1.1 三角形三边关系中的分类讨论与整数问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

三角形三边关系中的分类讨论与整数问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 学习导航 知识详解 → 三类典例与变式 → 组基础巩固 → 组常规训练 → 组综合运用 → 组期中期末衔接 一、知识详解 1 三边为正与三边关系 三条线段组成三角形，长度、、必须都大于0，并且、、。已知两边为、，第三边满足。两端都不能取，因为一边等于另外两边之和时，三条线段无法围成三角形。 若已经确定为最大边，只需检验，另外两式自动成立。但当边长含字母、最大边随字母变化时，不能只凭图形认定哪条边最长。 2 含参三边的范围 先由各边长度大于0列条件，再列三组两边之和大于第三边，最后取共同满足的部分。整数条件应在完整实数范围确定以后使用。例如只能取某开区间内的整数时，区间端点即使恰是整数，也不能保留。 最大边允许出现两条或三条并列。问某边“为最大边”时用不小于；问“严格大于另外两边”时才用大于。求出边相等的参数，还要比较第三边，不能把任意两边相等都当成并列最长。 3 定周长整数三边 三边只换排列顺序，不算新的组合。可以统一设。周长为时，最大边满足：前者来自三边都不大于，后者来自。 固定后，有。再由和确定的范围；每取一个合法整数，就随之唯一确定。这样既不遗漏，也不重复。若另有三边互不相等、最短边下限或周长奇偶条件，应继续筛选。 4 木条的切分位置 长的木条在距左端处截开，两段长为和，并有。与另一根长的木条组成三角形，恰需。 若两根木条长度不等，只能截较长的一根。截较短的一根后，两段之和小于另一根，不能围成三角形。长度相等时，无论截哪根，两段之和都等于另一根，也不能围成三角形。 5 切点位置与三边组合 切点离左端与通常是两个位置，但得到的两段只是调换顺序，因此三边长组合相同。时两个位置重合。计数前应看清题目要求的是切点个数还是不同三边组合的种数。 6 至少一个位置与每个位置 “至少一个”只需找到一个允许位置使三边关系成立；“每个”要求全部允许位置都成立，必须检查最严格的情况。允许区间端点时，端点切法也须通过；不允许端点时，不能把端点对应的等号直接当作不合题意。例如同一个上界可无限接近但不能实际达到，此时参数边界有时可以保留。具体结论仍须证明并检验。 二、典例与变式 含参三边与最长边 例1 一个三角形的三边长分别为、、8。 （1）求的取值范围；（2）当为整数时，求的所有可能值；（3）分别求8为最大边、为最大边时的范围。 变式1.1 一个三角形的三边长分别为、、8，为整数，且三角形的周长不超过24。求的所有可能值和相应的周长。 变式1.2 一个三角形的三边长分别为、、5。 （1）求的取值范围；（2）分别求三条边为最大边时的范围。 变式1.3 一个三角形的两边长为2和，其中，第三边长为正整数。若恰有3个不同的取值，求的所有可能值，并分别写出的取值。 定周长整数三边 例2 一个三角形的周长为19，三边长均为正整数。按三边从小到大的顺序，写出所有可能的三边长，并求其中等腰三角形的种数。三边长仅顺序不同视为同一种。 变式2.1 一个三角形的周长为18，三边长均为正整数，且最短边长为3。求这个三角形的三边长。 变式2.2 一个三角形的周长为24，三边长均为正整数且互不相等，最长边长为10。求所有可能的三边长。 变式2.3 一个三角形的三边长均为正整数，最大边长为8，周长是偶数且不小于20。求所有可能的三边长。 木条切分与逆向条件 例3 有两根木条，长度分别为10 、6 。将其中一根截成两段，再把所得三段木条首尾相接做成三角形，忽略接头损耗。 （1）应截哪根木条？若切点到这根木条左端点的距离为 ，求的范围。 （2）若为整数，共有多少个切点位置？能够得到多少种不同的三边长组合？ （3）改用长10 和长 的两根木条，仍切长10 的木条，且。若每个允许的切点都能组成三角形，求的范围。 变式3.1 将一根长12 的木条在点处截成两段，与另一根长 的木条组成三角形。点距左端点 ，且。若每个允许的切点都能组成三角形，求的范围。若改成，答案如何变化？ 变式3.2 将长12 的木条截成两段，与长8 的木条组成等腰三角形。切点距长木条左端点 ，为整数。求所有切点位置，并求不同三边长组合的种数。 变式3.3 一根木条长 ，另一根长6 。若在第一根木条上距左端点3 处截开，所得三段能组成三角形；若改在距左端点5 处截开，也能组成三角形。求的取值范围。 三、A组 基础巩固 A1 一个三角形的三边长分别为、、9，求的取值范围。 A2 一个三角形的两边长为3和7，第三边长是正偶数。求第三边的所有可能值。 A3 一个等腰三角形的周长为21，最短边长为5，三边长均为正整数。求三边长。 A4 一个三角形的两边长为6和10，第三边长为整数，且周长为奇数。求第三边的所有可能值。 A5 将长8 的木条截成两段，与长5 的木条组成三角形。若切点距长木条左端点的距离为整数厘米，求全部切点位置。 A6 一个等腰三角形的两腰长均为5，底边长是正整数，周长不超过16。求底边的所有可能值。 四、B组 常规训练 B1 一个三角形的三边长为、、8。 （1）求的取值范围；（2）若为最大边，求的范围；（3）若严格大于另外两边，求的范围。 B2 一个三角形的两边长为4和9，第三边长为正整数。若再要求周长小于，符合全部条件的第三边恰有5个不同的取值，求的范围。 B3 一个三角形的周长为23，三边长均为不小于5的整数。写出所有可能的三边长，每组按从小到大排列。 B4 将长14 的木条截成两段，与长8 的木条组成三角形。要求两段都不少于4 ，且切点距左端点的距离为整数厘米。求切点位置的个数和不同三边长组合的种数。 B5 一个三角形的三边长为、、6，其中为整数，周长不超过40且是5的倍数。求的所有可能值。 B6 将长12 的木条截成两段，与长 的木条组成三角形。切点距左端点 ，且 。 （1）若至少有一个允许的切点能组成三角形，求的范围；（2）若每个允许的切点都能组成三角形，求的范围。 五、C组 综合运用 C1 一个三角形的两边长为2和，其中，第三边长为正整数。符合条件的恰有3个不同的值，且这3个值的和为18。求和的所有可能值。 C2 一个三角形的三边长均为正整数，最大边长为8，周长为。若具有该周长和最大边长的不同三边长组合恰有2种，求的所有可能值。 C3 将一根长 的木条截成两段，与长8 的木条组成三角形。切点可以取距第一根木条左端点2 至6 之间的任何位置，含两端。若每个允许的位置都确实在第一根木条内部，且都能组成三角形，求的范围。 C4 一个三角形的周长为30，三边长均为正整数，最大边长是最短边长的2倍。求所有可能的三边长。 六、D组 期中期末衔接 本组为原创训练。 D1 有四根编号为、、、的木条，长度依次为4 、7 、9 、 ，其中为正整数。从中任选三根，不截断，首尾相接组成三角形。所选木条的编号不同就算不同选法。 （1）若能组成三角形的选法恰有3种，求的所有可能值。 （2）对第（1）问中的每个，分别写出所有不同的三边长组合，每组按从小到大排列；仅边长顺序不同视为同一组合。 D2 一个三角形的两边长为4和8，第三边长为整数，且周长是3的倍数。求第三边的所有可能值。 D3 一个三角形的三边长为、、6。若其中有两条边并列为最大边，求的值。 D4 有两根木条，长度分别为 、8 。将第一根木条在点处截成两段，与第二根木条组成周长为26 的三角形，忽略接头损耗。设点距第一根木条左端点 ，为整数。长8 的木条对应的边严格大于另外一条边，且严格小于剩下的一条边。 （1）求；（2）求全部切点位置；（3）写出所有不同的三边长组合，每组按从小到大排列。 D5 有一根长12 的木条和一根长 的木条。现为长12 的木条设计两种备选切法：方案甲在距左端点 处截开，方案乙在距左端点 处截开。两种方案分别实施，不是先后实施；每种方案都将所得两段与长 的木条组成三角形，忽略接头损耗。 已知为整数，两个切点都在长木条内部，且使甲、乙两种方案都能组成三角形的恰有3个不同的值。求的范围，并写出这3个及相应的两种切点距离。 D6 一个三角形的两边长为4和，其中为不小于4的整数，第三边长为正整数。所有符合条件的的和为70，求及这些。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形三边关系中的分类讨论与整数问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 学习导航 知识详解 → 三类典例与变式 → 组基础巩固 → 组常规训练 → 组综合运用 → 组期中期末衔接 一、知识详解 1 三边为正与三边关系 三条线段组成三角形，长度、、必须都大于0，并且、、。已知两边为、，第三边满足。两端都不能取，因为一边等于另外两边之和时，三条线段无法围成三角形。 若已经确定为最大边，只需检验，另外两式自动成立。但当边长含字母、最大边随字母变化时，不能只凭图形认定哪条边最长。 2 含参三边的范围 先由各边长度大于0列条件，再列三组两边之和大于第三边，最后取共同满足的部分。整数条件应在完整实数范围确定以后使用。例如只能取某开区间内的整数时，区间端点即使恰是整数，也不能保留。 最大边允许出现两条或三条并列。问某边“为最大边”时用不小于；问“严格大于另外两边”时才用大于。求出边相等的参数，还要比较第三边，不能把任意两边相等都当成并列最长。 3 定周长整数三边 三边只换排列顺序，不算新的组合。可以统一设。周长为时，最大边满足：前者来自三边都不大于，后者来自。 固定后，有。再由和确定的范围；每取一个合法整数，就随之唯一确定。这样既不遗漏，也不重复。若另有三边互不相等、最短边下限或周长奇偶条件，应继续筛选。 4 木条的切分位置 长的木条在距左端处截开，两段长为和，并有。与另一根长的木条组成三角形，恰需。 若两根木条长度不等，只能截较长的一根。截较短的一根后，两段之和小于另一根，不能围成三角形。长度相等时，无论截哪根，两段之和都等于另一根，也不能围成三角形。 5 切点位置与三边组合 切点离左端与通常是两个位置，但得到的两段只是调换顺序，因此三边长组合相同。时两个位置重合。计数前应看清题目要求的是切点个数还是不同三边组合的种数。 6 至少一个位置与每个位置 “至少一个”只需找到一个允许位置使三边关系成立；“每个”要求全部允许位置都成立，必须检查最严格的情况。允许区间端点时，端点切法也须通过；不允许端点时，不能把端点对应的等号直接当作不合题意。例如同一个上界可无限接近但不能实际达到，此时参数边界有时可以保留。具体结论仍须证明并检验。 二、典例与变式 含参三边与最长边 例1 一个三角形的三边长分别为、、8。 （1）求的取值范围；（2）当为整数时，求的所有可能值；（3）分别求8为最大边、为最大边时的范围。 【解答】 （1）三边为正，需。三边关系分别给出、、，即、、。合并得。反过来，该范围内三边均为正，三组不等式均成立，确能组成三角形。 （2）整数为3、4、5、6、7、8、9。 （3）有效范围内，所以。比较与8即可：8为最大边时 ；为最大边时。时两边同为8，并列最大，故两个答案都包含此值。 变式1.1 一个三角形的三边长分别为、、8，为整数，且三角形的周长不超过24。求的所有可能值和相应的周长。 【解答】 由三边关系及正长度条件，。周长为，条件给出。联立并筛整数，、4、5。相应周长为17、20、23。三组长度分别为、、，均满足三边关系。 变式1.2 一个三角形的三边长分别为、、5。 （1）求的取值范围；（2）分别求三条边为最大边时的范围。 【解答】 （1）正长度要求。三组两边之和大于第三边给出、、，后两式为、。因此；此范围内所有条件成立。 （2）为最大边需且，结合有效范围得。5为最大边需且，得。为最大边需且，得。、7分别是两条边并列最大的位置。 变式1.3 一个三角形的两边长为2和，其中，第三边长为正整数。若恰有3个不同的取值，求的所有可能值，并分别写出的取值。 【解答】 由于，三边关系等价于。若为整数，这个开区间内恰有、、三个整数。若不是整数，记，其中为整数，则区间内的整数恰为 、、、，共4个：左端在与之间，右端在与之间。题设要求3个，所以必须为整数。结合，得、5、6；分别为{}、{}、{}。各组均满足严格三边关系。 定周长整数三边 例2 一个三角形的周长为19，三边长均为正整数。按三边从小到大的顺序，写出所有可能的三边长，并求其中等腰三角形的种数。三边长仅顺序不同视为同一种。 【解答】 设，。最大边，且，所以整数只可能为7、8、9。 时，由与得，得到、、、、。 时，，得到、、。 时，，得到、。 共10种。等腰的为、、、、，共5种。上述每组均为正整数且最小两边之和大于最大边。固定后，每组三边只记一次。 变式2.1 一个三角形的周长为18，三边长均为正整数，且最短边长为3。求这个三角形的三边长。 【解答】 设另外两边，则且。由最大边满足，得，即；由，得。为整数，所以，。唯一组三边为，且，符合条件。 变式2.2 一个三角形的周长为24，三边长均为正整数且互不相等，最长边长为10。求所有可能的三边长。 【解答】 设，则。由得；由得。因此整数或6，分别得到、。两组最小两边之和都是，均能组成三角形。会使，会使，都不满足三边互不相等。 变式2.3 一个三角形的三边长均为正整数，最大边长为8，周长是偶数且不小于20。求所有可能的三边长。 【解答】 设，则周长。由周长为偶数且不小于20，可取20、22、24。 周长20时，由及得，三边为、、。 周长22时，，三边为、。 周长24时且，只能。 共6种，每组最小两边之和均大于8，全部成立。 木条切分与逆向条件 例3 有两根木条，长度分别为10 、6 。将其中一根截成两段，再把所得三段木条首尾相接做成三角形，忽略接头损耗。 （1）应截哪根木条？若切点到这根木条左端点的距离为 ，求的范围。 （2）若为整数，共有多少个切点位置？能够得到多少种不同的三边长组合？ （3）改用长10 和长 的两根木条，仍切长10 的木条，且。若每个允许的切点都能组成三角形，求的范围。 【解答】 （1）不能截6 的木条，因为所得两段之和为6，小于另一根10。截10 的木条后，三边为、、6，且。三边关系给出、、，所以。此范围内三个长度均正且三组不等式成立。 （2）、4、5、6、7，共5个位置。相应三边从小到大为、、 、、，故只有3种不同组合。 （3）每个需满足。时，，且或7时等于4，所以必须。反过来，该范围内大于所有允许切法的两段之差，并小于两段之和10，全部能够组成三角形。故。 变式3.1 将一根长12 的木条在点处截成两段，与另一根长 的木条组成三角形。点距左端点 ，且。若每个允许的切点都能组成三角形，求的范围。若改成，答案如何变化？ 【解答】 两段长度为和。要成三角形，需。 当时，。因此也满足每一个允许位置，任何都可行。若，取，此时且，所以该切点不合要求。由此排除，得。 当时，端点或8给出两段之差4，必须；故改为。 变式3.2 将长12 的木条截成两段，与长8 的木条组成等腰三角形。切点距长木条左端点 ，为整数。求所有切点位置，并求不同三边长组合的种数。 【解答】 先由三边关系得。等腰分三种：，得；，得；，得。三个值均在允许范围内。、8都得到，得到。所以切点有3个，不同三边组合有2种。 变式3.3 一根木条长 ，另一根长6 。若在第一根木条上距左端点3 处截开，所得三段能组成三角形；若改在距左端点5 处截开，也能组成三角形。求的取值范围。 【解答】 两次切点都须在木条内部，先有。第一种切法三边为3、、6，三边关系给出。第二种切法三边为5、、6，给出。两种均成立需取交集，得到。反过来，该范围同时满足两组严格三边关系和，因此两个位置均可切。 三、A组 基础巩固 A1 一个三角形的三边长分别为、、9，求的取值范围。 【解答】 正长度要求。三边关系依次为、、，得、、。合并得，且该范围内三边为正。 A2 一个三角形的两边长为3和7，第三边长是正偶数。求第三边的所有可能值。 【解答】 设第三边为，三边关系给出。其中正偶数只有6、8，均满足严格范围。 A3 一个等腰三角形的周长为21，最短边长为5，三边长均为正整数。求三边长。 【解答】 若两条腰都为5，底边为11，但，不成立。因此长度5只能作为底边，两腰均为。三边为，满足。 A4 一个三角形的两边长为6和10，第三边长为整数，且周长为奇数。求第三边的所有可能值。 【解答】 设第三边为，则。周长为奇数，所以为奇数，得到5、7、9、11、13、15六个值。 A5 将长8 的木条截成两段，与长5 的木条组成三角形。若切点距长木条左端点的距离为整数厘米，求全部切点位置。 【解答】 设距离为，则两段为、。三边关系为，等价于。因此、3、4、5、6，共5个位置。 A6 一个等腰三角形的两腰长均为5，底边长是正整数，周长不超过16。求底边的所有可能值。 【解答】 设底边为，三边关系为。周长条件给出。所以、2、3、4、5、6。 四、B组 常规训练 B1 一个三角形的三边长为、、8。 （1）求的取值范围；（2）若为最大边，求的范围；（3）若严格大于另外两边，求的范围。 【解答】 （1）三边为正需；三边关系给出、、，得。 （2）及分别得、，合并为。 （3）改成严格大于，得和，合并为。时三边为8、6、8，是两条最大边相等的情况。 B2 一个三角形的两边长为4和9，第三边长为正整数。若再要求周长小于，符合全部条件的第三边恰有5个不同的取值，求的范围。 【解答】 设第三边为，则，故、7、8、9、10、11、12，对应周长19、20、21、22、23、24、25。要恰保留前5个，必须允许周长23而排除24。因题目条件为周长，应有且。故。 B3 一个三角形的周长为23，三边长均为不小于5的整数。写出所有可能的三边长，每组按从小到大排列。 【解答】 设，。由和，得整数、9、10、11。 时，，得、。 时，，得、。 时，且，得、、。 时，需且，得。 共8种，每组均满足最小两边之和大于最大边。 B4 将长14 的木条截成两段，与长8 的木条组成三角形。要求两段都不少于4 ，且切点距左端点的距离为整数厘米。求切点位置的个数和不同三边长组合的种数。 【解答】 设切点距离为。三边关系给出；两段均不少于4又给出。整数为4、5、6、7、8、9、10，共7个位置。对应不同三边组合为、、、，共4种。与对应同一种三边组合，单独对应中间的一种。 B5 一个三角形的三边长为、、6，其中为整数，周长不超过40且是5的倍数。求的所有可能值。 【解答】 正长度要求；三边关系中给出，其余两式分别是与，恒成立。周长给出。于是。要为5的倍数，在该范围检查得、12、17，对应周长20、30、40。也可由，结合奇偶性得为偶数，写成，则，范围内、3、4。 B6 将长12 的木条截成两段，与长 的木条组成三角形。切点距左端点 ，且 。 （1）若至少有一个允许的切点能组成三角形，求的范围；（2）若每个允许的切点都能组成三角形，求的范围。 【解答】 （1）必要条件是，因为为正且另外两段之和为12。反过来，取允许的切点 ，两段都为6；任何都能组成三角形，所以答案为。 （2）对每个需。允许区间内两段之差最大为6，或9时达到，因此必要且充分条件为。 五、C组 综合运用 C1 一个三角形的两边长为2和，其中，第三边长为正整数。符合条件的恰有3个不同的值，且这3个值的和为18。求和的所有可能值。 【解答】 三边关系为。若是整数，区间中的整数恰为、、，共3个；若不是整数，设，区间中的整数恰为 、、、，共4个。由于，这些整数均为正。题设恰有3个，故为整数，三值之和，得，、6、7。代回，恰好这3个整数满足。 C2 一个三角形的三边长均为正整数，最大边长为8，周长为。若具有该周长和最大边长的不同三边长组合恰有2种，求的所有可能值。 【解答】 设。三边关系要求，而，所以。逐个枚举，令。 ：，共4种；：，共4种；：，共3种；：，共3种；：，共2种；：，共2种；：，共1种；：，共1种。 上述范围均由和共同确定。故或22。时两组为、；时两组为、。 C3 将一根长 的木条截成两段，与长8 的木条组成三角形。切点可以取距第一根木条左端点2 至6 之间的任何位置，含两端。若每个允许的位置都确实在第一根木条内部，且都能组成三角形，求的范围。 【解答】 所有允许切点在木条内部需。两段之和为，因此还需。令切点距离为，则两条不等式为和，即和。对，第一组最严格的是，得；第二组最严格的是 ，得。合并、、、，得。反过来，该范围满足全部允许对应的三组不等式，且切点均在内部，所以充分。 C4 一个三角形的周长为30，三边长均为正整数，最大边长是最短边长的2倍。求所有可能的三边长。 【解答】 设最短边为，最大边为，中间边。由，得及。三边关系又给出，即。故整数或7，分别得、。两组最小两边之和分别为18和16，都大于最大边12和14，全部合法。 六、D组 期中期末衔接 本组为原创训练。 D1 有四根编号为、、、的木条，长度依次为4 、7 、9 、 ，其中为正整数。从中任选三根，不截断，首尾相接组成三角形。所选木条的编号不同就算不同选法。 （1）若能组成三角形的选法恰有3种，求的所有可能值。 （2）对第（1）问中的每个，分别写出所有不同的三边长组合，每组按从小到大排列；仅边长顺序不同视为同一组合。 【解答】 （1）四种选择分别是、、、。的三边为4、7、9，由知它总能组成三角形。其余三种分别要求：满足；满足；满足。 恰有3种选法，意味着后三种条件中恰有两种成立。前两个区间都在第三个区间内，因此需第三个条件成立，且前两个条件恰有一个成立。 只有成立而不成立时，得，整数为4、5；只有成立而不成立时，得，整数为11、12。故、5、11、12。会使后三种都成立，共4种选法，不能计入。 （2）时，、、三种选法分别得到、、，不同三边组合只有、，共2种。 时，三种不同三边组合为、、，共3种。 时，三种不同三边组合为、、，共3种。 时，三种不同三边组合为、、，共3种。 在时，、虽等长，编号仍不同；更换其中一根可能得到不同选法却得到相同三边组合。上面的列举始终按题目指定对象分别计数。 D2 一个三角形的两边长为4和8，第三边长为整数，且周长是3的倍数。求第三边的所有可能值。 【解答】 设第三边为，则，所以整数为5至11。周长为3的倍数，等价于为3的倍数，故或9。两者都满足严格范围。 D3 一个三角形的三边长为、、6。若其中有两条边并列为最大边，求的值。 【解答】 先由正长度与三边关系得。两条最大边相等有三种可能：①，得 ，三边为7、7、6，成立；②，得，另边为8，因此相等的两条并非最大，不成立；③，得，另边为8，同样不成立。故只有。 D4 有两根木条，长度分别为 、8 。将第一根木条在点处截成两段，与第二根木条组成周长为26 的三角形，忽略接头损耗。设点距第一根木条左端点 ，为整数。长8 的木条对应的边严格大于另外一条边，且严格小于剩下的一条边。 （1）求；（2）求全部切点位置；（3）写出所有不同的三边长组合，每组按从小到大排列。 【解答】 （1）切分不改变木条总长度，所以，得。 （2）切成的两段长为和。由正长度及三边关系，，得到 。长8 的边严格处在另两边之间，有两种情况：，或 。第一种给出，第二种给出。与及整数条件结合，得 、7、11、12。 （3）或12时，三边为；或11时，三边为。两组分别满足、，且8都严格处在最小边与最大边之间。所以切点共4个，不同三边长组合共2种。 D5 有一根长12 的木条和一根长 的木条。现为长12 的木条设计两种备选切法：方案甲在距左端点 处截开，方案乙在距左端点 处截开。两种方案分别实施，不是先后实施；每种方案都将所得两段与长 的木条组成三角形，忽略接头损耗。 已知为整数，两个切点都在长木条内部，且使甲、乙两种方案都能组成三角形的恰有3个不同的值。求的范围，并写出这3个及相应的两种切点距离。 【解答】 两个切点都在木条内部，需，因此整数只能为1至9。两种方案的两段之和都是12，所以必须。 方案甲的三边关系为，等价于。方案乙的两段长为和，三边关系为，等价于。两种同时成立，取共同部分，得到。 这个区间的两个端点到5的距离相同。当时没有允许的；当时，只有整数；当时，恰有、5、6；当时，至少已有3、4、5、6、7五个整数。因此恰有3个的条件为。 当时，或6会使其中一种切法的两短边之和等于长边，不合要求，所以左端4不能取；当时，或7仍不能加入，而4、5、6均满足，所以右端6可以取。 三组甲、乙切点距左端的距离分别为 、 、 。时，这三组的两种切法都满足严格三边关系，且切点都在木条内部。 D6 一个三角形的两边长为4和，其中为不小于4的整数，第三边长为正整数。所有符合条件的的和为70，求及这些。 【解答】 因为，三边关系为。两个端点均为整数，所以符合条件的恰为、、、、、、，这7个数均为正。它们的和为，得 。故、8、9、10、11、12、13。代回，全部成立且没有其他整数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $