精品解析：江苏南京市南京联合体2026～2027学年第一学期 九年级期中练习卷数学试题

2026～2027学年第一学期南京联合体期中练习卷九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ） A. 外 B. 内 C. 上 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系即可进行解答． 【详解】解：∵的半径为=，点P到圆心O的距离为d=，d=r， ∴点P在上． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握：当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程有实数根时判别式，先求出的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∵选项中只有， ∴的值不可能是. 3. 三边长分别为3，4，5的三角形的内切圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，设内切圆的半径为，切点分别为、、，判断出四边形是正方形，再根据切线长定理即可得到关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：设中，，，， ，即， 是直角三角形， 如图所示：作的内切圆，切点分别为、、， 设内切圆的半径为， ，，， ，，， 四边形为矩形， ， 矩形是正方形，即， ，， ， ． 4. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（ ） A. 不小于 B. 不大于 C. 不小于 D. 不大于 【答案】C 【解析】 【分析】设函数解析式为，把时，代入函数解析式求出的值，根据“当气球内的气压大于时，气球将爆炸”，得到不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：设函数解析式为：， 根据图可得，当时，， ， ， 当气球内的气压大于时，气球将爆炸， ， 解得：， 即气球的体积应不小于， 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是建立函数关系，列出一元一次不等式． 6. 关于x的一元二次方程的一个实数根为2026，则方程一定有的实数根是（ ） A. 2026 B. C. -2026 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以，可得结论． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为2026， ， ， ， 是方程的实数根． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，当时，函数图象位于第二、四象限，当时，函数图象位于第一、三象限；据此即可求解． 【详解】解：∵函数图象位于第二、四象限， ∴； 故答案为：． 8. 某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意列方程得． 9. 设是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系先求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，． 10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ ________° 【答案】25 【解析】 【详解】试题分析：根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答． 试题解析：∵CD∥AB， ∴∠ADC=∠BAD， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°． 考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质． 11. 如图，是的弦，是的切线．若，则__． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、多边形内角和定理；由切线可知，，由圆周角定理，得，进而根据四边形内角和求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A，与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 12. 已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_____________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用这个关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得：， 解得 ， 所以圆锥底面圆的半径为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若反比例函数的图像与线段只有1个公共点，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】画出图像，分别求出反比例函数图像经过点A和点B时的k值，结合图像可得范围． 【详解】解：∵线段在第一、三象限， ∴反比例函数的图像经过第一、三象限， 由图可知：， 当反比例函数图像经过点A时， ； 当反比例函数图像经过点B时， ， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个特殊位置时的值是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，为原点，点在第二象限，且．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点A坐标为，结合第二象限点的坐标特征、即可得，再根据反比例函数的图象经过点A，即可得，再根据，即可得，进而得，进一步得，进一步推理即可得的取值范围． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵ 点A在第二象限， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ 反比例函数的图象经过点A， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴的取值范围为． 16. 如图，中，，，是内一点，且，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，以为斜边，在下方作等腰，过作交直线于，连接，，得到点在以为圆心，为半径的圆上，，当点在线段上时，长取得最小值，此时，根据勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 以为斜边，在下方作等腰，过作交直线于，连接，，则，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴，当点在线段上时，长取得最小值，此时； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 18. 如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点，求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵平分，并交于点， ∴， ∴， ∵点在上， ∴． 【解析】 【分析】连接，可得是等腰三角形，由平分，根据等腰三角形的三线合一，即可证明结论． 【详解】略 19. 已知电路的电压（单位：）、电流（单位：）、电阻（单位：）之间有如下关系：．该电路的电压为． （1）写出电流（单位：）关于电阻（单位：）的函数表达式； （2）如果该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流如何变化？ 【答案】（1） （2）电流从减小到 【解析】 【小问1详解】 解：根据得到，变形． 【小问2详解】 解：当时，；当时，； ∴该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流从减小到． 20. 如图，的弦、相交于点，．求证：． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【详解】连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，然后通过等弧所对的圆周角得到，最后由等角对等边即可求证． 【分析】略． 21. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 【答案】（1）主桥拱所在圆的半径 （2）此时水面的宽度 【解析】 【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径； （2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 如图，以O为圆心，连接， 由题意可得，D为弧的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴主桥拱所在圆的半径； 【小问2详解】 由题意得，水面下降为，连接， ∵水面下降1米， ∴， 则， ∴，即水面的宽度为． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 22. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价： ①每涨价1元，每天要少卖出10件； ②每降价1元，每天可多卖出20件． 如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？ 【答案】涨价5元 【解析】 【分析】根据“总利润单件利润销售量”列出方程，解方程解题． 【详解】解：①设涨价x元，使每天的利润为6250元， ， 解得， ②设降y元，使每天的利润为6250元， ， 整理的， ， 方程无解， 答：涨价5元，每天的利润为6250元． 【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，找等量列方程找到符合实际的解是解题的关键． 23. 如图，已知反比例函数的图像经过． （1）求该反比例函数的表达式． （2）已知一次函数， ①当时，直接写出当时对应的的取值范围； ②当时，对于的每一个值，其对应的总大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①或；②． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）①在同一坐标系中画出反比例函数与一次函数图像即可得解；②先求得与在第三象限交于点，从而得对于的每一个值，其对应的总大于时，即与在第三象限交于点在的下方，于是即可得解． 【小问1详解】 解∶∵反比例函数的图像经过， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵一次函数，， ∴， 在同一坐标系中画出与如下图， ， 由上图可知当时对应的的取值范围为或； ②当时，， 令得，解得， ∴，此时与在第三象限交于点， ∵对于的每一个值，其对应的总大于， ∴与在第三象限交于点在的下方， ∴对于的每一个值，其对应的总大于时，． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，结合函数图像上点的坐标特征利用数形结合的思想是解题的关键． 24. 已知关于x的方程． （1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根分别为 ，且，证明：． 【答案】（1） 证明：， 即， ∴ ， ∵无论k取何值时，总有， ∴， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）化成一般式，求根的判别式，当时，方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系求出两根和，再把化为，再根据求根公式求出，并判断出即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． 25. 按要求作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作一条弦，使，且． （2）作一条弦，使，且与的夹角为． 【答案】（1） 连接并延长交于点，连接，过点作交于点，，作弦，连接，则弦即为所求； （2） 过点作于，分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接、，过点作的垂线交于点，过点、作直线与交于、两点，则弦即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，过点作交于点，，作弦，连接，弦即为所求； （2）过点作于，分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接、，过点作的垂线交于点，过点、作直线与交于、两点，则弦即为所求． 【小问1详解】 解：设分别交、于点、， 由作图步骤可知，， 、为的直径， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 则弦即为所求； 【小问2详解】 解：连接，，， 由作图步骤可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分，即垂直平分， ∴， ∴， ∴，即与的夹角为． ∴， ∵， ∴由垂径定理的推论可知，则弦即为所求． 26. 如图，经过的三个顶点，，，且与相切，切点为，并交边于点． （1）求证：； （2）若，，则的半径为______． 【答案】（1）证明：如图，连接并延长，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】如图，连接并延长，交于，由平行四边形的性质和切线的性质得到，进而证明得到，则，再由圆内接四边形的性质可得，又，，则，从而求证； 由得，，则，，通过平行四边形的性质、圆内接四边形性质可得，所以，从而有，则，然后连接，如图，设的半径为，最后通过勾股定理即可求出的半径． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由得，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，如图，设的半径为， 在中，， ∴， ， ， ，即的半径为． 27. 定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． （1）【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． （2）【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． （3）【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 【答案】（1）①③ （2）①；② （3）9，15，21 【解析】 【分析】（1）设的内心关于边的对称点恰好在上，证明，可得，，由为的内心，可得，，由四边形内接于，可得，可得当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为，即可得结论； （2）①连接，，，，同理（1）即可得； ②连接，，过点作于点，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）分，，三种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设的内心关于边的对称点恰好在上， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为， ∴当三角形为等边三角形和有一个角为的直角三角形时，一定是的“完美三角形”，故①③符合． 【小问2详解】 解：①如图，连接，，，， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ②如图，连接，，过点作于点，则， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的半径为． 【小问3详解】 解：由（2）可知，有一个角为， 当时，如图，连接，，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴； 当时，过点作交延长线于点，则，， ∴； 当时，如图， 同理当时，其对边， ∴当时，其对边； 同理，若，则其对边，与已知不符合，故不存在； 综上所述，所有可能的值为9，15，21． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期南京联合体期中练习卷九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ） A. 外 B. 内 C. 上 D. 无法确定 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 三边长分别为3，4，5的三角形的内切圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（ ） A. 不小于 B. 不大于 C. 不小于 D. 不大于 6. 关于x的一元二次方程的一个实数根为2026，则方程一定有的实数根是（ ） A. 2026 B. C. -2026 D. 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 8. 某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为，根据题意可列方程为______． 9. 设是一元二次方程的两个根，则______． 10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ ________° 11. 如图，是的弦，是的切线．若，则__． 12. 已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_____________．（填“”“”或“”） 13. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若反比例函数的图像与线段只有1个公共点，则的取值范围是________． 15. 在平面直角坐标系中，为原点，点在第二象限，且．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______． 16. 如图，中，，，是内一点，且，则长的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点，求证：． 19. 已知电路的电压（单位：）、电流（单位：）、电阻（单位：）之间有如下关系：．该电路的电压为． （1）写出电流（单位：）关于电阻（单位：）的函数表达式； （2）如果该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流如何变化？ 20. 如图，的弦、相交于点，．求证：． 21. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 22. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价： ①每涨价1元，每天要少卖出10件； ②每降价1元，每天可多卖出20件． 如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？ 23. 如图，已知反比例函数的图像经过． （1）求该反比例函数的表达式． （2）已知一次函数， ①当时，直接写出当时对应的的取值范围； ②当时，对于的每一个值，其对应的总大于，直接写出的取值范围． 24. 已知关于x的方程． （1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根分别为 ，且，证明：． 25. 按要求作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作一条弦，使，且． （2）作一条弦，使，且与的夹角为． 26. 如图，经过的三个顶点，，，且与相切，切点为，并交边于点． （1）求证：； （2）若，，则的半径为______． 27. 定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． （1）【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． （2）【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． （3）【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $