专题 4.4 一元一次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题 4.4 一元一次方程全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等式与方程的基础概念 2 【知识点二】一元一次方程及其解法 2 【知识点三】用一元一次方程解决问题 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】等式与方程的概念辨析 3 【题型2】解一元一次方程（基础类型） 4 【题型3】和差倍分与行程问题基础 5 【题型4】已知方程的解求参数 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型5】含小数分母与多重括号的方程 6 【题型6】工程问题与利润问题 7 【题型7】配套问题与分段计费 8 【题型8】方案选择与古代问题 9 五.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 19．（本小题满分8分） 13 20．（本小题满分8分） 13 21．（本小题满分10分） 13 22．（本小题满分10分） 13 23．（本小题满分10分） 14 24．（本小题满分12分） 14 一.学习目标 1. 系统掌握等式的基本性质，能熟练运用性质进行等式变形。 2. 理解一元一次方程的概念，能准确判断并求解各类一元一次方程。 3. 熟练掌握解一元一次方程的五步法，能处理含括号、分母、小数的复杂方程。 4. 能根据实际问题中的等量关系列方程，解决和差倍分、行程、工程、利润、配套等常见应用题。 5. 能根据方程的解求待定字母的值，理解方程解的意义。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等式与方程的基础概念 概念 要点 等式 表示相等关系的式子，含有等号"="。 等式性质1 两边同加（减）同一个数或整式，结果仍是等式。即若 a=b，则 a±m=b±m。 等式性质2 两边同乘（除以）同一个数（除数不为0），结果仍是等式。即若 a=b，则 am=bm；若 a=b 且 m≠0，则 a/m=b/m。 方程 含有未知数的等式。两个条件：①是等式；②含未知数。 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。 解方程 求方程解的过程。 【知识点二】一元一次方程及其解法 定义：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式的方程。一般形式：（）。 步骤 做法 注意事项 去分母 两边同乘各分母最小公倍数。 不漏乘不含分母的项；分子是多项式要加括号。 去括号 先小后中再大。 括号前是负号，各项都变号。 移项 含未知数项移左边，常数项移右边。 移项必须变号。 合并同类项 化为 。 系数相加，字母及指数不变。 系数化为1 两边同除以 a，得 。 分子分母不要颠倒。 易错提醒：①去分母时漏乘常数项；②分数线有括号作用，去分母后分子要加括号；③移项忘变号；④小数分母化整数用的是分数基本性质，不是等式性质。 【知识点三】用一元一次方程解决问题 一般步骤： 1. 审——审题，找出已知量、未知量和等量关系； 2. 设——设未知数（直接设或间接设）； 3. 列——根据等量关系列方程； 4. 解——解方程； 5. 验——检验解是否符合实际意义； 6. 答——写出答案。 类型 基本等量关系 关键词 和差倍分 总量=各部分量之和 多、少、倍、几分之几 行程问题 路程=速度×时间 相遇、追及、相向、同向 工程问题 工作量=工作效率×工作时间（总工作量设为1） 合作、单独、中途离开 利润问题 利润=售价-进价；利润率=利润/进价 打折、获利、亏损 配套问题 配套比例关系 一个螺钉配两个螺母 分段计费 各段费用之和=总费用 起步价、超过部分 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】等式与方程的概念辨析 方法：紧扣等式性质、方程定义（含未知数的等式）、一元一次方程三要素（一元、一次、整式）。 【例题1】1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【变式2】2．（2026·山西太原·三模）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【题型2】解一元一次方程（基础类型） 方法：按五步法灵活处理，根据方程特点选择步骤顺序。 【例题2】（2026六年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： （1） （2） 【变式2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： （1） （2）． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程 （1） （2） 【题型3】和差倍分与行程问题基础 方法：画线段图或列表帮助分析，找等量关系列方程。 【例题3】（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东肇庆·三模）如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． （1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． （2）第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【题型4】已知方程的解求参数 方法：把已知解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 【例题4】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【变式2】（26-27七年级上·全国·单元测试）小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： （1）若，则为何值时，代数式与相等？ （2）若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】含小数分母与多重括号的方程 方法：小数分母先用分数基本性质化整，再按五步法求解；多重括号注意去括号顺序灵活选择。 【例题5】（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）解方程： （1）； （2）=+． 【变式2】（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）； （9） 【题型6】工程问题与利润问题 方法：工程问题总工作量设为1；利润问题牢记：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%。 【例题6】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． （1）若两队合作，需要多少天能完成此工程？ （2）当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【变式1】（25-26七年级上·山西朔州·期末）一项工程甲队单独做需40天完成，乙队单独做需60天完成，甲队先单独做5天，然后甲、乙两队合作完成这项工程．若两队合作天完成这项工程，根据题意可列方程，列该方程所依据的相等关系是（     ） A．甲队5天的工作量+乙队的工作量=总工作量 B．甲队5天的工作量+两队合作的工作量=总工作量 C．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作天数=总工作量 D．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×总工作天数=总工作量 【变式2】（25-26七年级上·山西朔州·期末）2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 【题型7】配套问题与分段计费 方法：配套问题抓住配套比例关系；分段计费按各段分别计算再求和。 【例题7】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费36元，则该职工这个月实际用水为______立方米． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． （1）填空：表中a的值为 ； （2）求小明家10月份的用电量； （3）若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【题型8】方案选择与古代问题 方法：分别列出不同方案的费用表达式，令其相等求出临界点，再根据临界点选择最优方案。 【例题8】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． （1）当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ （2）若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【变式1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为________． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： （1）甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； （2）通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26七年级上·全国·期末）解为的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·全国·单元复习）若与的和为0，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D．2 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在解方程时，去分母过程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·全国·期末）某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 8．（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天．如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数这个问题，下面所列方程中不正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）已知关于x的一元一次方程（其中a，b为常数，且），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“差解方程”．例如：方程的解为，恰好为，则方程为“差解方程”．若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则k的值为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据图中的标注，列出方程为________． 12．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）若关于的多项式不含二次项和一次项，那么______，______． 14．（2026·湖南长沙·二模）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 15．（25-26七年级下·河南开封·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 16．（25-26七年级下·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 17．（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了_____件衬衫． 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）解下列方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·期末）解方程： （1）； （2）=+． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知是关于的方程的解． （1）求的值； （2）求关于的方程的解． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，2026年第二届“青竹湖湘一数学文化节”上，某班数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． （1）若表示5，输入数为，求计算结果； （2）若计算结果为7，且输入的数字是3，则表示的数是几？ 23．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题： （1） （2） （3） （4） 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·全国·课后作业）育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． （1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ （2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 一元一次方程全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等式与方程的基础概念 2 【知识点二】一元一次方程及其解法 2 【知识点三】用一元一次方程解决问题 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】等式与方程的概念辨析 3 【题型2】解一元一次方程（基础类型） 5 【题型3】和差倍分与行程问题基础 7 【题型4】已知方程的解求参数 10 四.题型精析（综合提升） 11 【题型5】含小数分母与多重括号的方程 11 【题型6】工程问题与利润问题 19 【题型7】配套问题与分段计费 21 【题型8】方案选择与古代问题 24 五.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 19．（本小题满分8分） 33 20．（本小题满分8分） 34 21．（本小题满分10分） 35 22．（本小题满分10分） 35 23．（本小题满分10分） 36 24．（本小题满分12分） 37 一.学习目标 1. 系统掌握等式的基本性质，能熟练运用性质进行等式变形。 2. 理解一元一次方程的概念，能准确判断并求解各类一元一次方程。 3. 熟练掌握解一元一次方程的五步法，能处理含括号、分母、小数的复杂方程。 4. 能根据实际问题中的等量关系列方程，解决和差倍分、行程、工程、利润、配套等常见应用题。 5. 能根据方程的解求待定字母的值，理解方程解的意义。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等式与方程的基础概念 概念 要点 等式 表示相等关系的式子，含有等号"="。 等式性质1 两边同加（减）同一个数或整式，结果仍是等式。即若 a=b，则 a±m=b±m。 等式性质2 两边同乘（除以）同一个数（除数不为0），结果仍是等式。即若 a=b，则 am=bm；若 a=b 且 m≠0，则 a/m=b/m。 方程 含有未知数的等式。两个条件：①是等式；②含未知数。 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。 解方程 求方程解的过程。 【知识点二】一元一次方程及其解法 定义：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式的方程。一般形式：（）。 步骤 做法 注意事项 去分母 两边同乘各分母最小公倍数。 不漏乘不含分母的项；分子是多项式要加括号。 去括号 先小后中再大。 括号前是负号，各项都变号。 移项 含未知数项移左边，常数项移右边。 移项必须变号。 合并同类项 化为 。 系数相加，字母及指数不变。 系数化为1 两边同除以 a，得 。 分子分母不要颠倒。 易错提醒：①去分母时漏乘常数项；②分数线有括号作用，去分母后分子要加括号；③移项忘变号；④小数分母化整数用的是分数基本性质，不是等式性质。 【知识点三】用一元一次方程解决问题 一般步骤： 1. 审——审题，找出已知量、未知量和等量关系； 2. 设——设未知数（直接设或间接设）； 3. 列——根据等量关系列方程； 4. 解——解方程； 5. 验——检验解是否符合实际意义； 6. 答——写出答案。 类型 基本等量关系 关键词 和差倍分 总量=各部分量之和 多、少、倍、几分之几 行程问题 路程=速度×时间 相遇、追及、相向、同向 工程问题 工作量=工作效率×工作时间（总工作量设为1） 合作、单独、中途离开 利润问题 利润=售价-进价；利润率=利润/进价 打折、获利、亏损 配套问题 配套比例关系 一个螺钉配两个螺母 分段计费 各段费用之和=总费用 起步价、超过部分 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】等式与方程的概念辨析 方法：紧扣等式性质、方程定义（含未知数的等式）、一元一次方程三要素（一元、一次、整式）。 【例题1】1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 【变式2】2．（2026·山西太原·三模）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 解：根据等式性质，等式两边同时加（或减）同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘（或除以）同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 【变式3】（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 【题型2】解一元一次方程（基础类型） 方法：按五步法灵活处理，根据方程特点选择步骤顺序。 【例题2】（2026六年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： （2）解： 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【题型3】和差倍分与行程问题基础 方法：画线段图或列表帮助分析，找等量关系列方程。 【例题3】（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 【答案】水果店原来运来苹果160千克，梨180千克 【分析】设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克，根据题意列方程求解即可． 解：设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克， 根据题意，得 （千克） 答：水果店原来运来苹果160千克，梨180千克． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设买来科技书本，则文艺书有本， ∵ 两种书共1200本， ∴ ． 【变式2】（2026·广东肇庆·三模）如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别得出各自的时间，结合题意列式即可． 解：设王家庄距青山，青山距绿水，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为， ∴A车从王家庄到青山的时间为，B车从王家庄到绿水的时间为， ∵两车同时到达目的地， ∴ ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． （1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． （2）第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【答案】（1）小亮速度为，叔叔速度为；（2）． 【分析】（1）设小亮的速度为，则叔叔的速度为，根据题意，两人反向出发后第一次相遇，两人路程和为，进而列方程求解即可； （2）设同向出发后，经过两人第一次相遇，根据同向跑首次相遇时，叔叔比小亮多跑1圈跑道长列方程求解即可． （1）解：设小亮的速度为，则叔叔的速度为， 根据题意可知， 解得， 因此小亮速度为，叔叔速度为； （2）解：设同向出发后，经过两人第一次相遇， 根据题意列方程得：， 解得． 【题型4】已知方程的解求参数 方法：把已知解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 【例题4】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，先解出第一个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得到第二个方程的解，再将解代入第二个方程即可求出的值． 解：解方程 移项得 解得 ∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 把代入 得 整理得 解得． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同解方程的定义，先求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程，即可求出的值． 解：解方程得， ∵ 方程与的解相同， ∴把代入，得， 解得． 【变式2】（26-27七年级上·全国·单元测试）小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________． 【答案】 【分析】设被污染的数字为，将已知解代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 解：设●表示的数字为，则原方程为， ∵方程的解为， ∴将代入方程得， 两边同乘得， 去括号得， 整理得， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： （1）若，则为何值时，代数式与相等？ （2）若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】（1）的值为8时，这两个代数式的值相等；（2）的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． （1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】含小数分母与多重括号的方程 方法：小数分母先用分数基本性质化整，再按五步法求解；多重括号注意去括号顺序灵活选择。 【例题5】（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）先把分母化成整数，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （4）先化简方程，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． （1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）解方程： （1）； （2）=+． 【答案】（1）；（2） （1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． 【变式2】（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10） 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （10）先化简方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可． （1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （4）解： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （5）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （6）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （7）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （8）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （9）解：， 去分母，得 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （10）解：， 原方程可化为． 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）； （9） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 【分析】一元一次方程的解法：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可，根据方程的形式选择合适的步骤与解法求解． （1）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （3）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （4）解：， 去括号得： 移项得：， 合并得：， 解得：． （5）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （6）解：， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （7）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （8）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （9）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 【题型6】工程问题与利润问题 方法：工程问题总工作量设为1；利润问题牢记：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%。 【例题6】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． （1）若两队合作，需要多少天能完成此工程？ （2）当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【答案】（1）两队合作需要12天完成此工程；（2）甲队还需要10天才能完成工程 【分析】 将总工作量看作单位1，结合甲乙单独完成工程的时间得到各自的工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系列方程求解两小问． （1）解：记总工作量为单位1． 设两队合作需要天完成此工程. 甲队工作效率为，乙队工作效率为 ； 由题意得， 解得； 答：两队合作需要12天完成此工程． （2）解：记总工作量为单位1． 设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程． 由题意得， 解得； 答：甲队还需要10天才能完成工程． 【变式1】（25-26七年级上·山西朔州·期末）一项工程甲队单独做需40天完成，乙队单独做需60天完成，甲队先单独做5天，然后甲、乙两队合作完成这项工程．若两队合作天完成这项工程，根据题意可列方程，列该方程所依据的相等关系是（     ） A．甲队5天的工作量+乙队的工作量=总工作量 B．甲队5天的工作量+两队合作的工作量=总工作量 C．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作天数=总工作量 D．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×总工作天数=总工作量 【答案】B 解：总工作量记为1．甲队单独做5天的工作量为，甲、乙合作天的工作量为． 方程的等量关系为甲队5天的工作量与两队合作的工作量之和等于总工作量， 对应选项B． 【变式2】（25-26七年级上·山西朔州·期末）2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 【答案】 【分析】设标价为元，根据售价等于标价乘以折扣率，同时售价也等于进价乘以加利润率，建立一元一次方程求解． 解：设这款手工生肖马窗花的标价为元．根据题意，得： 解得：， 故这款手工生肖马窗花的标价为元． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 【答案】（1）描金琉璃瓶40元，内画瓶30元；（2）钱够用 【分析】（1）设内画瓶单价元，琉璃瓶元，根据题意列出一元一次方程并求解，即可解答； （2）设内画瓶个，琉璃瓶个，依题意列出一元一次方程并求解，再求出总费用并比较大小，即可解答． （1）解：设内画瓶单价元，琉璃瓶元， 依题意，得， ， ， ， ∴内画瓶30元，琉璃瓶（元）， 答：描金琉璃瓶每个40元，内画瓶每个30元． （2）解：设购买内画瓶个，购买琉璃瓶个， 依题意，得， 解得， ∴琉璃瓶（个）， 总费用：（元）， ∵， ∴钱够用． 【题型7】配套问题与分段计费 方法：配套问题抓住配套比例关系；分段计费按各段分别计算再求和。 【例题7】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配套规则确定螺栓和螺母总数的等量关系，列出方程． 解：由题意知，加工螺母的人数为人， ∴每天加工螺栓总数为个，每天加工螺母总数为个， 列方程得 ，故选项B符合题意． 【变式2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费36元，则该职工这个月实际用水为______立方米． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据水费分段收费规则建立方程求解即可． 解：设该职工这个月实际用水x立方米，根据题意，得 ， 化简得， 即， 解得． 故答案为：14． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． （1）填空：表中a的值为 ； （2）求小明家10月份的用电量； （3）若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】（1）0.5；（2）260度；（3）430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． （1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 【题型8】方案选择与古代问题 方法：分别列出不同方案的费用表达式，令其相等求出临界点，再根据临界点选择最优方案。 【例题8】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． （1）当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ （2）若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】（1）选方案一，最少费用为7200元；（2）10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． （1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 【变式1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是分别表示出两种优惠方案的费用，再根据费用相等建立等式． 解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为； 方案②：全场打九折（即原价的倍），且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为． 因为两种方案费用一样，所以可得方程：． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题得关键. 设太仓距上林里，利用时间路程速度，结合日往返次，即可得出关于的方程． 解：设太仓距上林里， 依题意得：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： （1）甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； （2）通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】（1），；（2）5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． （1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 3．（25-26七年级上·全国·期末）解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 4．（26-27七年级上·全国·单元复习）若与的和为0，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据两式和为0的等量关系列一元一次方程求解即可． 解：∵与的和为0， ∴， ∴，解得． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在解方程时，去分母过程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：方程去分母得：． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将关于的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用整体代换的思想，结合已知方程的解求解的值． 解：由，得． 关于的方程的解为， ， ． 7．（25-26七年级上·全国·期末）某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 【答案】A 【分析】根据题意将加工大齿轮的工人人数与加工小齿轮的工人人数表示出来，再根据“加工的小齿轮数量是加工的大齿轮数量的2倍”求解即可． 解：设每天加工大齿轮的工人有人，加工小齿轮的工人有人， 由题意列式为， 解得． 8．（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天．如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数这个问题，下面所列方程中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已设神舟十二号驻留天数为，所以可根据“航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天”列出符合题意的基础方程，再变形判断即可． 解：由题可列方程为：， 可变形为或． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）已知关于x的一元一次方程（其中a，b为常数，且），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“差解方程”．例如：方程的解为，恰好为，则方程为“差解方程”．若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程；熟练掌握以上知识点是关键．根据“差解方程”的定义，方程的解需满足，其中和是方程的系数.将方程化为标准形式，得，.先求方程的解，再令解等于，解关于的方程即可. 解：∵方程可写为， ∴，.解方程得. ∵该方程为“差解方程”， ∴. ∴. 两边乘以6得. 移项得，即. ∴， 故选：B． 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． 【答案】C 【分析】根据题意列出对应选项中的方程即可得到答案． 解：A、根据题意列方程，展开得，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； B、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； C、根据题意列方程，展开得，不符合题干数量关系，故此选项符合题意； D、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据图中的标注，列出方程为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长等于长加宽和的两倍列方程即可． 解：由题意得：． 12．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）若关于的多项式不含二次项和一次项，那么______，______． 【答案】 【分析】多项式不含某一项，则该项的系数为，据此建立方程求解即可． 解：多项式不含二次项和一次项， 二次项和一次项的系数均为，可得：，， 解方程， 可得：， 将代入， 可得：， 解得：. 14．（2026·湖南长沙·二模）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】通过对比两个方程的结构，将看作一个整体，结合已知方程的解即可得到结果． 解：设，则关于的一元一次方程可化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴，解得， ∴关于的一元一次方程的解为． 15．（25-26七年级下·河南开封·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【分析】方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，即可求得的值． 解：方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：． 16．（25-26七年级下·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 17．（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了_____件衬衫． 【答案】40 【分析】设总进货件数为未知数，根据总获利等于原价销售利润加打折销售利润，列出一元一次方程求解． 解：设商店一共进了件衬衫，则按原价售出件． 根据题意列方程得：， 化简得：， ， ， 解得， ∴商店一共进了40件衬衫． 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 【答案】85 【分析】设方框里最大的数是，根据方框分别表示出其他五个数，再根据6个数的和列方程求解即可． 解：设方框里最大的数是，则其他五个数分别为，，，，， 由题意得，， 解得：， 即框里最大的数应该是85． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·期末）解方程： （1）； （2）=+． 【答案】（1）；（2） （1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知是关于的方程的解． （1）求的值； （2）求关于的方程的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，已知一元一次方程的解求参数，熟练掌握解一元一次方程的方法，是解题的关键． （1）把代入关于的方程，解关于m的方程即可； （2）将代入关于的方程，解关于y的方程即可． （1）解：将代入方程，可得： ， 解得：． （2）解：由（1），于是， 解得． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，2026年第二届“青竹湖湘一数学文化节”上，某班数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． （1）若表示5，输入数为，求计算结果； （2）若计算结果为7，且输入的数字是3，则表示的数是几？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设为，根据题意列方程计算求解，即可解题． （1）解：由题意得： ； （2） 解：设为， 由题意得：， ， ， ， ， 即表示的数是． 23．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，进行计算即可． （1）解：， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·全国·课后作业）育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． （1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ （2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【答案】（1）25座的客车每辆每天的租金为140元，45座的客车每辆每天的租金为220元；（2）方案一840元，方案二660元，方案二更省钱 【分析】（1）设25座的客车每辆每天的租金为元，则45座的客车每辆每天的租金为元，根据“租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元”列方程求解即可得到答案； （2）设这个学校七年级老师共有名，根据等量关系列出方程，可得的值，然后再根据老师的人数分别计算方案一和方案二的费用，再进行比较． （1）解：设25座的客车每辆每天的租金为元，则45座的客车每辆每天的租金为元， 则：， 解得：， ， 答：25座的客车每辆每天的租金为140元，45座的客车每辆每天的租金为220元； （2）解：设这个学校七年级老师共有名， 则， 解得：， 租45座客车数量： 方案一的费用：（元）， 方案二的费用：（元）， ， 答：方案二更省钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $