一元一次方程中的比赛积分问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

一元一次方程中的比赛积分问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 知识详解 → 典例与变式 → A 基础通关 → B 难点突破 → C 综合进阶 → D 综合应用 一、知识详解 （一）识表与列一元一次方程 单队的胜场、平场、负场相加等于参赛总场数。积分则是“每类场数×该类每场得分”的和，积分和场数是不同数量，不能混加。先看清表头、单位以及哪些记录可信，再把缺失场数表示出来。 设某队胜场时，只有在平场或负场已知、或另有明确关系时，才可把其他场数写成含的式子。解出后要同时检查场数为非负整数、三类场数之和符合总场数，以及积分确实吻合。 规则本身未知时，也可以只设一个未知数：先利用相同胜场、相同平场或记录差额，求出一种得分，或建立两类得分的明确关系，再列一元一次方程。未给出的“胜分大于平分”等条件不能自行补入。 小例：学校足球赛胜3分、平1分、负0分。一队进行了5场，其中平2场，共得8分，求胜、负场数。 解：设胜场，则负场。负1场。检验记录有效。 （二）积分可达与完整方案 方程的数值解不一定能表示比赛记录，例如半场比赛或负场数都不能接受。求“所有可能情况”时，可以先给胜场一个有限范围，再算出需要的平场、负场，逐项保留符合条件的记录。只举出一种战绩不能证明没有其他情况。 求“至少参加几场”要同时完成两步：较少场数不能达到目标；所提出的最少场数确有一种战绩达到目标。积分处于最低分与最高分之间，也不保证能出现。 小例：学校足球赛胜3分、平1分、负0分。一队参加3场，求总积分恰为8分时的全部战绩。 解：最多胜2场时，即使其他场次全平，最多得分；3场全胜则得9分。因此没有战绩能得到8分。不能把8分直接按平均分分配给每场。 （三）区分规则变化、比赛变化和记录更正 “改规则”是对同一批真实结果重新计分；“取消比赛”改变计入统计的比赛场次；“更正记录”是把错误写法恢复为真实结果。这三种变化的处理顺序必须按题意确定。 同战绩换规则时，可分别计算每场胜、平、负的得分变化，再加总。有的规则使不同结果的分数同时增加，也可能一类增加、另一类减少，因此积分差不一定直接等于胜场数。 取消一场应扣去该场在当前规则下的积分；把误记胜局改为平局，只扣去多算的“胜分−平分”。新增比赛得到的积分应与先前正确积分分开计算。 小例：学校足球赛原按胜3分、平1分、负0分计分。一队的真实记录为2胜1平2负。将同一批比赛改按胜5分、平1分、负0分计分，求新积分。 解：原积分分。每场胜局多2分，两场共多4分，平、负局不变，故新积分11分。直接核验分。 另例：按胜3分、平1分、负0分计分，一场实际平局误记为胜局，错误总分19分。多算分，更正后17分；更正并未增加或减少比赛场数。 （四）联赛中的双方计数 一场实际比赛有两队参加。分出胜负时，各队记录表中合计增加一条胜记录和一条负记录；打平时，合计增加两条平记录。因此各队胜场合计等于负场合计，各队平场合计是实际平局数的2倍，所有参赛场数合计是实际比赛场数的2倍。 计算全体积分时，要按双方合计得分处理。例如胜3分、平1分、负0分的规则下，每场非平局双方共得3分，每场平局双方共得2分。只知道比赛场数不能直接把每场都按3分累计。 小例：某阶段进行了4场比赛，采用胜3分、平1分、负0分规则，各队积分总和11分。求实际平局场数及各队平场数合计。 解：设实际平局场，则非平局场。解得实际平局1场，在两队记录中各记一次，所以平场数合计2场。另有3条胜记录、3条负记录，总参赛记录条，与4场比赛的双方记录数相符。 二、典例与变式 1．典例1（10分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲、乙两队记录见表。（1）求胜一场、平一场各得多少分。（2）丙队参加8场比赛，负2场，共得12分，求丙队胜、平各多少场。 球队 胜/场 平/场 负/场 积分/分 甲 4 2 2 14 乙 2 4 2 10 2．典例1变式1（8分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。记录表如下。经复核，乙队记录中的一场胜局应为平局；甲队记录及两队积分均正确。求胜一场、平一场各得多少分，并写出乙队正确的战绩。 球队 胜/场 平/场 负/场 积分/分 甲 5 1 2 16 乙 3 3 2 10 3．典例1变式2（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。下列6场比赛的记录中不正确的是（　）。 ．2胜2平2负，8分　．3胜1平2负，10分 ．4胜1平1负，13分　．4胜2平0负，15分 4．典例1变式3（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。丁队参加8场比赛，4胜1平3负。戊队也参加8场，积分与丁相同，但胜场少于丁。求戊队胜、平、负各多少场。 5．典例2（10分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队参加6场比赛。（1）若得10分，求胜、平、负场数的所有可能情况。（2）该队总积分不可能是下列哪一个数？．14分　．15分　．16分　．17分。 6．典例2变式1（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队累计获得10分，求该队至少参加几场比赛，并写出达到这一最少场数时的战绩。 7．典例2变式2（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队参加6场比赛得10分，且没有负场。该队胜____场、平____场。 8．典例2变式3（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队已进行4场，2胜1平1负。余下2场全部结束后恰好获得10分，求余下2场的所有可能结果（不区分先后顺序）。 9．典例3（10分） 某学校足球队已完成12场比赛。按胜3分、平1分、负0分计分，共得22分；将同一批比赛改按胜4分、平1分、负0分计分，共得28分。（1）求已完成比赛的胜、平、负场数。（2）该队再参加4场，全部16场均按胜4分、平1分、负0分计分，最终恰好40分，求新增4场的战绩。 10．典例3变式1（6分） 某学校足球队完成12场比赛，其中负2场。按胜3分、平1分、负0分计分，共得22分。将同一批比赛改按胜4分、平2分、负0分计分，求新积分。 11．典例3变式2（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队完成12场共得22分，其中与一支退出球队进行的两场比赛记录被取消。取消后保留10场，共得18分。求被取消两场比赛的结果（不区分先后顺序）。 12．典例3变式3（8分） 某学校足球赛规定：胜一场得4分，平一场得1分，负一场得0分。某队已完成12场，按记录算得28分。复核发现一场实际为平局却误记为胜局，其他记录正确。（1）求正确积分。（2）该队另有4场未赛，最终16场仍按上述规则计分，求总积分恰好40分时余下4场的所有可能战绩。 三、A 基础通关 13．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲、乙各进行了6场比赛。甲比乙多胜1场、少平1场，两队负场数相同。甲比乙多得（　）分。 ．1　．2　．3　．4 14．填空（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队的记录为3胜2平1负，工作人员只漏记了一场比赛的积分，其余积分计算正确，记录的总积分为10分。被漏记积分的这场比赛结果是____。 15．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队积分为9分。下列关于该队比赛记录的说法一定正确的是（　）。 ．胜3场　．参加了3场比赛　．至少参加3场比赛　．没有平局 16．填空（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队3胜2平1负，共11分；乙队3胜4平1负，共13分。平一场得____分，胜一场得____分。 17．解答（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队参加5场比赛，得分记录中只漏写一场比赛的结果，其他四场为2胜1平1负。若总积分可能为7分、8分或10分，分别求漏写的比赛结果。 18．解答（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队记录表为4胜1平2负、总场数7、积分15。积分15分确认正确。现尝试只更正胜、平、负、总场数中的一个数字，使记录同时满足总场数与积分条件。写出所有可行的更正方案；若不存在，则写“没有可行方案”。 四、B 难点突破 19．选择（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队3胜0平1负得9分，乙队2胜2平0负得8分。下列规则正确的是（　）。 ．胜2分、平2分　．胜3分、平1分 ．胜4分、平1分　．胜1分、平3分 20．填空（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。某队前5场3胜1平1负，积10分；再比赛2场，其中1胜1平，此时累计积14分。胜一场得____分，平一场得____分。 21．选择（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。一队参加4场，2胜2平，共得8分。 下列选项中，不能作为该赛事规则的是（　）。 ．胜1分、平3分　．胜2分、平2分 ．胜3分、平1分　．胜4分、平1分 22．填空（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。一队参加4场，2胜2平，共得8分。另知胜一场所得分数大于平一场所得分数，则胜一场得____分，平一场得____分。 23．解答（8分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队参加6场、3胜、负1场，积11分；乙队参加7场、胜2场、负1场，积分栏空缺。（1）若平一场的得分比胜一场少2分，求计分规则。（2）补出甲、乙的平场数及乙的积分。 24．解答（8分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队4胜2平1负共14分。乙队3胜3平1负的积分被写成13分。已知乙队积分数字写错，其他数据正确；胜一场所得分数比平一场多2分。求计分规则，并更正乙队的积分。 五、C 综合进阶 25．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲、乙两队的部分记录见表，两队积分相同。甲队比乙队多胜1场，甲队的负场数是乙队的2倍，则乙队负了（　）场。 ．1　．2　．3　．4 球队 总场数/场 平/场 甲 7 1 乙 7 未记录 26．填空（3分） 某学校足球队参加7场比赛，至少胜1场。对这同一批比赛分别按甲、乙两种规则计分：甲规则为胜3分、平1分、负0分；乙规则为胜4分、平0分、负0分。若两种规则所得积分相同，则该队积分的所有可能值为____分。 27．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一个阶段实际进行了10场比赛，所有球队在这10场比赛中所得积分的总和为27分。平局的实际比赛场数为（　）。 ．2　．3　．6　．7 28．填空（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一个阶段实际进行了15场比赛，所有球队所得积分总和41分。把各队记录表中的平场数相加，所得为____场；把各队胜场数相加，所得为____场。 29．解答（8分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队前7场比赛共得12分。第8场比赛结束后，总积分变为13分，且此时胜场数是负场数的3倍。求该队前7场及全部8场比赛的战绩。 30．解答（8分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一项校际邀请赛已经进行了8场比赛。各队记录表汇总后的胜场数合计为5场。（1）求实际平局场数及所有球队积分总和。（2）汇总表上写“平场数合计3，负场数合计5，总参赛记录16”。其中哪些数字需要更正？写出正确数字。 六、D 综合应用 31．选择（3分） 某学校足球队参加6场比赛。按胜3分、平1分、负0分计算，原记录得11分。复核发现其中一场实际为平局却误记为胜局，其他记录正确。更正后，将这6场真实战绩改按胜4分、平1分、负0分计算，得11分。该队实际胜场数为（　）。 ．1　．2　．3　．4 32．填空（3分） 某学校足球队完成10场比赛，按胜3分、平1分、负0分计分，共得18分。现取消其中1胜1平的两场记录；将保留的8场比赛改按胜4分、平1分、负0分计分，共得18分。保留比赛中胜____场、平____场、负____场。 33．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一个阶段实际进行了15场比赛，各队积分总和为41分。后来取消了一场已经分出胜负的比赛记录，再将其余比赛改按胜4分、平1分、负0分计分。所有球队的新积分总和为（　）。 ．38　．48　．49　．52 34．填空（3分） 某学校足球队按胜4分、平1分、负0分计分，原已赛记录得28分。经复核，一场实际平局被误记为胜局。更正后，又取消一场实际负局的记录。之后该队再参加2场比赛，累计积分恰好30分。这新增2场中胜____场、平____场。 35．解答（10分） 学校足球赛原按胜3分、平1分、负0分计分。某队完成10场比赛，记录积分为18分。复核发现一场实际平局被误记为胜局；其他记录正确。将真实战绩改按胜4分、平1分、负0分计算，共得20分。（1）求这10场真实战绩。（2）后来取消其中一场实际胜局与一场实际负局的记录，再增加2场比赛，所有保留及新增比赛按胜4分、平1分、负0分计分，总积分恰好21分。求新增2场战绩。 36．解答（10分） 学校足球赛原按胜3分、平1分、负0分计分。一个阶段实际进行了12场比赛，各队积分总和为33分。复核发现其中一场实际为平局，却被误记为分出胜负，并按错误记录计入上述33分；其他记录正确。（1）求更正后的实际平局场数。（2）将更正后的全部比赛改按胜4分、平2分、负0分计分，再取消其中一场实际平局的双方记录，求各队积分总和、胜场数合计及平场数合计。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程中的比赛积分问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 知识详解 → 典例与变式 → A 基础通关 → B 难点突破 → C 综合进阶 → D 综合应用 一、知识详解 （一）识表与列一元一次方程 单队的胜场、平场、负场相加等于参赛总场数。积分则是“每类场数×该类每场得分”的和，积分和场数是不同数量，不能混加。先看清表头、单位以及哪些记录可信，再把缺失场数表示出来。 设某队胜场时，只有在平场或负场已知、或另有明确关系时，才可把其他场数写成含的式子。解出后要同时检查场数为非负整数、三类场数之和符合总场数，以及积分确实吻合。 规则本身未知时，也可以只设一个未知数：先利用相同胜场、相同平场或记录差额，求出一种得分，或建立两类得分的明确关系，再列一元一次方程。未给出的“胜分大于平分”等条件不能自行补入。 小例：学校足球赛胜3分、平1分、负0分。一队进行了5场，其中平2场，共得8分，求胜、负场数。 解：设胜场，则负场。负1场。检验记录有效。 （二）积分可达与完整方案 方程的数值解不一定能表示比赛记录，例如半场比赛或负场数都不能接受。求“所有可能情况”时，可以先给胜场一个有限范围，再算出需要的平场、负场，逐项保留符合条件的记录。只举出一种战绩不能证明没有其他情况。 求“至少参加几场”要同时完成两步：较少场数不能达到目标；所提出的最少场数确有一种战绩达到目标。积分处于最低分与最高分之间，也不保证能出现。 小例：学校足球赛胜3分、平1分、负0分。一队参加3场，求总积分恰为8分时的全部战绩。 解：最多胜2场时，即使其他场次全平，最多得分；3场全胜则得9分。因此没有战绩能得到8分。不能把8分直接按平均分分配给每场。 （三）区分规则变化、比赛变化和记录更正 “改规则”是对同一批真实结果重新计分；“取消比赛”改变计入统计的比赛场次；“更正记录”是把错误写法恢复为真实结果。这三种变化的处理顺序必须按题意确定。 同战绩换规则时，可分别计算每场胜、平、负的得分变化，再加总。有的规则使不同结果的分数同时增加，也可能一类增加、另一类减少，因此积分差不一定直接等于胜场数。 取消一场应扣去该场在当前规则下的积分；把误记胜局改为平局，只扣去多算的“胜分−平分”。新增比赛得到的积分应与先前正确积分分开计算。 小例：学校足球赛原按胜3分、平1分、负0分计分。一队的真实记录为2胜1平2负。将同一批比赛改按胜5分、平1分、负0分计分，求新积分。 解：原积分分。每场胜局多2分，两场共多4分，平、负局不变，故新积分11分。直接核验分。 另例：按胜3分、平1分、负0分计分，一场实际平局误记为胜局，错误总分19分。多算分，更正后17分；更正并未增加或减少比赛场数。 （四）联赛中的双方计数 一场实际比赛有两队参加。分出胜负时，各队记录表中合计增加一条胜记录和一条负记录；打平时，合计增加两条平记录。因此各队胜场合计等于负场合计，各队平场合计是实际平局数的2倍，所有参赛场数合计是实际比赛场数的2倍。 计算全体积分时，要按双方合计得分处理。例如胜3分、平1分、负0分的规则下，每场非平局双方共得3分，每场平局双方共得2分。只知道比赛场数不能直接把每场都按3分累计。 小例：某阶段进行了4场比赛，采用胜3分、平1分、负0分规则，各队积分总和11分。求实际平局场数及各队平场数合计。 解：设实际平局场，则非平局场。解得实际平局1场，在两队记录中各记一次，所以平场数合计2场。另有3条胜记录、3条负记录，总参赛记录条，与4场比赛的双方记录数相符。 二、典例与变式 1．典例1（10分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲、乙两队记录见表。（1）求胜一场、平一场各得多少分。（2）丙队参加8场比赛，负2场，共得12分，求丙队胜、平各多少场。 球队 胜/场 平/场 负/场 积分/分 甲 4 2 2 14 乙 2 4 2 10 参考答案与解析 （1）甲比乙多胜2场、少平2场，多4分，所以每场胜局比平局多2分。设平一场得分，则胜一场得分。解得故胜3分、平1分。（2）设丙胜场，则平场， 答胜3场、平3场。核验甲14、乙10、丙12分且丙总场8。 评分：正确提取变化或总量关系3分；列式/列举完整及计算3分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 2．典例1变式1（8分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。记录表如下。经复核，乙队记录中的一场胜局应为平局；甲队记录及两队积分均正确。求胜一场、平一场各得多少分，并写出乙队正确的战绩。 球队 胜/场 平/场 负/场 积分/分 甲 5 1 2 16 乙 3 3 2 10 参考答案与解析 乙应为2胜4平2负。甲比乙多3胜、少3平，积分多6分，故胜比平多2分。设平一场分，胜3分。乙正确战绩2胜4平2负，积分若不先纠正记录，不能以原表直接反推。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 3．典例1变式2（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。下列6场比赛的记录中不正确的是（　）。 ．2胜2平2负，8分　．3胜1平2负，10分 ．4胜1平1负，13分　．4胜2平0负，15分 参考答案与解析 答案四项总场均为6；积分依次为8、10、13、14，只有所写15分错误。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 4．典例1变式3（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。丁队参加8场比赛，4胜1平3负。戊队也参加8场，积分与丁相同，但胜场少于丁。求戊队胜、平、负各多少场。 参考答案与解析 丁得13分。戊胜场只能为0、1、2、3。前三种情况下，即使其余全平，最多得8、10、12分，均不足13。故胜3场，平场，负场。唯一记录3胜4平1负，得13分。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况2分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 5．典例2（10分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队参加6场比赛。（1）若得10分，求胜、平、负场数的所有可能情况。（2）该队总积分不可能是下列哪一个数？．14分　．15分　．16分　．17分。 参考答案与解析 （1）若胜4场或以上，至少12分；胜0、1、2、3场时，要得到10分，所需平场分别10、7、4、1，胜平合计分别10、8、6、4。前两种超过6场，故全部方案为2胜4平0负、3胜1平2负。 （2）14可4胜2平；15可5胜1负；16可5胜1平。最多胜5场时最高16分，若6胜则18分，所以17分不可达，选 评分：正确提取变化或总量关系3分；列式/列举完整及计算3分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 6．典例2变式1（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队累计获得10分，求该队至少参加几场比赛，并写出达到这一最少场数时的战绩。 参考答案与解析 3场比赛最多9分，故至少4场。4场3胜1平恰10分，因此最少4场。4场若最多2胜，则最高8分；若4胜则12分，故唯一为3胜1平0负。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况2分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 7．典例2变式2（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队参加6场比赛得10分，且没有负场。该队胜____场、平____场。 参考答案与解析 答案2，4。设胜场，则平场，平4场；均为非负整数且总场6。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 8．典例2变式3（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队已进行4场，2胜1平1负。余下2场全部结束后恰好获得10分，求余下2场的所有可能结果（不区分先后顺序）。 参考答案与解析 已得7分，余下需3分。余下胜0场最多2分，胜2场得6分，均不合；故胜1场，其余1场须得0分，即1胜0平1负。结果不分先后，仅1种。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况2分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 9．典例3（10分） 某学校足球队已完成12场比赛。按胜3分、平1分、负0分计分，共得22分；将同一批比赛改按胜4分、平1分、负0分计分，共得28分。（1）求已完成比赛的胜、平、负场数。（2）该队再参加4场，全部16场均按胜4分、平1分、负0分计分，最终恰好40分，求新增4场的战绩。 参考答案与解析 （1）同一战绩每胜多1分，差分，故胜6场；原分中平局得分，平4场；负2场。（2）新增需分。新增胜0、1、2场时，即使其余全平，最多4、7、10分；胜4场则16分。 故胜3场，设平场，负1场。核验最终9胜4平3负，分。 评分：正确提取变化或总量关系3分；列式/列举完整及计算3分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 10．典例3变式1（6分） 某学校足球队完成12场比赛，其中负2场。按胜3分、平1分、负0分计分，共得22分。将同一批比赛改按胜4分、平2分、负0分计分，求新积分。 参考答案与解析 胜、平共有10场，每场都比旧规则多1分，故新积分分。独验：设胜场，则平场，平4场； 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况2分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 11．典例3变式2（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队完成12场共得22分，其中与一支退出球队进行的两场比赛记录被取消。取消后保留10场，共得18分。求被取消两场比赛的结果（不区分先后顺序）。 参考答案与解析 被取消两场共4分。胜0场最多2分；胜2场6分，均不合。故1胜，另1场得1分，为平局。答案1胜1平。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况2分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 12．典例3变式3（8分） 某学校足球赛规定：胜一场得4分，平一场得1分，负一场得0分。某队已完成12场，按记录算得28分。复核发现一场实际为平局却误记为胜局，其他记录正确。（1）求正确积分。（2）该队另有4场未赛，最终16场仍按上述规则计分，求总积分恰好40分时余下4场的所有可能战绩。 参考答案与解析 （1）错误记录多算分，正确积分25分。（2）剩余需15分。4场中最多3胜时，最高分；4胜则16分，故不能恰得15分，所求战绩不存在。不是将15分向上或向下取整。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 三、A 基础通关 13．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲、乙各进行了6场比赛。甲比乙多胜1场、少平1场，两队负场数相同。甲比乙多得（　）分。 ．1　．2　．3　．4 参考答案与解析 答案一场平局替换成胜局，增加分，其余对应场数得分不变。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 14．填空（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队的记录为3胜2平1负，工作人员只漏记了一场比赛的积分，其余积分计算正确，记录的总积分为10分。被漏记积分的这场比赛结果是____。 参考答案与解析 答案平局。正确积分分，漏记1分；只有平局每场得1分。若漏负局不改变积分，若漏胜局会少3分。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 15．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队积分为9分。下列关于该队比赛记录的说法一定正确的是（　）。 ．胜3场　．参加了3场比赛　．至少参加3场比赛　．没有平局 参考答案与解析 答案每场最多3分，少于3场至多6分。均可用2胜3平0负的5场9分记录否定。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 16．填空（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队3胜2平1负，共11分；乙队3胜4平1负，共13分。平一场得____分，胜一场得____分。 参考答案与解析 乙多2场平局而多2分，所以每平1分。设每胜分，答案1，3，均为正整数。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 17．解答（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队参加5场比赛，得分记录中只漏写一场比赛的结果，其他四场为2胜1平1负。若总积分可能为7分、8分或10分，分别求漏写的比赛结果。 参考答案与解析 已写四场得7分。总积分7、8、10分别意味着漏写一场得0、1、3分，因此依次为负、平、胜。这是全部可能，因为一场只有三种结果；每种补齐后均为5场。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况2分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 18．解答（6分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队记录表为4胜1平2负、总场数7、积分15。积分15分确认正确。现尝试只更正胜、平、负、总场数中的一个数字，使记录同时满足总场数与积分条件。写出所有可行的更正方案；若不存在，则写“没有可行方案”。 参考答案与解析 若只改胜场，其他三项给出胜未改变，不能达15分。只改平场，由积分平得平3场，此时总场9而不是7，不合。只改负场不改变13分的积分；只改总场也不改变13分。因此不存在只更正一个数字的方案。 不能只修正积分条件而使总场数条件失效。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况2分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 四、B 难点突破 19．选择（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队3胜0平1负得9分，乙队2胜2平0负得8分。下列规则正确的是（　）。 ．胜2分、平2分　．胜3分、平1分 ．胜4分、平1分　．胜1分、平3分 参考答案与解析 答案甲无平局，负局0分，故每胜分。乙的2场平局共得分，每平1分。其余选项代回至少一队积分不符。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 20．填空（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。某队前5场3胜1平1负，积10分；再比赛2场，其中1胜1平，此时累计积14分。胜一场得____分，平一场得____分。 参考答案与解析 新增1胜1平共4分。前5场的3胜1平可分成1胜1平与另外2胜，所以2胜共分，每胜3分，每平1分。答案3，1；新记录4胜2平1负， 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 21．选择（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。一队参加4场，2胜2平，共得8分。 下列选项中，不能作为该赛事规则的是（　）。 ．胜1分、平3分　．胜2分、平2分 ．胜3分、平1分　．胜4分、平1分 参考答案与解析 答案胜分平分即两类每场得分之和4。分别和为4且均正整数；之和5，会得10分。题目未规定胜分一定大于平分，不能自行排除A/B。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 22．填空（3分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。一队参加4场，2胜2平，共得8分。另知胜一场所得分数大于平一场所得分数，则胜一场得____分，平一场得____分。 参考答案与解析 答案3，1。两类得分之和4，正整数对只有增加胜分较大条件，仅成立。枚举完整，因为平分至少1而胜分最多3。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 23．解答（8分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队参加6场、3胜、负1场，积11分；乙队参加7场、胜2场、负1场，积分栏空缺。（1）若平一场的得分比胜一场少2分，求计分规则。（2）补出甲、乙的平场数及乙的积分。 参考答案与解析 甲平场。设平分，则胜分，胜3分。（2）甲平2场，乙平场，乙积分分。核验每队总场及规则正整数条件。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 24．解答（8分） 某学校足球赛中，胜一场和平一场所得分数分别是固定的正整数，负一场得0分，所有球队使用相同规则。甲队4胜2平1负共14分。乙队3胜3平1负的积分被写成13分。已知乙队积分数字写错，其他数据正确；胜一场所得分数比平一场多2分。求计分规则，并更正乙队的积分。 参考答案与解析 设平分，则胜分。甲给胜3分。乙正确积分分，13应改12。不能把错误积分13作为求规则的可信条件。核验甲14、乙12，所有场数均非负整数。 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 五、C 综合进阶 25．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲、乙两队的部分记录见表，两队积分相同。甲队比乙队多胜1场，甲队的负场数是乙队的2倍，则乙队负了（　）场。 ．1　．2　．3　．4 球队 总场数/场 平/场 甲 7 1 乙 7 未记录 参考答案与解析 答案甲比乙多胜1场，胜局多得3分；两队积分相同，所以乙比甲多平3场。甲平1场，因此乙平4场。设乙胜场，则甲胜场；乙负场，甲负场。由负场关系得解得 乙负2场。独验甲2胜1平4负、乙1胜4平2负，两队都7场7分，甲多胜1场，负4场是乙负2场的2倍。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 26．填空（3分） 某学校足球队参加7场比赛，至少胜1场。对这同一批比赛分别按甲、乙两种规则计分：甲规则为胜3分、平1分、负0分；乙规则为胜4分、平0分、负0分。若两种规则所得积分相同，则该队积分的所有可能值为____分。 参考答案与解析 答案4、8、12。同一战绩由甲规则改用乙规则，每场胜局多1分，每场平局少1分，负局不变；总分不变，所以胜场数等于平场数。设胜场，则平场、负场。 由于至少胜1场且胜平合计不超过7场，只能为1、2、3，对应战绩积分分别为4、8、12分，均可实现。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 27．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一个阶段实际进行了10场比赛，所有球队在这10场比赛中所得积分的总和为27分。平局的实际比赛场数为（　）。 ．2　．3　．6　．7 参考答案与解析 答案每场分出胜负时双方总得3分，每场平局双方总得2分。设实际平局场，平场记录合计6不能误作实际平局数。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 28．填空（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一个阶段实际进行了15场比赛，所有球队所得积分总和41分。把各队记录表中的平场数相加，所得为____场；把各队胜场数相加，所得为____场。 参考答案与解析 设实际平局场，每场平局在双方记录中各记一次，因此平场数合计8；其余11场各产生1条胜记录，故胜场合计11。答案8，11。负场合计也是11，总参赛记录30。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 29．解答（8分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队前7场比赛共得12分。第8场比赛结束后，总积分变为13分，且此时胜场数是负场数的3倍。求该队前7场及全部8场比赛的战绩。 参考答案与解析 前7场胜0至4场依次需要平12、9、6、3、0场，前三种总场超过7，故候选为3胜3平1负、4胜0平3负。第8场新增1分，为平局，两种候选变为3胜4平1负、4胜1平3负，前一种满足胜场是负场的3倍，后一种不满足。 故前7场3胜3平1负，全部8场3胜4平1负。核验总场8、积分13且 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 30．解答（8分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一项校际邀请赛已经进行了8场比赛。各队记录表汇总后的胜场数合计为5场。（1）求实际平局场数及所有球队积分总和。（2）汇总表上写“平场数合计3，负场数合计5，总参赛记录16”。其中哪些数字需要更正？写出正确数字。 参考答案与解析 （1）每场非平局恰产生1条胜记录，所以非平局5场，实际平局场；积分总和分。（2）每场平局双方各记一次，平场数合计应6而非3；负场合计5正确；总参赛记录正确。核验 评分：正确提取变化或总量关系2分；列式/列举完整及计算2分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 六、D 综合应用 31．选择（3分） 某学校足球队参加6场比赛。按胜3分、平1分、负0分计算，原记录得11分。复核发现其中一场实际为平局却误记为胜局，其他记录正确。更正后，将这6场真实战绩改按胜4分、平1分、负0分计算，得11分。该队实际胜场数为（　）。 ．1　．2　．3　．4 参考答案与解析 答案先纠错，原规则正确积分分。同一真实战绩改规则，每胜多1分，差分，故实际胜2场；实际平场，负1场。独验原误记3胜2平1负得11分，真实新分分。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 32．填空（3分） 某学校足球队完成10场比赛，按胜3分、平1分、负0分计分，共得18分。现取消其中1胜1平的两场记录；将保留的8场比赛改按胜4分、平1分、负0分计分，共得18分。保留比赛中胜____场、平____场、负____场。 参考答案与解析 取消后旧分分。保留同一战绩换规则多分，所以胜4场；平场；负场。答案4，2，2。独验原5胜3平2负，18分。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 33．选择（3分） 某学校足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一个阶段实际进行了15场比赛，各队积分总和为41分。后来取消了一场已经分出胜负的比赛记录，再将其余比赛改按胜4分、平1分、负0分计分。所有球队的新积分总和为（　）。 ．38　．48　．49　．52 参考答案与解析 答案原平局场满足非平局11场。取消1场非平局后，剩10场非平局、4场平局。新规则每场非平局双方合4分、平局合2分，故总分取消的是一场实际比赛，必须同时删去双方记录。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 34．填空（3分） 某学校足球队按胜4分、平1分、负0分计分，原已赛记录得28分。经复核，一场实际平局被误记为胜局。更正后，又取消一场实际负局的记录。之后该队再参加2场比赛，累计积分恰好30分。这新增2场中胜____场、平____场。 参考答案与解析 更正使分数取消负局积分不变。新增需5分。2场胜0最多2分、胜2则8分，故胜1场，另1场平，合答案1，1。总赛程未给定，不需要猜原已赛场数。 评分：答案正确得3分。多空题按空数均分；等价表述同分。 35．解答（10分） 学校足球赛原按胜3分、平1分、负0分计分。某队完成10场比赛，记录积分为18分。复核发现一场实际平局被误记为胜局；其他记录正确。将真实战绩改按胜4分、平1分、负0分计算，共得20分。（1）求这10场真实战绩。（2）后来取消其中一场实际胜局与一场实际负局的记录，再增加2场比赛，所有保留及新增比赛按胜4分、平1分、负0分计分，总积分恰好21分。求新增2场战绩。 参考答案与解析 （1）纠正后旧分新分20，差4，真实胜4场；平场；负场。（2）按新规则取消1胜1负，扣4分，保留8场得16分。新增2场需5分。胜0最多2分、胜2得8分，故1胜1平。 最终保留及新增战绩4胜5平1负，总场10、积分 评分：正确提取变化或总量关系3分；列式/列举完整及计算3分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 36．解答（10分） 学校足球赛原按胜3分、平1分、负0分计分。一个阶段实际进行了12场比赛，各队积分总和为33分。复核发现其中一场实际为平局，却被误记为分出胜负，并按错误记录计入上述33分；其他记录正确。（1）求更正后的实际平局场数。（2）将更正后的全部比赛改按胜4分、平2分、负0分计分，再取消其中一场实际平局的双方记录，求各队积分总和、胜场数合计及平场数合计。 参考答案与解析 （1）旧规则一场胜负双方合3分、平局合2分，错误多记1分，更正总分32分。设真实平局场，非平局8场。（2）新规则每场非平局双方共4分，每场平局双方也共4分，12场总48分。 取消一场实际平局，减去双方各2分，共4分，剩44分。胜场合计仍8；剩3场实际平局，平场记录合计6。核验剩11场，胜平负条记录，积分 评分：正确提取变化或总量关系3分；列式/列举完整及计算3分；完整结论与题目要求的全部情况4分。等价算术或一元一次解法同分；同一处错误造成的后续一致运算不重复扣分。 1 学科网（北京）股份有限公司 $