4.3 一元一次方程中的日历问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

一元一次方程中的日历问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册 学生版 以下月历以星期日为每周第一天。每个方框必须完整落在所给月份内，横向不能从周末跨到下一行。 内容导航 学习内容 对应内容 一、知识详解 日期关系、方框位置与例子 二、典例与变式 例1—例3，各配3道变式 三、A组 基础巩固 日期表示、阴影日期的和、整数日期 四、B组 难点突破 部分日期的和、去掉一格、不同月份 五、C组 综合应用 重叠日期、不同框法与位置检查 六、D组 培优挑战 不同方框与月份中的日期关系及最大值 一、知识详解 （一）日历中的日期关系 月历按每周七天排列。同一行向右一格增加1；同一列向下一格增加7。设左上角日期为两行三列应写成上排下排相邻两日期可能分居星期六与下一行星期日，不能因为日期连续就把它们当作同一行。 若一个三行三列方框全部在本月内，设中心日期为各格日期可表示为： 同一列上下相邻的日期相差7。中心两侧相对的日期两两相加，每对的和都是四对日期再加中心日期，九个日期的和就是 短例1：2025年1月中，一个两行两列方框的日期和为56。设左上角为解得日期为10、11、17、18。10日为星期五，11日为星期六，下一行相应日期为17、18，完整方框合法，和为56。 （二）选择格子的日期关系 先看清参与求和的格子，不要把未涂阴影的格也算入；对于缺一格的方框，可以逐格相加，也可以完整框总和减去白格日期。用后一种方法时，白格日期是一个整体，前面是减号时必须正确去括号。同一日期若分别属于题设相加的两个小框，应按每个小框各计算一次；只有题目求不同日期的总和时才只算一次。 短例2：2025年1月某三行三列方框，除右上角外八个日期的和为86。设中心为九格总和为右上角为因此右上角为4。完整方框为2、3、4；9、10、11；16、17、18，横跨星期四至星期六，全部合法。八日期和为 （三）方框方向与日期检查 两行三列与三行两列的日期排列不同，不能使用同一组含的式子。位置未确定时，把题目允许的框法逐一列出，每种框法分别设一个未知数。方程求出的数还要满足：日期是整数；所有方框格在当月；横向不越星期列；外框中的白格也必须存在。不得把不合法日期四舍五入，也不得把“33日”改为下月日期后仍沿用原方程。 短例3：2025年1月两行两列方框的和为44。得方框为7、8；14、15。7日是星期二，右侧为星期三，完整方框均在本月。若存在方向或去掉格的多个候选，每个都须像这样核实，不能见到第一个整数解就停止。 日期范围题可利用整数和逐日变化筛选有限候选。求最大值时先列全实际合法位置，再比较所求量，不能把代数上最大的日期直接当作合法位置。 二、典例与变式 （一）日历中的日期关系 例1 两行两列的和 用图中的方框在2025年1月月历中框出两行两列相邻的四个日期，四个日期的和是64。求这四个日期。 变式1-1 两行三列的和 用图中的方框框出两行三列相邻的六个日期，六个日期的和是75。求左上角和右下角的日期。 变式1-2 九宫格的和 用图中的方框框出三行三列相邻的九个日期，九个日期的和是135。求中间一行的三个日期。 变式1-3 上下两行的倍数关系 框出图示的六个日期，下面一行三个日期的和等于上面一行三个日期和的2倍。求上面一行的三个日期。 （二）选择格子的日期关系 例2 四角阴影日期 图中阴影部分是三行三列方框的四个角。框住本月九个日期后，四个阴影日期的和为64。求这四个日期。 变式2-1 十字形日期 图中五个阴影格组成十字形。将图示三行三列方框放在本月月历中，五个阴影日期的和为80。求中心日期。 变式2-2 九格中去掉一个角 三行三列方框中，除右上角外，其余八格涂有阴影。八个阴影日期的和为126。求未涂阴影的日期。 变式2-3 六格中去掉下方中格 两行三列方框中，下面一行中间的格子未涂阴影，其余五格涂有阴影。五个阴影日期的和为59。求未涂阴影的日期。 （三）方框方向与日期检查 例3 方框方向有两种 图①与图②分别是两行三列、三行两列的方框。在本月月历中用其中一种方框框出六个日期，和为99。求所有可能的框法，写出相应的六个日期。 变式3-1 九个日期的总和 用图示方框在2025年1月月历中框出三行三列相邻的九个日期，使它们的和为99。求全部符合条件的日期；不存在时填“无解”。 变式3-2 四个日期的总和 用图示方框在2025年1月月历中框出两行两列相邻的四个日期，使它们的和为120。求全部符合条件的日期；不存在时填“无解”。 变式3-3 由总和范围确定位置 用图示方框框出两行三列相邻的六个日期，六个日期的和大于100且小于120。求左上角日期的所有可能值。 三、A组 基础巩固 A1 两行两列 在2025年1月中框出图示四个日期，最大的日期等于最小日期的2倍减5。求这四个日期。 A2 同一行的三个日期 在2025年1月中，图示同一行相邻的三个日期的和为51。求这三个日期。 A3 六个日期的总和 在2025年1月中框出图示六个日期，使它们的和为114。求全部符合条件的日期；不存在时填“无解”。 A4 三个阴影格 在2025年1月中放入图示三行三列方框，三个阴影日期的和为60。求三个阴影日期。 A5 四格中的白格 在2025年1月中放入图示方框，三个阴影日期的和为43。求未涂阴影的日期。 A6 三行两列 在2025年1月中框出图示六个日期，左下角日期等于左上角日期的3倍减4。求六个日期。 四、B组 难点突破 B1 两种部分和 在2025年1月中框出图示六个日期，上面一行三个日期的和比中间一列两个日期的和大7。求这六个日期。 B2 四角与中间一行 在2025年1月中放入图示方框，四个阴影日期的和等于中间一行三个日期和的2倍减26。求四个阴影日期。 B3 中间白格 在2025年1月中放入图示方框，外圈八个阴影日期的和为136。求中间白格的日期。 B4 一行与两个角 在2025年1月中框出图示六个日期，上面一行三个日期的和比左下角与右下角两个日期的和大3。求全部六个日期。 B5 去掉一个日期 在2025年1月中框出图示四个日期，去掉其中一个日期后，其余三个日期的和为60。求原来四个日期及被去掉的日期的所有可能情况。 B6 阴影与白格的总和 在2026年2月中放入图示三行三列方框，五个阴影日期的和为90。求四个白格日期的和。 五、C组 综合应用 C1 由角上日期确定方向 在2025年1月中用图①或图②框出六个日期，左下角日期等于右上角日期的2倍减5。求全部框法及相应的六个日期。 C2 不同月份的合法位置 分别在2025年1月、2026年8月、2026年4月月历中，用图示两行三列方框框出六个日期，使它们的和为159。分别写出各月全部符合条件的六个日期；不存在时填“无解”。 C2（续） C3 去掉四角之一 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉四个角中的一个日期后，剩余八个日期的和为138。求原九个日期及被去掉的日期的全部可能情况；不存在时填“无解”。 C4 左右两个四格方框 在2025年1月中框出图示两行三列的六个日期。左边两列的四个日期之和，加上右边两列的四个日期之和，结果为148。求六个日期的和。 C5 部分和的范围 在2025年1月中放入图示方框，五个阴影日期的和大于110且小于125。求方框内六个日期的全部可能情况。 C6 白格的两种位置 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉中心日期或上排中间日期中的一个后，剩余八个日期的和为128。求原来九个日期及被去掉的日期的全部可能情况。 六、D组 培优挑战 D1 去掉一整行 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉其中一整行的三个日期后，剩余六个日期的和为102。求全部原方框及被去掉的三个日期。 D2 方向与去掉的角 在2025年1月中，用图①或图②框出六个日期，去掉四个角中的一个日期后，剩余五个日期的和为90。求全部原方框及被去掉的日期。 D3 上下两排的日期范围 在2025年1月中框出图示九个日期，上排的三个日期均不大于10，下排的三个日期均大于20。求九个日期的和的所有可能值及相应的九个日期。 D4 两个月均能框出 在2025年1月和2026年2月的月历中分别框出图示的四个日期，两个方框中的四个数相同，且都不小于15。求这四个数的所有可能情况。 D5 八个日期的和 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉其中任意一个日期后，剩余八个日期的和为136。求全部原方框及被去掉的日期。 D6 剩余日期和的最大值 在2025年1月中框出图示九个日期，它们的和小于180。去掉四个角中的一个日期，求剩余八个日期和的最大值，并写出达到最大值时的全部原方框及被去掉的日期。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程中的日历问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 以下月历以星期日为每周第一天。每个方框必须完整落在所给月份内，横向不能从周末跨到下一行。 内容导航 学习内容 对应内容 一、知识详解 日期关系、方框位置与例子 二、典例与变式 例1—例3，各配3道变式 三、A组 基础巩固 日期表示、阴影日期的和、整数日期 四、B组 难点突破 部分日期的和、去掉一格、不同月份 五、C组 综合应用 重叠日期、不同框法与位置检查 六、D组 培优挑战 不同方框与月份中的日期关系及最大值 一、知识详解 （一）日历中的日期关系 月历按每周七天排列。同一行向右一格增加1；同一列向下一格增加7。设左上角日期为两行三列应写成上排下排相邻两日期可能分居星期六与下一行星期日，不能因为日期连续就把它们当作同一行。 若一个三行三列方框全部在本月内，设中心日期为各格日期可表示为： 同一列上下相邻的日期相差7。中心两侧相对的日期两两相加，每对的和都是四对日期再加中心日期，九个日期的和就是 短例1：2025年1月中，一个两行两列方框的日期和为56。设左上角为解得日期为10、11、17、18。10日为星期五，11日为星期六，下一行相应日期为17、18，完整方框合法，和为56。 （二）选择格子的日期关系 先看清参与求和的格子，不要把未涂阴影的格也算入；对于缺一格的方框，可以逐格相加，也可以完整框总和减去白格日期。用后一种方法时，白格日期是一个整体，前面是减号时必须正确去括号。同一日期若分别属于题设相加的两个小框，应按每个小框各计算一次；只有题目求不同日期的总和时才只算一次。 短例2：2025年1月某三行三列方框，除右上角外八个日期的和为86。设中心为九格总和为右上角为因此右上角为4。完整方框为2、3、4；9、10、11；16、17、18，横跨星期四至星期六，全部合法。八日期和为 （三）方框方向与日期检查 两行三列与三行两列的日期排列不同，不能使用同一组含的式子。位置未确定时，把题目允许的框法逐一列出，每种框法分别设一个未知数。方程求出的数还要满足：日期是整数；所有方框格在当月；横向不越星期列；外框中的白格也必须存在。不得把不合法日期四舍五入，也不得把“33日”改为下月日期后仍沿用原方程。 短例3：2025年1月两行两列方框的和为44。得方框为7、8；14、15。7日是星期二，右侧为星期三，完整方框均在本月。若存在方向或去掉格的多个候选，每个都须像这样核实，不能见到第一个整数解就停止。 日期范围题可利用整数和逐日变化筛选有限候选。求最大值时先列全实际合法位置，再比较所求量，不能把代数上最大的日期直接当作合法位置。 二、典例与变式 （一）日历中的日期关系 例1 两行两列的和 用图中的方框在2025年1月月历中框出两行两列相邻的四个日期，四个日期的和是64。求这四个日期。 解答 设左上角日期为则四个日期为列方程解得四个日期为12、13、19、20。12日在星期日列，向右一格及向下一格均在本月，且和为64。 变式1-1 两行三列的和 用图中的方框框出两行三列相邻的六个日期，六个日期的和是75。求左上角和右下角的日期。 解答 设左上角日期为第一行为第二行为列方程解得右下角为17。8日为星期三，右端为星期五，全部日期在本月。 变式1-2 九宫格的和 用图中的方框框出三行三列相邻的九个日期，九个日期的和是135。求中间一行的三个日期。 解答 设中心日期为三行依次为相加得中间一行为14、15、16。完整方框的左上角为7，右下角为23，横向星期二至星期四，位置合法。 变式1-3 上下两行的倍数关系 框出图示的六个日期，下面一行三个日期的和等于上面一行三个日期和的2倍。求上面一行的三个日期。 解答 设左上角日期为两行和分别为由得上面一行为6、7、8，下面一行为13、14、15。6日是星期一，横跨星期一至星期三且在本月；21的2倍为42。 （二）选择格子的日期关系 例2 四角阴影日期 图中阴影部分是三行三列方框的四个角。框住本月九个日期后，四个阴影日期的和为64。求这四个日期。 解答 设左上角日期为阴影日期为由得四角为8、10、22、24。整个方框为星期三至星期五，最小8、最大24，均存在。 变式2-1 十字形日期 图中五个阴影格组成十字形。将图示三行三列方框放在本月月历中，五个阴影日期的和为80。求中心日期。 解答 设中心日期为五个阴影日期为由得五个日期为9、15、16、17、23；完整外框的左上角为8，星期三至星期五，位置合法。 变式2-2 九格中去掉一个角 三行三列方框中，除右上角外，其余八格涂有阴影。八个阴影日期的和为126。求未涂阴影的日期。 解答 设中心日期为九格的总和为右上角日期为由得未涂阴影的日期为9。完整框为7至23的三行三列日期，星期二至星期四，位置合法。 变式2-3 六格中去掉下方中格 两行三列方框中，下面一行中间的格子未涂阴影，其余五格涂有阴影。五个阴影日期的和为59。求未涂阴影的日期。 解答 设左上角日期为五个阴影日期之和为由得未涂阴影的日期为方框两行分别为8、9、10与15、16、17，位置合法。 （三）方框方向与日期检查 例3 方框方向有两种 图①与图②分别是两行三列、三行两列的方框。在本月月历中用其中一种方框框出六个日期，和为99。求所有可能的框法，写出相应的六个日期。 解答 图①：设左上角为由得日期为12、13、14；19、20、21，星期日至星期二，合法。图②：六个日期为由得日期为9、10；16、17；23、24，星期四至星期五，合法。 两种方向均有且仅有一处，故共两种。 变式3-1 九个日期的总和 用图示方框在2025年1月月历中框出三行三列相邻的九个日期，使它们的和为99。求全部符合条件的日期；不存在时填“无解”。 解答 设中心日期为必要条件给出对应左上角为3。3日是星期五，三列需要星期五、星期六及右侧第三列，超出本行；3、4、5虽连续，却不能排成同一行。因此在给定月历中不能框出。不能只检查最小3、最大19都在1至31之间。 变式3-2 四个日期的总和 用图示方框在2025年1月月历中框出两行两列相邻的四个日期，使它们的和为120。求全部符合条件的日期；不存在时填“无解”。 解答 设左上角为由得形式上得到26、27、33、34，但本月只有31天，33、34不是本月日期，故不能框出。不能把33、34写成下月2、3后仍沿用原和。 变式3-3 由总和范围确定位置 用图示方框框出两行三列相邻的六个日期，六个日期的和大于100且小于120。求左上角日期的所有可能值。 解答 设左上角日期为六个日期的和为时和为时和为123；每增加1，和增加6，所以满足条件的整数只能为13、14、15，对应总和105、111、117。 三种框的左右列依次为星期一至星期三、星期二至星期四、星期三至星期五，最大日期分别22、23、24，均合法。 三、A组 基础巩固 A1 两行两列 在2025年1月中框出图示四个日期，最大的日期等于最小日期的2倍减5。求这四个日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为13、14；20、21。左端为星期一，右端为星期二，最小13、最大21均在本月，位置合法。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 A2 同一行的三个日期 在2025年1月中，图示同一行相邻的三个日期的和为51。求这三个日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为16、17、18。左端为星期四，右端为星期六，最小16、最大18均在本月，位置合法。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 A3 六个日期的总和 在2025年1月中框出图示六个日期，使它们的和为114。求全部符合条件的日期；不存在时填“无解”。 解答 设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 所有分支均已排除，所求为无解。 A4 三个阴影格 在2025年1月中放入图示三行三列方框，三个阴影日期的和为60。求三个阴影日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为12、13、14；19、20、21；26、27、28。左端为星期日，右端为星期二，最小12、最大28均在本月，位置合法。 所求三个阴影日期为12、20、28，和为60。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 A5 四格中的白格 在2025年1月中放入图示方框，三个阴影日期的和为43。求未涂阴影的日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为9、10；16、17。左端为星期四，右端为星期五，最小9、最大17均在本月，位置合法。 所求白格日期为9，其余10、16、17之和为43。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 A6 三行两列 在2025年1月中框出图示六个日期，左下角日期等于左上角日期的3倍减4。求六个日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为9、10；16、17；23、24。左端为星期四，右端为星期五，最小9、最大24均在本月，位置合法。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 四、B组 难点突破 B1 两种部分和 在2025年1月中框出图示六个日期，上面一行三个日期的和比中间一列两个日期的和大7。求这六个日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为13、14、15；20、21、22。左端为星期一，右端为星期三，最小13、最大22均在本月，位置合法。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 B2 四角与中间一行 在2025年1月中放入图示方框，四个阴影日期的和等于中间一行三个日期和的2倍减26。求四个阴影日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为5、6、7；12、13、14；19、20、21。 左端为星期日，右端为星期二，最小5、最大21均在本月，位置合法。 所求四角为5、7、19、21，其和52；中间一行12、13、14之和 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 B3 中间白格 在2025年1月中放入图示方框，外圈八个阴影日期的和为136。求中间白格的日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为9、10、11；16、17、18；23、24、25。 左端为星期四，右端为星期六，最小9、最大25均在本月，位置合法。 所求中心白格为17；完整九格总和153，去掉17为136。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 B4 一行与两个角 在2025年1月中框出图示六个日期，上面一行三个日期的和比左下角与右下角两个日期的和大3。求全部六个日期。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为16、17、18；23、24、25。左端为星期四，右端为星期六，最小16、最大25均在本月，位置合法。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 B5 去掉一个日期 在2025年1月中框出图示四个日期，去掉其中一个日期后，其余三个日期的和为60。求原来四个日期及被去掉的日期的所有可能情况。 解答 去掉左上角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉右上角：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为15、16；22、23。左端为星期三，右端为星期四，最小15、最大23均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为16。 去掉左下角：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为17、18；24、25。左端为星期五，右端为星期六，最小17、最大25均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为24。 去掉右下角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 方框四格均可能被去掉；四个分支互不遗漏。 B6 阴影与白格的总和 在2026年2月中放入图示三行三列方框，五个阴影日期的和为90。求四个白格日期的和。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为10、11、12；17、18、19；24、25、26。左端为星期二，右端为星期四，最小10、最大26均在本月，位置合法。 中心日期为18，完整九日期之和为四个白格的日期为11、17、19、25，和为 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 五、C组 综合应用 C1 由角上日期确定方向 在2025年1月中用图①或图②框出六个日期，左下角日期等于右上角日期的2倍减5。求全部框法及相应的六个日期。 解答 图①两行三列：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为8、9、10；15、16、17。左端为星期三，右端为星期五，最小8、最大17均在本月，位置合法。 图②三行两列：设左上角日期为由整理为解得所需最小日期为17、最大日期为32，超出本月1至31日，舍去。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 C2 不同月份的合法位置 分别在2025年1月、2026年8月、2026年4月月历中，用图示两行三列方框框出六个日期，使它们的和为159。分别写出各月全部符合条件的六个日期；不存在时填“无解”。 C2（续） 解答 2025年1月：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为22、23、24；29、30、31。左端为星期三，右端为星期五，最小22、最大31均在本月，位置合法。 2026年8月：设左上角日期为由整理为解得22日位于星期六列，方框向右超出本行，不能把下一行日期接在本行末尾，舍去。 2026年4月：设左上角日期为由整理为解得所需最小日期为22、最大日期为31，超出本月1至30日，舍去。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 C3 去掉四角之一 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉四个角中的一个日期后，剩余八个日期的和为138。求原九个日期及被去掉的日期的全部可能情况；不存在时填“无解”。 解答 去掉左上角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉右上角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉左下角：设左上角日期为由整理为解得10日位于星期五列，方框向右超出本行，不能把下一行日期接在本行末尾，舍去。 去掉右下角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 所有分支均已排除，所求为无解。 C4 左右两个四格方框 在2025年1月中框出图示两行三列的六个日期。左边两列的四个日期之和，加上右边两列的四个日期之和，结果为148。求六个日期的和。 解答 设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为14、15、16；21、22、23。 左端为星期二，右端为星期四，最小14、最大23均在本月，位置合法。 所求六日期和为两四格和分别为72、76，和为148。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 中间一列在两个四格方框中各出现一次，题设的两部分和相加会计算它两次；所求六日期之和只计算一次。 C5 部分和的范围 在2025年1月中放入图示方框，五个阴影日期的和大于110且小于125。求方框内六个日期的全部可能情况。 解答 设左上角日期为阴影日期和为逐一比较整数日期，满足110与125之间总和的候选为17、18、19。每个候选均须检查完整外框。 17日位于星期五列，方框向右超出本行，不能把下一行日期接在本行末尾，舍去。 18日位于星期六列，方框向右超出本行，不能把下一行日期接在本行末尾，舍去。 完整方框各行依次为19、20、21；26、27、28。左端为星期日，右端为星期二，最小19、最大28均在本月，位置合法。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 C6 白格的两种位置 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉中心日期或上排中间日期中的一个后，剩余八个日期的和为128。求原来九个日期及被去掉的日期的全部可能情况。 解答 去掉中心日期：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为8、9、10；15、16、17；22、23、24。 左端为星期三，右端为星期五，最小8、最大24均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为16。 去掉上排中间日期：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 六、D组 培优挑战 D1 去掉一整行 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉其中一整行的三个日期后，剩余六个日期的和为102。求全部原方框及被去掉的三个日期。 解答 去掉上排：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉中排：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为9、10、11；16、17、18；23、24、25。 左端为星期四，右端为星期六，最小9、最大25均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为16、17、18。 去掉下排：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 D2 方向与去掉的角 在2025年1月中，用图①或图②框出六个日期，去掉四个角中的一个日期后，剩余五个日期的和为90。求全部原方框及被去掉的日期。 解答 图①去掉左上角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 图①去掉右上角：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为13、14、15；20、21、22。左端为星期一，右端为星期三，最小13、最大22均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为15。 图①去掉左下角：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为14、15、16；21、22、23。左端为星期二，右端为星期四，最小14、最大23均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为21。 图①去掉右下角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 图②去掉左上角：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为9、10；16、17；23、24。左端为星期四，右端为星期五，最小9、最大24均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为9。 图②去掉右上角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 图②去掉左下角：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 图②去掉右下角：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为12、13；19、20；26、27。左端为星期日，右端为星期一，最小12、最大27均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为27。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 D3 上下两排的日期范围 在2025年1月中框出图示九个日期，上排的三个日期均不大于10，下排的三个日期均大于20。求九个日期的和的所有可能值及相应的九个日期。 解答 设左上角日期为上排最大日期为下排最小日期为上排三个日期均不大于10，要求最多为8；下排三个日期均大于20，要求至少为7。为整数，因此只能为7或8。 完整方框各行依次为7、8、9；14、15、16；21、22、23。左端为星期二，右端为星期四，最小7、最大23均在本月，位置合法。九日期的和为 完整方框各行依次为8、9、10；15、16、17；22、23、24。左端为星期三，右端为星期五，最小8、最大24均在本月，位置合法。九日期的和为 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 D4 两个月均能框出 在2025年1月和2026年2月的月历中分别框出图示的四个日期，两个方框中的四个数相同，且都不小于15。求这四个数的所有可能情况。 解答 设四个日期为四个日期均不小于15，故至少为15。2026年2月有28天，故最多为20。只须检查15、16、17、18、19、20这六个整数。 2025年1月，完整方框各行依次为15、16；22、23。左端为星期三，右端为星期四，最小15、最大23均在本月，位置合法。 2026年2月，完整方框各行依次为15、16；22、23。左端为星期日，右端为星期一，最小15、最大23均在本月，位置合法。 2025年1月，完整方框各行依次为16、17；23、24。左端为星期四，右端为星期五，最小16、最大24均在本月，位置合法。 2026年2月，完整方框各行依次为16、17；23、24。左端为星期一，右端为星期二，最小16、最大24均在本月，位置合法。 2025年1月，完整方框各行依次为17、18；24、25。左端为星期五，右端为星期六，最小17、最大25均在本月，位置合法。 2026年2月，完整方框各行依次为17、18；24、25。左端为星期二，右端为星期三，最小17、最大25均在本月，位置合法。 2025年1月，18日位于星期六列，方框向右超出本行，不能把下一行日期接在本行末尾，舍去。 2026年2月，完整方框各行依次为18、19；25、26。左端为星期三，右端为星期四，最小18、最大26均在本月，位置合法。 2025年1月，完整方框各行依次为19、20；26、27。左端为星期日，右端为星期一，最小19、最大27均在本月，位置合法。 2026年2月，完整方框各行依次为19、20；26、27。左端为星期四，右端为星期五，最小19、最大27均在本月，位置合法。 2025年1月，完整方框各行依次为20、21；27、28。左端为星期一，右端为星期二，最小20、最大28均在本月，位置合法。 2026年2月，完整方框各行依次为20、21；27、28。左端为星期五，右端为星期六，最小20、最大28均在本月，位置合法。 只有18在2025年1月位于星期六，不能作两列方框左端；其余五种在两个月都合法。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 D5 八个日期的和 在2025年1月中框出图示九个日期，去掉其中任意一个日期后，剩余八个日期的和为136。求全部原方框及被去掉的日期。 解答 去掉第1行第1列日期：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为8、9、10；15、16、17；22、23、24。 左端为星期三，右端为星期五，最小8、最大24均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为8。 去掉第1行第2列日期：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉第1行第3列日期：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉第2行第1列日期：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉第2行第2列日期：设左上角日期为由整理为解得完整方框各行依次为9、10、11；16、17、18；23、24、25。 左端为星期四，右端为星期六，最小9、最大25均在本月，位置合法。 该分支被去掉的日期为17。 去掉第2行第3列日期：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉第3行第1列日期：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉第3行第2列日期：设左上角日期为由整理为解得不是整数，不能作为日期。 去掉第3行第3列日期：设左上角日期为由整理为解得10日位于星期五列，方框向右超出本行，不能把下一行日期接在本行末尾，舍去。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 D6 剩余日期和的最大值 在2025年1月中框出图示九个日期，它们的和小于180。去掉四个角中的一个日期，求剩余八个日期和的最大值，并写出达到最大值时的全部原方框及被去掉的日期。 解答 设左上角日期为九日期之和为时总和为180，且每增加1，总和增加9；题设总和小于180，所以整数只能从1至11中取值。实际月历中三列完整方框的合法左上角依次为1、2、5、6、7、8、9；3、4、10、11均因星期列越界被排除。 四个角依次为去掉的日期越小，剩余八日期和越大，因此对同一个方框，唯一最优是去掉左上角剩余和为此和随每增加1而增加8，合法候选中最大的为9，所以最大值 完整方框各行依次为9、10、11；16、17、18；23、24、25。左端为星期四，右端为星期六，最小9、最大25均在本月，位置合法。 达到最大值时唯一原方框为9、10、11；16、17、18；23、24、25，去掉9日。 上述分支已穷尽题设允许的情况；所列合法方框即全部答案。 1 学科网（北京）股份有限公司 $