精品解析：广西壮族自治区平南县中学等校2026-2027学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标， 纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，横坐标不变， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 2. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线：化为斜截式得：， 所以斜率， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 因为， 所以， 所以直线的倾斜角为. 3. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 4. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间基底及空间向量共面性质求解． 【详解】对于A，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，A错误； 对于B，设，则， 得，显然方程组无解， 故向量与向量，不共面，故能构成一个基底，B正确； 对于C，，则向量与向量，共面， 故不能构成一个基底，C错误； 对于D，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，D错误． 5. 已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程得求出，直线：恒过，故，因为均在轴上，所以. 【详解】联立方程得，解得，故， 直线：恒过，故， 因为均在轴上， 所以的面积为. 6. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 7. 如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，先证明平面，得出在平面内的投影向量为，即是在上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 8. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得，，直线l的方向向量为， 所以点P到直线l的距离为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个法向量 B. 是的一个单位法向量 C. 若是的一个法向量，则 D. 若直线，则是的一个方向向量 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线 垂直平面 ，确定直线 的方向向量 即为平面 的法向量；选项 A、B，先根据与平面法向量共线的向量仍是该平面的法向量，再结合向量模长判断是否为单位法向量；选项C，利用两平面平行的充要条件是法向量共线，检验两个法向量之间是否存在数乘关系；选项D，通过向量点积判断该向量与平面法向量垂直，得到向量平行于平面，同时辨析概念，向量平行于平面并不代表平面内任意直线都以该向量作为方向向量. 【详解】 ，是的方向向量， 为平面的一个法向量， ， 选项 A：，与 共线， 是平面的一个法向量， 正确； 选项 B：，与 共线， ，模长为 1， 是 的一个单位法向量， 正确； 选项 C：若 是 的一个法向量，则，即两法向量共线， 假设，即：， ，方程组无解，与不共线，故 与 不平行， 错误； 选项 D：若直线，则是的一个方向向量， ， ∴，说明 平面 ， 但平面 内有无数条方向不同的直线，不能说任意 都以为方向向量， 错误. 10. 设点，若在直线：与直线：上分别存在点，，使得为等边三角形，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】根据题意可知：点在直线上，也在直线上， 且直线的斜率，倾斜角为， 因为为等边三角形，则与的夹角为． 的倾斜角为或，所以或． 11. 若点平面，过点M作垂直于平面的直线，垂足为N，则称点N为点M在平面上的正投影，记．如图，在直三棱柱中，，，，记平面为β，平面为γ，P是棱上一动点（与A，C均不重合），，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 存在点P，使得平面 D. 存在点P，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，分别表示出，，的坐标，代入计算即可得出答案. 【详解】由题可得，，三条线两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设平面的法向量为，，，，，其中， 易得平面的一个法向量为， 因为，， 所以，所以， 取，则平面的一个法向量为， 因为点在上，， 所以，即点坐标表示为， 由题可得平面，且平面，所以， 所以平面，平面，平面 所以， 所以有，即点在平面上，又因为平面平面， 所以点在上，易得， 联立，解得，即点坐标为， 同理可得点坐标为，点坐标为， 所以，， 所以， 因为，所以当时取得最小值， 若，，若，，， 因为，所以，故A正确； ， 对于二次函数，对称轴为直线， 当时，， 所以最小值为，故B错误； 若平面，则，即， 解得，故C正确； 若，则， ，所以有两个不同的实根， ，，符合题意， 所以存在点，使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在轴上的截距为______． 【答案】6 【解析】 【详解】因为，令，解得. 13. 已知是圆柱的母线，在底面圆上，，，，则该圆柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用空间两点距离公式求出底面圆半径与母线长，代入圆柱体积公式计算. 【详解】因为点在底面圆上，所以底面圆的半径是点到圆心的距离，因此底面半径. 因为是圆柱的母线，且母线长等于圆柱的高，由，，得向量， 所以母线长（即圆柱的高）. 故圆柱体积为. 14. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到点在平行于的直线上，且到的距离相等，根据平行线的距离公式得到所在的直线，最后利用点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图所示，点在与之间，且到这两条直线的距离相等，所以点在平行于这两条直线的直线上， 设该直线的方程为，则，解得， 故的最小值为点到直线的距离，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量，，满足，，，，且． （1）求，，的值； （2）求． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，，，， 所以， ， ． 【小问2详解】 16. 已知的三个顶点是，，． （1）证明：直线的倾斜角为钝角． （2）求与直线平行且经过点的直线的点斜式方程． （3）求边上的高所在直线的一般式方程． 【答案】（1）证明：因为， 所以直线的倾斜角为钝角． （2） （3）． 【解析】 【详解】（1）略 （2）因为， 与直线平行的直线斜率为，且过点， 所以与直线平行且经过点的直线的点斜式方程为． （3）因为，则边上的高所在直线的斜率为， 且过点，的方程为，即， 所以所求直线的一般式方程为． 17. 如图，圆锥PO的底面半径为6，高为6，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且，H为PA的中点，点M为的重心.以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． （1）求点M的坐标． （2）证明：为直角三角形． （3）求点D到平面PBC的距离． 【答案】（1） （2）， 向量：， 点积：， ，即，所以是直角三角形. （3）距离为 【解析】 【分析】立空间直角坐标系，利用三角形重心坐标公式，代入三点坐标求出重心坐标，即可得解； 先求出中点的坐标，写出向量与，算向量点积，由点积为证两向量垂直，判定为直角三角形； 求平面的两个方向向量，解方程组得到平面法向量，利用向量投影的几何意义，计算点到平面的距离. 【小问1详解】 底面半径，高；为轴，为轴，为轴， ，， ，，，，， ，在平面，， 由是的重心，得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ，设法向量， ，取， 在平面取一点，而，则， 点到平面的距离为向量,在法向量方向上投影的绝对值：， 代入计算：， ，. 18. 如图1，在直角梯形中，，，，点在线段上，．将沿折起，使点移动到点的位置，连接，，得到如图2所示的四棱锥．设线段的中点为． （1）若，证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）方法一：连接， 依题意得，，均为等腰直角三角形， 则， 则，所以， 又，，所以，则， 因为，平面，所以平面． 方法二：由，得，． 又，，所以， 因为，， 所以，则， 所以，则， 又，，所以，则， 因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）折叠问题，先由平面图形得到，再用勾股逆定理证明，结合线面垂直判定定理完成证明； （2）取中点，根据长度，利用余弦定理确定角度，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，计算法向量夹角，得到二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，．因为，所以， 因为为的中位线，所以， 由（1）可知，所以， 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面， 因为，，所以， 则， 易得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 则 令，得， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为． 19. 如图，在直四棱柱中，点E在上，，F是的中点，． （1）证明：平面． （2）已知四边形是菱形． ①若，证明：平面． ②若为锐角，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）取的中点，连接， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面． （2）①由题意知. 若，则，且， 因为，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 因为平面， 所以平面． ② 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据面面平行的判定定理，证明平面平面，从而证得平面； （2）①建立空间直角坐标系，利用向量根据线面垂直的判定定理证明平面；②设，根据等体积法用表示点到平面的距离，从而表示出直线与平面所成角的正弦值，再构造函数，利用导数求得其最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 中，， ， ， 所以， 所以， 所以. . 设点到平面的距离为， 由， 即， 得 所以直线与平面所成角的正弦值为. 令，则， ， ， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在，即，处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个法向量 B. 是的一个单位法向量 C. 若是的一个法向量，则 D. 若直线，则是的一个方向向量 10. 设点，若在直线：与直线：上分别存在点，，使得为等边三角形，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 若点平面，过点M作垂直于平面的直线，垂足为N，则称点N为点M在平面上的正投影，记．如图，在直三棱柱中，，，，记平面为β，平面为γ，P是棱上一动点（与A，C均不重合），，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 存在点P，使得平面 D. 存在点P，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在轴上的截距为______． 13. 已知是圆柱的母线，在底面圆上，，，，则该圆柱的体积为______． 14. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量，，满足，，，，且． （1）求，，的值； （2）求． 16. 已知的三个顶点是，，． （1）证明：直线的倾斜角为钝角． （2）求与直线平行且经过点的直线的点斜式方程． （3）求边上的高所在直线的一般式方程． 17. 如图，圆锥PO的底面半径为6，高为6，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且，H为PA的中点，点M为的重心.以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． （1）求点M的坐标． （2）证明：为直角三角形． （3）求点D到平面PBC的距离． 18. 如图1，在直角梯形中，，，，点在线段上，．将沿折起，使点移动到点的位置，连接，，得到如图2所示的四棱锥．设线段的中点为． （1）若，证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 19. 如图，在直四棱柱中，点E在上，，F是的中点，． （1）证明：平面． （2）已知四边形是菱形． ①若，证明：平面． ②若为锐角，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $