精品解析：甘肃武威市凉州区丰乐镇九年制学校、永丰中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期九年级数学期中考试试卷 一、单选题（共30分） 1. 一元二次方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 的值分别是 （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 关于x的方程有实数根，则a满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 3. 某市2024年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2026年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于的二次函数，那么的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 5. 已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中，是反比例函数的是（） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 10. 某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 已知，都是方程的根，代数式的值是________． 12. 已知实数a、b满足，，则___________． 13. 毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一张照片，一共送出张照片，设晚会上有人，根据题意，可列方程为__________． 14. 二次函数的二次项系数是______． 15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，并且关于x的方程无实数解．那么符合条件的所有整数a的和是________． 16. 抛物线的对称轴直线．抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④，正确的结论有______． 17. 若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C是y轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为2.5，则m的值为_____． 三、解答题（共66分） 19. 已知二次函数． （1）在图中的平面直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （2）当为何值时，函数值？ （3）当时，直接写出函数值的取值范围． 20. 解下列一元二次方程 （1）； （2）． 21. 云南约94%的国土面积为山区、半山区，洪涝、滑坡、泥石流等灾害多发，是全国防汛救灾任务最重的省份之一．某镇为预防灾害，采购大量便携式防灾应急设备发放给辖区内的住户．第一天有2000户居民领取了相关设备，随着宣传的不断深入，第三天有3380户居民领取了相关设备，求领取设备的居民户数的日平均增长率． 22. 已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式． （2）判断点是否在抛物线上，并说明理由． 23. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． （1）求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 24. 已知是关于的函数． （1）若这个函数是反比例函数，求的值； （2）若这个函数是二次函数，求的值． 25. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点．已知，点B的纵坐标为3． （1）求k的值． （2）求的面积． 26. 电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加 （1）当时，求与之间的关系式； （2）电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？ 27. 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线解析式； （2）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）设点，求使取最小值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学期中考试试卷 一、单选题（共30分） 1. 一元二次方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 的值分别是 （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般形式确定，，的值． 【详解】解：方程中，，，． 2. 关于x的方程有实数根，则a满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次项系数含参数则需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，再综合的取值范围进行求解即可. 【详解】解：当，即时，方程为，解得，有实数根，符合题意. 当，即时，方程为一元二次方程. ∵ 方程有实数根， ∴， 即， 整理得， 解得． 此时的取值范围为且． 综上，的取值范围为． 3. 某市2024年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2026年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确增长年数为2，结合期初、期末覆盖率，利用增长率公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即． 4. 已知是关于的二次函数，那么的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 5. 已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数配方为顶点式，确定对称轴与顶点坐标，结合开口方向和给定的取值区间，分别计算顶点和区间端点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：将二次函数配方得， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵ 在范围内， ∴ 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 6. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由给定区间内函数最小值大于顶点纵坐标，可知对称轴不在范围内，分两类讨论求解即可 【详解】解：该二次函数的顶点坐标为，最小值为4 ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， 分两种情况讨论： 当时， ∵，时随增大而增大， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去） 当时， ∵，时随增大而减小， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去） 综上，的值为或 7. 小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据栅栏总长表示出平行于墙的一边长，利用矩形面积公式列出函数关系式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为米， ∵栅栏总长为米，且一边靠墙， ∴与墙平行的一边长为米， ∴． 8. 下列函数中，是反比例函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是一次函数，不是反比例函数． B．符合反比例函数形式． C．，无自变量，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数． D．由得，是正比例函数，不是反比例函数． 9. 已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】D 【解析】 【分析】先根据时的最大值推导与的关系，再结合反比例函数的增减性求解时的最值． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， ∴时，取最大值，即，得； 当时，， ∴时，取最大值，最大值为． 10. 某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 二、填空题（共24分） 11. 已知，都是方程的根，代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知、为指定一元二次方程的根，待求代数式中含、的二次项与一次项组合可通过方程根的定义替换为常数，简化后即可计算出代数式的值． 【详解】解：∵，都是方程的根． ∴将代入方程可得，将代入方程可得． ∴，． ∴ ． 12. 已知实数a、b满足，，则___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】a、b满足同一个形式的一元二次方程，需分、两类情况计算，时可借助根与系数的关系化简所求代数式． 【详解】解：∵实数a、b满足，， ∴a、b是一元二次方程的两个根， 1. 当时， ∵ 方程的两根乘积为，故均不为0，分式有意义， ∴ 2. 当时， ∵ 是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 根据根与系数的关系，，， 对所求代数式通分变形： ， 代入数值计算： ， 综上所述，所求式子的值为2或． 13. 毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一张照片，一共送出张照片，设晚会上有人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据总送出照片数的等量关系列方程，总人数与每人送出照片数的乘积即为送出的总照片数． 【详解】解：设晚会上有人，根据题意得， ． 14. 二次函数的二次项系数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次函数的一般形式为（），其中为二次项系数， 对比函数，其二次项为，对应的二次项系数为． 15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，并且关于x的方程无实数解．那么符合条件的所有整数a的和是________． 【答案】20 【解析】 【分析】结合二次函数的增减性确定对称轴的位置得到a的初步范围，再根据方程无实数解的条件排除一次方程有解的情况，得到a的另一范围，取交集后找出所有整数a计算求和． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得． ∵关于x的方程无实数解， ∴当时，方程为，存在实数解，不符合要求． 当时，方程为一元二次方程，无实数解需满足判别式， 即， 解得． ∴ 综合两个条件，a的取值范围为． ∵ a为整数， ∴ 符合条件的a为2，3，4，5，6． ∴ 所有整数a的和为． 16. 抛物线的对称轴直线．抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④，正确的结论有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①抛物线的对称轴即可得；②先根据抛物线与x轴交点位置、对称性可得当时，，再结合即可得；③根据二次函数的顶点坐标可得抛物线与直线有两个交点，由此即可得；④先根据顶点坐标可得，再结合即可得． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，且时，， 当时，， 由二次函数的对称性得，时的函数值与时的函数值相等， 当时，，即， ， ，即，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不相等实数根，故③正确； ∵化成顶点式为，且其顶点坐标为， ∴，即， ∵， ∴， ∵抛物线的开口向下， ， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①③④． 17. 若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将点的横纵坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入函数解析式， 得 ， 即 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C是y轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为2.5，则m的值为_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据 轴可知 两点横坐标相同，设横坐标为 ，利用反比例函数解析式表示出 的纵坐标，进而表示出 的长，结合三角形面积公式列出关于 的方程求解即可． 【详解】解： ∵轴 ， ∴设两点的横坐标为 ， ∵点在上，点在上 ， ∴， ∴ ， ∵的面积为，且边上的高为点到轴的距离 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴或 ， 解得或 ， 由图象可知点在第一象限，则 ， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 已知二次函数． （1）在图中的平面直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （2）当为何值时，函数值？ （3）当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2）当或时，函数值． （3）． 【解析】 【分析】（1）把二次函数化成顶点式，用五点法画出函数图象； （2）当，则，求出，即可； （3）由函数图象可得，当时，最小值为；当时，二次函数值最大，当时，，即可得到函数值的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数化成顶点式为： 【小问2详解】 解：由（1）可得，二次函数解析式为， 当时，即， 解得，， ∴当或时，函数值． 【小问3详解】 解：由函数图象可得，当时，最小值为； 当时，，当时，， ∴当时，． 20. 解下列一元二次方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）可通过配方法求解方程； （2）先对等式右侧因式分解，再通过提取公因式的因式分解法简化计算求解． 【小问1详解】 解：， 方程两边同除以得， 配方得， 开平方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 将右侧因式分解得， 移项得， 提取公因式得， 化简得， 解得，． 21. 云南约94%的国土面积为山区、半山区，洪涝、滑坡、泥石流等灾害多发，是全国防汛救灾任务最重的省份之一．某镇为预防灾害，采购大量便携式防灾应急设备发放给辖区内的住户．第一天有2000户居民领取了相关设备，随着宣传的不断深入，第三天有3380户居民领取了相关设备，求领取设备的居民户数的日平均增长率． 【答案】 领取设备的居民户数的日平均增长率为 【解析】 【详解】解：设领取设备的居民户数的日平均增长率为，   整理得  解得 ，（不符合题意，舍去）， 答：领取设备的居民户数的日平均增长率为． 22. 已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式． （2）判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，代入已知点坐标求解参数； （2）代入点的横坐标计算函数值，与点的纵坐标对比判断． 【小问1详解】 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 23. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． （1）求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，围成的矩形花圃的面积最大，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据可求出长与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∵平行于墙的边， 而，且， ∴． ∴； 【小问2详解】 解： ∵，且， ∴当时，y取得最大值800． 答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20． 24. 已知是关于的函数． （1）若这个函数是反比例函数，求的值； （2）若这个函数是二次函数，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义，列式计算即可； （2）根据二次函数的定义，列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 25. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点．已知，点B的纵坐标为3． （1）求k的值． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得出，将其代入一次函数解析式，得到，再根据点B的纵坐标为3确定，将其代入反比例函数解析式得到k的值； （2）联立和得，解方程求出点、，根据求出的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 将代入得，， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， 将代入得，； 【小问2详解】 解：联立和得， 整理得，， 解得，， ∴，， ∴． 26. 电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加 （1）当时，求与之间的关系式； （2）电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？ 【答案】（1）时， （2）时，电阻不超过 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，设关系为 ，将代入求m； （2）将代入关系式中求y，再利用温度每上升，电阻增加，得出图像上点的坐标，再求出函数关系即可，将代入函数关系式求出x的值． 【小问1详解】 解：由题意：, 解得，， 函数过，两点， 设， 过点， ． 当时，y与x的关系式为：； 【小问2详解】 过点， 温度每上升，电阻增加 过点， ， 解得：， 与x的关系式为：， ，当时，， ，当时，， 答：温度x取值范围是：． 27. 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线解析式； （2）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）设点，求使取最小值时的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，代入两点求解析式，是二次函数的送分基础题； （2）动点面积最值，用“铅锤高×水平宽”把三角形面积转化为关于的二次函数，再利用顶点求最值； （3）线段和最小，属于“将军饮马”模型：作其中一点关于定直线的对称点，把折线段拉直，转化为两点间线段最短． 【小问1详解】 解：把、代入： 两式相减得，故；代入得． 【小问2详解】 解：设直线的解析为：，过、， ∴， 解得， ． 设，过作竖直线交于，如图所示： 水平距离，由铅锤高公式： ∵，当时面积最大： ，此时 【小问3详解】 解：抛物线与轴交点； 配方得：，即顶点． 如图所示：作关于直线的对称点，则， ，当、、三点共线时最小． 设直线的解析式为：将、代入得：， 解得： 把代入： 【点睛】本题是二次函数综合压轴，依次考查三类高频模型：求解析式：待定系数法，代入两点坐标解二元一次方程组；二次函数面积最值，记住铅锤高公式(竖直线段)×()，把面积化成二次函数求顶点；将军饮马求两线段和最小：作对称点→拉直→三点共线，交点即为最值点；若动点在定直线上，优先考虑作一个定点关于该直线的对称点，再连另一个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $