专题2.5 曲线与方程（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题2.5 曲线与方程 教学目标 1.理解曲线的方程与方程的曲线的概念，会用代入法判断点是否在曲线上，体会数形结合思想． 2.掌握求曲线方程的直接法、定义法、相关点法与参数法，会根据不同的条件选择恰当的方法求轨迹方程． 3.掌握交轨法与曲线交点的求法，会把交点问题转化为方程组实数解的问题． 4.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定（判别式法、韦达定理），会求弦长、处理中点弦问题． 5.会解决直线与圆锥曲线综合问题：定点、定值、最值与存在性，体会设而不求与函数方程思想． 教学重难点 1.重点 （1）求轨迹方程的常用方法；（2）直线与圆锥曲线的位置关系与弦长；（3）中点弦与点差法； 2.难点 （1）轨迹方程的范围检验（纯粹性与完备性）；（2）直线与圆锥曲线综合中的定点、定值与存在性； 知识点01 曲线与方程的概念 1. 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2. "曲线的方程"与"方程的曲线"是同一对应关系的两种说法，互推必须双向成立，缺一不可. (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 【即学即练】 1．(25-26高二上·江苏南京师范大学附属实验学校·月考)方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 【答案】C 【详解】方程,则,解得：,所以方程表示的图形是点；故选：C 2．下列曲线上，不存在四个点能构成正方形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：是顶点为的菱形，两条对角线长均为4且互相垂直，本身就是正方形，因此存在四个点构成正方形，A错误； 对于B：曲线是反比例曲线平移得到，中心为， 过曲线对称中心的直线与曲线有交点的充要条件是斜率， 若曲线上四点构成正方形，则由曲线的中心对称性质可知，正方形的中心必是， 其两条对角线所在直线的斜率需满足且， 与矛盾，故不存在这样的正方形，B正确； 对于C：取四个点，验证均满足分段曲线方程，且边长均为， 对角线长均为，可构成正方形，C错误； 对于D，令，则定义域为，且对，都有， 所以是奇函数，关于原点对称，若曲线上存在四个点构成正方形，则正方形中心为原点， 若是顶点，绕原点旋转得也为顶点，代入， 整理得方程，方程有正实解，因此存在符合条件的四个点，D错误. 3．下列可以作为方程的图象的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】当时，，若，则，即，不符， 故、不可能同时成立，故A、C、D选项错误.故选：B. 4．(26-27高三·江苏苏州·调研)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为，易知曲线关于轴，轴，原点对称， 由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 5．(24-25高三上·江苏盐城、南京·期末)（多选）已知曲线C：，则（    ） A．曲线C关于直线对称 B．曲线C关于原点对称 C．曲线C在直线的上方 D．曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 【答案】ACD 【详解】对于选项A：设点在曲线上，点关于直线 对称的点为，代入曲线中得成立，A正确. 对于选项B：点在曲线上，点关于原点对称的点 为，代入曲线中得该式不成立，B错误. 对于选项C：，因为,所以所以曲线C在直线的上方，故C正确 对于选项D：曲线与坐标轴的交点为，在第一象限, ,即曲线在第一象限的点到原点的距离, 所以曲线在第一象限的图像比单位圆凸出，因此围成的面积大于四分之一单位圆面积，故D正确. 故选：ACD 知识点02 动点的轨迹及其方程 1. 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 2. 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【即学即练】 1．(26-27高二上·云南昆明第一中学·)若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 2．(26-27高二上·河南南阳方城县第一高级中学·)已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【答案】 【详解】设动点，由题意可知，则直线斜率，直线的斜率，则，整理得. 3．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，由已知，可得，化简整理可得，所以动点的轨迹方程为． 4．（多选）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 【答案】ACD 【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确； 选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误； 选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确； 选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确. 知识点03 参数方程 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 (t为参数)． (2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程 (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)． 【即学即练】 1．(22-23高二下·宁夏固原第五中学·期中)椭圆（为参数）的离心率为______. 【答案】/ 【详解】由得，则，故，， 所以离心率为.故答案为：. 2．已知双曲线的参数方程为（是参数），则该双曲线的焦点坐标为___________． 【答案】 【详解】由双曲线参数方程可得其普通方程为：，， 双曲线的焦点坐标为. 故答案为：. 3．(17-18高二下·河北衡水安平中学·期中)过抛物线（为参数）的焦点的弦长为，则弦长所在直线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：消去参数得到抛物线方程为，所以抛物线的焦点为， 设直线的参数方程为（为直线的倾斜角）， 故，， 设两个根为、，由韦达定理可得，， 则且， 因，故，或者， 故选：B． 4．(15-16高二下·宁夏石嘴山第三中学·月考)直线（t为参数）被曲线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线l的参数方程化为标准形式：（t为参数），代入，可得， 设方程的根为，，，，∴曲线C被直线l截得的弦长为故选：A． 知识点04 极坐标系与极坐标方程 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－≤θ<) 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 (1) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a(－<θ<) 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) 【即学即练】 1．(22-23高二下·陕西西安高陵区第一中学·期中)极坐标方程表示的曲线是（    ） A．两条相交直线 B．两条射线 C．一条直线 D．一条射线 【答案】C 【详解】由题得，所以极坐标方程表示的是一条直线. 故选：C. 2．在极坐标系中，过点且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是______． 【答案】 【详解】点的极坐标为，即为， 所以直线的方程为，即， 化为极坐标方程为，即. 故答案为：. 3．圆心在，半径为1的圆的极坐标方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆心，根据转换为直角坐标为，故圆的直角坐标方程为，整理得：，转换为极坐标方程为：， 化简为：．故选：B． 4．极坐标方程表示的图形为（    ） A．两个圆 B．一条直线和一条射线 C．两条直线 D．一个圆和一条射线 【答案】D 【详解】由题意可得，极坐标方程为：或，据此可得极坐标方程表示的图形为一个圆和一条射线.故选：D. 知识点05 极坐标与直角坐标的互化 1. 互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 2. 互化公式：如图所示，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2， tan θ＝(x≠0) 【即学即练】 1．(22-23高二下·四川广安第二中学校·月考)极坐标方程所表示的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以极坐标方程即， 可转化为即，故选：A. 2．在极坐标系中，方程的直角坐标方程是______． 【答案】 【详解】由题意得，故， 把，代入得，化简得. 故答案为： 3．(22-23高二下·陕西渭南三贤中学·期中)直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，则题设方程可化为，即， 所以，直线经过一、二、四象限，不经过第三象限. 故选：C 题型01 曲线方程与曲线性质 【典例1】(18-19高二上·浙江杭州临安区·期末)方程所表示的曲线是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．抛物线 【答案】C 【详解】因为，则即或，方程所表示的曲线是两条直线.故选：C. 【典例2】（多选）中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．在平面直角坐标系中，把到两个定点，距离之积等于（）动点轨迹称为双纽线．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见漂亮图案的“基石”，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点在双纽线上，则下列结论正确的是（    ）． A．双纽线方程： B． C．双纽线上满足的点有两个 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】选项A：设动点，由双纽线定义可知， 动点到定点，距离之积等于， 双纽线轨迹方程为， 化简得，故A正确； 选项B：点在双纽线上， ， 又 ， ， 即，，故B正确； 选项C：若，则在的中垂线即轴上，即， 代入，可得，解得，即， 满足条件的点仅有一个点，故C错误； 选项D：，， 双纽线方程为，代入， 得，， ，， ，，解得，故D正确． 故选：ABD． 【变式1】(24-25高二下·上海崇明区·期末)曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 【答案】 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 【变式2】(24-25高二下·河南安阳滑县部分学校·期末)在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】在曲线的方程中，令用或用代换，曲线方程都没有变， 所以曲线关于轴，轴对称，原点对称， 当，时，曲线的方程为，表示以和为顶点的线段， 其长度为，根据对称性知，其他三条线段的长也为2， 所以曲线：的周长为. 故选：C. 【变式3】(22-23高二下·上海回民中学·期中)若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 【答案】C 【详解】因，则，代入不等于代入，所以不关于y轴对称，故A错； 又，得，C正确；将代入不成立，故D错误；又，若，，则在上单调递减，当时，，则，若，，则在上单调递增，又时，，故此时，因此的顶点只有一个，且为，B错.故选：C 【变式4】(22-23高二下·上海格致中学·)若直线上的每一点都在曲线上，但不是曲线的方程，则满足该条件的曲线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于和，等价于，即是曲线的方程， 对于D，图象如下图，存在直线上的点不在曲线上，不符合题意. 故选:B 【变式5】(26-27高三上·广东汕尾陆丰·)（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（     ） A． B．点在上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在上时， 【答案】ABD 【详解】设为曲线上任意一点，则. 对于A，由曲线过坐标原点，得，解得，故A正确； 对于B，由得；当，时，， 点在上，故B正确； 对于C，由得. 由曲线在第一象限，得. 点在上， . 取，得，解得； 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误； 对于D，由点在上，得； ，，即，故D正确. 【变式6】(24-25高三上·辽宁名校联盟·月考)（多选）如图，曲线称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则（    ）    A．若，点在曲线上 B．若，曲线的方程为 C．若，曲线上点的纵坐标的最大值为1 D．若点在上，则 【答案】ACD 【详解】由图可知，原点在曲线上，则. 选项A，若，则，， 由图可设曲线与x轴正半轴相交于， 则由可得，解得 ，故A 正确； 选项B，若，则，设曲线C上任一点坐标为， 则， 两边平方得，即， 所以 ，即，故 B 错误； 选项C，若，则，设曲线C上任一点坐标为， 则， 同理化简得，得， 由方程有解可得，所以 ，则， 又令，解得，即当时，，故C 正确； 选项 D，由，设曲线C上任一点坐标为， 则， 同理化简可得，由图可知，所以， 即若点在C 上，恒有成立，故D正确． 故选：ACD. 题型02 求点的轨迹及其方程 【典例1】椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，，因为在已知的椭圆方程中，，所以，所以可知椭圆两焦点为，．因为存在，所以．由三角形重心坐标公式得，即；因为，所以．将点代入已知椭圆方程，得，即所求的重心的轨迹方程为． 【典例2】已知一动圆M与圆：外切，同时与圆：内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若曲线C与x轴交于点，过点的直线与曲线C有唯一交点B（异于点A），试问是否平分？并说明理由． 【详解】（1）圆化为，圆心、半径； 圆化为，圆心、半径． 设动圆圆心、半径，由与外切得， 由与内切得，两式相加得， 故在以、为焦点的椭圆上，且、、， 方程为；又，即，故不能取， 所以曲线的方程为． （2）平分，理由如下： 令得，结合得，即，． 过且与只有一个公共点的直线必与相切，其中切于，不合题意， 故设切线为，令， 代入得，即， 由得，此时， 故、，即． ，，， 而、方向上的单位向量之和为， 它与同向，故平分． 【变式1】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 【变式2】(26-27高二上·河北石家庄新乐部分校·月考)在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动点的坐标为，且，，为原点， 因为，所以可得， 即， 可得， 可得， 令，可得， 可得，所以， 可得，即， 整理得，即动点的轨迹方程为. 【变式3】(26-27高二上·河南洛阳新安县第一高级中学·)在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为，故圆心，半径； 圆化为标准方程：，故圆心，半径，两圆心距离. 设动圆的半径为，动圆与外切，故； 动圆与内切，且动圆在内部，故. 两式相加得，且，符合椭圆定义. 设椭圆的标准方程为，则： 长轴长，得；焦距，得； 由，得. 又，若，代入可得，此时不能构成圆，故舍去点. 因此动圆圆心的轨迹方程为. 【变式4】(26-27高二上·云南昆明第一中学·)已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，，，因为都在椭圆上，所以，， 所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近），由，，得，所以的轨迹方程是． 【变式5】（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 【变式6】(26-27高三·贵州贵阳第一中学·)已知点为椭圆上一点．过原点的直线交椭圆于，两点（异于点），且直线与直线的斜率都存在，分别为，， (1)求证：为定值． (2)若， （i）求三角形面积的最大值． （ii）若点，在椭圆上，且，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 【详解】（1）由题意：直线过原点，设，， 则， 所以得：． 又因为点，在椭圆上， 即：，， 所以两式相减得： 所以：为定值． （2）点在椭圆上： 由得，即： 解得，，椭圆方程． （i）法一：设则面积为，点到直线的距离为 1）若直线不存在斜率，易得面积 2）若直线存在斜率，不妨设斜率为，则直线方程为，与椭圆联立得：，解得不妨设 ，， ． 讨论，整理为关于的一元二次方程 当时，. 当时，， 即，解得，所以. 当时，取得最大值3，此时面积取得最大值 综上，三角形面积最大值为． 法二：三角形面积 因为，则 所以， 当且仅当，即时，即时，面积最大值为． （ii）设点，， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据，，代入整理可得： ， 所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，， 于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点． 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）． 此时直线过定点． 所以，即点轨迹是以线段为直径的圆（不包含点）． 易得圆心为，半径平方为 即点轨迹方程为：． 题型03 直线与圆的参数方程及其应用 【典例1】已知直线方程的一个参数方程可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】参数方程化为普通方程、直线的参数方程 【分析】对各选项消去参数，将参数方程化为普通方程，即可判断. 【详解】解：对于A：消参得； 对于B：消参得； 对于C：消参得； 对于D：消参得. 故选：D． 【典例2】已知曲线C：，直线l：（t为参数）． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值． 【答案】(1)（θ为参数），．(2)最大值为；最小值为． 【详解】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．直线l的普通方程为． （2）曲线C上任意一点到l的距离为， 则，其中α为锐角，且． 当时，取到最大值，最大值为； 当时，取到最小值，最小值为． 【变式1】(22-23高二下·陕西西安鄠邑区·期末)曲线（为参数）的普通方程为__________. 【答案】（除点） 【难度】0.85 【知识点】参数方程化为普通方程、直线的参数方程 【分析】观察式子结构，消去参数即可. 【详解】由题意，，但，，于是普通方程不能表示. 故答案为：（除点） 【变式2】若直线的参数方程为（为参数），则此直线的斜率为________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的参数方程 【分析】由直线的参数方程倾斜的公式即可求解. 【详解】 ，直线的斜率为.故答案为：. 【变式3】(22-23高二下·四川成都东部新区养马高级中学·月考)若直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的参数方程 【分析】求出直线的斜率，结合诱导公式可求得该直线的倾斜角. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，所以，该直线的倾斜角为，故选：B. 【变式4】已知直线的参数方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的参数方程 【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果. 【详解】由参数方程可知：直线斜率，直线倾斜角为. 故选：D. 【变式5】(15-16高二下·宁夏石嘴山第三中学·月考)直线是参数上与点距离等于4的点Q的坐标为________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线的参数方程 【分析】根据题意，设点，结合，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】由直线的参数方程是参数，设点，因为且，所以，解得，所以或故答案为：或 【变式6】(22-23高二下·内蒙古乌兰浩特第四中学·期中)若直线（为参数）与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】参数方程化为普通方程、直线的参数方程 【分析】消参得直线的普通方程，即可根据平行关系求解. 【详解】将直线（为参数）消参可得， 化简得，所以 ， 故选：D 【变式7】(23-24高二下·上海大同中学·期中)直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】参数方程化为普通方程、直线的参数方程、利用弦长公式求弦长 【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【详解】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 【变式8】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（a为参数），直线的参数方程为（t为参数）. (1)求C和的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率. 【答案】(1)、或 (2)1 【难度】0.65 【知识点】参数方程化为普通方程、直线的参数方程、利用韦达定理求其他值 【分析】（1）消去参数，由上下两边平方相加可得C的直角坐标方程；利用转换关系，分和分别求出即可. （2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标的意义求解即可. 【详解】（1）消去参数，由上下两边平方相加可得 C的直角坐标方程为. 当时，的直角坐标方程为. 当时，的直角坐标方程为. （2）将的参数方程代入C的直角坐标方程， 整理得.① 因为曲线C截直线所得线段的中点坐标为， 所以①有两解，设为，， 则，即. 故的斜率. 【变式9】在直角坐标系中，曲线的方程为，直线过定点，且倾斜角为． (1)写出直线的参数方程； (2)令，时直线与曲线分别交于，和，四点，求由，，，为四个顶点的四边形的面积． 【答案】(1)（为参数）； (2) 【详解】（1）直线过定点，且倾斜角为， 直线的参数方程为（为参数）； （2）当时，直线过，且斜率为1， 直线方程为，即； 当时，直线过，且斜率为， 直线方程为，即． 联立，得，，，， 则； 联立，得， 设，，，，则，， ， 又， 由，，，为四个顶点的四边形的面积为．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式10】(23-24高三下·四川雅安雅安中学等校联考·开学考)已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），与相交于，两点． (1)求曲线的普通方程； (2)设，证明：为定值． 【详解】（1）由，得，则， 即曲线的普通方程为． （2）将的参数方程代入曲线的普通方程，得， 整理得，则． ， 则为定值，证毕． 题型04 圆锥曲线的参数方程及其应用 【典例1】(21-22高二下·陕西咸阳实验中学·)若点在曲线（为参数）上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，.故选：C. 【典例2】(21-22高二下·陕西渭南华阴·期末)曲线的参数方程为（为参数），则曲线的离心率________． 【答案】 【详解】由题意可得，两式相减得 即曲线的离心率，故答案为： 【典例3】(21-22高二下·四川成都嘉祥教育集团·期中)已知曲线C的参数方程为则曲线C的直角坐标方程为______． 【答案】， 【详解】， 又， 所以曲线方程为：．故答案为：． 【变式1】方程（为参数）对应的曲线轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【详解】由方程（为参数），可得， 两式相减消去参数，可得，所以方程对应的曲线为双曲线.故选：C. 【变式2】参数方程（其中）表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：，曲线为抛物线.故选：D. 【变式3】(22-23高二下·青海西宁大通回族土族自治县·期末)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数），则曲线C的普通方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为曲线C的参数方程为（其中为参数），所以由可得曲线C的普通方程为 .故选：C. 【变式4】(22-23高二下·四川绵阳三台县·期中)直线：与曲线：（为参数）的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 【答案】A 【详解】曲线：，化为普通方程为，表示椭圆，直线：过点， 又，则点在椭圆内，故直线与椭圆：相交，故选：A． 【变式5】方程（t为参数，）所对应曲线的普通方程为__________． 【答案】 【详解】方程（t为参数，）消去t得：. 故答案为： 【变式6】圆锥曲线的焦点坐标是_____________． 【答案】和 【详解】，则，， 故，焦点坐标为和，即和. 故答案为：和. 【变式7】(16-17高二·山西太原第五中学·月考)曲线（为参数）在轴正半轴上的截距是_________． 【答案】2 【详解】令 得 ，又，所以，，即在轴正半轴上的截距是2.故答案为：2 【变式8】(20-21高二下·陕西渭南华阴·期末)设是椭圆（为参数）的左焦点.是椭圆上对应于的点，那么线段的长是________. 【答案】 【详解】解：椭圆（为参数）可化为，即，，所以，所以左焦点是，当时，即，则.故答案为：． 【变式9】(20-21高二上·上海控江中学·期末)若实数满足等式，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】设，，则.故答案为：. 【变式10】(22-23高二上·安徽宿州泗县第一中学·期中)已知椭圆，点是椭圆上的任一点，则点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆上的点，则点到直线的距离为，故当时，.故选：D. 【变式11】(22-23高二下·河南济源英才学校·月考)在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）． (1)将曲线的参数方程转化为普通方程； (2)若直线与曲线相交于两点，试求线段的长． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由（为参数），得：（为参数）， 故得曲线即圆的普通方程为：. （2）将（为参数）代入方程中，得， 设对应的参数分别为，则. 所以线段的长为. 【变式12】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）∵（t为参数），∴，所以， 所以曲线C的方程为 又∵，，∴ 所以直线l的直角坐标方程为； （2）∵在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数） 设A，B对应的参数分别为与,将直线l的参数方程代入到得． ∴，∴，， ∵，,∴， 所以． 题型05 直线的极坐标方程及其应用 【典例1】求下列直线的极坐标方程． (1)过点且平行于极轴的直线； (2)过点且垂直于极轴的直线； (3)过点且倾斜角为的直线. 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1） 如图所示，在直线上取不同于点的任意一点，作垂直于极轴，垂足为， 因为，所以． 在中，，经检验点的坐标适合上述方程， 所以过且平行于极轴的直线的极坐标方程为； （2） 如图所示，在直线上任取不同于点的一点，直线交极轴于点， 因为，所以， 在中，， 所以，经检验点的坐标适合上述方程， 所以过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为； （3） 如图所示，在直线上取不同于点的任意一点，直线交极轴于点 因为，所以， 已知，所以，所以， 又，在中，根据正弦定理得， 又因为，将展开，可得， 经检验点的坐标适合上述方程， 所以过且倾斜角为的直线的极坐标方程为． 【变式1】(22-23高二下·四川蓬溪中学校·月考)在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设是所求直线上的任意一点，，，则， ．故选：C． 【变式2】(21-22高二下·江西抚州七校联考·期中)在极坐标系中，点到射线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点到射线的距离为.故选：A. 【变式3】(22-23高二下·青海西宁大通回族土族自治县·期末)在极坐标系中，过极点且倾斜角是的直线的极坐标方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为过极点且倾斜角是，可得直线的极坐标方程可以是. 故选：A. 【变式4】(22-23高二下·青海西宁海湖中学·期中)已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是___________. 【答案】 【详解】， 直线的直角坐标方程为：，即， 又极点的直角坐标为，极点到该直线的距离. 故答案为：. 题型06 圆的极坐标方程及其应用 【典例1】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距为______． 【答案】 【详解】可化为，即，所以圆心坐标为；可化为，即，所以圆心坐标为；所以圆心距为.故答案为：. 【典例2】在极坐标系中，为极点，如图所示，已知以为直径作圆. (1)求圆的极坐标方程 ； (2)若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设点为圆上任意一点，则， 在中，. ∴ 圆的极坐标方程为. （2）圆左上半圆弧的三等分点对应的极角分别， 代入圆的极坐标方程中， ∴ 圆左上半圆弧的三等分点分别为 【变式1】(23-24高二下·上海七宝中学·月考)圆心极坐标为、半径为的圆的极坐标方程是______. 【答案】， 【详解】点化为直角坐标为， 所以圆的直角坐标方程为，即， 化为极坐标方程为， 即， 故答案为：， 【变式2】在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，圆心直角坐标为，即为， 又圆过极点，即直角坐标系的原点，故圆的普通方程为， 所以，即. 故选：B 【变式3】(15-16高二下·宁夏石嘴山第三中学·月考)在极坐标系中，以为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为________． 【答案】 【详解】以为圆心，2为半径的圆的直角坐标方程为：， 展开为， 极坐标方程为， 故答案为：． 【变式4】(22-23高二下·宁夏固原第五中学·期中)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），若以射线为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由（为参数）得曲线普通方程为， 又由，可得曲线的极坐标方程为，化简可得. 故选：C． 【变式5】(22-23高二下·陕西渭南三贤中学·期中)在极坐标系中，方程表示的曲线是（    ） A．以点为圆心，3为半径的圆 B．以点为圆心，3为半径的圆 C．以点为圆心，3为半径的圆 D．以点为圆心，3为半径的圆 【答案】C 【详解】由题设，则，故， 所以方程表示的曲线是以点为圆心，3为半径的圆. 故选：C 【变式6】(21-22高二下·四川资阳·期末)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的直角坐标方程为：，故所求圆心的直角坐标为，，，即圆心的极坐标为，故选：A 【变式7】极坐标系中，圆的圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将原方程化为：，其直角坐标方程为，它的圆心的直角坐标为，圆心的极坐标是：.故选：A． 【变式8】(21-22高二下·上海交通大学附属中学·期中)极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为___________. 【答案】 【详解】，， ，，表示半径为5的圆，面积为,故答案为： 【变式9】(22-23高三上·河南安阳·调研)在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为． (1)求的极坐标方程，判断，的位置关系； (2)求经过曲线，交点的直线的斜率． 【答案】(1)，，相交.(2) 【详解】（1）由题意，的标准方程为，即，故的极坐标方程为，即，又，的极坐标方程为，即，.因为， ，半径相等，半径和为，且，故，相交. 故的极坐标方程，，相交. （2）由（1）：，：均经过极点且相交，联立有，显然，故，即，即经过曲线，交点的直线的斜率为 1．椭圆 （为参数）的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，消去参数，可得椭圆中，所以，即， 由和解得和，故焦点坐标为.故选：D 2．(21-22高二下·陕西西安莲湖区·期末)在极坐标系中，圆心为且过极点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将点的极坐标化为直角坐标为，由题可知，所求圆的半径长为， 所求圆的方程为，即为，化为极坐标方程可得. 故选：C. 3．(21-22高二下·新疆和田皮山县高级中学·期末)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆即，即，即，表示以为圆心，半径等于的圆．而点的极坐标为.故选：D． 4．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 【答案】D 【详解】过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程为：和．故选：D． 5．(22-23高二上·内蒙古赤峰红山区·期末)方程表示的曲线是（    ）． A．一个点 B．两条直线 C．一个圆 D．两个点 【答案】A 【详解】由方程可得，解得，所以方程表示一个点． 故选:A. 6．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是________． 【答案】 【详解】根据定义，该轨迹的方程为，即. 化简即为. 故答案为：. 7．(21-22高二上·上海复旦大学附属中学·月考)两条直线与的交点在曲线上，则实数__． 【答案】或 【详解】由，解得． 因为两直线与的交点在曲线上， 所以，化为，解得或． 故答案为：或 8．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 9．(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)直线（t为参数）的倾斜角是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的参数方程 【分析】化参数方程为普通方程，求出斜率，再根据诱导公式即可求得倾斜角． 【详解】根据直线（为参数），得， ， 该直线的斜率， 该直线的倾斜角为， 故答案为： 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是化参数方程为普通方程，属于基础题． 10．(23-24高二上·上海复旦大学附属中学·期中)直线（为参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、参数方程化为普通方程、直线的参数方程 【分析】将参数方程化为直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理、垂径定理计算可得. 【详解】直线（为参数，），即， 曲线，（为参数，），即，表示圆心为坐标原点，半径的圆， 其中坐标原点到直线的距离， 所以. 故答案为： 11．(21-22高二下·江西吉安（安福二中、泰和二中、井大附中、吉安县三中、遂川二中）五校·期中)直线（t为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】参数方程化为普通方程、直线的参数方程 【分析】求直线倾斜角，需先求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，确定倾斜角的值即可， 将直线与圆的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，得出直线的斜率取值． 【详解】直线普通方程为：，记，则直线方程为．圆的普通方程为：．直线与圆相切， ，解得：．直线方程为．又倾斜角取值范围为,，且．直线倾斜角为或．故选：A． 12．曲线的焦点坐标为__________． 【答案】 【详解】解：因为，又曲线， 所以，即，所以，即，所以， 即曲线表示焦点在轴上的抛物线，且焦点为；故答案为： 13．已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由消去得，其焦点坐标为，所以直线的方程为，由消去得，设，则.根据抛物线的定义可知.故选：C 14．对任意实数k，直线与椭圆恒有公共点，则b取值范围是______________． 【答案】. 【详解】由消去参数可得，直线代入椭圆方程可得：，因为直线与椭圆恒有公共点，所以对任意实数k成立，化简为对任意实数k成立，则需，化简可得，解得.故答案为：. 15．(23-24高三上·四川宜宾第四中学校·开学考)已知直线的参数方程为： (1)若，上一点对应的参数值，求的坐标和的值； (2)与圆交于，求的值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的参数方程、利用弦长公式求弦长 【分析】（1）代入得，再利用两点距离公式即可得到答案； （2）将参数方程代入圆方程中，再利用韦达定理即可得到弦长. 【详解】（1）把代入参数方程得，则， . （2）把参数方程代入圆方程有：， 整理得：，， 于是， 所以，代入得. 16．（多选）我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（    ） A．当时，为双曲线的一部分 B．当时，存在一种建系方式，使得符合方程 C．当时，与底面直径围成的图形面积小于 D．当时，的离心率大于 【答案】BCD 【详解】如下图建立空间直角坐标系，截面与圆锥侧面交线上的一点，与轴截面一边交于点，是底面的直径，则，圆锥的高为， 其中截面上构建以为原点，分别为轴的直角坐标系，且， 令且，是在底面上的投影，则，故， 圆锥被平行于底面的平面截得的截面是圆，假设是该圆与截线的一个交点， 该圆离底面高为时，截面圆的半径，而点的高度是，则 所以，且到圆锥轴的距离为， 综上，，整理得，即为在截面上的轨迹方程， A：当时，，即，所以，即两条直线，错； B：当时，，则（应用换元法可化为形式），对； C：当时，，则为椭圆的一部分， 当，则，不妨令， 当，则（负值舍），则， 该椭圆的一部分在半径为1的圆内，故其面积小于，对； D：当时，，则为半椭圆， 所以，则离心率为，对. 故选：BCD 17．（多选）如图，曲线过原点，其渐近线方程为，则（    ）    A．曲线关于直线对称 B．点位于曲线围成的封闭区域（阴影部分）外 C．若在曲线上，则 D．曲线在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为 【答案】ACD 【详解】若把的解析式中的互换，则方程不变， 故C的图象关于直线对称，A正确； 点在第一象限，且，故点位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）内，B错误； 曲线在渐近线的上方，故，即， 又当在第一象限内时， 由，得 故，当且仅当时，等号成立， 故,C正确； 因为曲线C在第一象限内的点满足，故， 即，当且仅当时，等号成立， 故曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为，D正确. 故选：ACD. 18．(25-26高二上·北京平谷区·)某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：（单位：厘米），关于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（    ） A．没有对称性 B．徽章轮廓是一个圆 C．最远的两点距离为厘米 D．平面面积是平方厘米 【答案】C 【详解】对于A，若点在曲线上，将换成，换成， 方程变为，方程不变，所以曲线关于原点对称； 若点在曲线上，将换成，换成， 方程变为，方程不变，所以曲线关于直线对称； 若点在曲线上，将换成，换成， 方程变为，方程不变，所以曲线关于直线对称；因此曲线有对称性，A选项错误； 对于B，当时，方程可化为， 即，配方可得； 当时，方程可化为， 即，配方可得， 所以曲线不是一个圆，B错误； 对于C，曲线上最远的两点是两段圆弧的公共端点和， 其距离为，故C正确； 对于D：曲线所围图形的面积为两个相同的弓形面积之和，总面积为，故D错误； 故选：C 19．(22-23高二上·江苏常州溧阳·期中)（多选）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线与轴的交点为和 B．曲线关于轴对称，不关于轴对称 C．坐标原点是曲线的对称中心 D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】设点，依题意，，整理得：， 对于A，当时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为，，A正确； 对于B、C，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称， 因为，由换方程不变，曲线C关于轴对称， 所以坐标原点是曲线的对称中心，B不正确，C正确； 对于D，由得：，解得， 于是得，解得，D正确. 故选：ACD 20．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数且），与坐标轴交于A，B两点. (1)求； (2)曲线的参数方程为（θ为参数），求上的点到直线AB距离的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，则，解得，或（舍）， 则，即， 令，则，解得，或（舍）， 则，即， ； （2）设上点的坐标为，由（1）知直线AB的方程为， 则上的点到直线AB的距离， 当时，d取最小值. 21．(23-24高三上·陕西神木第四中学·三模)在极坐标系中，已知曲线：，P是曲线上的动点（异于极点O），延长到Q，使得. (1)若，求点的极坐标； (2)求点轨迹的极坐标方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，由题意可得，共线，故， 由，得，当，，则， 所以点的极坐标为； （2），，有，，则， P是曲线上的动点，满足，将，代入，可得， 所以点轨迹的极坐标方程为. 22．圆心C的极坐标为，且圆C经过极点． (1)求圆C的极坐标方程； (2)求过圆心C和圆与极轴交点（不是极点）的直线的极坐标方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆心C的直角坐标为， 则设圆C的直角坐标方程为， 依题意可知， 故圆C的直角坐标方程为， 化为极坐标方程为， 即． （2）在中， 令y＝0，得，解得x＝0或， 则圆C与x轴的交点坐标，， 由于直线过圆心和点， 则该直线的直角坐标方程为， 即， 即． 23．(21-22高二下·广西钦州·期末)以直角坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， (1)若曲线C的参数方程为（θ为参数），求曲线C直角坐标方程； (2)若射线l的极坐标方程为，画出极坐标系，并作出射线l的图象． 【答案】(1) (2)作图见解析 【详解】（1）解：由得， 又因为， 所以， 故曲线C直角坐标方程为． （2）解：因为射线l的极坐标方程为， 所以图形如下所示： 24．已知在直角坐标系中，的圆心为，半径为，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出的极坐标方程； (2)已知直线与相交于，两点，且，求角． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）由题意得，的直角坐标方程为，即，则的极坐标方程为； （2）由直线的参数方程可得直线的极坐标方程为，直线与相交于，两点，设， 联立可得，因为，即， 则，则， 解得，则，又，则或. 25．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求的极坐标方程以及的直角坐标方程； (2)已知过原点的直线与交于，两点，若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数）， 所以直线的普通方程为，又，所以， 即，即直线的极坐标方程为； 又曲线的极坐标方程为，所以， 即曲线的直角坐标方程为. （2）依题意直线为，则直线的参数方程为（为参数）， 将直线的参数方程代入中整理得， 则，， 所以. 26．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)已知点，直线l与曲线C交于点P，Q，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为 故将曲线C的参数方程中的参数α消去得曲线C的普通方程为． 由，得， 将，代入上式，得直线l的直角坐标方程为. （2）显然点在直线l上，所以直线l的参数方程为（t为参数）， 将其代入，得， 设P，Q对应的参数分别为，，则，， 所以. 27．(23-24高三下·四川·)在直角坐标系中，点的坐标为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)将的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设过点的直线与曲线交于、两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由可得，所以，曲线的直角坐标方程为. （2）解：设直线的倾斜角为，其中， 直线的参数方程为（为参数）， 设点、在直线上对应的参数分别为、， 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得， ，由韦达定理可得，， 所以，. 28．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线交曲线于两点. (1)写出曲线的普通方程和直线的一个参数方程； (2)在平面直角坐标系中，若点恰为线段的一个三等分点，求实数的最大值. 【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数）， 消去参数得，，即曲线的普通方程为. 又直线过点且倾斜角为， 直线的一个参数方程为(为参数）. （2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的普通方程， 并整理得.① 设点对应的参数分别为，则是方程①的两个根， 则，且异号. 点恰为线段的一个三等分点，不妨设， . 故 ，其中， 实数的最大值为45. 29．(26-27高三上·安徽桐城第八中学·)已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设，直线的倾斜角为， 则，且直线的倾斜角为，所以, 所以， 所以为钝角，即有， 又因为， 解得， 则, 又因为即为点到直线的距离， 所以， 同理可得：， 又因为，即， 即，整理得：，即， 又因为位于第一象限，位于第四象限， 所以动点的轨迹方程为：； （2）设， 由，得， 则且，则有， 由韦达定理可得 又因为直线，直线， 联立两方程，并消去，得， 所以 ， 又因为， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 联立，消去，化简得，解得， 故，所以，满足， 则直线的方程为，即. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 曲线与方程 教学目标 1.理解曲线的方程与方程的曲线的概念，会用代入法判断点是否在曲线上，体会数形结合思想． 2.掌握求曲线方程的直接法、定义法、相关点法与参数法，会根据不同的条件选择恰当的方法求轨迹方程． 3.掌握交轨法与曲线交点的求法，会把交点问题转化为方程组实数解的问题． 4.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定（判别式法、韦达定理），会求弦长、处理中点弦问题． 5.会解决直线与圆锥曲线综合问题：定点、定值、最值与存在性，体会设而不求与函数方程思想． 教学重难点 1.重点 （1）求轨迹方程的常用方法；（2）直线与圆锥曲线的位置关系与弦长；（3）中点弦与点差法； 2.难点 （1）轨迹方程的范围检验（纯粹性与完备性）；（2）直线与圆锥曲线综合中的定点、定值与存在性； 知识点01 曲线与方程的概念 1. 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2. "曲线的方程"与"方程的曲线"是同一对应关系的两种说法，互推必须双向成立，缺一不可. (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 【即学即练】 1．(25-26高二上·江苏南京师范大学附属实验学校·月考)方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 2．下列曲线上，不存在四个点能构成正方形的是（  ） A． B． C． D． 3．下列可以作为方程的图象的是（    ） A．  B．  C．   D．   4．(26-27高三·江苏苏州·调研)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高三上·江苏盐城、南京·期末)（多选）已知曲线C：，则（    ） A．曲线C关于直线对称 B．曲线C关于原点对称 C．曲线C在直线的上方 D．曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 知识点02 动点的轨迹及其方程 1. 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 2. 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【即学即练】 1．(26-27高二上·云南昆明第一中学·)若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．(26-27高二上·河南南阳方城县第一高级中学·)已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 3．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 知识点03 参数方程 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 (t为参数)． (2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程 (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)． 【即学即练】 1．(22-23高二下·宁夏固原第五中学·期中)椭圆（为参数）的离心率为______. 2．已知双曲线的参数方程为（是参数），则该双曲线的焦点坐标为___________． 3．(17-18高二下·河北衡水安平中学·期中)过抛物线（为参数）的焦点的弦长为，则弦长所在直线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 4．(15-16高二下·宁夏石嘴山第三中学·月考)直线（t为参数）被曲线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 知识点04 极坐标系与极坐标方程 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－≤θ<) 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 (1) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a(－<θ<) 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) 【即学即练】 1．(22-23高二下·陕西西安高陵区第一中学·期中)极坐标方程表示的曲线是（    ） A．两条相交直线 B．两条射线 C．一条直线 D．一条射线 2．在极坐标系中，过点且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是______． 3．圆心在，半径为1的圆的极坐标方程为(    ) A． B． C． D． 4．极坐标方程表示的图形为（    ） A．两个圆 B．一条直线和一条射线 C．两条直线 D．一个圆和一条射线 知识点05 极坐标与直角坐标的互化 1. 互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 2. 互化公式：如图所示，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2， tan θ＝(x≠0) 【即学即练】 1．(22-23高二下·四川广安第二中学校·月考)极坐标方程所表示的方程是（ ） A． B． C． D． 2．在极坐标系中，方程的直角坐标方程是______． 3．(22-23高二下·陕西渭南三贤中学·期中)直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型01 曲线方程与曲线性质 【典例1】(18-19高二上·浙江杭州临安区·期末)方程所表示的曲线是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．抛物线 【典例2】（多选）中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．在平面直角坐标系中，把到两个定点，距离之积等于（）动点轨迹称为双纽线．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见漂亮图案的“基石”，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点在双纽线上，则下列结论正确的是（    ）． A．双纽线方程： B． C．双纽线上满足的点有两个 D．的最大值为 【变式1】(24-25高二下·上海崇明区·期末)曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 【变式2】(24-25高二下·河南安阳滑县部分学校·期末)在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】(22-23高二下·上海回民中学·期中)若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 【变式4】(22-23高二下·上海格致中学·)若直线上的每一点都在曲线上，但不是曲线的方程，则满足该条件的曲线方程有（    ） A． B． C． D． 【变式5】(26-27高三上·广东汕尾陆丰·)（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（     ） A． B．点在上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在上时， 【变式6】(24-25高三上·辽宁名校联盟·月考)（多选）如图，曲线称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则（    ）    A．若，点在曲线上 B．若，曲线的方程为 C．若，曲线上点的纵坐标的最大值为1 D．若点在上，则 题型02 求点的轨迹及其方程 【典例1】椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【典例2】已知一动圆M与圆：外切，同时与圆：内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若曲线C与x轴交于点，过点的直线与曲线C有唯一交点B（异于点A），试问是否平分？并说明理由． 【变式1】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【变式2】(26-27高二上·河北石家庄新乐部分校·月考)在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【变式3】(26-27高二上·河南洛阳新安县第一高级中学·)在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 【变式4】(26-27高二上·云南昆明第一中学·)已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【变式6】(26-27高三·贵州贵阳第一中学·)已知点为椭圆上一点．过原点的直线交椭圆于，两点（异于点），且直线与直线的斜率都存在，分别为，， (1)求证：为定值． (2)若， （i）求三角形面积的最大值． （ii）若点，在椭圆上，且，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 题型03 直线与圆的参数方程及其应用 【典例1】已知直线方程的一个参数方程可以是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】已知曲线C：，直线l：（t为参数）． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值． 【变式1】(22-23高二下·陕西西安鄠邑区·期末)曲线（为参数）的普通方程为__________. 【变式2】若直线的参数方程为（为参数），则此直线的斜率为________. 【变式3】(22-23高二下·四川成都东部新区养马高级中学·月考)若直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知直线的参数方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式5】(15-16高二下·宁夏石嘴山第三中学·月考)直线是参数上与点距离等于4的点Q的坐标为________． 【变式6】(22-23高二下·内蒙古乌兰浩特第四中学·期中)若直线（为参数）与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式7】(23-24高二下·上海大同中学·期中)直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则______. 【变式8】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（a为参数），直线的参数方程为（t为参数）. (1)求C和的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率. 【变式9】在直角坐标系中，曲线的方程为，直线过定点，且倾斜角为． (1)写出直线的参数方程； (2)令，时直线与曲线分别交于，和，四点，求由，，，为四个顶点的四边形的面积． 【变式10】(23-24高三下·四川雅安雅安中学等校联考·开学考)已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），与相交于，两点． (1)求曲线的普通方程； (2)设，证明：为定值． 题型04 圆锥曲线的参数方程及其应用 【典例1】(21-22高二下·陕西咸阳实验中学·)若点在曲线（为参数）上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】(21-22高二下·陕西渭南华阴·期末)曲线的参数方程为（为参数），则曲线的离心率________． 【典例3】(21-22高二下·四川成都嘉祥教育集团·期中)已知曲线C的参数方程为则曲线C的直角坐标方程为______． 【变式1】方程（为参数）对应的曲线轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】参数方程（其中）表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3】(22-23高二下·青海西宁大通回族土族自治县·期末)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数），则曲线C的普通方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】(22-23高二下·四川绵阳三台县·期中)直线：与曲线：（为参数）的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 【变式5】方程（t为参数，）所对应曲线的普通方程为__________． 【变式6】圆锥曲线的焦点坐标是_____________． 【变式7】(16-17高二·山西太原第五中学·月考)曲线（为参数）在轴正半轴上的截距是_________． 【变式8】(20-21高二下·陕西渭南华阴·期末)设是椭圆（为参数）的左焦点.是椭圆上对应于的点，那么线段的长是________. 【变式9】(20-21高二上·上海控江中学·期末)若实数满足等式，则的取值范围为________． 【变式10】(22-23高二上·安徽宿州泗县第一中学·期中)已知椭圆，点是椭圆上的任一点，则点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【变式11】(22-23高二下·河南济源英才学校·月考)在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）． (1)将曲线的参数方程转化为普通方程； (2)若直线与曲线相交于两点，试求线段的长． 【变式12】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值． 题型05 直线的极坐标方程及其应用 【典例1】求下列直线的极坐标方程． (1)过点且平行于极轴的直线； (2)过点且垂直于极轴的直线； (3)过点且倾斜角为的直线. 【变式1】(22-23高二下·四川蓬溪中学校·月考)在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(21-22高二下·江西抚州七校联考·期中)在极坐标系中，点到射线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(22-23高二下·青海西宁大通回族土族自治县·期末)在极坐标系中，过极点且倾斜角是的直线的极坐标方程可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4】(22-23高二下·青海西宁海湖中学·期中)已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是___________. 题型06 圆的极坐标方程及其应用 【典例1】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距为______． 【典例2】在极坐标系中，为极点，如图所示，已知以为直径作圆. (1)求圆的极坐标方程 ； (2)若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标． 【变式1】(23-24高二下·上海七宝中学·月考)圆心极坐标为、半径为的圆的极坐标方程是______. 【变式2】在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(15-16高二下·宁夏石嘴山第三中学·月考)在极坐标系中，以为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为________． 【变式4】(22-23高二下·宁夏固原第五中学·期中)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），若以射线为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】(22-23高二下·陕西渭南三贤中学·期中)在极坐标系中，方程表示的曲线是（    ） A．以点为圆心，3为半径的圆 B．以点为圆心，3为半径的圆 C．以点为圆心，3为半径的圆 D．以点为圆心，3为半径的圆 【变式6】(21-22高二下·四川资阳·期末)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7】极坐标系中，圆的圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8】(21-22高二下·上海交通大学附属中学·期中)极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为___________. 【变式9】(22-23高三上·河南安阳·调研)在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为． (1)求的极坐标方程，判断，的位置关系； (2)求经过曲线，交点的直线的斜率． 1．椭圆 （为参数）的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(21-22高二下·陕西西安莲湖区·期末)在极坐标系中，圆心为且过极点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高二下·新疆和田皮山县高级中学·期末)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（    ） A． B． C． D． 4．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 5．(22-23高二上·内蒙古赤峰红山区·期末)方程表示的曲线是（    ）． A．一个点 B．两条直线 C．一个圆 D．两个点 6．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是________． 7．(21-22高二上·上海复旦大学附属中学·月考)两条直线与的交点在曲线上，则实数__． 8．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 9．(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)直线（t为参数）的倾斜角是________． 10．(23-24高二上·上海复旦大学附属中学·期中)直线（为参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则__________. 11．(21-22高二下·江西吉安（安福二中、泰和二中、井大附中、吉安县三中、遂川二中）五校·期中)直线（t为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．曲线的焦点坐标为__________． 13．已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则 (     ) A． B． C． D． 14．对任意实数k，直线与椭圆恒有公共点，则b取值范围是______________． 15．(23-24高三上·四川宜宾第四中学校·开学考)已知直线的参数方程为： (1)若，上一点对应的参数值，求的坐标和的值； (2)与圆交于，求的值. 16．（多选）我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（    ） A．当时，为双曲线的一部分 B．当时，存在一种建系方式，使得符合方程 C．当时，与底面直径围成的图形面积小于 D．当时，的离心率大于 17．（多选）如图，曲线过原点，其渐近线方程为，则（    ）    A．曲线关于直线对称 B．点位于曲线围成的封闭区域（阴影部分）外 C．若在曲线上，则 D．曲线在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为 18．(25-26高二上·北京平谷区·)某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：（单位：厘米），关于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（    ） A．没有对称性 B．徽章轮廓是一个圆 C．最远的两点距离为厘米 D．平面面积是平方厘米 19．(22-23高二上·江苏常州溧阳·期中)（多选）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线与轴的交点为和 B．曲线关于轴对称，不关于轴对称 C．坐标原点是曲线的对称中心 D．的取值范围为 20．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数且），与坐标轴交于A，B两点. (1)求； (2)曲线的参数方程为（θ为参数），求上的点到直线AB距离的最小值. 21．(23-24高三上·陕西神木第四中学·三模)在极坐标系中，已知曲线：，P是曲线上的动点（异于极点O），延长到Q，使得. (1)若，求点的极坐标； (2)求点轨迹的极坐标方程. 22．圆心C的极坐标为，且圆C经过极点． (1)求圆C的极坐标方程； (2)求过圆心C和圆与极轴交点（不是极点）的直线的极坐标方程． 23．(21-22高二下·广西钦州·期末)以直角坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， (1)若曲线C的参数方程为（θ为参数），求曲线C直角坐标方程； (2)若射线l的极坐标方程为，画出极坐标系，并作出射线l的图象． 24．已知在直角坐标系中，的圆心为，半径为，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出的极坐标方程； (2)已知直线与相交于，两点，且，求角． 25．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求的极坐标方程以及的直角坐标方程； (2)已知过原点的直线与交于，两点，若，求的值． 26．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)已知点，直线l与曲线C交于点P，Q，求的值． 27．(23-24高三下·四川·)在直角坐标系中，点的坐标为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)将的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设过点的直线与曲线交于、两点，求的取值范围． 28．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线交曲线于两点. (1)写出曲线的普通方程和直线的一个参数方程； (2)在平面直角坐标系中，若点恰为线段的一个三等分点，求实数的最大值. 29．(26-27高三上·安徽桐城第八中学·)已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $