一元一次方程中的行程问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

一元一次方程中的行程问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、基本数量关系与设未知数　1 二、同时出发的相遇与追及　2 三、先后出发与中途停留　3 四、同一路程中的速度与时间变化　5 五、火车过桥与通过隧道　6 六、顺水与逆水航行　8 七、环形跑道上的相遇与追及　9 基础巩固　10 方法运用　12 综合提升　14 期中期末真题衔接　17 一、基本数量关系与设未知数 速度说的是单位时间内走过多少路程，时间说的是实际运动了多久。匀速运动时，路程＝速度×时间；因此，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间。列方程时，要让等号两边表示同一个量，或表示总量与各部分的关系。 速度用“千米/时”，时间就要换算为小时；速度用“米/分”，时间就用分钟。不能把“分钟”直接当成“小时”。如千米/时米/秒，按这个速度运动秒，走过的路程是米。 已知情况 较方便的设法 另外的量怎样表示 速度已知，求运动多久 设运动时间为 路程写成“已知速度” 两种速度已知，同一路程未知 设路程为 两种时间分别是“已知速度” 运动时间已知，两个速度有和差倍数关系 设其中一个速度为 另一个速度用同一个表示，再用速度×已知时间表示路程 设未知数时要把名称和单位写完整。如“设爸爸出发后分钟追上”，比只写“设时间为”清楚。所求的量不一定直接设为未知数；若直接设未知速度会使未知数跑到分母中，可以改设路程、时间或另一个合适的量。本讲只用一元一次方程，分母可以是已知常数，不以含未知数分母的方程为解题方法。 求得结果后，检查四件事：单位是否对应；时间是否从题目指定的出发时刻算起；相遇或追上是否发生在所讨论的阶段内；船的逆水速度、火车的长度等是否符合实际。 二、同时出发的相遇与追及 相向而行：两人向对方走去。若尚未相遇，两人走过的路程之和加剩余间距，等于最初两地间的路程；刚好相遇时，剩余间距为，因此两人路程之和等于原间距。只有两人的运动时间相同时，才可写成“速度和×时间”。如原间距米，两人分别已经走了米和米，剩余间距是米。 同向追及：快者必须在慢者后面，才会从后面赶上。追上时，快者比慢者多走的路程等于开始时慢者领先的路程。若速度分别为、且，两人同时出发并一直运动，时间同为，就有原领先路程。这里相减的是同一段时间走过的两段路程，并不是把所有同向题都不加判断地相减。 相背而行：两人越走越远，最后间距等于原间距加两人后来走过的路程。如果已经相遇并继续向前，也应重新看两人的实际位置，不能沿用“原间距减去路程和”作为正的间距。 画线段示意图时，先标出两个出发点，再按题意画出运动方向， 最后对应路程与间距的关系。 例1　公园内一条步道连接、两个入口，全长千米。甲、乙分别从、两个入口同时出发，沿这条步道相向匀速行走，速度分别为米/分和米/分。求两人相遇所需的时间，以及相遇处到入口的路程。 解析 千米米。设出发后分钟相遇。 相遇时，两人走过的路程合起来是步道全长，故。 解得。相遇处到入口的路程为（米）。 变式1-1　甲、乙在一条直道上同时同向匀速跑步，甲在乙后方米。甲、乙的速度分别为米/分和米/分。甲追上乙时，甲已经跑了________米。 解析 设甲跑分钟追上乙，，解得。 甲跑的路程为（米）。 变式1-2　甲、乙两车分别从相距千米的、两地同时出发，相向匀速行驶，小时后相遇。甲车的速度是乙车速度的倍。求两车的速度。 解析 设乙车速度为千米/时，则甲车速度为千米/时。 ，解得。 甲车速度为（千米/时）。 变式1-3　一条直道上、两处相距米，在西侧。甲从向西、乙从向东同时匀速行走，速度分别为米/分和米/分。出发后两人相距米时，经过的时间是（　　）。 A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 解析 设经过分钟，，解得。 两人相背而行，出发时的米不能当作两人后来走过的路程。 三、先后出发与中途停留 钟面时刻与经过时间不同。:是时刻；“经过分钟”是一个时间段。先选统一的计时起点，再写每个人实际运动的时间。 如乙比甲晚出发分钟：设乙运动了分钟，则甲从出发起经过分钟；若设甲从出发起经过分钟，则乙只经过分钟。两种设法都可以，但不能把同一式中的一会儿当甲的时间，一会儿当乙的时间。 原地停留不产生路程，但会占用时间。如一个人从出发到到达共经过分钟，中间原地休息分钟，那么实际运动分钟。若问某一时刻的相遇、追及，先判断事情发生在停留之前、停留期间还是恢复运动之后；停留还没发生或只发生一部分时，不能先把整段停留时间都扣掉。 简单分段题可以依次算出开始停留、恢复运动这些时刻的路程或间距，再在实际发生相遇的一段列一个方程。若一人到达终点后停止，也应按“到达前、到达后”核查题意；不能把题目已停止的人继续向前算。 例2　小林:从家出发，沿一条直道以米/分的速度匀速步行。爸爸:从家出发，沿同一路线以米/分的速度匀速骑车追赶。求爸爸追上小林的时刻， 以及追上时离家的路程。 解析 设爸爸出发后分钟追上小林，则小林已走了分钟。 ，解得。 :后分钟为:，离家路程为（米）。 变式2-1　甲从地出发，沿直道以米/分的速度匀速行走。分钟后，乙从地沿同方向以米/分的速度匀速跑步追赶。若设从甲出发到乙追上甲共经过分钟，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 解析 甲行走分钟，乙跑步分钟；追上时两人离地的路程相等。 故，选。解得，乙实际跑步分钟，符合题意。 变式2-2　、两地相距千米。甲从地向地匀速行走，速度为米/分；分钟后，乙从地向地匀速行走，速度为米/分。求相遇处到地的路程。 解析 设乙出发后分钟两人相遇，千米米。 ，解得。 相遇处到地的路程为（米）。 变式2-3　、两地相距米。甲从地以米/分的速度步行，乙从地以米/分的速度骑车，两人同时出发，相向而行。乙行驶分钟后在原地停留分钟，再按原速继续行驶；甲始终保持原速。两人从出发到相遇共经过________分钟。 解析 前分钟两人共行（米），尚相距米。 乙停留时，甲走完这米所需时间为（分钟），小于分钟，因此相遇发生在乙停留期间。 设从出发到相遇共分钟，有，解得。 在与之间，确实处于乙停留期间。 四、同一路程中的速度与时间变化 同一条路按不同速度行走，路程不变，所用时间可能不同。设路程为千米，速度分别为千米/时和千米/时，两种时间就是小时和小时。较慢的时间长，较快的时间短；写时间差时，先用文字判断谁减谁，避免只凭数字大小机械排列。 同一出发时刻下，一种速度晚到分钟，另一种速度早到分钟，两次实际行走时间相差分钟，而不是分钟。如果出发时刻也变化，既要比较出发端，也要比较到达端。 往返用时相加，停留单独计入：去程时间+返程时间+停留时间＝总经过时间。往返路程相等不表示往返时间相等。 一趟路线分段：若全程，一段为，另一段为，应分别用各段路程除以各段速度，再将时间相加。若两段各占全程一半，两段路程相等，但速度不同时，两段时间不相等。全程平均速度应按“全程总路程÷实际总时间”理解，不能直接把两个速度相加除以。 例3　小明从家到体育馆，若全程以千米/时的速度骑车，比全程以千米/时的速度骑车多用分钟。求小明家到体育馆的路程。 解析 设路程为千米。分钟小时。 较慢骑行时间减较快骑行时间等于小时，故。 两边同乘，得，解得。 变式3-1　一辆汽车从地到地，去程速度为千米/时，在地停留分钟后，沿原路以千米/时的速度返回地。从出发到返回共用小时分钟。求、两地间的路程。 解析 设单程路程为千米。小时分钟减分钟为小时。 ，两边同乘，得。 解得。去程小时、回程小时，再加停留分钟，合计小时分钟。 变式3-2　小华从家步行到学校，若以米/分的速度行走，则比规定时刻晚到分钟；若从同一时刻出发，以米/分的速度行走，则比规定时刻早到分钟。小华家到学校的路程为________米，规定的行走时间为________分钟。 解析 设路程为米，则。 两边同乘，得，解得。 规定的行走时间为（分钟）。 变式3-3　一条骑行路线全长千米，小李前一段以千米/时的速度骑行，后一段以千米/时的速度骑行，全程共用小时分钟。前一段的路程为（　　）。 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 解析 设前一段路程为千米，则后一段路程为千米。 ，两边同乘，得。 解得，且。 五、火车过桥与通过隧道 火车有长度，不能把火车当作一个点。读题时，把计时开始和结束时同一个车头的位置画清楚，才能知道车头实际走了多少路程。 计时开始到结束 车头实际走过的路程 车头经过标志杆到车尾经过标志杆 火车长 车头驶入桥到车尾驶离桥 桥长+火车长 车尾刚驶上桥到车头刚驶离桥 桥长-火车长，此时桥长应大于车长 如一列长米的火车通过一座长米的桥，完全通过时车头要走米；从整列火车刚进入桥到车头刚离桥，车头只走米。两个过程的起始状态不同，因此不能都把桥长与车长相加。 同一列火车匀速通过不同桥梁或隧道，两次的车长相同，速度也相同。这两个不变量可让一个未知数表示全部需要的量，不必列二元一次方程组。 两列火车在平行轨道上完整错车或完整超越时，需要处理的相对长度都是两车长之和。相向时两车共同缩短这段长度，同向超越时快车靠多走的路程越过这段长度。判断时必须对应题设的车头、车尾起终事件，不把“车头相遇”误当成已经完整通过。 例4　一列火车匀速行驶，通过路旁一根标志杆用了秒，完全通过一座长米的站台用了秒。通过标志杆的时间指车头经过标志杆到车尾经过标志杆的时间；完全通过站台的时间指车头驶入站台到车尾驶出站台的时间。求火车的长度和速度。 解析 设火车速度为米/秒，则火车长米。 完全通过站台时，车头行驶的路程为站台长加火车长，故。 解得，火车长（米）。 变式4-1　一列长米的火车以千米/时的速度匀速通过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用秒。这条隧道长________米。 解析 千米/时米/秒。设隧道长米，则。 解得。 变式4-2　同一列火车保持相同速度，完全通过一座长米的桥用了秒，完全通过另一座长米的桥用了秒。两次计时均从车头上桥到车尾离桥。求火车的速度和长度。 解析 设火车速度为米/秒。由两次过桥都包含同一车长，列得。 解得。火车长为（米）。 另一桥检验：（米），与前者相同。 变式4-3　一列长米的火车以千米/时的速度匀速通过一座长米的桥。从车尾刚驶上桥到车头刚驶离桥经历的时间是（　　）。 A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 解析 千米/时米/秒。 从车尾刚上桥到车头刚离桥，车头行驶（米）。 设时间为秒，，解得。 六、顺水与逆水航行 静水速度是船在没有水流影响时相对水的速度。顺水时，船自身运动方向与水流相同，实际相对河岸的速度是静水速度+水流速度；逆水时二者方向相反，实际速度是静水速度-水流速度。船能逆水前进时，静水速度应大于水流速度。 如静水速度为千米/时，水流速度为千米/时，顺水速度是千米/时，逆水速度是千米/时。水流速度不是两者相差的全部：顺水速度与逆水速度的差为千米/时。 同船完整往返两码头，可用“顺水路程＝逆水路程”；还没有回到原码头时，不能把两段路程强行写成相等，应看最后是在原码头上游还是下游。两船相向航行，则分别判断谁顺水、谁逆水，再用两船路程之和等于两码头间的距离。 停靠码头与停机漂流不是一回事。原地停靠的路程为；题目明确随水漂流时，漂流速度就是水流速度，该段时间仍产生路程。这一条件只在题干明确给出时使用，不能自行补设。 例5　一艘船在、两个码头之间匀速航行，顺水从到用了小时，逆水从返回用了小时。水流速度为千米/时，船在静水中的速度保持不变。求船在静水中的速度和两码头间的距离。 解析 设船在静水中的速度为千米/时，则顺水速度为千米/时，逆水速度为千米/时。 往返的路程相同，，解得。 两码头间的距离为（千米）。 变式5-1　一艘船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时。该船从码头顺水到码头，停留分钟后沿原路逆水返回，从出发到返回共用小时。若设、两码头间的距离为千米，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 解析 顺水速度为千米/时，逆水速度为千米/时，实际航行共小时。 因此，选。解得。 变式5-2　码头在码头上游，两码头相距千米。甲船从码头、乙船从码头同时出发，相向航行。甲、乙两船在静水中的速度分别为千米/时和千米/时，水流速度为千米/时。求两船相遇所需的时间和相遇处到码头的距离。 解析 甲顺水速度为千米/时，乙逆水速度为千米/时。 设小时后相遇，，解得。 相遇处到码头的距离为（千米）。 变式5-3　一艘船从码头顺水航行小时后立即掉头，逆水航行小时，此时停在码头下游千米处。水流速度为千米/时，船在静水中的速度保持不变。该船在静水中的速度是________千米/时。 解析 设船在静水中的速度为千米/时。 顺水路程减逆水路程等于离码头的千米，故。 解得，顺水千米、逆水千米，最终仍在下游千米处。 七、环形跑道上的相遇与追及 环形跑道没有直道上的两端。两人再次处在同一点，累计跑过的路程却未必相同。 从同一点同时反向出发，第一次再次相遇时，两人合走一圈，故两人路程之和等于跑道一圈长。从同一点同时同向出发，快者第一次从后面追上慢者时，比慢者多跑一圈，故两人路程之差等于一圈长。出发时的重合不计作“出发后第一次相遇”。 从不同点同向出发，应先沿运动方向看慢者领先多少路程，第一次追上只需补上这段领先路程，不一定是一圈。如一圈长米，慢者沿运动方向领先米，第一次追上对应的是快者多跑米，不是米，也不是米。 题目问“跑过的路程”，应计算累计路程；跑过一圈后还可继续跑，不能把答案强行限制在一圈以内。题目问“在跑道的什么位置”时，才需用跑道上明确的参照点描述位置。 例6　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿同一方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。求出发后甲第一次追上乙所需的时间，以及此时甲跑过的路程。 解析 设秒后甲第一次追上乙。甲第一次从后面追上乙时，比乙多跑一整圈。 ，解得。 甲跑过（米）。 变式6-1　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿相反方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。若设出发后经过秒两人第一次相遇，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 解析 两人从同一点反向出发，第一次再次相遇时合走一圈，因此。 选，解得。 变式6-2　一条环形跑道长米，沿顺时针方向从点到点的路程为米。甲从点、乙从点同时出发，都沿顺时针方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。甲出发后第一次追上乙用了________秒。 解析 甲开始在乙后方米，第一次追上乙只需消除这米的领先距离。 设秒后首次追上，，解得。 变式6-3　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿相反方向匀速跑步，秒后第一次相遇。甲的速度比乙快米/秒。求两人的速度。 解析 设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒。 ，解得。 甲的速度为（米/秒）。 A 基础巩固 A1　一辆汽车以千米/时的速度匀速行驶，秒内行驶的路程是（　　）。 A．米 B．米 C．米 D．米 解析 千米/时米/秒。秒内行驶（米）。 A2　、两地相距米。甲从地出发，以米/分的速度匀速走向地；分钟后，乙从地出发，以米/分的速度匀速走向地。若设甲出发后分钟两人相遇，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 解析 甲行走分钟，乙行走分钟，故。 选，解得，乙实际行走分钟，均为正。 A3　同一条路，小张以千米/时的速度步行走完全程，比以千米/时的速度步行多用分钟。求这条路的长度。 解析 设路长千米，分钟小时。 ，解得。 A4　一列火车以千米/时的速度匀速行驶，从车头经过一根电线杆到车尾经过这根电线杆共用秒。火车长________米。 解析 千米/时米/秒。通过电线杆时，车头行驶的路程等于火车长，故车长为（米）。 A5　一艘船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时。该船逆水航行小时，行驶的路程为________千米。 解析 逆水速度为（千米/时），路程为（千米）。 A6　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿同一方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。求甲第一次追上乙所需的时间。 解析 设秒后甲第一次追上乙，。 解得。 B 方法运用 B1　学校到科技馆的步行路线长米。小林:从学校出发，以米/分的速度沿此路线匀速步行。爸爸稍后从学校出发，沿同一路线以米/分的速度匀速骑车，两人恰好同时到达科技馆。爸爸出发的时刻是________。 解析 小林的行走时间为（分钟），到达时刻为:。 设爸爸在:后分钟出发，，解得。 爸爸在:出发，骑车分钟，于:到达。 B2　一辆汽车原计划以千米/时的速度匀速驶完一段路。实际出发比原计划晚分钟，改以千米/时的速度匀速行驶，结果比原计划早到分钟。这段路长（　　）。 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 解析 设路程为千米。实际比计划晚出发分钟却早到分钟，行驶时间共减少分钟，即小时。 ，解得。 计划分钟，实际分钟；晚出发分钟后仍早到分钟。 B3　一列火车保持同一速度，完全通过长米的隧道用了秒，完全通过长米的隧道用了秒。两次均从车头进入隧道开始计时，到车尾离开隧道停止计时。求这列火车从车尾刚进入长米的隧道到车头刚离开该隧道所需的时间。 解析 设火车速度为米/秒。两次记录表示同一车长，有。 解得。火车长为（米）。 从车尾刚进入米隧道到车头刚离开，车头行驶（米），所需时间为（秒）。 车长米小于隧道长米，所求整列火车在隧道内的阶段确实存在。 B4　一条环形跑道长米。乙从点出发，以米/秒的速度沿顺时针方向匀速跑步。秒后，甲从点出发，以米/秒的速度沿顺时针方向匀速跑步。甲出发后第一次追上乙所需的时间是（　　）。 A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 解析 甲出发时，乙已经跑（米），即跑完一圈后又跑米。因此此时乙沿顺时针方向领先甲米，不是米。 设甲出发后秒第一次追上乙，，解得。 此时甲累计跑米，乙累计跑米，两人处在距顺时针米的同一位置。 B5　、两地相距千米。甲、乙分别从、两地同时出发，相向骑行，速度分别为千米/时和千米/时。甲骑行分钟后在原地休息分钟，再按原速继续骑行；乙始终保持原速。两人相遇时，乙已骑行________千米。 解析 甲休息前分钟，两人共行千米，尚相距千米；甲休息分钟，乙再行千米，仍未相遇。 设从出发到相遇共小时，则甲实际骑行小时。 ，解得。乙骑行（千米）。 相遇时为出发后分钟，晚于甲恢复骑行的第分钟，符合前面的阶段判断。 B6　小华从家去博物馆，先步行到公交站，再乘公交车到博物馆，中间没有候车停留。步行速度为千米/时，公交车平均速度为千米/时，乘车路程是步行路程的倍，全程共用小时分钟。求小华家到博物馆沿此路线的总路程。 解析 设步行路程为千米，乘车路程为千米。 ，解得。 总路程为（千米）。 C 综合提升 C1　、两地之间有一条长米的直道。甲、乙分别从、两地同时出发，相向匀速跑步，速度分别为米/分和米/分。两人相遇后仍按原速度、原方向跑步，到达对方出发地时立即停止。出发后，两人相距米的时刻为第________分钟。 解析 相遇前，设出发后分钟两人相距米，则，解得。 相遇后且均未到终点时，，解得。 两人相遇时刻为分钟；乙最早在分钟到达，此时两人相距米。随后乙停止、甲继续按原速度跑向，间距从米增大到米，不会再等于米。 因此全部时刻为出发后第分钟和第分钟。 C2　、两地相距米。小林:从地出发，以米/分的速度沿直道匀速步行前往地。爸爸:从地出发，沿同一路线以米/分的速度骑车，骑行分钟后在原地停留分钟，再按原速继续骑行。求爸爸第一次追上小林的时刻和追上地点到地的路程。 解析 爸爸出发时，小林领先（米）。爸爸骑行分钟可缩小（米），仍未追上。 爸爸停留开始时还落后米，停留分钟后落后（米）。 设从爸爸恢复骑行到追上共分钟，，解得。 爸爸在:后分钟追上，即:；小林行走分钟，地点距为（米）。 米小于全程米，追上时两人都还没有到达地。 C3　一位骑行者原计划以千米/时的速度匀速骑完一条路线。实际先以千米/时的速度骑完全程的一半，休息分钟，再以千米/时的速度骑完另一半，恰好按原计划的时刻到达。实际出发时刻与原计划相同。这条路线全长（　　）。 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 解析 设路线全长千米。实际两段路程均为千米。 。两边同乘，得。 解得。实际（分钟），计划小时分钟。 C4　两列火车在两条平行轨道上匀速行驶，甲车长米，速度为千米/时；乙车速度为千米/时。两车相向行驶时，从两车车头相遇到两车车尾相离共用秒。 （1）求乙车的长度。 （2）若两车保持上述速度改为同向行驶，甲车在后，求从甲车车头追上乙车车尾到甲车车尾超过乙车车头所需的时间。 解析 千米/时米/秒，千米/时米/秒。 （1）设乙车长米。相向完整错车时，两车相对通过的长度为两车长之和，故，解得。 （2）设所需时间为秒。甲相对乙每秒多行米，完整超过仍需多行两车长度之和，故，解得。 C5　一艘船从码头顺水航行到下游千米处的码头。船在发动机正常工作时的静水速度为千米/时；途中发动机停机分钟，停机期间船随水漂流，漂流速度等于水流速度，随后恢复正常航行。全程共用小时，水流速度始终不变。 （1）求水流速度。 （2）若全程发动机都正常工作，沿原航线从到需要多少小时？ 解析 （1）设水流速度为千米/时。正常航行时间为小时，正常顺水速度为千米/时；停机小时内仍随水前进。 ，解得。 （2）全程正常顺水速度为（千米/时），时间为（小时）。 C6　一条直道连接、两点，全长米。甲、乙从点同时出发跑向点，速度分别为米/秒和米/秒。甲到达点后立即按原速返回，乙仍按原速继续跑向点。求出发后两人第一次再次相遇所需的时间和相遇处到点的距离。 解析 甲先到点所需时间为（秒），此时乙跑了（米），两人相距米。 设甲返回后秒与乙相遇，，解得。 从出发起共用（秒），相遇处到点的距离为（米）。 秒小于乙到达点所需的秒，且（米），两人的位置相同。 D 期中期末真题衔接 一、期末真题精选 D1　【2026·广东深圳南山·七上期末，第5题，据原题整理】《算学启蒙》中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”题中快马每天行里，慢马每天行里，且慢马先出发天。设快马追上慢马需天，可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 解析 设快马行走天，则慢马共走天。追上时两马从共同起点走过的路程相等，故，选。 若求追及天数，解得；本题原问仅选择方程。 D2　【2026·广东深圳福田·七上期末，第20题(3)，据原题整理（节选）】 定义：、、在同一直线上，若或， 则称为、的“倍点”。 如图，、、依次位于一条直路上，米。小明和小颖同时从向骑行，开始时速度均为米/秒。到达后，小明停留秒，再以米/秒继续骑向；小颖始终按原速骑行，两人同时到达。求的长，判断是否为、的“倍点”，并说明理由。 解析 设米，则米。小颖一直以米/秒骑完米，用时秒。 小明从到的用时为秒，停留秒，之后从到用时为秒。两人同时到达，故。 两边同乘，得，解得。 （米）。根据题首定义，是、的倍点。 米小于的长米，确实位于、之间；小明用时秒，符合题意。 二、原创题型训练（非真题） D3　【原创题型训练（非真题）】某班车按下表中的时刻运行，、、三站依次位于同一条线路上，从站到站沿线全长千米。班车在站停留，站到站、站到站的平均行驶速度分别为千米/时、千米/时。根据题意，可列方程为（　　）。 车站 到站时刻 离站时刻 — : : : : — A． B． C． D． 解析 到的实际行驶时间为:至:，共分钟；到为:至:，共分钟。站停留的分钟不产生路程。 两段路程和为千米，故，选。 解得，另一段平均行驶速度为千米/时，两段路程千米。 D4　【原创题型训练（非真题）】一列火车匀速通过一座长米的桥，从车头刚驶上桥到车尾刚驶离桥共用秒，从车尾刚驶上桥到车头刚驶离桥共用秒。该列火车以同一速度继续行驶，通过另一座长米的桥。当车头刚驶离这座短桥时，车尾________（填“已”或“尚未”）驶上短桥，车尾距短桥入口________米。 解析 设火车速度为米/秒。完全过长桥时车长为米；整列在桥上时车长为米。 同一火车的长度相等，，解得。火车长为（米）。 短桥长米，小于车长米。当车头刚离开短桥时，车尾还在入口外，距入口（米），所以尚未上桥。 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程中的行程问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、基本数量关系与设未知数　1 二、同时出发的相遇与追及　2 三、先后出发与中途停留　3 四、同一路程中的速度与时间变化　4 五、火车过桥与通过隧道　5 六、顺水与逆水航行　7 七、环形跑道上的相遇与追及　8 基础巩固　9 方法运用　10 综合提升　12 期中期末真题衔接　14 一、基本数量关系与设未知数 速度说的是单位时间内走过多少路程，时间说的是实际运动了多久。匀速运动时，路程＝速度×时间；因此，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间。列方程时，要让等号两边表示同一个量，或表示总量与各部分的关系。 速度用“千米/时”，时间就要换算为小时；速度用“米/分”，时间就用分钟。不能把“分钟”直接当成“小时”。如千米/时米/秒，按这个速度运动秒，走过的路程是米。 已知情况 较方便的设法 另外的量怎样表示 速度已知，求运动多久 设运动时间为 路程写成“已知速度” 两种速度已知，同一路程未知 设路程为 两种时间分别是“已知速度” 运动时间已知，两个速度有和差倍数关系 设其中一个速度为 另一个速度用同一个表示，再用速度×已知时间表示路程 设未知数时要把名称和单位写完整。如“设爸爸出发后分钟追上”，比只写“设时间为”清楚。所求的量不一定直接设为未知数；若直接设未知速度会使未知数跑到分母中，可以改设路程、时间或另一个合适的量。本讲只用一元一次方程，分母可以是已知常数，不以含未知数分母的方程为解题方法。 求得结果后，检查四件事：单位是否对应；时间是否从题目指定的出发时刻算起；相遇或追上是否发生在所讨论的阶段内；船的逆水速度、火车的长度等是否符合实际。 二、同时出发的相遇与追及 相向而行：两人向对方走去。若尚未相遇，两人走过的路程之和加剩余间距，等于最初两地间的路程；刚好相遇时，剩余间距为，因此两人路程之和等于原间距。只有两人的运动时间相同时，才可写成“速度和×时间”。如原间距米，两人分别已经走了米和米，剩余间距是米。 同向追及：快者必须在慢者后面，才会从后面赶上。追上时，快者比慢者多走的路程等于开始时慢者领先的路程。若速度分别为、且，两人同时出发并一直运动，时间同为，就有原领先路程。这里相减的是同一段时间走过的两段路程，并不是把所有同向题都不加判断地相减。 相背而行：两人越走越远，最后间距等于原间距加两人后来走过的路程。如果已经相遇并继续向前，也应重新看两人的实际位置，不能沿用“原间距减去路程和”作为正的间距。 画线段示意图时，先标出两个出发点，再按题意画出运动方向， 最后对应路程与间距的关系。 例1　公园内一条步道连接、两个入口，全长千米。甲、乙分别从、两个入口同时出发，沿这条步道相向匀速行走，速度分别为米/分和米/分。求两人相遇所需的时间，以及相遇处到入口的路程。 变式1-1　甲、乙在一条直道上同时同向匀速跑步，甲在乙后方米。甲、乙的速度分别为米/分和米/分。甲追上乙时，甲已经跑了________米。 变式1-2　甲、乙两车分别从相距千米的、两地同时出发，相向匀速行驶，小时后相遇。甲车的速度是乙车速度的倍。求两车的速度。 变式1-3　一条直道上、两处相距米，在西侧。甲从向西、乙从向东同时匀速行走，速度分别为米/分和米/分。出发后两人相距米时，经过的时间是（　　）。 A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 三、先后出发与中途停留 钟面时刻与经过时间不同。:是时刻；“经过分钟”是一个时间段。先选统一的计时起点，再写每个人实际运动的时间。 如乙比甲晚出发分钟：设乙运动了分钟，则甲从出发起经过分钟；若设甲从出发起经过分钟，则乙只经过分钟。两种设法都可以，但不能把同一式中的一会儿当甲的时间，一会儿当乙的时间。 原地停留不产生路程，但会占用时间。如一个人从出发到到达共经过分钟，中间原地休息分钟，那么实际运动分钟。若问某一时刻的相遇、追及，先判断事情发生在停留之前、停留期间还是恢复运动之后；停留还没发生或只发生一部分时，不能先把整段停留时间都扣掉。 简单分段题可以依次算出开始停留、恢复运动这些时刻的路程或间距，再在实际发生相遇的一段列一个方程。若一人到达终点后停止，也应按“到达前、到达后”核查题意；不能把题目已停止的人继续向前算。 例2　小林:从家出发，沿一条直道以米/分的速度匀速步行。爸爸:从家出发，沿同一路线以米/分的速度匀速骑车追赶。求爸爸追上小林的时刻， 以及追上时离家的路程。 变式2-1　甲从地出发，沿直道以米/分的速度匀速行走。分钟后，乙从地沿同方向以米/分的速度匀速跑步追赶。若设从甲出发到乙追上甲共经过分钟，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 变式2-2　、两地相距千米。甲从地向地匀速行走，速度为米/分；分钟后，乙从地向地匀速行走，速度为米/分。求相遇处到地的路程。 变式2-3　、两地相距米。甲从地以米/分的速度步行，乙从地以米/分的速度骑车，两人同时出发，相向而行。乙行驶分钟后在原地停留分钟，再按原速继续行驶；甲始终保持原速。两人从出发到相遇共经过________分钟。 四、同一路程中的速度与时间变化 同一条路按不同速度行走，路程不变，所用时间可能不同。设路程为千米，速度分别为千米/时和千米/时，两种时间就是小时和小时。较慢的时间长，较快的时间短；写时间差时，先用文字判断谁减谁，避免只凭数字大小机械排列。 同一出发时刻下，一种速度晚到分钟，另一种速度早到分钟，两次实际行走时间相差分钟，而不是分钟。如果出发时刻也变化，既要比较出发端，也要比较到达端。 往返用时相加，停留单独计入：去程时间+返程时间+停留时间＝总经过时间。往返路程相等不表示往返时间相等。 一趟路线分段：若全程，一段为，另一段为，应分别用各段路程除以各段速度，再将时间相加。若两段各占全程一半，两段路程相等，但速度不同时，两段时间不相等。全程平均速度应按“全程总路程÷实际总时间”理解，不能直接把两个速度相加除以。 例3　小明从家到体育馆，若全程以千米/时的速度骑车，比全程以千米/时的速度骑车多用分钟。求小明家到体育馆的路程。 变式3-1　一辆汽车从地到地，去程速度为千米/时，在地停留分钟后，沿原路以千米/时的速度返回地。从出发到返回共用小时分钟。求、两地间的路程。 变式3-2　小华从家步行到学校，若以米/分的速度行走，则比规定时刻晚到分钟；若从同一时刻出发，以米/分的速度行走，则比规定时刻早到分钟。小华家到学校的路程为________米，规定的行走时间为________分钟。 变式3-3　一条骑行路线全长千米，小李前一段以千米/时的速度骑行，后一段以千米/时的速度骑行，全程共用小时分钟。前一段的路程为（　　）。 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 五、火车过桥与通过隧道 火车有长度，不能把火车当作一个点。读题时，把计时开始和结束时同一个车头的位置画清楚，才能知道车头实际走了多少路程。 计时开始到结束 车头实际走过的路程 车头经过标志杆到车尾经过标志杆 火车长 车头驶入桥到车尾驶离桥 桥长+火车长 车尾刚驶上桥到车头刚驶离桥 桥长-火车长，此时桥长应大于车长 如一列长米的火车通过一座长米的桥，完全通过时车头要走米；从整列火车刚进入桥到车头刚离桥，车头只走米。两个过程的起始状态不同，因此不能都把桥长与车长相加。 同一列火车匀速通过不同桥梁或隧道，两次的车长相同，速度也相同。这两个不变量可让一个未知数表示全部需要的量，不必列二元一次方程组。 两列火车在平行轨道上完整错车或完整超越时，需要处理的相对长度都是两车长之和。相向时两车共同缩短这段长度，同向超越时快车靠多走的路程越过这段长度。判断时必须对应题设的车头、车尾起终事件，不把“车头相遇”误当成已经完整通过。 例4　一列火车匀速行驶，通过路旁一根标志杆用了秒，完全通过一座长米的站台用了秒。通过标志杆的时间指车头经过标志杆到车尾经过标志杆的时间；完全通过站台的时间指车头驶入站台到车尾驶出站台的时间。求火车的长度和速度。 变式4-1　一列长米的火车以千米/时的速度匀速通过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用秒。这条隧道长________米。 变式4-2　同一列火车保持相同速度，完全通过一座长米的桥用了秒，完全通过另一座长米的桥用了秒。两次计时均从车头上桥到车尾离桥。求火车的速度和长度。 变式4-3　一列长米的火车以千米/时的速度匀速通过一座长米的桥。从车尾刚驶上桥到车头刚驶离桥经历的时间是（　　）。 A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 六、顺水与逆水航行 静水速度是船在没有水流影响时相对水的速度。顺水时，船自身运动方向与水流相同，实际相对河岸的速度是静水速度+水流速度；逆水时二者方向相反，实际速度是静水速度-水流速度。船能逆水前进时，静水速度应大于水流速度。 如静水速度为千米/时，水流速度为千米/时，顺水速度是千米/时，逆水速度是千米/时。水流速度不是两者相差的全部：顺水速度与逆水速度的差为千米/时。 同船完整往返两码头，可用“顺水路程＝逆水路程”；还没有回到原码头时，不能把两段路程强行写成相等，应看最后是在原码头上游还是下游。两船相向航行，则分别判断谁顺水、谁逆水，再用两船路程之和等于两码头间的距离。 停靠码头与停机漂流不是一回事。原地停靠的路程为；题目明确随水漂流时，漂流速度就是水流速度，该段时间仍产生路程。这一条件只在题干明确给出时使用，不能自行补设。 例5　一艘船在、两个码头之间匀速航行，顺水从到用了小时，逆水从返回用了小时。水流速度为千米/时，船在静水中的速度保持不变。求船在静水中的速度和两码头间的距离。 变式5-1　一艘船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时。该船从码头顺水到码头，停留分钟后沿原路逆水返回，从出发到返回共用小时。若设、两码头间的距离为千米，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 变式5-2　码头在码头上游，两码头相距千米。甲船从码头、乙船从码头同时出发，相向航行。甲、乙两船在静水中的速度分别为千米/时和千米/时，水流速度为千米/时。求两船相遇所需的时间和相遇处到码头的距离。 变式5-3　一艘船从码头顺水航行小时后立即掉头，逆水航行小时，此时停在码头下游千米处。水流速度为千米/时，船在静水中的速度保持不变。该船在静水中的速度是________千米/时。 七、环形跑道上的相遇与追及 环形跑道没有直道上的两端。两人再次处在同一点，累计跑过的路程却未必相同。 从同一点同时反向出发，第一次再次相遇时，两人合走一圈，故两人路程之和等于跑道一圈长。从同一点同时同向出发，快者第一次从后面追上慢者时，比慢者多跑一圈，故两人路程之差等于一圈长。出发时的重合不计作“出发后第一次相遇”。 从不同点同向出发，应先沿运动方向看慢者领先多少路程，第一次追上只需补上这段领先路程，不一定是一圈。如一圈长米，慢者沿运动方向领先米，第一次追上对应的是快者多跑米，不是米，也不是米。 题目问“跑过的路程”，应计算累计路程；跑过一圈后还可继续跑，不能把答案强行限制在一圈以内。题目问“在跑道的什么位置”时，才需用跑道上明确的参照点描述位置。 例6　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿同一方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。求出发后甲第一次追上乙所需的时间，以及此时甲跑过的路程。 变式6-1　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿相反方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。若设出发后经过秒两人第一次相遇，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． 变式6-2　一条环形跑道长米，沿顺时针方向从点到点的路程为米。甲从点、乙从点同时出发，都沿顺时针方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。甲出发后第一次追上乙用了________秒。 变式6-3　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿相反方向匀速跑步，秒后第一次相遇。甲的速度比乙快米/秒。求两人的速度。 A 基础巩固 A1　一辆汽车以千米/时的速度匀速行驶，秒内行驶的路程是（　　）。 A．米 B．米 C．米 D．米 A2　、两地相距米。甲从地出发，以米/分的速度匀速走向地；分钟后，乙从地出发，以米/分的速度匀速走向地。若设甲出发后分钟两人相遇，则可列方程为（　　）。 A． B． C． D． A3　同一条路，小张以千米/时的速度步行走完全程，比以千米/时的速度步行多用分钟。求这条路的长度。 A4　一列火车以千米/时的速度匀速行驶，从车头经过一根电线杆到车尾经过这根电线杆共用秒。火车长________米。 A5　一艘船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时。该船逆水航行小时，行驶的路程为________千米。 A6　一条环形跑道长米。甲、乙从同一点同时出发，沿同一方向匀速跑步，速度分别为米/秒和米/秒。求甲第一次追上乙所需的时间。 B 方法运用 B1　学校到科技馆的步行路线长米。小林:从学校出发，以米/分的速度沿此路线匀速步行。爸爸稍后从学校出发，沿同一路线以米/分的速度匀速骑车，两人恰好同时到达科技馆。爸爸出发的时刻是________。 B2　一辆汽车原计划以千米/时的速度匀速驶完一段路。实际出发比原计划晚分钟，改以千米/时的速度匀速行驶，结果比原计划早到分钟。这段路长（　　）。 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 B3　一列火车保持同一速度，完全通过长米的隧道用了秒，完全通过长米的隧道用了秒。两次均从车头进入隧道开始计时，到车尾离开隧道停止计时。求这列火车从车尾刚进入长米的隧道到车头刚离开该隧道所需的时间。 B4　一条环形跑道长米。乙从点出发，以米/秒的速度沿顺时针方向匀速跑步。秒后，甲从点出发，以米/秒的速度沿顺时针方向匀速跑步。甲出发后第一次追上乙所需的时间是（　　）。 A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 B5　、两地相距千米。甲、乙分别从、两地同时出发，相向骑行，速度分别为千米/时和千米/时。甲骑行分钟后在原地休息分钟，再按原速继续骑行；乙始终保持原速。两人相遇时，乙已骑行________千米。 B6　小华从家去博物馆，先步行到公交站，再乘公交车到博物馆，中间没有候车停留。步行速度为千米/时，公交车平均速度为千米/时，乘车路程是步行路程的倍，全程共用小时分钟。求小华家到博物馆沿此路线的总路程。 C 综合提升 C1　、两地之间有一条长米的直道。甲、乙分别从、两地同时出发，相向匀速跑步，速度分别为米/分和米/分。两人相遇后仍按原速度、原方向跑步，到达对方出发地时立即停止。出发后，两人相距米的时刻为第________分钟。 C2　、两地相距米。小林:从地出发，以米/分的速度沿直道匀速步行前往地。爸爸:从地出发，沿同一路线以米/分的速度骑车，骑行分钟后在原地停留分钟，再按原速继续骑行。求爸爸第一次追上小林的时刻和追上地点到地的路程。 C3　一位骑行者原计划以千米/时的速度匀速骑完一条路线。实际先以千米/时的速度骑完全程的一半，休息分钟，再以千米/时的速度骑完另一半，恰好按原计划的时刻到达。实际出发时刻与原计划相同。这条路线全长（　　）。 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 C4　两列火车在两条平行轨道上匀速行驶，甲车长米，速度为千米/时；乙车速度为千米/时。两车相向行驶时，从两车车头相遇到两车车尾相离共用秒。 （1）求乙车的长度。 （2）若两车保持上述速度改为同向行驶，甲车在后，求从甲车车头追上乙车车尾到甲车车尾超过乙车车头所需的时间。 C5　一艘船从码头顺水航行到下游千米处的码头。船在发动机正常工作时的静水速度为千米/时；途中发动机停机分钟，停机期间船随水漂流，漂流速度等于水流速度，随后恢复正常航行。全程共用小时，水流速度始终不变。 （1）求水流速度。 （2）若全程发动机都正常工作，沿原航线从到需要多少小时？ C6　一条直道连接、两点，全长米。甲、乙从点同时出发跑向点，速度分别为米/秒和米/秒。甲到达点后立即按原速返回，乙仍按原速继续跑向点。求出发后两人第一次再次相遇所需的时间和相遇处到点的距离。 D 期中期末真题衔接 一、期末真题精选 D1　【2026·广东深圳南山·七上期末，第5题，据原题整理】《算学启蒙》中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”题中快马每天行里，慢马每天行里，且慢马先出发天。设快马追上慢马需天，可列方程为（　　）。 A． B． C． D． D2　【2026·广东深圳福田·七上期末，第20题(3)，据原题整理（节选）】 定义：、、在同一直线上，若或， 则称为、的“倍点”。 如图，、、依次位于一条直路上，米。小明和小颖同时从向骑行，开始时速度均为米/秒。到达后，小明停留秒，再以米/秒继续骑向；小颖始终按原速骑行，两人同时到达。求的长，判断是否为、的“倍点”，并说明理由。 二、原创题型训练（非真题） D3　【原创题型训练（非真题）】某班车按下表中的时刻运行，、、三站依次位于同一条线路上，从站到站沿线全长千米。班车在站停留，站到站、站到站的平均行驶速度分别为千米/时、千米/时。根据题意，可列方程为（　　）。 车站 到站时刻 离站时刻 — : : : : — A． B． C． D． D4　【原创题型训练（非真题）】一列火车匀速通过一座长米的桥，从车头刚驶上桥到车尾刚驶离桥共用秒，从车尾刚驶上桥到车头刚驶离桥共用秒。该列火车以同一速度继续行驶，通过另一座长米的桥。当车头刚驶离这座短桥时，车尾________（填“已”或“尚未”）驶上短桥，车尾距短桥入口________米。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $