例函数的图像依次相交于、、，…、、，得到直角三角形、、，并设其面积分别为、、，则的值为（    ） A． B． C． D． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.如图，点是反比例函数（，）的图像上任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积等于3，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．3 2．如图，B是反比例函数的图像上一点，A、C在坐标轴上，四边形是矩形，则的面积是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．6 3.如图，A，B两点在函数图像上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，面积分别记为，，则______．（    ） A．> B． C．< D．不确定 4.如图，已知双曲线与矩形的对角线相交于点D，若，矩形的面积为，则k等于（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 5.如图，双曲线经过斜边上的点，与直角边相交于点，已知，的面积为5，则的值是（　　） A．12 B．24 C．5 D．10 二 填空题 6.如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ． 7.如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图像依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    8.如图，点A、B是反比例函数（）图像上的两个点，在△AOB中，OA=OB,BD垂直于轴,垂足为D，且AB=2BD,则△AOB的面积为 . 9.如图，点，在反比例函数的图像上，过点，作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，若，的面积为，则的值为____． 10.如图，为反比例函数上一点，延长至，使得，过作轴垂线交反比例函数图像于点，若，则___________； 三解答题 11.如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 12如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图像上，AB交该图像于点C，连接OC． (1)求k的值； (2)求△OAC的面积． 13.如图，A、B是反比例函数的图像上关于原点O对称的两点，点C是y轴负半轴上一点，直线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD，若点C的坐标是（0，﹣2），且△ABD的面积为5，求k的值和B点坐标． 14.如图，A是反比例函数图像上一点，过点A作轴于点B，点C在x轴上，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知，点在该反比例函数的图像上，点Q是x轴上一动点，若最小，求点Q的坐标． 15如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题01 反比例函数中k的几何意义》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 单反比例函数中由模型求面积 模块8知面积之间的关系求解 模块2 单反比例函数中等积变形 模块9求阴影部分图形面积 模块3 双反比例函数中由模型求面积 模块10确定面积之间的关系 模块4 双反比例函数中等积变形 微专题1反比函数求图形面积的“设而不求” 模块5 知三角形面积求k 压轴1反比函数背景下的规律探索 模块6知四边形面积求k 通关检测·实战演练 模块7知阴影部分面积求k 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 k的几何意义——单反比例函数 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 模型3：等积转化 图示 结论 ， 知识点2 k的几何意义——双反比例函数 类型 模型1：一点双垂 模型2：一点单垂 图示 结论 模块通关·举一反 三 【模块一】单反比例函数中由模型求面积 先从最基础的单点模型入手梳理：对于单个反比例函数图象，已知过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|，所得直角三角形的面积为，这是利用k的几何意义直接求解面积的核心依据。 使用这一结论时，首先要明确点的位置，若点在第一、三象限，k为正，直接计算即可；若点在第二、四象限，k为负，计算面积时一定要加上绝对值，避免出现面积为负的错误结果。对于三角形面积，若三角形一边在坐标轴上，顶点在反比例函数图像上，面积可直接套用得到，若三角形的三个顶点都不在坐标轴上，则需要先对图形进行拆分，将不规则图形转化为多个可以套k几何意义的规则图形，再通过和差计算得到最终面积。 【典例1】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，点P是反比例函数图像上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【分析】 利用点P在第二象限及矩形面积等于 的性质确定 值． 【详解】解：设点的坐标为 ， 点在第二象限， ，， ∴，即 ， 过点 分别作 轴、 轴的垂线段， 矩形的长为 ，宽为 ， 矩形面积 ， ，即， ， ． 【变式1-1】如图，过反比例函数图像上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设与的交点为，与梯形的面积分别为、，比较它们的大小，可得（   ） A． B． C． D．、的大小关系不能确定 【答案】C 【分析】根据点在反比例函数图像上结合反比例函数系数k的几何意义即可得出，再根据 即可得出，此题得解． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 、在反比例函数上， ，， ；． ， ， 即． 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用分割图形求面积法找出是解题的关键． 【变式1-2】若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】选项A中，阴影面积，故选项A不符合题意； 选项B中，阴影面积为，故选项B符合题意； 选项C中，阴影面积为，故选项C不符合题意； 选项D中，阴影面积为，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积． 【变式1-3】如图，、是反比例函数图像上两点，连接、，则的面积为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的坐标特征得到，解得；由反比例函数系数k的几何意义，根据求得即可． 【详解】解：点、是函数图像上的两点， ∴， 解得， ∴、， 作轴于M，轴于N， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图像上点的坐标特征，根据图像得到是解题的关键． 【模块二】单反比例函数中等积变形 与常规面积计算类似，反比例函数面积问题中的等积变形，核心是利用平行线间的距离处处相等，将所求面积转化为可直接利用k的几何意义计算的规则图形面积。具体来说，当所求三角形某一边平行于坐标轴，而顶点恰好落在反比例函数图像上时，我们可以通过平移三角形的顶点，保持顶点所在平行线不动，将三角形顶点转移到反比例函数图像上便于计算的位置，此时三角形面积不会发生改变，即可直接套用已有模型的结论计算。 应用等积变形方法求解时，首先要确认变形前后的图形面积确实保持相等，关键是保证顶点所在直线与已知边平行，不能随意进行顶点转移，否则会改变图形面积大小，得到错误结果。其次，变形后的图形要尽量贴合我们熟悉的基础模型，要保证变形后的图形可以直接利用k的几何意义计算面积，否则变形就失去了简化计算的意义。 【典例2】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据三角形底和高之间的关系，可求，，再根据的几何意义，即可求解． 【详解】解： 轴，，的面积为3， ， 正比例函数与反比例函数的图像相交于、两点， ， ， ， ，解得， 反比例函数的图像过一、三象限， ． 【变式2-1】如图，点A是反比例函数的图像上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______． 【答案】6 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图像上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 【变式2-2】（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，点A是反比例函数图像上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B．以为边作平行四边形，其中C，D在x轴上，则四边形的面积为______． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数的几何意义，连接、，由平行四边形的性质可得，，再结合反比例函数的的几何意义得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点A是反比例函数图像上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，，是反比例函数在第一象限内的图像上的两点，且，两点的横坐标分别是和，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数图像上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，3），B（3，2）．再过A，B两点分别作轴于C，轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出，根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=，从而得出． 【详解】解：解：∵A，B是反比例函数在第一象限内的图像上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和3， ∴当x=2时，y=3，即A（2，3），当x=3时，y=2，即B（3，2）， 如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×6=3． ∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB=S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC=， ∴S△AOB=2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．也考查了反比例函数图像上点的坐标特征，梯形的面积．解题的关键是根据题意得出S△AOB=S梯形ABDC． 【模块三】双反比例函数中由模型求面积 按照图形结构将双反比例函数面积问题分为两类，对应不同的求解思路。第一类是顶点分别落在两条反比例函数图像上，且存在边平行于坐标轴的矩形或三角形，这类图形可以直接套用固定模型：当两个顶点分别落在两条反比例函数图像上时，矩形面积直接为，同底三角形面积直接为，不需要再分步计算各点坐标推导面积。 使用这类模型结论计算时，有两点需要格外注意：第一，不能忽略k的符号，当反比例函数分属不同象限时，k1和k2符号相反，计算差的绝对值时要保留符号再运算，不能直接将二者的绝对值相减，否则会得到倍数错误的结果；第二，必须先验证图形结构，若图形不满足平行坐标轴的结构条件，不能强行套用上述结论，应当利用割补法拆分图形，再结合单个反比例函数\k的几何意义逐块计算面积后求和或求差，计算过程中还要注意避免重复计算拆分后图形的公共部分。 如果遇到非规则结构的双反比例函数面积问题，除了割补法之外，也可以通过设点法求解：设出其中一条反比例函数上一个点的坐标，再结合图形的位置关系推导出其余点的坐标，最后利用坐标法计算图形面积。这种方法虽然计算步骤稍多，但通用性更强，对任意结构的双反比例函数面积问题都适用，不容易出现模型套用错误的问题。使用设点法时，要注意坐标符号和点的位置对应，第二、四象限的点横纵坐标符号要对应准确，避免符号错误导致最终面积结果出错。 【典例3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点P在上，点B在上．轴于点A，则的面积为 _______ ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，熟练掌握“在反比例函数 y＝图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 由反比例函数系数k的几何意义分别求出，，再根据面积的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵点P在上，点B在上．轴于点A， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【变式3-1】如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图像于点C．P为y轴上一点，连接．则的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】A 【分析】连接OA，OC，利用，结合三角形面积公式解题． 【详解】解：连接OA，OC， 点P在y轴上，轴，则 点A在反比例函数的图像上，点C在反比例函数的图像上，轴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式3-2】．反比例函数和在第一象限的图像如图所示，点A在函数图像上，点B在函数图像上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△ABC，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAD=3，S△OBD=2，即可求得S△OAB=S△OAD-S△OBD=1． 【详解】连结OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图， ∵AB∥y轴， ∴AD⊥x轴，OC∥AB， ∴S△OAB=S△ABC， 而S△OAD=×6=3，S△OBD=×4=2， ∴S△OAB=S△OAD﹣S△OBD=1， ∴S△ABC=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【变式3-3】已知反比例y=(x>0)与y=−(x>0)的图像如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数y= (x>0)与y=− (x>0)的图像于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE=AC，则四边形ACDE的面积为______． 【答案】7 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB=2，S△BOC=，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S△ADC =S△AOC，由平行四边形的面积公式进而求出答案 【详解】解：连接AD、OA、OC， ∵AC∥y轴，DE=AC， ∴四边形ACDE为平行四边形， ∴S四边形ACDE=2S△ADC， ∵AC∥y轴，∴S△ADC =S△AOC， 由反比例函数系数k的几何意义得， S△AOB=|4|=2，S△BOC=|-3|=，　 ∴S△AOC=S△AOB+S△BOC=， ∴S四边形ACDE=2S△AOC=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确应用的前提． 【模块四】双反比例函数中等积变形 和单反比例函数问题中的应用逻辑一致，我们可以利用平行线间等积转换的性质，将双反比例函数背景下位置不规则的图形转化为贴合我们现有结论的规则图形，简化计算过程。 具体来说，当所求图形的某条边和坐标轴平行，但顶点位置特殊不易计算面积时，可通过寻找平行于该边的直线，将图形的顶点沿平行线平移，转化为顶点在坐标轴或反比例函数特殊位置的图形，再套用现有面积模型计算。 应用双反比例函数背景下的等积变形方法，首先要注意确认平行关系，只有顶点平移所在直线与图形的一条边平行，才能保证变形前后图形面积相等，随意平移顶点会直接导致面积结果错误。最后要注意变形后的图形结构，变形后需要能够直接套用已有的面积结论，否则变形不仅无法简化计算，反而会增加解题的步骤量，违背了等积变形方法的应用初衷。 【典例4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图像分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，连接，，设与轴交于点，由平行线间的距离可得，然后由，，，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：． 【变式4-1】如图，直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接、，则的面积是___________． 【答案】5 【分析】依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别过A、B两点，即可得到，，进而得出的面积为5． 【详解】解：如图，连接，， ∵轴， ∴与的面积相等， 又∵反比例函数和的图像分别过A、B两点， ∴，， ∴， ∴的面积5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【变式4-2】如图，点M和点N分别是反比例函数（）和（）的图像上的点，轴，点P为x轴上一点，若，则的值为_______． 【答案】 【分析】连接，利用轴，可以得到，再利用反比例函数的几何意义，和，列式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴ ， ∵点和点分别是反比例的数和 的图像上的点， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义．熟练掌握值的几何意义：双曲线上一点往坐标轴引垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是，是解题的关键． 【变式4-3】如图，点P为函数（x＞0）图像上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图像交于点A、B，则△AOB的面积为_____． 【答案】 【分析】作AD⊥x轴于D，BP交x轴于C，如图，设P（t，），则可表示出B（t，），A（6t，），利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OBC＝S△OAD，则S△AOB＝S梯形ABCD，然后利用梯形的面积公式计算． 【详解】解：作AD⊥x轴于D，BP交x轴于C，如图， 设P（t，）， ∵PA∥x轴，PB∥y轴， ∴B（t，），A（6t，）， ∵S△OBC+S梯形ABCD＝S△OAD+S△AOB， 而S△OBC＝S△OAD， ∴S△AOB＝S梯形ABCD （）（6t﹣t) ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了反比函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【模块五】 知三角形面积求k 首先，若三角形满足“一边平行于坐标轴，且该边一个顶点在反比例函数图像上，另一个顶点在坐标轴上”的基础结构，可以直接利用k的几何意义：该三角形面积等于，再结合反比例函数所在象限确定k的符号， 若三角形结构不满足上述基础模型，需要先通过等积变形将三角形转化为符合k几何意义的规则三角形，变形时依然要遵循之前所说的平行平移原则，保证变形前后面积不变。 遇到双反比例函数背景下已知三角形面积求k的问题，若满足一条边平行于坐标轴，可以结合已知k的反比例函数利用差模型计算。 最后，求解过程中要注意一定要先确定符号再计算大小，以免出现符号错误。 【典例5】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，已知点在反比例函数上，点B在轴上，点在上且，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为8，的面积为3，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据，的面积为3，求得与，再根据的面积为8， 求得，从而可求得，再利用，求得，从而可得出，根据，求得． 【详解】解：连接、， ∵，的面积为3， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故选：C． 【变式5-1】如图，已知反比例函数和的图像分别为，，是上一点，过点作轴，垂足为，与交于点．若的面积为，则的值为(    ) A．3 B．5 C．-3 D．-5 【答案】D 【分析】根据，得出，结合函数图像即可求解． 【详解】解：， ∴， ， 反比例函数图像位于第二象限， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上第一象限上的点，过点A作轴交函数的图像于点B，点C是点A关于原点O中心对称的点，连接、．若的面积为3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再利用反比例函数系数k的几何意义求得，得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交轴于点D， ∵点C是点A关于原点O中心对称的点， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数图像上第一象限上的点，且轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键． 【变式5-3】如图，的直角顶点为坐标原点，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，交轴于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点M，轴于点N，先证，推出，，由反比例函数的图像和性质可得，进而求出，即可得出k的值． 【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点N， 则， ， 中， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图像上， ， ， 点在反比例函数的图像上， ， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解反比例函数比例系数k的几何意义． 【模块六】知四边形面积求k 若四边形满足“一组邻边分别与两条坐标轴平行，且一个顶点位于坐标原点、一个顶点落在反比例函数图像上”的矩形结构，可直接得到四边形面积等于|k|， 若四边形不符合上述规则结构，则要根据四边形的顶点位置选择合适的转化方式：如果四边形存在平行于坐标轴的边，可以先通过割补法拆分出多个可以直接套用k几何意义的三角形或矩形，如果四边形的顶点都落在反比例函数图像上且没有平行于坐标轴的边，则可以采用设点法，先设出已知坐标关系的点坐标，结合反比例函数解析式得到其余顶点坐标，再利用鞋带公式写出面积表达式，结合已知面积条件求解|k|，最后根据象限确定符号。 【典例6】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图像上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图像，直接比较的大小： （填“”，“〈”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将两点横坐标代入函数，求出，再根据比较大小； （2）先四边形是矩形，再说明，，然后四边形的面积为，求出的值． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图像上， ∴，， ， ∴， 即， 故答案为： （2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，解得：， ∴， 又在函数的图像上， ∴． 【变式6-1】如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图像上，菱形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点C作于点D，根据菱形的性质，可得，，根据菱形的面积，可得的面积，根据反比例函数系数k的几何意义，可得k的值． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示： 在菱形中，， ∴， ∵菱形的面积为4，点B在y轴的正半轴上， ∴的面积为2， ∴的面积为1， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义和菱形的性质是解题的关键． 【变式6-2】如图，点A在x轴上，点C在y轴上，四边形为矩形，双曲线与分别相交于点E，D，连接，四边形的面积为6，则k等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先用k的式子表示矩形的面积，根据得到，解方程即可解题． 【详解】解：连接， ∵点E，D在双曲线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的解析式，掌握反比例函数的比例系数几何意义是解题的关键． 【变式6-3】如图，反比例函数的图像经过平行四边形对角线的交点．知，，三点在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的几何意义和平行四边形的面积为6，建立关于的方程，再利用图像所在的象限，即可求出． 【详解】解：平行四边形的面积为， ∵平行四边形对角线的交点， ∴， ∴, ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵图像位于第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图像中的几何意义、矩形的判定与性质等内容， 解题关键是理解题意，能利用面积关系得到关于的方程． 【模块七】 知阴影部分面积求k 这类问题本质上是规则图形面积问题的变形，求解思路依旧是先拆分阴影部分的图形结构，再结合反比例函数k的几何意义推导计算。如果阴影部分本身就是符合k几何意义的三角形、矩形或平行四边形，则可以直接套用对应的面积公式。如果阴影部分是多个规则图形的组合或不规则图形，则需要利用割补法将其转化为已知面积关系的规则图形，转化过程中要特别注意重叠部分的面积处理，不能重复计算也不能遗漏未覆盖的区域，转化后再结合各部分面积和k的几何意义整理出关于|k|的等式，完成大小计算。 【典例7】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图像上，点B、C在反比例函数（）的图像上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图像上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【答案】 6 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． （1）延长交轴于点，求得，，据此即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图像上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图像上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：（1）延长交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴; 故答案为：； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图像上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【变式7-1】如图，点A是反比例函数的图像上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 【答案】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【变式7-2】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点M，N，与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点B，连接． 若四边形的面积为3，则(   ) A．3 B．-3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：∵、的图像均在第一象限， ∴，， ∵点M、N均在反比例函数（是非零常数，）的图像上， ∴， ∵矩形的顶点B在反比例函数（是非零常数，）的图像上， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【变式7-3】如图，在直角坐标系中，矩形被三条直线分割成六个小矩形，D是边的中点，，反比例函数的图像经过小矩形的顶点F，G，若图中的阴影矩形面积和满足，则k的值为__________． 【答案】24 【分析】设，则然后表示出，再分别用k表示出，最后代入解关于k的方程即可． 【详解】解：设，则 ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：． 故答案为24． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像、解一元一次方程、坐标与图形等知识，巧妙设点坐标，正确用k表示出是解答本题的关键． 【模块八】知面积之间的关系求解 所谓面积关系，一般指两个或多个图形面积之间满足的倍数关系、比例关系或者差和为定值的关系，核心求解逻辑是把所有涉及的图形面积都用含有k的代数式表示出来，再根据题目给出的关系列等式求解。如果多个图形都可以直接套用k的几何意义，表示出来的代数式本身就是只含|k|的单项式，代入关系后就可以直接解出|k|的值；如果有不规则图形，则依旧通过割补法将其面积转化为规则图形面积的组合，再把每一个规则图形用含|k|的式子表示，整理后就能得到关于|k|的一元一次或一元二次方程，求解后代入验证即可。 【典例8】（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图像上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图像上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入，求出，将点代入，即可求解， （2）由反比例函数的几何意义得，由，可得，即可求解， （3）设点坐标为，作轴，用含的代数式表示出的长度，代入，即可求解， 本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数的图像上的两点， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∴，解得：， 故答案为：， （2）解：过点，，作轴，轴，垂足分别为，， 由（1）可知，点，是反比例函数的图像上的两点， ∴，，,，， ∵， ∴， 故答案为：的面积为， （3）解：设点坐标为，过点，作轴，垂足为， ∴，， ∴， 即：，解得：或， ∴或， 故答案为：点的坐标为或． 【变式8-1】如图，点，在反比例函数的图像上，点C，D在反比例函数的图像上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，与的面积之和为，则k=_____． 【答案】4 【分析】由题意，可得，，，，则面积，的面积，根据与的面积之和为，即可得出的值． 【详解】解：轴，已知点，的横坐标分别为1；2， ，，，， 面积，的面积， 与的面积之和为， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，三角形面积的计算，解题的关键是用表示出与的面积． 【变式8-2】如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图像上，交轴于点，若，则的值为______． 【答案】6 【分析】过点作轴于，根据面积比得出，进而得出点C的坐标，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于， ， ， ， 点在轴的负半轴上， ， ， 点C的坐标为， 点在反比例函数的图像上， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形面积公式，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题关键． 【变式8-3】如图，正方形的边长为4，A、两点分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，易证，得到，利用勾股定理求得，进而得到，作轴于点H，得到是等腰直角三角形，求出，得到点Q的坐标即可求出的值． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， 与的相似比为， ， 在中，， ， 作轴于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， 函数的图像经过点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似的判定和性质、勾股定理、待定系数法等知识，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 【模块九】求阴影部分图形面积 核心的求解思路是转化，将不规则的阴影面积转化为可直接计算的规则图形面积，最常用的转化方式就是割补法。首先观察阴影部分的轮廓，如果阴影本身就是符合反比例函数k几何意义的三角形或矩形，可以直接套用面积与|k|的对应关系快速得出结果。 如果阴影部分是不规则图形，就通过作坐标轴平行线的方式，将阴影切割为多个规则的小图形，或者将阴影补全为大的规则图形，再减去多余部分的面积，所有拆分得到的规则图形，都可以用顶点坐标k的几何意义表示出面积，整理后就能得到阴影面积的最终结果。 【典例9】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则， 故选： C． 【变式9-1】．在反比例函数的图像中，阴影部分的面积不等于6的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数中k的几何意义，结合图形，对选项一一进行分析计算，即可得出答案． 【详解】解：A、阴影部分的面积为，故不符合题意； B.阴影部分的面积为，故符合题意； C.阴影部分的面积为，故不符合题意； D.阴影部分的面积为，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，充分利用数形结合思想解答是解本题的关键． 【变式9-2】如图，点在反比例函数（）的图像上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则______． 【答案】 【分析】利用反比例函数图像上点的坐标特征确定，再利用平移把阴影部分转化为一个矩形的面积，然后利用两矩形的面积差求解． 【详解】解：根据题意得： 当时，，则， 当时，，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数图像上点的坐标特征． 【变式9-3】如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，得直角三角形，，，，并设其面积分别为，，，，则的值为______． 【答案】/0.25 【分析】连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点，，，是反比例函数的图像上的点，都垂直于x轴， ∴， ∵， ∴，，． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键． 【模块十】确定面积之间的关系 首先，我们需要明确各个图形的面积和反比例函数|k|的对应关系，若图形是顶点在反比例函数图像上、边与坐标轴平行的三角形或矩形，可以直接将其面积用|k|的式子表示出来；若涉及多个图形，再按照对应位置写出每个图形面积的表达式，最后根据题目给出的面积关系整理得到对应等式即可。若遇到不规则图形的面积参与关系推导，同样按照割补转化的思路，先将不规则面积转化为多个规则图形面积的和差，再将每部分规则图形的面积用含|k|的代数式表示，代入给出的面积关系就能推导出对应结论。 【典例10】如图，过反比例函数图像上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为_____________． 【答案】． 【分析】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m，由点，，，都在反比例函数图像上，可求得，，，，根据矩形的面积公式可得，，，，由此即可得． 【详解】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m， ∵点，，，都在反比例函数图像上， ∴，，，， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，根据反比例函数图像上点的特征求得、、、是解决问题的关键． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，轴，交函数的图像于点，轴交的延长线于点，随着m的增大，的面积（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值12.5 D．等于定值6.25 【答案】D 【分析】根据反比例函数的几何意义得出，，即可得出，从而得出，通过证得，得出，即可得出． 【详解】如图， 由题意可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积等于定值6.25． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用相似三角形面积比等于相似比的平方是解决本题的关键． 【变式10-2】在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y=(x>0)的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM=2DM，连接OM，ON，MN，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，由于点M、N是反比例函数y=图像上的点，故可得出，所以，设点M（t，），则C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（3t，），再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E， ∵点M、N是反比例函数y=图像上的点， ∴， ∴， 设点M（t，），则C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（3t，）， ∴=CM•CN=•2t•（-）=； =（ME+BN)•BE=（+）•2t=， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质等相关知识．解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标、相关线段的长度． 【变式10-3】如图，的一条直角边在轴上，双曲线与的斜边相交于点C，与另一直角边相交于点．若，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 是个定值，即，利用即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为， 与在反比例函数图像上， ， ， ， 中，， ， , ． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比函数的几何意义，过图像上的任意一点作轴、轴的垂线，所得三角形 专题攻坚·多题归一 【微专题一】反比函数求图形面积的“设而不求” 设而不求法一般应用在多个交点坐标中存在未知参数，直接计算坐标会让运算变得十分复杂的场景。我们先设出交点坐标，再结合反比例函数解析式找到横纵坐标乘积满足的关系，最后利用这个关系转化面积表达式，就能消去未知参数得到面积结果。 具体来说，若两条直线和反比例函数图像有多个交点，我们先设出每个交点的坐标，每一个交点都满足xy=k，在计算三角形或者四边形面积时，我们通常会用到坐标差的乘积，把xy=k代入之后，大部分未知参数会抵消，剩下的就是只含k的表达式，化简后就能直接得到面积结果。 【典例11】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，反比例函数（）的图像经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图像性质及k值的计算，运用的面积是6，设点坐标建立相关方程是解题的关键．设，由已知条件得到，，再根据建立关于k的方程，解方程即可求得k值． 【详解】解：∵反比例函数（）的图像经过A点， ∴设， ∵D为的中点，， ∴， ∵轴，垂足为C，交于点D， ∴， ∵反比例函数（）的图像经过B点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：16． 【变式11-1】如图，函数和的图像分别是l1和l2，设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，△PAB的面积为____． 【答案】 【分析】设点，则点，得到BP与AP的长，最后求得△ABP的面积． 【详解】解：设点，则点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像上点的坐标特征，直角三角形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图像上点的坐标的特征． 【变式11-2】如图，反比例函数与矩形一边交于点E，且点E为线段中点，若的面积为3，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出D或E的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设B点的坐标为，则D的坐标为， ∵E为线段的中点， ∴， ∵D、E在反比例函数的图像上， ∴， ∵ ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型． 【变式11-3】如图，点，在轴的正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图像经过的中点．若的面积为1，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意设点坐标为，则，根据的面积为1，，得到，解得． 【详解】解：∵四边形是矩形，为的中点， ∴，， 设，则，， ∴，则， ∴， ∵的面积为1，即：， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点坐标为，然后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】反比函数背景下的规律探索 这类问题通常围绕反比例函数图象与坐标轴平行的线段、多个直角三角形或矩形的面积变化、线段长度的递推关系展开命题，解题核心是先计算前1--3个特殊情形下的对应数值，总结出数值变化规律后，再推广到一般情形得到结论。 我们可以从已知条件出发，先设出初始点的坐标，结合反比例函数解析式计算出第一个图形的边长或面积，再根据题目给出的位置关系，依次写出后续点坐标满足的关系，重复代入解析式计算，就能找出每次计算过程中不变的规律，再将规律推广到第n个情形得到一般表达式。 【典例12】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图像上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图像性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 【变式12-1】如图所示，在x轴的正半轴上依次截取，过分别作x轴的垂线与反比例函数的图像交于点，并设面积分别为，按此作法进行下去，的值为（　　）（n为正整数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数中k的几何意义再结合图像即可解答． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，． 又因为， 所以，，，，．， 以此类推：的值为． 故选：D． 【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即． 【变式12-2】如图，点，，，…在x轴上，且，分别过点，，，…作y轴的平行线与反比例函数的图像分别交于点，，，…，分别过点，，，…作x轴的平行线，分别与y轴交于点，，，…，连接，，，…，那么图中从左到右第2023个阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，则有，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论． 【详解】解：根据题意可知， ∵轴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为 则， ∵， ∴，， ∴， ∴第n的阴影部分的面积是：， ∴图中从左到右第2023个阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的． 【变式12-3】如图，在x轴正半轴上依次截取，过点、、、、分别作x轴的垂线，与反比例函数的图像依次相交于、、，…、、，得到直角三角形、、，并设其面积分别为、、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到，，，，，然后根据三角形面积公式可计算出． 【详解】解：设，则，，，，， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数图像上点的坐标特征． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.如图，点是反比例函数（，）的图像上任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积等于3，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】根据反比例函数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵的面积等于3，， 即， ∴， 而，， ∴ 又观察图像可得：，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握几何意义与图形面积以及坐标的关系是解题关键． 2．如图，B是反比例函数的图像上一点，A、C在坐标轴上，四边形是矩形，则的面积是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设，得到，根据矩形面积公式和矩形的性质求解即可． 【详解】∵B是反比例函数的图像上一点， ∴设，即， ∴， ∴矩形的面积为， ∴的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，掌握知识点：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解k的几何含义是解题关键． 3.如图，A，B两点在函数图像上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，面积分别记为，，则______．（    ） A．> B． C．< D．不确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵A，B两点在函数图像上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 4.如图，已知双曲线与矩形的对角线相交于点D，若，矩形的面积为，则k等于（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】设D的坐标是，则B的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把D的坐标代入函数解析式即可求得k的值． 【详解】解：设D的坐标是，则B的坐标是． ∵矩形的面积为， ∴， ∴． 把D的坐标代入函数解析式得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 5.如图，双曲线经过斜边上的点，与直角边相交于点，已知，的面积为5，则的值是（　　） A．12 B．24 C．5 D．10 【答案】A 【分析】过点作轴于点，则，得出，设点坐标为，分别表示出点的坐标，点的坐标，根据已知条件，以及根据反比例数的的几何意义即可求解． 【详解】如图，过点作轴于点，则， ∴ 又∵． 设点坐标为，则． ∴， ． ∴点坐标为 ∴点的横坐标为，设点的纵坐标为， ∵点与点都在图像上， ． ∴， ∴点坐标为()． ∵的面积为， ∴的面积为． ∴的面积为． ∴， 即． ∴． ∴． 故选A 【点睛】本题考查了已知三角形的面积求反比例函数系数，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键． 二 填空题 6.如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得，即可求得结果． 【详解】解：∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 7.如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图像依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和，的面积即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的k值与矩形和三角形的面积关系． 8.如图，点A、B是反比例函数（）图像上的两个点，在△AOB中，OA=OB,BD垂直于轴,垂足为D，且AB=2BD,则△AOB的面积为 . 【答案】3 【详解】作OC⊥AB于C点， ∵OA=OB， ∴AC=CB， ∵AB=2BD， ∴BC=BD， ∵∠BDO=∠BCO=90°，OB=OB， ∴△OCB≌△ODB， ∵S△OBD=3/2， ∴S△OAB=2S△OBC=2×3/2=3． 故答案为3． 9.如图，点，在反比例函数的图像上，过点，作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，若，的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】设的长度为a，利用反比例函数解析式表示出的长度，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解． 【详解】解：设， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故答案为：4 【点睛】本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用的长度表示出、的长度，相乘恰好只剩下k是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题． 10.如图，为反比例函数上一点，延长至，使得，过作轴垂线交反比例函数图像于点，若，则___________； 【答案】/0.75 【分析】连接，过点作轴于点，延长交轴于点，证得，设，可用含的代数式表示各边，，再由，即可解得的值． 【详解】解：连接，过点作轴于点，延长交轴于点， 在和中， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点、都在反比例函数上， 设，则 ∴，，，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与三角形的综合问题，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，通过添加辅助线求解． 三解答题 11.如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 【答案】S△AOB＝． 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAP=，S△OBP=＝2， ∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP=+2=． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型． 12如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图像上，AB交该图像于点C，连接OC． (1)求k的值； (2)求△OAC的面积． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点的坐标，再根据反比例函数图像上点的坐标特征求出； （2）由反比例函数解析式求出点的纵坐标，进而求出的长，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 点在反比例函数的图像上， ； （2）解：由题意得，点的横坐标为6， 点的纵坐标为：， ， 的面积． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出的长度． 13.如图，A、B是反比例函数的图像上关于原点O对称的两点，点C是y轴负半轴上一点，直线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD，若点C的坐标是（0，﹣2），且△ABD的面积为5，求k的值和B点坐标． 【答案】，， 【分析】设，由题意可知，再由，则有，即可求的值；再由点是线段的中点，可得，所以，求出，即可求点坐标． 【详解】解：设， 、关于原点对称， ， ，， 点在反比例函数的图像上， ， ， ； 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义，灵活运用三角形中点与三角形面积的关系是解题的关键． 14.如图，A是反比例函数图像上一点，过点A作轴于点B，点C在x轴上，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知，点在该反比例函数的图像上，点Q是x轴上一动点，若最小，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，所以的面积的面积，然后根据反比例函数中k的几何意义知的面积，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式； （2）作点P关于x轴的对称点，连接与x轴交于点Q，此时最小，由点A、的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征即可求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：连接， ∵的面积的面积，的面积， ∴， ∴； 又∵反比例函数的图像的一支位于第一象限， ∴， ∴． ∴这个反比例函数的解析式为； （2)∵， ∴设， ∵反比例函数经过点A， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入得， ， ∴． 作点P关于x轴的对称点，连接与x轴交于点Q，此时最小， 设过A，的直线表达式为， ∴， 解得， ∴过A，的直线表达式为． 由，得． ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征；解（1）的关键是掌握待定系数法；解（2）的关键是利用轴对称的性质确定点Q的位置． 15如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）依据△AOB的面积是3，即可得到mn=6，进而得出k的值； （2）延长DC交x轴于E，依据四边形ABED是矩形，即可得到DE=AB=n，CE=n-m，OE=m+n，进而得到C（m+n，n-m），根据点A，C都在双曲线上，即可得到mn=（m+n）（n-m），进而得出的值． 【详解】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB的面积是3， ∴mn＝3， ∴mn＝6， ∵点A在双曲线y＝上， ∴k＝mn＝6; （2）如图，延长DC交x轴于E， 由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°， ∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°， ∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n， ∴C（m+n，n﹣m）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴mn＝（m+n）（n﹣m）， 即m2+mn﹣n2＝0， 方程两边同时除以n2，得 +﹣1＝0， 解得＝， ∵n＞m＞0， ∴＝． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $