勾股定理中的线段最值问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理中的线段最值问题 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 教师版 本讲义通过垂线段、轴对称、固定长度和根式表示，研究平面内线段长度的最大值与最小值，结合基础练习、综合问题和中考题检验点的位置与取值范围。 内容导航 知识梳理 1 一、先检查垂足是否在允许范围内 3 二、作对称把折线转化为线段 5 三、求线段长度的最大值与最小值 8 四、把根式和看作两条斜边 10 A组 基础巩固 13 B组 能力突破 17 C组 综合提升 21 D组 中考衔接 28 知识梳理 线段最值题要完成两件事：先比较所有允许位置中的长度，再找出能够取得这个长度的位置。只算出一个不可能达到的数，不能作为最小值或最大值。 一、用勾股定理比较线段长短 设直线，在上，、，则。固定时，越小，越小；越大，越大。因此，求的最小值要先看点能否到达。 若只能在线段或射线上取点，而不在允许部分，就应比较允许位置到的距离。若几个位置到的距离相等，它们到的距离也相等。 如，题设要求，则，即。只有允许时，才是可取得的最小值。 二、把折线长度与线段长度比较 三角形两边之和大于第三边。把中间点也允许取在连接两端的线段上时，可写；等号成立时，在线段上。多段折线同理，达到两端点距离时，各段必须沿同一方向排在同一直线上。 、在直线同侧，在上时，作关于的对称点，便有。因此。连接，只有交点属于题目允许的线段或射线，才能据此取得最小值。 若、在的两侧，可先检查线段与允许部分的交点，不必再作对称。连续经过两条直线时，要按规定顺序作对称，并检查两个交点的位置。 如中，，、，则。任取点，都有；点在线段上时，和恰为。 三、利用固定长度和平方关系 若、固定，由三角形边的关系可比较： ，且。允许三点共线时，要按相应的点序检查两端长度能否取得；若题设不允许共线，端点通常不能取得。 折叠、旋转中的对应线段可能保持不变。先用等距或全等把所求线段换成容易比较的线段，再运用勾股定理或三角形边的关系。不能仅凭图形看起来对称就认定两段相等。 还可用，即，比较两段长度之和；等号成立时。使用这一关系后，仍要确认两段相等的位置符合题设。 如两段长度、满足，则，故；等号在时成立。若题目另有限制，还应检查这组长度是否允许。 四、把根式看作直角三角形的斜边 当、都不为时，根式可表示直角边长为、的直角三角形的斜边；若其中一个为，根式等于另一个数的绝对值。若、本来是线段长度，应先确认它们非负，不能把负数直接当作边长。 例如、、且时，可用下图表示：取，在直线两侧 分别作、，使、；在上取。点在内部时，由勾股定理可知两个根式分别为、；与端点重合时，直接按线段长度计算，结论仍然成立。 连接，交点在线段内时，最小为。再过作的平行线，与直线交于，则、，因而。求时应用已知的等长、全等、角度或面积关系，不能只凭图估计。 若的范围不包含使、、共线的位置，就不能直接采用上述长度；应按允许的重新比较。 一、先检查垂足是否在允许范围内 先由已知边求点到直线的距离，再检查垂足是否允许。垂足在允许部分时取垂足；垂足在外时，比较最近端点；允许部分分成几段时，分别比较。 例、在线段上，，；，。点在线段上运动。求的最小值，并求此时点的位置。 解析 在中，，所以。 不与重合时，在中，；与重合时，。在线段上，故的最小值为，此时点与重合。 变式、、、三点共线， 排列顺序为、、，，，，。点在线段上运动。求的最小值，并求此时点的位置。 解析 在中，，。 由、、的顺序知，在线段上时，。因此。等号恰在点与重合时成立，最小值为。 变式、、、依次共线，，，。点在线段上，点在线段上，。点只允许在线段或线段上运动。求的最小值，并找出所有取得最小值的位置。 解析 ，故。 在或上时，，且点与重合或点与重合时恰有。因此，最小值为；全部最短位置是、。 变式、在中，，，。从向作垂线，垂足在线段内部。点在线段上运动。求的最小值。 解析 设，则。由两个直角三角形得，。 两式相减，，得。因此，。点与重合时最短，最小值为。 二、作对称把折线转化为线段 同侧两点的折线可用轴对称转成线段。完成长度计算后，必须把交点放回题设范围；限制位置的题，最短点也可能是端点或单独允许的某一个点。 例、、在直线的同一侧， ，，、为垂足， ，，。点在线段上运动。求的最小值，并作出此时点的位置。 解析 作关于的对称点，连接，与相交于。、在两侧； 它们的垂足为、，所以交点在线段内部。 对任意允许的，，点与重合时等号成立。过作的平行线，与直线交于，则，。 在中，，故最小值为。学生作图保留对称点及线段，其与的交点就是所求位置。 变式、、在直线的同一侧， ，， ，。点在线段上运动。求的最小值；再求此时。 解析 作关于的对称点，连接交于。由对称与三角形两边和不小于第三边，最小值为。 过作平行于的直线，与直线交于，则，。由勾股定理，。 在和中，，，两个三角形全等。因此。 变式、、在直线的同一侧， ，，，。已知点在线段上运动时，的最小值为。求。 解析 作关于的对称点，连接。它与的交点在线段内部，所以最短折线的长度确实等于。 过作平行于的直线，与直线交于，则，。由勾股定理得，故。 变式、、在直线的同一侧， ，，，，。点在射线上运动，但不在线段内部。求的最小值，并求此时点的位置。（允许与或重合。） 解析 允许的位置分为点， 以及从向背离的方向延伸的射线（含）。 在后一部分上，，，故，；等号同时成立恰在点与重合。因此这些位置中所得的最小值为。 点与重合时，。又，因为。因此。 所求最小值为，且仅在点与重合时取得。 三、求线段长度的最大值与最小值 找出固定的线段，利用三角形边的关系确定大小，再画出能够取得最大值或最小值的点序。题目若排除共线或端点，相应等号不能保留。 例、在中， ，，。点在平面内运动，且。求的最小值和最大值，并分别求此时的位置。 解析 。由得；由得。 在线段上且时，，取得最小值。在射线上且位于的外侧、时，，取得最大值。 变式、在中， ，，。点、在平面内运动，且，。求的最小值和最大值，并分别画出取得这两个值时的一种图形。 解析 。由得。由得。 最小时，四点按、、、的顺序共线，，，。最大时，四点按、、、的顺序共线，。以上两种位置均满足条件。 变式、、、构成直角三角形，，，。点在直线上运动；点在平面内运动，且。求的最小值，并求此时、的位置。 解析 ，。对任意，；又，所以。 取点与重合，再在线段上取使，则，两个等号同时成立。所求最小值为；此时点与重合，在线段上且。 变式、在中， ，，。点满足，且不在直线上。设的周长为，求的取值范围。 解析 。因为不在直线上，的两边和大于第三边、两边差小于第三边，故，即。 ，因此。两端的数值都不能取得，因为相应位置要求、、三点共线。 四、把根式和看作两条斜边 先配成两个平方的和，确定各条直角边代表什么，再把两个直角三角形放在合适的位置。范围决定点能走到哪里，也决定最短的连接位置能否采用。 例、实数满足。求的最小值，并求取得最小值时的值。 解析 取线段，在直线两侧 分别作、，使，。 在线段上取，使，则。 由勾股定理，，，所求式就是。由三角形两边和不小于第三边，。 过作的平行线，与直线交于，则，，故。 在上取的点。与分别有两直角边、及、，故它们在处的锐角均为。由于、在两侧，、、共线，等号成立。故最小值为，此时。 变式、实数满足。求的最小值，并求此时的值。 解析 ，。令，，则，且两段非负。 取，在两侧分别作垂线段。在线段上时，所求式等于，最小值为。 当为中点时，，两个等腰直角三角形保证、、共线。因此，得。 变式、为任意实数。求的最小值，并求此时的值。 解析 先考虑。取，在两侧分别作垂线段，并在上取。所求式等于，最小值为。 连接交于。两直角三角形、有对应直角边，并有相等的对顶角，故全等。因此，得到。 若，则第一根式大于，第二根式大于，和大于。若，则第一根式大于，第二根式大于，同样大于。 故对全体实数，最小值仍为，仅在时取得。 变式、实数满足。求的最小值， 并求此时的值。 解析 也可把两个根式放入图形中：取，在直线两侧 分别作、，使、；点在射线上，。由于，点位于处或的外侧，。 于是两个根式分别等于、。 当时，，，所以，。 两个等号都在时成立，故最小值为，此时。 A组 基础巩固 、、、依次在线段上， ，，，。点在线段上运动， 则的最大值为（　）。 A．　B．　C．　D． 解析 由勾股定理，。在线段上时，，且点与重合时达到。因此的最大值为，选。 、、、依次共线，，，。点在线段上运动，但不与、、重合。设，求的取值范围。 解析 由于不与、、重合，。由，得。故。线段内部的点已能使取遍与之间的各个数值，因此没有遗漏中间的长度。 、、在直线的两侧， ，，、为垂足， ，，。点在线段上运动，则的最小值为________。 解析 连接，与交于。因为、在直线两侧，两个垂足分别为、，所以交点在线段内部。任意折线的长度都不小于，且这一交点使。过作直线的平行线，与直线交于，则，，。 、在中， ，，。点满足，且不在直线上。下列数值中，可以作为长度的是（　）。 A．　B．　C．　D． 解析 。不在直线上，故三角形的两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，即。四个选项中只有符合，选。边长、、满足三角形三边关系，确能构成三角形。 、是线段的中点，。点在线段上运动，的最小值为，最大值为，则的长为________。 解析 在与重合时最小，故。为中点，两端点到的距离相等，并且都是最大值，所以。由，得，。 、在矩形中，，，两条对角线相交于。点在矩形的四条边上运动。求的最小值、最大值，并分别求取得最小值和最大值时点的所有位置。 解析 先说明中心的位置。由矩形两组对边相等和直角相等，与由边角边全等，得到。利用平行边所成的内错角及，可证，故、，进而四条半对角线相等。过作、，垂足分别为、，并延长至另外两条对边，由全等可得到、的距离均为，到、的距离均为；垂足分别是各边中点。 在或上时，设到该边中点的距离为，则。由勾股定理，。因此最小值为，最大值为。 另两边的最小值为，最大值仍为。故全体位置中，最小值为，在、的中点取得；最大值为， 在、、、四个顶点取得。 、实数满足。求的最小值和最大值， 并分别求此时的值。 解析 。当时，平方项最小为，原式最小值为。时，−，所以，且仅时达到。 最大值为，此时。 、在中， ，，。点是斜边的中点，点在线段上运动。 求的最小值和最大值。 解析 过分别作、，垂足为、。四边形是矩形。 因，且两直角三角形、的一组锐角相等，可由角角边证。因此，，得到、。 由，且，得的最小值为，最大值为。 B组 能力突破 、在矩形中，，。点在上，；点在上，。点在线段上，点在线段上。求的最小值，并作出取得最小值时点、的位置。 解析 作关于的对称点，作关于的对称点。连接，依次与、交于、。对任何允许的、，都有 。 过作平行于的直线，与直线交于。和分别位于下方和上方，因此两点之间垂直于的距离为，平行于的距离为。因此、，由勾股定理。两端点分别在、所在直线上，连接它们的线段始终处于这两条平行线之间，又穿过、所在直线，故交点分别在两条边内部。按上述连接作图即可，最小值确为。 、在矩形纸片中， ，，点在边上且不与重合。沿折叠，点的对应点为。求的最小值，并求此时折痕的长。 解析 折叠给出，而，所以。要取得，点应在线段上且。此时，折痕平分该角，故。由于，为等腰直角三角形，，所需确在边内。因此的最小值为，此时。 、在等腰直角三角形中， ，。点、分别在线段、上，且。求的最小值，并求此时的长。 解析 设，则，。由勾股定理。因此的最小值为，此时。 、在中， ，，。点在线段上运动。求的最小值和最大值，并求取得最小值时的长。 解析 。过作，垂足在斜边内部。由同一三角形面积相等，，得。故最小为，在与重合时取得。 由，得。 又，故在线段上时，的最大值为，在与重合时取得。的最大值为。 、在正方形中，，是的中点。点在平面内运动， 且。将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接。求的最小值，并作出取得最小值时点的位置。（、、、依次按逆时针方向排列。） 解析 ，，且到、到都是同向转过，所以。由边角边得，故。又，，故。在线段上取的点，可使。这个点允许在平面内取到。因此最小为；连接，在其中取距为的点即得所求位置。 、为正数。当实数满足时，的最小值为。求的值。 解析 在一条直线两侧作垂直线段、，使。在线段上且时，正是题中两个根式之和。连接，它与的交点在线段内部，所以此和的最小值为。由最小值为，得；，因此，。 、、、三点共线， 排列顺序为、、，，，，。点在平面内运动，且；点在线段上运动。求的最小值，并求此时的长。 解析 对任意，，且仅与重合时。又由三角形两边关系，。在上取的点，并令与重合，则。因此最小值为，此时。 、在等腰三角形中， ，。点在线段上运动。求的最小值和最大值，并分别求此时的长。 解析 由三角形两边之和不小于第三边，，点与重合时取得，所以最小值，此时。 取中点。等腰三角形顶角到底边中点的线段垂直底边， 因此。点在线段上时，故，即； 又。 两者同时在与重合时达到最大，所以最大为，此时。 C组 综合提升 、在中， ，，，为正数。点、分别在线段、上，且。 （）设，用含的式子表示，并求的取值范围； （）若，求的最小值； （）若的最小值为， 求的取值范围。 解析 （）、，故。由于、分别位于两条边上，须同时满足、。 （）时，。在此范围内，最接近时为，故最小为，的最小值为。 （）须且只须。由于，只需，即；若，则平方项不能为，最小值大于。因此。 、在矩形纸片中， ，，点在边上且不与重合。沿折叠，点的对应点为。 （）求的最小值； （）当取得最小值时，求、的长，并求折叠后重叠部分的面积。 解析 （）。折叠给，因此。要取得，须在线段上且。以下构造说明这种折叠确实存在。 作的角平分线，与交于。设，过作。角平分线上的点到两边距离相等，故。以为底计算的面积为；以为底计算为。因此，得。在内部，沿翻折后落在方向上，且，故确实取得。在取得最小值的图中，折叠后的点与垂足重合。 （）由上可知，。点在线段内部，在内部，整个位于矩形内，重叠部分正是。其面积等于的面积，即。 、在矩形中，，。点、在矩形内部，到、的距离分别为、，到、的距离分别为、。 （）点在线段上、点在线段上，求的最小值； （）改为点在线段上、点在线段上，求的最小值。 解析 （）分别作关于的对称点、关于的对称点。对任意允许的、， 。、在平行于方向的间距为；在下方，在上方， 两点在垂直于方向的间距为。过作平行于的直线，与直线交于，便得到两条直角边长、。因此。连接依次与、交于、，两点均在边内，能取得此值。 （）改作关于的对称点，关于的对称点。在上方，在下方，垂直间距，平行间距仍为。过作平行于的直线，与直线交于，得到两条直角边长、。连接依次与、相交，两交点均位于边内。因此最小值为。两问中交点在边内，是因为连接两端点的线段夹在过、且垂直的两条直线之间，而这两条直线都穿过矩形内部。 、实数、满足，，。设。 （）求的最小值，并求此时、的值； （）若增加条件，求的最小值。 解析 （）把三个根式依次看作三个直角三角形的斜边，水平方向的直角边长分别为、、，竖直方向的直角边长分别为、、，三个三角形同向首尾相接。如图，三个斜边依次记为、、，构成一条折线， 其两端点的水平、竖直距离均为。因此。 当、时，第三段水平长度为，三个直角三角形都是等腰直角三角形，三个斜边恰好同向共线，故。反之，要达到这一值，三段斜边必须在连接两端点的直线上；该直线与水平线成，所以每个直角三角形都为等腰直角三角形，必有、。 （）若，则第三个根式等于。前两条斜边首尾相接，其总水平长度为、总竖直长度为，所以两段之和最小为。连接两端点的直线与中间水平线相交，交点在两条端点竖直线之间，可使两段共线，且、均非负。因此的最小值为。 、在正方形中，，是的中点。点在正方形内部或边上， 且。将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接。若，求的所有可能长度。（、、、依次按逆时针方向排列。） 解析 ，，且到、到都是同向转过，所以。由边角边得，故。由题意。过分别作、，垂足为、。记、，则、，且、。 由，得。为中点，到的距离为，到的距离为。由，得。两式相减整理，得到。代入前式，得，即。直接开平方，得或−，所以或。 当时，，点与重合，； 当时，，点在正方形内部， 。两组长度代回都满足、。 因此的所有可能长度为、。 、在中，，，。点满足。 （）点在平面内运动时，求的最小值，并求此时的长； （）点只在内部或边上运动时，求的最小值，并求此时点的位置。 解析 取中点，则。由，点在的垂直平分线上；反之，该直线上的点都满足。 （）过作直线，垂足。四边形为矩形，故、。在整条垂直平分线上，最小为，在与重合时取得。此时。 （）设的垂直平分线交于。允许点组成线段。过作，垂足，则为矩形，。又，，由平行线所成的角可得。由角边角可证，故。又，，所以。 在线段之外，，因此在上时，且在与重合时取得。由，最小为。上述全等还给出，故是斜边的中点。 D组 中考衔接 中考真题精选 （·陕西·第题（）节选）、如图，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足=。求周长的最小值。 解析 过作，垂足为。由面积为，得，所以。故点在矩形内部与平行、到距离为的线段上。 设这条线段的两端分别为、，其中在上，在上。作点关于直线的对称点，连接。因为，所以。到直线的距离为，且其垂足为，由勾股定理得。 与的交点在矩形内部：由于两条垂直边的长度同为，为等腰直角三角形；交点到距离，所作直角三角形的两条直角边也相等， 因此该点到的距离为，且、。此时等号成立。故周长的最小值为。 （·新疆·第题（）节选）、如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，点和点分别是线段和上的动点，且。求的最小值。 解析 取的中点，连接。由等腰三角形性质和勾股定理，，，。过作，垂足为。由，得；在直角三角形中，，故。 设，由及，得。当时，；当时，点与重合，点与重合，。这两个值均大于。下面考虑。过作，垂足为。，所以。又，由勾股定理得。因此，。 在直线上、的另一侧取点，使，连接、。因为，，，所以直角三角形与全等，。因此。 过作交直线于。由矩形关系，，，所以。线段与的交点位于、之间：在过的垂线上方，在过的垂线下方，线段穿过这两条平行线之间的区域。取为此交点，则；按确定的位于内部，符合题意，且、、依次共线。因此的最小值为。 中考题型训练 以下四题为原创训练题。 （原创中考衔接训练）、已知线段，点在直线的一侧运动，且。 过作，垂足为。 （）求的最大值， 并求此时的长； （）若，求周长的最大值， 并求此时的长。 解析 （）由勾股定理，。故，得到。当时，可以构成斜边为的等腰直角三角形，等号成立。因此最大值为。比较的两种面积写法，，得。 （）由及，得，所以。于是，即。当、时，，能够构成符合题意的直角三角形，等号成立。故周长最大为，此时。 （原创中考衔接训练）、在直角三角形中，，，。点在线段上运动，过作的垂线，在直线的点所在一侧取点，使，连接。 （）求的最小值及此时的长； （）若，求的所有可能值。 解析 设，则，。由两个直角三角形分别得到，。因此。 （）因为，。当时，在线段内部，按可在规定的一侧作出点，等号能够成立。因此的最小值为，此时。 （）令，得，即，所以或。这两个值都在的范围内，均能作出相应的、。因此的所有可能值为、。 （原创中考衔接训练）、如图，射线与互相垂直，，。在两射线所夹直角内部取点、，使、，、。点、分别在射线、上运动，连接、、。 （）求的最小值； （）求取得最小值时、的长。 解析 分别作点关于直线的对称点、点关于直线的对称点。因为在直线上、在直线上，所以，。由两点之间线段最短，。 过作平行于的直线，交直线于。由两条射线互相垂直，得、。在下方且，所以； 在左侧且，所以。在直角三角形中，。 下面确定能够取得这个值的位置。在上取，在上取， 则、。在直角三角形、、中，由勾股定理分别得到。因此，确能取得最小值。 线段与两条射线的交点各只有一个，故取得最小值时的位置唯一。因此（）最小值为； （），。 （原创中考衔接训练）、已知，点为的中点。平面内的动点满足，连接。分别求的最大值和最小值， 并求取得这两个值时、的长。 解析 先用勾股定理建立关系。若不在直线上，过作，垂足为， 记、。不论在线段上还是在延长线上，。因此。若在直线上，按线段顺序也可直接得到同一等式。 由于，有。左边不小于，故。当时，取过且垂直于的直线上距为的点，即有，满足题意。因此的最小值为，此时。 再求最大值。若不在直线上，延长到，使。由、及对顶角相等，，所以。在三角形中，，故，即。 若在直线上，不可能在线段上，否则。在线段外时，由是中点，，得到。这样的点在两端外侧各有一个，较长、较短的两段分别为、。 因此的最大值为，此时、，或、。 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理中的线段最值问题 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 学生版 本讲义通过垂线段、轴对称、固定长度和根式表示，研究平面内线段长度的最大值与最小值，结合基础练习、综合问题和中考题检验点的位置与取值范围。 内容导航 知识梳理 1 一、先检查垂足是否在允许范围内 3 二、作对称把折线转化为线段 4 三、求线段长度的最大值与最小值 6 四、把根式和看作两条斜边 7 A组 基础巩固 8 B组 能力突破 10 C组 综合提升 12 D组 中考衔接 15 知识梳理 线段最值题要完成两件事：先比较所有允许位置中的长度，再找出能够取得这个长度的位置。只算出一个不可能达到的数，不能作为最小值或最大值。 一、用勾股定理比较线段长短 设直线，在上，、，则。固定时，越小，越小；越大，越大。因此，求的最小值要先看点能否到达。 若只能在线段或射线上取点，而不在允许部分，就应比较允许位置到的距离。若几个位置到的距离相等，它们到的距离也相等。 如，题设要求，则，即。只有允许时，才是可取得的最小值。 二、把折线长度与线段长度比较 三角形两边之和大于第三边。把中间点也允许取在连接两端的线段上时，可写；等号成立时，在线段上。多段折线同理，达到两端点距离时，各段必须沿同一方向排在同一直线上。 、在直线同侧，在上时，作关于的对称点，便有。因此。连接，只有交点属于题目允许的线段或射线，才能据此取得最小值。 若、在的两侧，可先检查线段与允许部分的交点，不必再作对称。连续经过两条直线时，要按规定顺序作对称，并检查两个交点的位置。 如中，，、，则。任取点，都有；点在线段上时，和恰为。 三、利用固定长度和平方关系 若、固定，由三角形边的关系可比较： ，且。允许三点共线时，要按相应的点序检查两端长度能否取得；若题设不允许共线，端点通常不能取得。 折叠、旋转中的对应线段可能保持不变。先用等距或全等把所求线段换成容易比较的线段，再运用勾股定理或三角形边的关系。不能仅凭图形看起来对称就认定两段相等。 还可用，即，比较两段长度之和；等号成立时。使用这一关系后，仍要确认两段相等的位置符合题设。 如两段长度、满足，则，故；等号在时成立。若题目另有限制，还应检查这组长度是否允许。 四、把根式看作直角三角形的斜边 当、都不为时，根式可表示直角边长为、的直角三角形的斜边；若其中一个为，根式等于另一个数的绝对值。若、本来是线段长度，应先确认它们非负，不能把负数直接当作边长。 例如、、且时，可用下图表示：取，在直线两侧 分别作、，使、；在上取。点在内部时，由勾股定理可知两个根式分别为、；与端点重合时，直接按线段长度计算，结论仍然成立。 连接，交点在线段内时，最小为。再过作的平行线，与直线交于，则、，因而。求时应用已知的等长、全等、角度或面积关系，不能只凭图估计。 若的范围不包含使、、共线的位置，就不能直接采用上述长度；应按允许的重新比较。 一、先检查垂足是否在允许范围内 先由已知边求点到直线的距离，再检查垂足是否允许。垂足在允许部分时取垂足；垂足在外时，比较最近端点；允许部分分成几段时，分别比较。 例、在线段上，，；，。点在线段上运动。求的最小值，并求此时点的位置。 变式、、、三点共线， 排列顺序为、、，，，，。点在线段上运动。求的最小值，并求此时点的位置。 变式、、、依次共线，，，。点在线段上，点在线段上，。点只允许在线段或线段上运动。求的最小值，并找出所有取得最小值的位置。 变式、在中，，，。从向作垂线，垂足在线段内部。点在线段上运动。求的最小值。 二、作对称把折线转化为线段 同侧两点的折线可用轴对称转成线段。完成长度计算后，必须把交点放回题设范围；限制位置的题，最短点也可能是端点或单独允许的某一个点。 例、、在直线的同一侧， ，，、为垂足， ，，。点在线段上运动。求的最小值，并作出此时点的位置。 变式、、在直线的同一侧， ，， ，。点在线段上运动。求的最小值；再求此时。 变式、、在直线的同一侧， ，，，。已知点在线段上运动时，的最小值为。求。 变式、、在直线的同一侧， ，，，，。点在射线上运动，但不在线段内部。求的最小值，并求此时点的位置。（允许与或重合。） 三、求线段长度的最大值与最小值 找出固定的线段，利用三角形边的关系确定大小，再画出能够取得最大值或最小值的点序。题目若排除共线或端点，相应等号不能保留。 例、在中， ，，。点在平面内运动，且。求的最小值和最大值，并分别求此时的位置。 变式、在中， ，，。点、在平面内运动，且，。求的最小值和最大值，并分别画出取得这两个值时的一种图形。 变式、、、构成直角三角形，，，。点在直线上运动；点在平面内运动，且。求的最小值，并求此时、的位置。 变式、在中， ，，。点满足，且不在直线上。设的周长为，求的取值范围。 四、把根式和看作两条斜边 先配成两个平方的和，确定各条直角边代表什么，再把两个直角三角形放在合适的位置。范围决定点能走到哪里，也决定最短的连接位置能否采用。 例、实数满足。求的最小值，并求取得最小值时的值。 变式、实数满足。求的最小值，并求此时的值。 变式、为任意实数。求的最小值，并求此时的值。 变式、实数满足。求的最小值， 并求此时的值。 A组 基础巩固 、、、依次在线段上， ，，，。点在线段上运动， 则的最大值为（　）。 A．　B．　C．　D． 、、、依次共线，，，。点在线段上运动，但不与、、重合。设，求的取值范围。 、、在直线的两侧， ，，、为垂足， ，，。点在线段上运动，则的最小值为________。 、在中， ，，。点满足，且不在直线上。下列数值中，可以作为长度的是（　）。 A．　B．　C．　D． 、是线段的中点，。点在线段上运动，的最小值为，最大值为，则的长为________。 、在矩形中，，，两条对角线相交于。点在矩形的四条边上运动。求的最小值、最大值，并分别求取得最小值和最大值时点的所有位置。 、实数满足。求的最小值和最大值， 并分别求此时的值。 、在中， ，，。点是斜边的中点，点在线段上运动。 求的最小值和最大值。 B组 能力突破 、在矩形中，，。点在上，；点在上，。点在线段上，点在线段上。求的最小值，并作出取得最小值时点、的位置。 、在矩形纸片中， ，，点在边上且不与重合。沿折叠，点的对应点为。求的最小值，并求此时折痕的长。 、在等腰直角三角形中， ，。点、分别在线段、上，且。求的最小值，并求此时的长。 、在中， ，，。点在线段上运动。求的最小值和最大值，并求取得最小值时的长。 、在正方形中，，是的中点。点在平面内运动， 且。将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接。求的最小值，并作出取得最小值时点的位置。（、、、依次按逆时针方向排列。） 、为正数。当实数满足时，的最小值为。求的值。 、、、三点共线， 排列顺序为、、，，，，。点在平面内运动，且；点在线段上运动。求的最小值，并求此时的长。 、在等腰三角形中， ，。点在线段上运动。求的最小值和最大值，并分别求此时的长。 C组 综合提升 、在中， ，，，为正数。点、分别在线段、上，且。 （）设，用含的式子表示，并求的取值范围； （）若，求的最小值； （）若的最小值为， 求的取值范围。 、在矩形纸片中， ，，点在边上且不与重合。沿折叠，点的对应点为。 （）求的最小值； （）当取得最小值时，求、的长，并求折叠后重叠部分的面积。 、在矩形中，，。点、在矩形内部，到、的距离分别为、，到、的距离分别为、。 （）点在线段上、点在线段上，求的最小值； （）改为点在线段上、点在线段上，求的最小值。 、实数、满足，，。设。 （）求的最小值，并求此时、的值； （）若增加条件，求的最小值。 、在正方形中，，是的中点。点在正方形内部或边上， 且。将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接。若，求的所有可能长度。（、、、依次按逆时针方向排列。） 、在中，，，。点满足。 （）点在平面内运动时，求的最小值，并求此时的长； （）点只在内部或边上运动时，求的最小值，并求此时点的位置。 D组 中考衔接 中考真题精选 （·陕西·第题（）节选）、如图，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足=。求周长的最小值。 （·新疆·第题（）节选）、如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，点和点分别是线段和上的动点，且。求的最小值。 中考题型训练 以下四题为原创训练题。 （原创中考衔接训练）、已知线段，点在直线的一侧运动，且。 过作，垂足为。 （）求的最大值， 并求此时的长； （）若，求周长的最大值， 并求此时的长。 （原创中考衔接训练）、在直角三角形中，，，。点在线段上运动，过作的垂线，在直线的点所在一侧取点，使，连接。 （）求的最小值及此时的长； （）若，求的所有可能值。 （原创中考衔接训练）、如图，射线与互相垂直，，。在两射线所夹直角内部取点、，使、，、。点、分别在射线、上运动，连接、、。 （）求的最小值； （）求取得最小值时、的长。 （原创中考衔接训练）、已知，点为的中点。平面内的动点满足，连接。分别求的最大值和最小值， 并求取得这两个值时、的长。 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $