1.1 三角形高线中的角度计算与分类讨论 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

三角形高线中的角度计算与分类讨论 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 本专题学习高与角平分线形成的角度关系，练习按垂足和交点的位置分类求角，并检查每一种答案。条件图只作示意，不限制全部可能位置；角度以题干和图下条件为准。 学习导航 基本知识 → 典例与变式 → A组基础巩固 → B组方法训练 → C组综合运用 → D组培优与期末衔接 一、基本知识 （一）高可以落在边上或延长线上 从A向直线BC作垂线，交点D为垂足，AD是△ABC的高。D不必在线段BC内部；D与B或C重合时，某条边本身就是高。A、B、C是三角形顶点，三个内角都大于0°，和为180°。D不会与A重合。 以A所对的边BC为对象，可能点序只有：D、B、C；B、D、C；B、C、D；另外还有D与B重合或D与C重合。交换B、C的命名，会交换垂足落在两侧延长线上的情况，但不改变判断方法。 （二）由底角判断垂足的位置 记∠ABC为B、∠ACB为C（以下仅在推导中简写）。 - B、C都小于90°：D在BC内部。 - D与B重合；D与C重合。 - 点序D、B、C；点序B、C、D。 理由：垂足在线段BC内部时两个小直角三角形在B、C处的角都是锐角；垂足在BC的延长线上时外侧顶点处的小三角形内角与原底角互为邻补角，所以原底角为钝角。由垂线的唯一性，且上述五种点的位置关系已经列全，反过来也可判断垂足的位置。 仅知道B是锐角不能判断垂足一定在线段BC内部，还须检查C；A为钝角也不能判断垂足一定在BC的延长线上。变式1-1、变式3-1分别针对这两个错误。 （三）根据一条高求所有可能的角 已知β是通常角，D与B不重合时，△ABD为直角三角形，β是锐角；D与B重合时，射线AB、AD重合，因此β不能达到90°。 当D与B不重合时，直角三角形ABD给BD与BC同向时反向时 因此候选为： 1. 2. 每一组必须同时满足再用第二节定位高足。当时，不能直接判断垂足在线段BC内部，因为这一组的C也可能是钝角。 微例：时，第一组B50°、C105°，高足在C外侧；第二组B130°、C25°，高足在B外侧。两组的垂足都在BC的延长线上，但点的顺序不同。 角等于零或直角时怎样检查 - 时，两个候选B都为90°，D与B重合，合成一组，不重复计数。 - 第一组若则D与C重合；这不等于所有满足的题都只有这一组，第二组仍须检验是否为正。 - 且时两组均有效。 - 时第二组不能组成三角形，应舍去。 - 保证第一组若第一组也不成立。 对以上条件可归纳为：时两组；且时一组；时没有符合条件的三角形。对第一组，时C钝角、D在C外侧，时D与C重合，且角度符合条件时，D在线段BC内部。 最后统计符合条件的不同角度组合，不是只数列出的角度算式。 （四）求出的角还要符合原条件 三个角均正且和180°，可按两个内角作出三角形。这只完成“三角形存在”的核查；还须作出高，根据实际点序计算BAD，确认确实等于给定β。 第一组B锐角时，（包括高足在C外侧）；第二组B钝角时，两式代回都给β。端点另验：D与B重合时，D与C重合时， （五）两条高的夹角要看清射线 过B作垂直AC的直线、过C作垂直AB的直线，交于H。两条直线相交形成互补的两种角；“较小角”不超过90°，“∠BHC”则由射线HB、HC指定，可以大于90°。 两条高所在直线分别垂直AC、AB，利用直角或平行线转化，它们形成的较小角为A与中的较小者。这个较小角不一定是∠BHC。 （六）按三角形的角分类计算 排除或因为此时H分别与B或C重合，HB或HC不能确定射线。不能顺便排除此时H与A重合，HB、HC仍可确定， 设F为C到直线AB的垂足，G为B到直线AC的垂足。 1. B、C均锐角：故 - A锐角时H在三角形内部，从两个小直角三角形直接读余角。 - A钝角时F在BA越过A的延长线上，G在CA越过A的延长线上，点序C、F、H及B、G、H。此时BH与BG同向，CH与CF同向，△BCG、△BCF仍分别给相同余角。因此公式仍成立，不能把“H在内部”当必要条件。 - ∠A为直角时，H与A重合，单独读 2. B钝角：点序A、B、F；C、F、H；G、B、H。由直角三角形BCF，由△BCG，BG、BH反向，所以故 3. C钝角：与上项交换B、C，同得 B、C不可能同时为钝角，因此已考虑所有情况。求A的反问题先产生或再核查给定的其他角与点位，不机械保留两个。 （七）高与同顶点角平分线的夹角 AD为∠A内角平分线，D在BC内部；直线BC，E为垂足，角平分线线段AD始终在三角形内，E却可能在外；不能把两者混为一种位置变化。 - E在BC内部：两射线夹角 - E在B外侧：AE与AD分处AB两侧， - E在C外侧：同理 - E与B或C重合时，时AD、AE同射线，D与E重合， 故统一关系为这是由内角和、余角、邻补角推出的关系。 （八）由角的和与差求角和位置 固定时，因此 或交换二者。 由B、C均为正，时两个有序对相同，只算一组。 在可取范围内再看较大底角： - 两底角均锐角，高足内部； - 某个底角为90°，高足与该顶点重合； - 某个底角钝角，高足在该顶点外侧。 上述情况还要同时满足θ的取值范围。例如时，上界不大于所以垂足只能在线段BC内部，不能把垂足在延长线上的情况也列入答案。 微例：时，θ的取值范围为垂足位置的分界值为30°；时，两条射线重合，两组角度相同，只算一种情况；时，垂足与BC的一个端点重合；时，不能组成三角形。这三种情况要分别判断。 （九）怎样写全答案并检查图形 每次先确认：哪条直线垂直哪条直线、角由哪两条射线组成、垂足和交点是否与顶点重合。然后列出可能的角度，检查所有内角是否大于0°，按点的顺序确定位置，再代回原条件检查，合并重复答案后写出所有结果。 （十）延长线和另一顶点的角平分线 1. 同一条直线上的两条反向射线，与第三条射线形成的两个角互补。高线反向延长后，必须按角的三个字母确认射线，不能仍答较小夹角。 2. 三角形外角与相邻内角互补。作外角平分射线时，先确定外角是哪两条射线组成，再判断它与高线在某边同侧还是异侧；不要直接套内角平分线的底角差公式。 3. 高与另一顶点的内角平分线相交，须先区分“线段BE”“射线BE”“直线BE”。若P落在BE反向延长线上，∠ABP与∠ABE互补，不相等。可先用三角形ABP的角和计算，再回验点序。高足在延长线上，并不自动说明P落在哪一段。 4. 锐角三角形内部三高交点H处，∠BHC、∠CHA、∠AHB三个角都是通常角，绕H一周恰好360°，不是180°。分别对应先用周角与比例求交角，再还原顶角。 学习导航与对应练习 知识与方法 典例、变式 分层练习 垂足在线段内部、延长线上或端点 典例1；变式1-1至1-3 A1—A4，B1—B3 找全答案并逐组检查 变式1-2、1-3；变式3-2 B1—B3，C1—C5，D1—D3 看清射线再求两高夹角 典例2；变式2-1至2-3 A5—A6，B4—B5，C4—C6，D1—D2 高与内角平分线 典例3；变式3-1至3-3 C3—C4，C6，D3、D5 外角平分线与另一顶点的高 知识（十）及前面的角度计算 B6、D4 三条高相交形成的周角 知识（十） D6 A组练习基本角度计算，B组练习分类求角，C组综合运用，D组用于培优与期末复习。图形只作示意，不限制全部可能位置。 二、典例与变式 典例1 在△ABC中，过A作直线BC，D为垂足，求∠ACB的所有可能值，并填写每个值对应的垂足D所在位置。 【答案】 D在线段BC内部；点序D、B、C。 【详解】 设∠B为B。由直角三角形的余角与邻补角，或相应为70°或30°。第一组B、C均锐角，D在BC内部；第二组B钝角，D在CB越过B的延长线上。 两组三角形的三个角均正、和为180°，可作出；分别向直线BC作高，垂足在线段BC内部时垂足在BC的延长线上时均回验题设。D与B重合会使D与C重合会使均不符合。 变式1-1 在△ABC中，直线BC于D，求∠B、∠C的所有有序取值，并填写对应的点序。 【答案】 点序B、C、D；(130°,25°)，点序D、B、C。 【详解】 或分别为105°、25°，都大于0°。第一组虽然B为锐角，但C为钝角，高足在BC越过C的延长线上，不能判断D在线段BC内部；第二组B钝角，高足在B外侧。 构造这两组三角形后作高，第一组（且）；第二组全部候选均回验成立。 变式1-2 在△ABC中，直线BC于D，求∠B、∠C，并填写D的位置。 【答案】 D在BC内部。 【详解】 B的候选为70°、110°。当时合法；当时不能组成三角形，舍去。合法组三角形两底角锐角，D在BC内部；回验因此只有一组。这里不是因答案较大而删去110°，而是第三角必须大于0°。 变式1-3 分别求下列各题的∠B、∠C，并填写垂足D的位置。 （1）在△ABC中，直线BC于D， （2）在△ABC中，直线BC于D， 【答案】 （1）D与C重合；或(125°,20°)，点序D、B、C。（2）D与B重合，仅一组。 【详解】 （1）得55°或125°，C分别90°或20°。时过A到直线BC的垂足就是C；另一组B钝角，D在B外侧。回验第一组第二组 （2）表示射线AB与AD重合，B与D又都在直线BC上，所以D与B重合；用得到的两个90°是同一组，不能计两次。作出相应直角三角形，AD就是AB，题设成立。 典例2 在△ABC中，∠B和∠C都不等于90°。过B作垂直于直线AC的直线，过C作垂直于直线AB的直线，两直线交于H。求∠BHC的所有可能值，并对每个值写出一组相应的∠B、∠C。 【答案】 例如或例如 【详解】 当B、C均锐角，两高交点在内部，故 若B钝角，设F、G分别是C到直线AB、B到直线AC的垂足。点序A、B、F，C、F、H，G、B、H。而BG、BH反向，故 因此C钝角时交换B、C，同得50°。B、C不可能同时钝角，因此已考虑所有情况。列出的两组均可作出且满足全部条件。B或C等于90°时H与B或C重合，角BHC无法确定，已由题干排除。 变式2-1 在△ABC中，∠B和∠C都不等于90°。从B、C作出的两条高所在直线交于H，求∠A的所有可能值，并分别写出一组相应的∠B、∠C。 【答案】 例如或例如 【详解】 若B、C均锐角，则给此时A为钝角，H不在三角形内部，但在△BHC中仍有不能误用“H在内部”的前提。取可实现。 若B或C为钝角，则故取作高得两个底角同时为钝角不可能，会给也不符合。故A的全部值为40°、140°。 变式2-2 在△ABC中，过B作垂直于直线AC的直线，过C作垂直于直线AB的直线，交点为H。填写H与哪个顶点重合，并求∠BHC。 【答案】 H与A重合， 【详解】 所以过B垂直于AC的直线就是AB，过C垂直于AB的直线就是AC，交点H与A重合。此时HB、HC分别是AB、AC方向的两条射线，均可确定， 这是H与A重合，不同于H与B重合或H与C重合造成一条射线不能确定，不能全部排除。 变式2-3 在△ABC中，从B、C作出的两条高所在直线相交，它们形成的较小角为40°，交点记为H。求∠A、∠C和∠BHC。 【答案】 【详解】 分别垂直于AB、AC的两直线所成的较小角等于A与中较小的一个（可补一个直角或作平行线转化）。故A为40°或140°。若与相加已超过180°，不成立；故 三个内角均锐角，交点H在内部，两高直线较小角40°与指定射线夹角140°互为补角。 典例3 在△ABC中，AD为∠BAC的内角平分线，D在线段BC上；直线BC于E，求∠B、∠C的所有有序取值，并填写每组对应的垂足E所在位置。 【答案】 点序E、B、C；或(15°,105°)，点序B、C、E。 【详解】 若E在BC内部，AE在A角内，与AD夹角不超过30°；若E与B或C重合，夹角恰为30°，均不符45°。 E在B外侧时，E在C外侧时交换B、C。两组三角形均可作出，作内角平分线与高后，第一组第二组同理，题设全部回验。 变式3-1 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，于E，E在线段BC内部，求△ABC的三个内角。 【答案】 【详解】 E在内部，所以两射线的通常夹角为这两个角之差的绝对值，故因且有得 B、C均为锐角，高足E在BC内部；夹角12°，满足全部条件。A钝角不妨碍这条高足在对边内部。 变式3-2 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E，求∠B、∠C，并填写D、E之间的位置关系。 【答案】 D与E重合，均在线段BC内部。 【详解】 表示AD、AE是同一条射线，且D、E都在直线BC上，所以D与E重合，分别在两个直角三角形ABD、ACD中， 反过来作顶角70°、两底角55°的三角形，A的内角平分线同时垂直BC，两个点确实重合。两个顺序相反的(55°,55°)是同一组，不能记两解。 变式3-3 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E，记 （1）求θ的取值范围，并用θ表示∠B、∠C的所有有序取值。 （2）按θ的取值，填写E在线段BC内部、与端点重合或在延长线上的全部情况。 【答案】 或时合为一组。E内部；E与B或C重合；E在B或C外侧，依钝角所在顶点确定。 【详解】 不论E内部、在B外侧或在C外侧，用余角/邻补角分别可得同时故(B,C)为及交换所得的有序对。角非负且B、C都大于0°，因此 每个这样的θ均给正内角且和180°，构造三角形并作高和内角平分线，依三种位置用上述角追可回验夹角θ，范围充分。 时两底角均小于90°，E内部；时其中一个底角为90°，E与该顶点重合；时为钝角，E在这个顶点外侧。时D与E重合，两个有序对相同。会给一个底角0°，不能取。 三、A组 基础巩固 A1（选择） 在△ABC中，于D。 ∠BAD与∠CAD依次为（　）。 A.48°、22°　B.22°、48°　C.42°、68°　D.48°、70° 【答案】 A；48°、22°。 【详解】 B、C都为锐角，D在BC内部。两个直角三角形分别给和为 A2（填空） 在△ABC中，直线BC于D。填写点序_____，_____。 【答案】 点序B、C、D；58°；18°。 【详解】 C钝角，点序B、C、D。此处不能用两小角相加得到A。 A3（解答） 在△ABC中，直线BC于D。求∠BAD、∠CAD及∠BAC，并按从小到大的顺序写出这三个角。 【答案】 【详解】 B钝角，点序D、B、C。也是三个角依次为BAD、BAC、CAD。 A4（选择） 在△ABC中，从C向直线AB作垂线，垂足为D。D的位置及∠ACD依次为（　）。 A.D在AB内部，52°　B.D与B重合，52°　C.D与A重合，38°　D.D在AB外，38° 【答案】 B。 【详解】 过C到直线AB的垂线唯一，故D与B重合。 A5（填空） 在△ABC中，于D。延长DA至点E，使A在D、E之间。_____。 【答案】 140°；140°。 【详解】 两底角锐角，D在BC内部；AD与AE反向，CAE同为140°。 A6（解答） 在△ABC中，从B、C作出的两条高所在直线交于H。求∠HBC、∠HCB及∠BHC。 【答案】 25°，50°，105°。 【详解】 三个内角均锐角，H在内部。 四、B组 方法训练 B1（解答） 在△ABC中，直线BC于D，记已知求x及∠A、∠B、∠C的所有取值，并填写D的位置。 【答案】 时D在B外侧；时(45°,67.5°,67.5°)，D在BC内部。 【详解】 且时，时，两组内角均正且和180°，位置分别由B钝角及两底角锐角确定。 作出两组三角形并作高，BAD分别为和回验等于x，比例亦成立。 B2（选择） 在△ABC中，直线BC于D，∠A的所有可能值为（　）。 A.只有70°　B.只有30°　C.30°或70°　D.20°或50° 【答案】 C。 【详解】 由BAD得或110°；由CAD得或140°。B、C之和必须小于180°，只保留(70°,40°)、(110°,40°)，相应或30°。第一组的垂足在线段BC内部；第二组的垂足在CB越过B的延长线上。 分别回验两组都成立；其余两组角和超180°。 B3（填空） 在△ABC中，直线BC于D，D的位置为_____。 【答案】 90°；在线段BC内部。 【详解】 或115°。若两底角锐角，D内部；若不成立。合法组回验角差40°，所以唯一。 B4（解答） 在△ABC中，从B、C作出的两条高所在直线交于H，求∠A、∠C、∠HBC和∠HCB。 【答案】 【详解】 B钝角，故设F、G为C、B到直线AB、AC的垂足，则点序G、B、H，C、F、H。与BHC25°之和180°。按25°、110°、45°作三角形，两高回验满足条件。 B5（选择） 在△ABC中，∠B和∠C都不等于90°。从B、C作出的两条高所在直线互相垂直。下列四组中，能作为∠A、∠B、∠C的是（　）。 A.45°、90°、45°　B.90°、30°、60°　C.60°、60°、60°　D.120°、30°、30° 【答案】 B。 【详解】 两条高所在直线分别垂直AC、AB，它们互相垂直，故B、C均锐角且和90°；给出的四组仅B符合。此时交点H与A重合，仍是两条不同直线的交点，不因H是顶点而排除。 B6（填空） 在△ABC中，于E。延长CA至T，射线AX平分∠BAT。_____。 【答案】 70°。 【详解】 两底角锐角，E内部，AX与AE分处AB两侧，所以不是两角之差。 五、C组 综合运用 C1（解答） 在△ABC中，直线BC于D，求α的全部取值范围；按α的取值，填写∠B、∠C的不同有序取值的组数及D的可能位置。 【答案】 有两组；有一组。两组候选为前一组：时D在C外侧，时D与C重合，时D内部；后一组（只在时有效）D在B外侧。 【详解】 或120°，C分别和分别要求得或还须同时检查这两个条件，确定有两组还是一组角度；第一组C与90°比较得位置分界，第二组B为钝角，垂足在CB越过B的延长线上。 每个保留组内角为正且和180°；作高回验BAD均30°。时，第二组会使应舍去；时，第一组也会使应舍去。 C2（填空） 在△ABC中，直线BC于D，记β的取值范围为_____；用β表示∠B、∠C分别为_____；D的位置为_____。 【答案】 在线段BC内部。 【详解】 B的候选为当时，至少为210°，不成立。当时，B、C都正要求此时B、C分别小于60°，均锐角，D内部。任取范围内β可作出三角形，作高得两端分别导致或不可取。 C3（解答） 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E。已知求∠A、∠B、∠C的所有取值，并填写E的位置。 【答案】 E内部；或(10°,70°,100°)，E在C外侧。 【详解】 由BAE得或110°；由DAE得时或100°，A分别70°或10°，均合法。时或140°，均超过180°，均舍去。保留组分别两底角锐角、C钝角。 作高和平分线，第一组BAE20°、BAD35°，差15°；第二组BAD5°、BAE20°，差15°，回验成立。 C4（选择） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，从B、C作出的两条高所在直线交于H。AD为∠A的内角平分线，直线BC于E，∠A为（　）。 A.只有60°　B.只有120°　C.60°或120°　D.没有符合条件的三角形 【答案】 B。 【详解】 由BHC60°产生或120°。时得(50°,10°)及反向，两底角锐角，成立。 时得(80°,40°)及反向，两底角仍锐角，此时BHC应120°，与60°矛盾，故删除。两个合法有序角组均可作出并回验DAE20°，A只有120°。 C5（填空） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°。从B、C作出的两条高所在直线交于H，直线BC于D。若则_____。 【答案】 70°；70°；40°。 【详解】 BHC为钝角，不能来自某个底角为钝角的情况（此时）。所以两底角均锐角且单高给或110°，由B锐角仅留70°，C40°。该组可作出，三角形锐角，两高交角110°且BAD20°，回验成立。 C6（解答） 在△ABC内部有点H，AD为∠A的内角平分线，于E。求∠A、∠B、∠C及∠DAE。 【答案】 【详解】 设则在△BHC中得HBC40°。H在内部，A60°。 按该锐角三角形作两高，交点在内部，得到△BHC角20°、40°、120°，全部条件成立。 六、D组 培优与期末衔接 D1（解答） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，直线BC于D，记且从B、C作出的两条高所在直线交于H，求β及∠A、∠B、∠C，并填写D与H相对△ABC的位置。 【答案】 D在线段BC内部，H在△ABC外部。 【详解】 单高给或当时，合法时两底角均锐角，故由得β36°，相应A108°、B54°、C18°，角均正。 当时，B为钝角，与2β相等只能β0°，使A0°，舍去。保留组两底角锐角所以D内部，A钝角所以两高交点H在外部。按108°、54°、18°作三角形并作高，全部条件成立。 D2（解答） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，从B、C作出的两条高所在直线交于H，求b的全部取值范围，并按b填写∠A的全部可能值。 【答案】 或时或140°；或时只有 【详解】 A候选140°或40°。A140°支中要求此时两底角锐角，BHC40°成立。 A40°支中先得还必须某底角钝角，才能使因此或即或合并得到答案。 时，这一组会使应舍去；时，这一组会使H与C重合，不能确定∠BHC；时，同理H与B重合；时，会使每个保留的角度组合都可作出三角形，并能代回原条件检查。 D3（解答） 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E， （1）用α表示∠B、∠C的所有有序取值，并求α的范围。 （2）按α填写E在BC内部、与端点重合、在延长线上的全部情况。 【答案】 或反向；E在较大底角对应顶点外侧；E为该顶点；E内部。 【详解】 得两有序角组。较小底角结合得较大底角与90°比较，分界α40°，位置如答案。夹角固定20°非零，两组始终不同；α140°是底角零而不是两组重合。 每组角均正且和180°，按给定角作三角形、高与内角平分线，底角差40°回验DAE20°。 D4（解答） 在△ABC中，直线BC于D，BE为∠B的内角平分线，E在AC上。直线AD与直线BE交于P，且P不与A、B重合。 （1）当时，求∠B、∠C，并填写A、D、P及B、E、P各自的点序。 （2）求∠APB的全部取值范围。 【答案】 （1）点序A、D、P以及P、B、E。（2）或 【详解】 由A40°得若B锐角，高足D在射线BC上（可在线段上或C外侧）；BE在角ABC内，P在A、D之间，射线BP与BE同向。故范围 若B钝角，D在CB越过B的延长线上；射线BE在BC上方且指向B右侧，与直线AD的交点只能在BE反向延长线上，P在BC下方。于是点序A、D、P和P、B、E， 结合得若B90°，AD与AB同直线，P与B重合，与题设不符。第（1）问中的30°只能出现在B为钝角的情况，得B120°、C20°及上述点序。 每个范围内的角均对应合法B与作三角形、高和内角平分线，按两类点序回验即可实现。四个端点分别会使B0°、B90°或C0°，不能取。 D5（解答） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，从B、C作出的两条高所在直线交于H，且AD为∠A的内角平分线，直线BC于E。求∠A，并求∠DAE的全部取值范围。 【答案】 【详解】 若B、C均锐角，则与不可能相等，排除。故某底角钝角，联立得A60°。 于是较大底角大于90°且小于120°，较小底角大于0°且小于30°；底角差大于60°且小于120°，故 反过来任取θ在此范围，取或反向，三个内角正、某底角钝角，作高得DAEθ成立。端点30°导致某底角90°，角BHC无法确定；60°导致另一底角0°。 D6（解答） 在锐角△ABC内部有点H，且求∠A、∠B、∠C。 【答案】 【详解】 H在三角形内部，射线HA、HB、HC分成的三个通常角均小于180°，和为360°。设三角依次4x、5x、6x，则x24°，得96°、120°、144°。分别由两高交角公式， 三角均锐且和180°；按此三角形作三高，内部交点处三个角确为96°、120°、144°，比例4:5:6成立。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形高线中的角度计算与分类讨论 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 本专题学习高与角平分线形成的角度关系，练习按垂足和交点的位置分类求角，并检查每一种答案。条件图只作示意，不限制全部可能位置；角度以题干和图下条件为准。 请在条件图右侧及图下空白处写出计算过程；需要分类时，把每一种情况分开写。 学习导航 基本知识 → 典例与变式 → A组基础巩固 → B组方法训练 → C组综合运用 → D组培优与期末衔接 一、基本知识 （一）高可以落在边上或延长线上 从A向直线BC作垂线，交点D为垂足，AD是△ABC的高。D不必在线段BC内部；D与B或C重合时，某条边本身就是高。A、B、C是三角形顶点，三个内角都大于0°，和为180°。D不会与A重合。 以A所对的边BC为对象，可能点序只有：D、B、C；B、D、C；B、C、D；另外还有D与B重合或D与C重合。交换B、C的命名，会交换垂足落在两侧延长线上的情况，但不改变判断方法。 （二）由底角判断垂足的位置 记∠ABC为B、∠ACB为C（以下仅在推导中简写）。 - B、C都小于90°：D在BC内部。 - D与B重合；D与C重合。 - 点序D、B、C；点序B、C、D。 理由：垂足在线段BC内部时两个小直角三角形在B、C处的角都是锐角；垂足在BC的延长线上时外侧顶点处的小三角形内角与原底角互为邻补角，所以原底角为钝角。由垂线的唯一性，且上述五种点的位置关系已经列全，反过来也可判断垂足的位置。 仅知道B是锐角不能判断垂足一定在线段BC内部，还须检查C；A为钝角也不能判断垂足一定在BC的延长线上。变式1-1、变式3-1分别针对这两个错误。 （三）根据一条高求所有可能的角 已知β是通常角，D与B不重合时，△ABD为直角三角形，β是锐角；D与B重合时，射线AB、AD重合，因此β不能达到90°。 当D与B不重合时，直角三角形ABD给BD与BC同向时反向时 因此候选为： 1. 2. 每一组必须同时满足再用第二节定位高足。当时，不能直接判断垂足在线段BC内部，因为这一组的C也可能是钝角。 微例：时，第一组B50°、C105°，高足在C外侧；第二组B130°、C25°，高足在B外侧。两组的垂足都在BC的延长线上，但点的顺序不同。 角等于零或直角时怎样检查 - 时，两个候选B都为90°，D与B重合，合成一组，不重复计数。 - 第一组若则D与C重合；这不等于所有满足的题都只有这一组，第二组仍须检验是否为正。 - 且时两组均有效。 - 时第二组不能组成三角形，应舍去。 - 保证第一组若第一组也不成立。 对以上条件可归纳为：时两组；且时一组；时没有符合条件的三角形。对第一组，时C钝角、D在C外侧，时D与C重合，且角度符合条件时，D在线段BC内部。 最后统计符合条件的不同角度组合，不是只数列出的角度算式。 （四）求出的角还要符合原条件 三个角均正且和180°，可按两个内角作出三角形。这只完成“三角形存在”的核查；还须作出高，根据实际点序计算BAD，确认确实等于给定β。 第一组B锐角时，（包括高足在C外侧）；第二组B钝角时，两式代回都给β。端点另验：D与B重合时，D与C重合时， （五）两条高的夹角要看清射线 过B作垂直AC的直线、过C作垂直AB的直线，交于H。两条直线相交形成互补的两种角；“较小角”不超过90°，“∠BHC”则由射线HB、HC指定，可以大于90°。 两条高所在直线分别垂直AC、AB，利用直角或平行线转化，它们形成的较小角为A与中的较小者。这个较小角不一定是∠BHC。 （六）按三角形的角分类计算 排除或因为此时H分别与B或C重合，HB或HC不能确定射线。不能顺便排除此时H与A重合，HB、HC仍可确定， 设F为C到直线AB的垂足，G为B到直线AC的垂足。 1. B、C均锐角：故 - A锐角时H在三角形内部，从两个小直角三角形直接读余角。 - A钝角时F在BA越过A的延长线上，G在CA越过A的延长线上，点序C、F、H及B、G、H。此时BH与BG同向，CH与CF同向，△BCG、△BCF仍分别给相同余角。因此公式仍成立，不能把“H在内部”当必要条件。 - ∠A为直角时，H与A重合，单独读 2. B钝角：点序A、B、F；C、F、H；G、B、H。由直角三角形BCF，由△BCG，BG、BH反向，所以故 3. C钝角：与上项交换B、C，同得 B、C不可能同时为钝角，因此已考虑所有情况。求A的反问题先产生或再核查给定的其他角与点位，不机械保留两个。 （七）高与同顶点角平分线的夹角 AD为∠A内角平分线，D在BC内部；直线BC，E为垂足，角平分线线段AD始终在三角形内，E却可能在外；不能把两者混为一种位置变化。 - E在BC内部：两射线夹角 - E在B外侧：AE与AD分处AB两侧， - E在C外侧：同理 - E与B或C重合时，时AD、AE同射线，D与E重合， 故统一关系为这是由内角和、余角、邻补角推出的关系。 （八）由角的和与差求角和位置 固定时，因此 或交换二者。 由B、C均为正，时两个有序对相同，只算一组。 在可取范围内再看较大底角： - 两底角均锐角，高足内部； - 某个底角为90°，高足与该顶点重合； - 某个底角钝角，高足在该顶点外侧。 上述情况还要同时满足θ的取值范围。例如时，上界不大于所以垂足只能在线段BC内部，不能把垂足在延长线上的情况也列入答案。 微例：时，θ的取值范围为垂足位置的分界值为30°；时，两条射线重合，两组角度相同，只算一种情况；时，垂足与BC的一个端点重合；时，不能组成三角形。这三种情况要分别判断。 （九）怎样写全答案并检查图形 每次先确认：哪条直线垂直哪条直线、角由哪两条射线组成、垂足和交点是否与顶点重合。然后列出可能的角度，检查所有内角是否大于0°，按点的顺序确定位置，再代回原条件检查，合并重复答案后写出所有结果。 （十）延长线和另一顶点的角平分线 1. 同一条直线上的两条反向射线，与第三条射线形成的两个角互补。高线反向延长后，必须按角的三个字母确认射线，不能仍答较小夹角。 2. 三角形外角与相邻内角互补。作外角平分射线时，先确定外角是哪两条射线组成，再判断它与高线在某边同侧还是异侧；不要直接套内角平分线的底角差公式。 3. 高与另一顶点的内角平分线相交，须先区分“线段BE”“射线BE”“直线BE”。若P落在BE反向延长线上，∠ABP与∠ABE互补，不相等。可先用三角形ABP的角和计算，再回验点序。高足在延长线上，并不自动说明P落在哪一段。 4. 锐角三角形内部三高交点H处，∠BHC、∠CHA、∠AHB三个角都是通常角，绕H一周恰好360°，不是180°。分别对应先用周角与比例求交角，再还原顶角。 学习导航与对应练习 知识与方法 典例、变式 分层练习 垂足在线段内部、延长线上或端点 典例1；变式1-1至1-3 A1—A4，B1—B3 找全答案并逐组检查 变式1-2、1-3；变式3-2 B1—B3，C1—C5，D1—D3 看清射线再求两高夹角 典例2；变式2-1至2-3 A5—A6，B4—B5，C4—C6，D1—D2 高与内角平分线 典例3；变式3-1至3-3 C3—C4，C6，D3、D5 外角平分线与另一顶点的高 知识（十）及前面的角度计算 B6、D4 三条高相交形成的周角 知识（十） D6 A组练习基本角度计算，B组练习分类求角，C组综合运用，D组用于培优与期末复习。图形只作示意，不限制全部可能位置。 二、典例与变式 典例1 在△ABC中，过A作直线BC，D为垂足，求∠ACB的所有可能值，并填写每个值对应的垂足D所在位置。 变式1-1 在△ABC中，直线BC于D，求∠B、∠C的所有有序取值，并填写对应的点序。 变式1-2 在△ABC中，直线BC于D，求∠B、∠C，并填写D的位置。 变式1-3 分别求下列各题的∠B、∠C，并填写垂足D的位置。 （1）在△ABC中，直线BC于D， （2）在△ABC中，直线BC于D， 典例2 在△ABC中，∠B和∠C都不等于90°。过B作垂直于直线AC的直线，过C作垂直于直线AB的直线，两直线交于H。求∠BHC的所有可能值，并对每个值写出一组相应的∠B、∠C。 变式2-1 在△ABC中，∠B和∠C都不等于90°。从B、C作出的两条高所在直线交于H，求∠A的所有可能值，并分别写出一组相应的∠B、∠C。 变式2-2 在△ABC中，过B作垂直于直线AC的直线，过C作垂直于直线AB的直线，交点为H。填写H与哪个顶点重合，并求∠BHC。 变式2-3 在△ABC中，从B、C作出的两条高所在直线相交，它们形成的较小角为40°，交点记为H。求∠A、∠C和∠BHC。 典例3 在△ABC中，AD为∠BAC的内角平分线，D在线段BC上；直线BC于E，求∠B、∠C的所有有序取值，并填写每组对应的垂足E所在位置。 变式3-1 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，于E，E在线段BC内部，求△ABC的三个内角。 变式3-2 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E，求∠B、∠C，并填写D、E之间的位置关系。 变式3-3 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E，记 （1）求θ的取值范围，并用θ表示∠B、∠C的所有有序取值。 （2）按θ的取值，填写E在线段BC内部、与端点重合或在延长线上的全部情况。 三、A组 基础巩固 A1（选择） 在△ABC中，于D。 ∠BAD与∠CAD依次为（　）。 A.48°、22°　B.22°、48°　C.42°、68°　D.48°、70° A2（填空） 在△ABC中，直线BC于D。填写点序_____，_____。 A3（解答） 在△ABC中，直线BC于D。求∠BAD、∠CAD及∠BAC，并按从小到大的顺序写出这三个角。 A4（选择） 在△ABC中，从C向直线AB作垂线，垂足为D。D的位置及∠ACD依次为（　）。 A.D在AB内部，52°　B.D与B重合，52°　C.D与A重合，38°　D.D在AB外，38° A5（填空） 在△ABC中，于D。延长DA至点E，使A在D、E之间。_____。 A6（解答） 在△ABC中，从B、C作出的两条高所在直线交于H。求∠HBC、∠HCB及∠BHC。 四、B组 方法训练 B1（解答） 在△ABC中，直线BC于D，记已知求x及∠A、∠B、∠C的所有取值，并填写D的位置。 B2（选择） 在△ABC中，直线BC于D，∠A的所有可能值为（　）。 A.只有70°　B.只有30°　C.30°或70°　D.20°或50° B3（填空） 在△ABC中，直线BC于D，D的位置为_____。 B4（解答） 在△ABC中，从B、C作出的两条高所在直线交于H，求∠A、∠C、∠HBC和∠HCB。 B5（选择） 在△ABC中，∠B和∠C都不等于90°。从B、C作出的两条高所在直线互相垂直。下列四组中，能作为∠A、∠B、∠C的是（　）。 A.45°、90°、45°　B.90°、30°、60°　C.60°、60°、60°　D.120°、30°、30° B6（填空） 在△ABC中，于E。延长CA至T，射线AX平分∠BAT。_____。 五、C组 综合运用 C1（解答） 在△ABC中，直线BC于D，求α的全部取值范围；按α的取值，填写∠B、∠C的不同有序取值的组数及D的可能位置。 C2（填空） 在△ABC中，直线BC于D，记β的取值范围为_____；用β表示∠B、∠C分别为_____；D的位置为_____。 C3（解答） 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E。已知求∠A、∠B、∠C的所有取值，并填写E的位置。 C4（选择） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，从B、C作出的两条高所在直线交于H。AD为∠A的内角平分线，直线BC于E，∠A为（　）。 A.只有60°　B.只有120°　C.60°或120°　D.没有符合条件的三角形 C5（填空） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°。从B、C作出的两条高所在直线交于H，直线BC于D。若则_____。 C6（解答） 在△ABC内部有点H，AD为∠A的内角平分线，于E。求∠A、∠B、∠C及∠DAE。 六、D组 培优与期末衔接 D1（解答） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，直线BC于D，记且从B、C作出的两条高所在直线交于H，求β及∠A、∠B、∠C，并填写D与H相对△ABC的位置。 D2（解答） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，从B、C作出的两条高所在直线交于H，求b的全部取值范围，并按b填写∠A的全部可能值。 D3（解答） 在△ABC中，AD为∠A的内角平分线，直线BC于E， （1）用α表示∠B、∠C的所有有序取值，并求α的范围。 （2）按α填写E在BC内部、与端点重合、在延长线上的全部情况。 D4（解答） 在△ABC中，直线BC于D，BE为∠B的内角平分线，E在AC上。直线AD与直线BE交于P，且P不与A、B重合。 （1）当时，求∠B、∠C，并填写A、D、P及B、E、P各自的点序。 （2）求∠APB的全部取值范围。 D5（解答） 在△ABC中，∠B、∠C均不等于90°，从B、C作出的两条高所在直线交于H，且AD为∠A的内角平分线，直线BC于E。求∠A，并求∠DAE的全部取值范围。 D6（解答） 在锐角△ABC内部有点H，且求∠A、∠B、∠C。 1 学科网（北京）股份有限公司 $