专题2.1 圆（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题2.1 圆 教学目标 1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，会在两种形式之间互化． 2.理解二元二次方程表示圆的充要条件，会用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系，会求圆上点到定点距离的最值． 3.掌握待定系数法、几何法与轨迹法求圆的方程，会用圆的方程解决简单的实际问题． 4.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法，会求圆的切线方程、切线长与弦长． 5.掌握圆与圆的五种位置关系及其判定，会求两圆的公共弦所在直线方程与公切线方程． 教学重难点 1.重点 （1）圆的标准方程与一般方程；（2）待定系数法求圆的方程；（3）直线与圆、圆与圆的位置关系； 2.难点 （1）二元二次方程表示圆的条件；（2）圆的切线方程与弦长；（3）公切线方程的求解与由位置关系求参数时的边界取舍； 知识点01 圆的定义和标准方程 1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 2．圆的标准方程：，其中为圆心，为半径． (1) 如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是． (2) 有关图形特征与方程的转化： 1　 圆心在x轴上：； 2　 圆与y轴相切时：； 3　 圆与x轴相切时：； 4　 与坐标轴相切时：； 5　 过原点： (3) 圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． (4) 标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 3.如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练】 1．(26-27高二·重庆杨家坪中学·月考)已知圆的圆心为，半径，则圆的标准方程为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为：，由题意得：， 代入圆的标准方程得：. 2．(26-27高二上·北京平谷中学)圆心为，且经过点的圆的标准方程是__________． 【答案】 【详解】由题意，圆的半径为， 则圆的标准方程为. 3．圆心在x轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程是______． 【答案】 【详解】设所求圆的方程为，因为圆的半径为1，且过点，可得，解得，，所以所求圆的标准方程为． 4．(25-26高二上·江苏南京师范大学附属实验学校·月考)方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 【答案】C 【详解】方程,则,解得：, 所以方程表示的图形是点；故选：C 5．(26-27高二上·云南名校协作体·)已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将化为标准方程，，要使方程表示一个圆， 则，即，解得①.所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外，所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或.因此实数的取值范围为. 知识点02 圆的一般方程 1.一般方程：，配方得 . (1) 表示圆的充要条件：；此时圆心为 ，半径为 . (2) 当 时表示一个点 ； (3) 当 时不表示任何图形. 2.标准方程与一般方程的互化： (1) 展开与配方，两种形式本质相同，使用时按条件选择合适的形式. (2) 由一般方程求参数取值范围时，直接令 ，解所得的不等式即可. 3.确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 【即学即练】 1．(26-27高二上·江西南昌第二中学·月考)圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可化简为，则圆心为. 2．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D． ，4 【答案】C 【详解】因为圆的方程可化为，所以圆心坐标为，半径． 3．(26-27高二上·湖南部分学校·)若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 4．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的方程化为， 由得或，故圆恒过定点．故选：D． 知识点03 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解，把直线方程代入圆的方程消元，由所得一元二次方程如果有解，直线与圆C有公共点． 1　 判别式，有两组实数解，直线与圆C相交； 2　 判别式，有一组实数解时，直线与圆C相切； 3　 判别式 ，无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 1　 当时，直线与圆C相交； 2　 当时，直线与圆C相切； 3　 当时，直线与圆C相离． 相交； 相切； 相离. 3．由位置关系求参数时，由 与 的大小关系列出不等式（或方程）求解，注意相切是边界情形，取舍时要单独检验.直线恒过定点时，可先求出定点，再由定点与圆的位置关系确定直线与圆的位置关系. 4．求弦长的方法： 1　 应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系； 2　 利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练】 1．(26-27高二·重庆杨家坪中学·月考)直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：，故直线与圆相离． 2．(25-26高二上·北京密云区第二中学·期中)圆被轴截得的弦长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令得，解得或.所以被轴截得的弦长为. 3．(24-25高二下·上海崇明区·期末)曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 【答案】 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则.故答案为：. 4．直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，联立，消去y整理得：，解得，故，利用两点之间的距离得，故选：C 5．(24-25高三上·河南南阳·期末)直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】联立解得：，，所以.故选：D 6．过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】设，∵点在圆上，∴．已知，则，∵，∴．设，则，则，则 ．∵点在圆上，∴．将代入上式可得：，解得，故选：A． 知识点04 圆的切线与切线方程 1. 如图，点在圆上，则： (1) 圆心到直线的距离等于半径； (2) 利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 2. 过圆外一点 作圆的切线，可设切线方程为 ，由圆心到直线的距离等于半径求出 ；若只解出一个 ，则另一条切线斜率不存在，需补上 . 3. 常见圆的切线方程： (1) 过圆 上一点 的切线方程为 ； (2) 过圆 上一点 的切线方程为 . 4. 切线长公式：过圆外一点 作圆的切线，切线长为 ，其中 为圆心、 为半径. 5. 切线长的取值范围：点 在已知直线上运动时， 的最小值就是圆心到该直线的距离，由此可得切线长的最小值. 6. 切点弦方程：过圆 外一点 作两条切线，切点为 、，则直线 的方程也是 . 【即学即练】 1．过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】因>，点在圆外，切线有 条. ① 当斜率不存在时，直线恰与该圆相切，故一条切线方程为； ②设斜率为 的切线方程为 ，即 ， 由圆心到该直线的距离等于半径可得，解得 ， 即另一条切线方程为 ，即 . 综上，过点的圆的切线有两条，分别是或. 2．过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 3．(26-27高三上·湖北云学联盟·)圆C：在原点处的切线方程为__________． 【答案】 【详解】将圆的一般方程配方化为标准方程： ， 整理得，因此圆心的坐标为. 因原点在圆上，，则切线的斜率, 故该圆在原点处的切线方程为.    4．(26-27高二·天津滨海新区大港油田实验中学·)过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 【答案】 【详解】由圆的方程，可得该圆的圆心为，半径， 原点到圆心的距离为. 因为是切线的切点，根据圆的切线性质可知，即为直角三角形，且. 由勾股定理可得切线长. 5．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 知识点05 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 1　 有两组不同的实数解时，两圆相交； 2　 有一组实数解时，两圆相切； 3　 方程组无解时，两圆相离或内含． （2）几何法：设两圆的圆心距为 ，半径分别为 、（）. 1　 外离 ； 2　 外切 ； 3　 相交 . 4　 内切 ； 5　 内含 . 3．两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 两圆相交时，把两个圆的一般方程相减就得到公共弦所在直线的方程. 4．两圆公切线的条数： 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 5．过两个圆交点的圆系方程：（），当 时退化为公共弦所在直线.用圆系方程求"过两圆交点且满足某条件的圆"时，先写出圆系方程，再把圆心条件（或过点条件）代入求出 . 6．两圆相切（内切或外切）时，切点在两圆圆心的连线上，可利用三心共线建立方程求参数. 【即学即练】 1．(26-27高二上·重庆渝西中学·月考)已知圆，圆，则两圆位置关系为（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【详解】圆，圆， 所以两圆圆心为，，所以， 两圆半径分别为，，所以，所以两圆位置关系为相切（外切）. 2．(26-27高二上·江苏南菁高级中学·月考)两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】：，即， 圆的圆心坐标为，半径为1， ：，即， 圆的圆心坐标为，半径为3， ， 所以两圆和的位置关系是外切. 3．(26-27高二上·江西上高二中·)圆：与圆：的位置关系及公切线条数分别为（     ） A．外切，3条 B．内切，1条 C．相交，2条 D．外离，4条 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 两个圆心之间的距离, 两个半径和为，因为，所以两个圆外切， 两个圆外切时，有3条公切线. 4．(26-27高二上·天津第一百中学·)已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，故圆心，半径； 将圆的一般方程配方，得，故圆心，半径； 两圆圆心距： ， 由，可知两圆外切，故两圆公切线的条数为3. 5．(26-27高二上·吉林长春二道区长春力旺高中·)圆与圆的公共弦长为______ 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径,圆的圆心为，半径为，所以，两圆圆心距，由于，故两圆相交， 所以，公共弦方程为：，整理得， 所以，，圆心到直线的距离 ， 所以，根据垂径定理，公共弦长. 6．(26-27高二上·江苏海州高级中学·调研)圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 【答案】 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 7．(26-27高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·月考)已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【答案】 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 题型01 圆的标准方程 【典例1】(26-27高二上·云南昆明第三中学呈贡校区·)根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)圆心在直线：上，且过和点． 【详解】（1）因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以， 即， 两边平方可得，， 整理得，，联立方程，，解得， 则， 综上所述，圆的标准方程为. 【变式1】(26-27高二上·四川内江资中第二中学·月考)已知圆C的圆心为，且经过原点，则圆C的方程为____________. 【答案】 【详解】由于圆C的圆心为，且经过原点，所以圆的半径, 所以圆C的方程为. 【变式2】(26-27高二上·黑龙江佳木斯第十一中学·月考)求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程______ 【答案】 【详解】由题意有：，所以圆的圆心为，半径为4，所以圆的标准方程为： . 【变式3】(26-27高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·月考)以，为直径端点的圆的标准方程为__________ 【答案】 【详解】因为线段的中点为，且，所求圆的圆心为，半径为，所以所求圆的标准方程为. 【变式4】(26-27高三上·上海交通大学附属中学·调研)与圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【详解】由原圆方程，可得其圆心为，半径, 设圆心关于直线的对称点为，根据轴对称性质列方程： 直线与对称轴垂直，对称轴斜率为，故，整理得 ①； 线段的中点在对称轴上，代入直线方程得，整理得 ②； 将①代入②解得，，即对称圆的圆心为，半径与原圆相等为. 故所求对称圆的方程为. 【变式5】(26-27高二上·江苏无锡青山高级中学·调研)已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 【答案】 【详解】设圆心为，半径为，，， ，当时，， 所以圆的标准方程为. 【变式6】(26-27高二上·江苏常州高级中学·)方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，所以， 又，得，所以， 当时，，圆心为，半径为， 当时，，圆心为，半径为， 设曲线交轴于点、，连接交与点，如下图所示： 由题意可得，所以和都是等边三角形， 则，故， 所以的长为，同理可知的长为， 所以方程表示的曲线长度为. 【变式7】(25-26高二上·陕西洛南中学·月考)上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7．故选：C． 题型02 圆的一般方程 【典例1】(26-27高二上·广东广州实验学校·月考)已知圆经过点，，． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【详解】（1）设圆的一般方程为. 因为圆经过点，，， 所以，整理得，解得， 所以圆的一般方程为. （2）设， 因为是线段的中点，所以，所以， 又因为点是圆上的点，所以， 所以，所以， 所以中点的轨迹方程为. 【变式1】(26-27高二上·江西南昌第二中学·月考)圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可化简为，则圆心为. 【变式2】数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得：中点，中点，中点， 设的九点圆方程为，则，解得， 所以的九点圆方程为 ，由圆心为，半径可得：圆心，半径，即． 【变式3】(26-27高二上·江苏盐城四校联盟·)若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以，得.因此实数的取值范围是. 【变式4】已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对进行配方，得， 因此圆C的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为 ， 由于，故，因此，当且仅当时等号成立， 因此，即圆心到直线l的距离的最大值为. 【变式5】(26-27高二上·天津第二新华中学·)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在圆的外部，则满足， 解得，所以实数的取值范围是. 【变式6】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【详解】，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或. 【变式7】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于，所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有，解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【变式8】已知二次函数（为非零常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆． （1）求的取值范围； （2）试证明圆过定点（与取值无关），并求出定点的坐标． 【详解】（1）令，得函数与轴的交点是． 令， 由题意且，即且， 解得且． （2）设所求的圆的一般方程为， 令得，这与是同一个方程，故， 令得方程有一个根为，代入得． 所以圆C的方程为． 将圆C的方程整理变形为， 此方程对所有满足且都成立， 所以解的或 经检验知，和均在圆C上， 因此圆C过定点和． 题型03 直线与圆位置关系判定与求参 【典例1】(26-27高二上·广东东莞高级中学·)已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆的圆心,半径，且圆心到直线的距离， 由题意可得，即，所以，解得. 【变式1】(26-27高二上·天津河北工业大学附属实验学校·月考)直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【答案】C 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 【变式2】(24-25高二下·上海长征中学·)已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为，由是圆内异于圆心的一点，得，从而．圆心到直线的距离，故直线与圆相离． 【变式3】(26-27高二上·山西太原成成中学校·月考)下列不可能与直线和相切于同一个圆的直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先联立得，即两直线交于点，考虑三条直线的位置关系，当且仅当三条直线交于一点时无法画出圆，如图， 将点代入各选项知只有B选项的直线过点，故直线不可能与直线和相切于同一个圆． 【变式4】(26-27高二上·江苏淮安淮州中学·)若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则，即，解得，所以半径的取值范围是. 【变式5】(26-27高二上·黑龙江大庆铁人中学·月考)已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，，则，，则，即，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线上存在点，即该直线与圆有公共点，即圆心到该直线的距离，即，即，解得，所以的取值范围为． 【变式6】(25-26高三下·河南九师联盟·开学考)若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为 ；当时，曲线为，显然为半圆，如图所示，易得直线 经过定点，当直线与相切时，，,所以，易得，故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为．故选：D． 题型04 根据直线与圆的位置关系求最值及范围 【典例1】(26-27高二上·江苏清江中学·)已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又． 所以的最大值为，最小值为． 【变式1】(25-26高二·福建厦门第一中学·期末)圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 【变式2】(26-27高二上·内蒙古赤峰红山区赤峰第四中学·)(多选)已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆，因此，，分式中的分母为正及为非负．取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立，故其最小值为0，故B正确；对于C，设圆上动点为，定点为，则，由，及三角不等式得，当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确；对于D，由重要不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，由得，所以，当时满足原方程且取得等号，因此的最大值为，故D错误． 【变式3】(25-26高二下·河南平顶山·期末)已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 【变式4】已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【详解】直线：可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方可得. 故圆心为，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 【变式5】(26-27高二上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将直线的方程整理为， 令，解得，即直线恒过定点， 因为，垂足为，所以， 根据直径所对圆周角为直角，可知点的轨迹是以线段为直径的圆， 因为、，则圆心为的中点，半径， 原点到圆心的距离为， 而圆上点到圆外点的最小距离为点到圆心的距离减半径， 故点到原点的最小距离为. 【变式6】(26-27高二上·江苏南京励志高级中学·调研)已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 【变式7】(26-27高二上·四川成都第七中学·)（多选）已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 【答案】BD 【详解】直线：化简得， 令得即直线过定点， 直线：化简得， 令得即直线过定点， 因为时，，，所以，即直线与直线垂直， 时，，不存在，即直线与直线垂直，所以交点在以为直径的圆上， 又因为直线无法表示直线，直线无法表示直线，所以点坐标不可能是， 故的轨迹方程为  ，圆心， 半径，所以直线方程为：且， 为圆上点，所以的最值一定在直线与圆的交点处取得， 联立直线直线与圆方程解得或即点坐标为时取最小值， 又因为坐标不可能是，所以无最小值，点坐标为时取最大值，最大值为. 【变式8】(26-27高二上·江西南昌天行创世纪学校·月考)如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（   ） A．- B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【详解】由题意可知， 表示阴影部分内的动点 与定点 连线的斜率，记为. 观察图形可知，大圆方程为，定点 为大圆与轴正半轴的交点. 阴影部分主要由三部分边界围成，分别讨论斜率的取值范围： ①当点位于第一象限的阴影部分（即半圆 ）时： 设直线的方程为，即 . 当直线与该半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，解得 或 . 结合图形可知，当切点在第一象限时， 取得最小值 ； 当点为原点 时，. 故此部分 的取值范围是 . ②当点位于第二象限的阴影部分时：此时 ，则 . 当点在轴上时，； 当点为时，. 结合图形连续性，此部分 的取值范围是 . ③当点位于第三象限的阴影部分时：此时 ，则 ，故 . 当点 在 轴上时，； 当点 为 时（该点为大圆与小圆的公共点），. 故此部分 的取值范围是 . 综上所述， 的取值范围是 . 因为 ，所以 的值不可能是 . 题型05 弦长问题及韦达定理的应用 【典例1】(25-26高二上·辽宁锦州·期末)已知曲线与x轴交于两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设外接圆的方程为，点是的外接圆与轴的另一个交点， 分别令，则.设，由韦达定理， 可得，，又曲线与轴交于两点， 因此有，故.又由题可知，，且，得，又因为，得.综上，， 即外接圆的方程为.故选：B. 【变式1】(24-25高二下·浙江杭州第四中学·)已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则 （  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建系，设，则，则中点坐标为， 因为，，所以的外接圆即为以中点为圆心，半径为1的圆，方程为：，由的角平分线的平分线方程为：，两方程联立可得：， 解得或，所以的坐标为，又，所以，即，结合，可得：，即，故选：A 【变式2】已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则，，由，消去整理得，则，所以，，则，所以，解得.故选：B 【变式3】(25-26高二上·山东泰安第一中学·)已知直线与圆相交于两点，且，其中为坐标原点，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，联立，消去可得， ，即， ，， 由，则，即， 代入可得，解得或.故选：D. 【变式4】(25-26高二上·浙江金华卓越联盟·)已知为圆：的弦，点，若直线，直线的斜率之积为，则的面积（   ） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【详解】由题易知，直线的斜率必存在，故可设直线，. 联立直线与圆，，得， ， 得. 若，则，经过点，显然不符题意，故. 由韦达定理，可得. . 因此有，解得，即，因此直线过定点， 故重设直线， 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离，解得. 弦长， 点到直线的距离，故. 令，则，， 当且仅当，即时，等号成立，即的面积有最大值.故选：D. 【变式5】(25-26高二上·山东菏泽单县第二中学·月考)已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）由题意得点，，设点， 则，平方得， 化简得. 故点的轨迹方程为. （2）依题意，点，故直线，即. 联立化简得. 设点，，则，，所以， 故. 【变式6】(26-27高二上·黑龙江大庆大庆实验中学实验二部·)已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦、数量积的坐标表示、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径列不等式求解的取值范围. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算求出，再计算弦长. 【详解】（1）由题意，直线过点且斜率为，故直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径，由于直线与圆交于两个不同点，因此圆心到直线的距离为： ， 令，两边平方得：， 展开整理得，即，解得. （2）设，，将代入圆的方程：， 整理得，由韦达定理得：， 由向量数量积的坐标运算得： ， 又因为，所以 ，化简得， 两边同乘得，解得，验证，符合题意， 将代入直线方程得，代入圆心坐标，等式成立，说明圆心在直线上， 因此为圆的直径，故. 题型06 圆的切线方程及切线长问题 【典例1】(26-27高二上·江西九江第三中学·)过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：.整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式， 为圆心到直线距离.的最大值就是（当时）， 此时弦长最短：. 【变式1】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在圆上，所以，解得，即圆C的方程为，则圆心，所以直线CP的斜率，则过点P与圆相切的直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 【变式2】(26-27高二上·内蒙古赤峰红山区赤峰第四中学·)一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1，点关于轴的对称点的坐标为，由题意，点在反射光线所在直线上，设反射光线所在直线方程为，即，因为反射光线所在直线与圆相切，所以，解得或，当时，反射光线为，与轴无交点，不符合反射要求，所以. 【变式3】(25-26高三·北京东城区·)某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是圆的切线，所以，且， 由勾股定理可得，因此点的坐标为，因为， 所以圆的切线的斜率为，所以圆的切线的方程为， 化简得. 【变式4】(26-27高二·江苏邗江中学·调研)已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点，则， 由圆的切线性质可得，， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 【变式5】(26-27高二上·河北石家庄新乐部分校·月考)若在直线：上存在一点，使得过点作圆：的两条切线可以相互垂直，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，可得圆心，半径,设过点的两条切线的切点分别为、，连接、、,根据圆的切线性质,切线垂直于过切点的半径，因此，，即,若两条切线互相垂直，即，则四边形有三个内角为直角，且邻边，因此四边形是正方形,所以，即所有满足条件的点，都在以为圆心、半径为的圆上，因为直线上存在点，使过的两条切线垂直，所以直线与以为圆心、半径为的圆有公共点，所以圆心到直线的距离，得，即，所以，解得，故实数的取值范围为. 题型07 圆与圆位置关系的判定与求参 【典例1】(26-27高二上·重庆江北巴川量子学校·)已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设点A关于直线l的对称点，，解得， 则的圆心为，半径为2， ，圆心为，半径为， 圆与圆的圆心距， 又，所以圆与圆外切，则圆与圆的公切线条数为． 【变式1】(25-26高二上·江西赣州·期末)若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 【变式2】(26-27高二上·重庆石柱中学校·月考)已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 【答案】0或 【详解】已知圆，则圆心，半径． 已知圆，则圆心，半径． 因为圆与圆内切，且， 所以圆在圆内部，且圆心距， 化简可得，解得或． 【变式3】(26-27高二上·河南新乡部分校联考·)已知圆：，圆：．若圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】圆：的圆心，半径为； 圆：的圆心，半径为. . 因为圆与圆有公共点，所以， 即解得. 【变式4】(25-26高二下·辽宁名校联盟·)（多选）已知集合，且 ，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下，设． 对于A项，两圆相交，有，即，A项错误； 对于B项，，， ，B项正确； 对于C项，将两个圆的方程作差，可得所在直线的方程为， 根据点在该直线上，可得，C项正确； 对于D项，线段与线段互相平分，于是， 则两式相加得 ， 由C项及圆的方程得，即 ，D项正确． 【变式5】(26-27高二上·河南青桐鸣·)已知圆：，圆：，若圆上存在点，过可作圆的两条切线，且两条切线互相垂直，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过作圆的两条切线，设切点分别为，则， 故四边形为正方形，， 故以为圆心，为半径的圆与圆有公共点， 又，所以， 解得，所以的取值范围为. 【变式6】(26-27高二上·江苏海州高级中学、清江中学、徐州第三中学、盐城第一中学、扬州大学附属中学·调研)已知，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，因，，则，. 于是. 化简得 ，即点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 又由已知动圆方程，可得其圆心为，半径. 依题意，可知两个圆有公共点，即两圆圆心距满足.即（*）， 因. 代入（*）后两边取平方得. 由，解得或；由，解得. 故实数的取值范围是. 【变式7】(26-27高二上·安徽宣城部分校·月考)已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，， 弦心距， ，与圆相切，所以，， ，， 所以，， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ， ， 解得. 题型08 两圆的公共弦与圆系方程 【典例1】已知圆的圆心在圆上，且和交于，两点，则__． 【答案】/ 【详解】圆，则圆的圆心为， 由题意可知，，解得， 故圆，即，则圆心，半径， 两圆相减可得，，即为直线的方程，圆心到直线的距离， 所以． 【变式1】(26-27高二·广东深圳实验学校高中部·)设圆：与圆：交于，两点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由圆：，圆：，即， 将两圆方程相减，整理得直线的方程：， 而圆：的圆心为，半径为， 显然直线经过圆的圆心，则. 【变式2】(26-27高二上·天津第一百中学·)已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 【答案】 【详解】由圆和圆， 两圆的方程，相减可得，即， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 则公共弦长为. 【变式3】(26-27高二上·江苏常州高级中学·)已知点，为坐标原点，圆：． (1)当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； (2)若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，圆M：，即圆M：， 圆和圆相交于，，将两圆方程作差消去二次项，得公共弦AB所在直线方程为， 圆的圆心为，半径，故圆心到直线AB的距离为 ， 由弦长公式得. （2）设点，由，得 ， 两边平方得 ，整理得点P的轨迹方程为， 即轨迹为以为圆心，半径的圆， 由题意圆M与上述轨迹圆有公共点，圆M的圆心为，半径，故圆心距满足 ，即，两边平方得， 对，化简为，其判别式，故该不等式对任意实数a恒成立； 对，化简为，解得； 综上，实数a的取值范围为 【变式4】已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 【变式5】在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴， 所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由得，化简得， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 在中，，，由余弦定理得， 又因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以， 因为在上单调递减， 所以当时，最大，此时，由 可得，所以是直角三角形，且， 所以，可得的外接圆的圆心即为的中点， 所以，圆的方程为， 由得，或，即， 所以. 题型09 直线与圆中的定点定值问题 【典例1】(26-27高二上·广西防城港东兴东兴中学·)已知两个定点， 动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E，直线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 【详解】（1）由题，设，因为，所以， 整理得， 所以所求曲线的轨迹方程为． （2）存在，定点，理由如下： 依题意，，，则点M，N都在以为直径的圆上， 设，因为，所以圆的方程为， 又因为点M，N在曲线上， 由，得， 即直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点．    【典例2】(26-27高二·江苏南京第十二中学·调研)已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【详解】（1）可知圆心，半径， 当时，圆心到直线的距离， 依题意，当直线l的斜率存在时，可设直线，化简得， 由到直线的距离为，解得， 即直线，变形得； 当直线l的斜率不存在时，直线到圆心距离为，符合条件； 综上所述，直线的方程为或. （2）①由（1）可知线段的中点到圆心的距离为，所以点D的轨迹方程为. ②如图所示，设，直线， 由点，可得， 则， 由（1）可知当时，直线和圆必有两个交点， 联立方程组，消去得， 当时，，可知， 则，即为定值. 【典例3】(25-26高二上·江西九江·期末)设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． (1)求的取值范围； (2)若，求圆的标准方程； (3)求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 【详解】（1）因为二次函数的图象与两坐标轴有三个交点， 该函数的图象交轴于点，所以该函数的图象与轴有两个交点， 所以，解得且， 故的取值范围是． （2）抛物线与轴交点是， 当时，由，得或，即抛物线与轴交点是、． 因为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 同理可得线段的中垂线方程为， 联立得，则圆心为， 圆的半径， 故圆的标准方程为． （3）设圆的一般方程为， 令，得，此方程有一根为，即， 令，得，与是同一个方程，即， 所以， 设，则，，即，， 所以，即，即圆心在定直线上． 【变式1】已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    【变式2】(25-26高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期末)已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 【变式3】已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【答案】4 【详解】圆心坐标为，半径. 令，，消去参数可得，， 所以圆心在直线上运动. 因为直线被圆截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线的距离为定值. 因此直线应与圆心轨迹直线平行. 又直线经过点，所以直线方程为：，即. 所以圆心到直线的距离等于两平行线的距离. 所以定直线被圆截得的弦长始终为定值. 故答案为：4. 【变式4】(26-27高二上·辽宁沈阳第二中学·)（多选）已知圆，为圆心），动点，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（     ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点为 【答案】AB 【详解】A选项，中，令，则， 即在直线上运动， 的圆心为，半径为，故， 四边形的面积为， 要想四边形的面积最小，只需最小，而， 故只需最小，显然当⊥直线时，最小， 最小值为，此时，， 故四边形的面积最小值为，A正确； BC选项，最短时，由A知，四边形的面积取得最小值，， 此时⊥，四边形的面积等于， 故，解得，故弦长为，B正确； 四点共圆，此圆的直径为， 由垂直关系可知直线的斜率为，故直线的方程为，即， 联立与得，故， 故的中点坐标为，而， 故以为直径的圆的半径为，故方程为， 与相减可得， 所以弦直线方程为，C错误； D选项，设，则， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 化简得， 与相减得， 即直线的方程为， 其中，故直线的方程为， 变形得到， 令，解得， 故直线过定点为，D错误. 【变式5】如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【详解】设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线的斜率， 则直线的方程为，即， 所以直线恒过定点. 【变式6】(26-27高二上·安徽宣城部分校·月考)在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【详解】（1）设点．由，得， 即．    化简得，即的方程为． （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以．    取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为．    此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. （3）)由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．    将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．    设直线和的斜率分别为，．则 所以直线和的斜率之和为定值． 【变式7】(26-27高二上·河北石家庄新乐部分校·月考)已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论． 【详解】（1）设点，， 由点的坐标为，且是线段的中点，则， 可得，，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为． （2）圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点， 则可设， 因为，都是圆的切线， 所以，， 所以，在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得，所以直线过定点． 【变式8】(26-27高二·浙江柯桥中学·月考)已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）点在定直线上 【详解】（1）设圆心关于直线对称的圆心， 由题意有，解得，所以圆； （2）（i）当直线的斜率不存在时，，则， 所以，解出，所以,, 所以，解得或，所以，， 所以四边形的面积：； 当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：， 所以圆心到直线的距离为：， 所以， 同理得， 所以四边形的面积：， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立， 由，可得，即时，四边形面积的最大值为； （ii）点在定直线上，由题意有，理由如下： 当直线的斜率不存在时，由（i）有， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 所以，解得，所以； 当斜率存在时，设的方程为：，设， 所以，消元得， 所以，所以， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消去,可得： ， 所以，即点在直线上. 题型10 直线与圆的实际应用 【典例1】(26-27高一上·黑龙江绥化第一中学·)游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，且点为的中点，，，，设，则，，，解得， 大摆锤的长度为， 【典例2】(25-26高二上·广西百色·期末)如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 【变式1】(26-27高二上·湖南永州雅思高级中学·月考)已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 【答案】5 【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系. 当台风中心到点距离不超过450千米时，处于危险区域，即以为圆心，450千米为半径作圆， 圆与台风行进路线交于，两点. 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 在直角三角形中，千米， 从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 【变式2】(26-27高二上·江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校·)某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为________．（参考数据：取） 【答案】3.15 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，. 设圆心坐标是，圆的半径是，则圆的方程是. 因为，两点都在圆上，所以，解得， 则圆的方程是， 将点的横坐标代入圆的方程，得， 其中的纵坐标， 则， 故支柱的高度约为. 【变式3】一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 【变式4】(25-26高二·广东深圳宝安区·期末)中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 【变式5】(26-27高二上·江苏南通中学·)河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（     ）（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴，建立平面直角坐标系， 正常水位下水面宽，即拱与水面交点为，拱顶坐标， 设圆心为，圆的半径为，则有， 解得， ， 则圆的方程为， 船顶部宽为，即船顶边缘在处， 将代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）： 即， 水位暴涨后，新水面在位置， 此时处的拱下净空为， 船原来高出正常水面，当前净空仅约， 因此船身需要降低. 【变式6】(25-26高二上·广东广州中学·期中)据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________．    【答案】15 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 【变式7】(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【答案】 【详解】建立如图所示直角坐标系，设， 由，即，整理得， 所以M在以为圆心，半径为的圆及其内部，所以； 设，由题意该直线与所在的圆相离， 由，得， 所以，由图知.故答案为：. 【变式8】(26-27高二·海南海口海南中学·)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 【答案】． 【详解】没有，理由如下： 以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，轮船航线所在直线过点， 轮船航线所在直线的倾斜角为，斜率为， 所以，轮船航线所在直线方程为，即． 原点到轮船航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险 题型11 与圆相关的新定义创新问题 【典例1】(26-27高二上·山西太原第四十八中学校·月考)平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得曲线关于轴、轴对称，故只需计算第一象限（）内的图形面积再乘以4即可. 当时，方程可化为，配方得：， 表示圆心为、半径的圆在第一象限的部分. 则第一象限的面积. 故曲线围成的图形的面积为. 【变式1】(26-27高二上·山西太原第五中学·)方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 【变式2】(26-27高二上·江苏常州高级中学·)方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，所以， 又，得，所以， 当时，，圆心为，半径为， 当时，，圆心为，半径为， 设曲线交轴于点、，连接交与点，如下图所示： 由题意可得，所以和都是等边三角形， 则，故， 所以的长为，同理可知的长为， 所以方程表示的曲线长度为. 【变式3】(26-27高三·江苏苏州·调研)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线可化为，当时，解析式为，易知曲线关于轴，轴，原点对称，由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 【变式4】(26-27高二上·吉林长春十一高中·)若动点在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（     ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】由方程，得，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在第一、三象限的部分.所以曲线C关于原点成中心对称图形，所以①正确；所以曲线C与两坐标轴围成的面积为，所以②正确；所以曲线C总长为，所以③正确；令，则为点与点连线的斜率，直线的方程为：，即，圆心到直线的距离为，所以，所以.又，所以的取值范围是，所以④错误． 【变式5】(26-27高二上·四川成都第七中学·)我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．已知余弦距离，其中，（为原点）．若点为曲线上任意一点，点，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，曲线表示原点；当时，曲线的方程为， 此时曲线表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分；同理，可在平面直角坐标系内作曲线的完整图形（如图），曲线上的点到原点距离的最大值为，过点作直线与圆相切，由图象可知，当为切点时，最大，此时有最大值.由，则，，则，则余弦距离. 1．(26-27高二上·安徽宣城部分校·月考)圆的半径为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】因为圆的方程可化为， 所以圆的半径为. 2．已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 【答案】 【详解】点的中点为，则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，圆的方程为. 3．(26-27高二上·重庆巴蜀中学校·)求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 【答案】 【详解】圆经过点，，则圆心在直线上，又圆心在直线l：上，故圆心坐标为，半径为，故所求圆的标准方程为. 4．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是,过点的半径所在直线的斜率,所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 5．(25-26高二·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·)过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以，而切线与垂直，则切线斜率为，可得所求切线方程为，即. 6．(26-27高二上·江苏常州高级中学·)已知圆：关于直线对称，则圆的半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】对于圆的一般方程（满足），其圆心坐标为，半径公式为,由圆：得，，，因此圆心坐标为， 由圆关于直线对称，可知圆心在该直线上，将圆心坐标代入直线方程得 ，解得，将代入半径公式得 ，故圆的半径为2. 7．(26-27高三上·内蒙古锡林郭勒盟·)过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 8．半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】半径相同的圆，交于，两点，若， 则圆的半径. 设圆的圆心坐标为， 则，解得（舍去，此时与圆重合）或. 所以圆的圆心坐标为. 故圆的标准方程为. 9．圆恒过的定点是______. 【答案】 【详解】圆方程化为，由解得故圆恒过点. 故答案为： 10．直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆 ，则圆心为，代入直线方程， 得，解得. 11．过，，三点的圆的半径为________． 【答案】/ 【详解】设圆的方程为，则，解得， 则圆的方程为，即， 所以过，，三点的圆的半径为. 12．求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由两条直线垂直求方程 【详解】化简可知，即圆心为. 因为等同于，斜率为，可知新直线斜率为， 由斜率和圆心可知该直线为，即. 13．已知直线：与圆：相交于，两点，则________． 【答案】 【详解】圆：，圆心为，半径，则圆心到直线的距离， ． 14．(26-27高二上·河南青桐鸣·)（多选）已知圆：，圆：，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】BC 【详解】对于A：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心距，A错误； 对于B：圆即①，圆即②， ①②化简得，B正确； 对于C：圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，C正确； 对于D：圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离 所以直线与圆相切，与圆不相切，D错误. 15．(26-27高二上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，实数、满足方程， 则可把看作是以为圆心，以为半径的圆上的点， 则圆心到直线的距离，于是弦长，故A正确； 对于B，可以看成，即动点与原点连线的斜率，令， 即直线与圆有公共点，当直线与圆相切时取最大值或最小值，如图， 所以圆心到切线的距离为，解得或，所以的最大值为，故B错误； 对于C，即动点到原点的距离的平方， 如图，原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 连接交圆于点，此时取得最小值为，所以的最小值为，故C错误； 对于D，令，则，故的取值可以看成直线在轴上的截距， 由图知，当直线与圆相切时，直线在轴上的截距取得最大或最小值， 由，解得或， 所以的最大值为，故D正确. 16．(26-27高二上·江苏淮安淮州中学·)若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将方程配方，整理得， 要使方程表示圆需满足，解得，因此实数的取值范围为． 17．已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆的方程化为标准方程得，所以，解得或，又点在圆外，故，解得，因此的取值范围为． 18．已知点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由题意得，，得 19．(26-27高二上·湖南邵阳武冈部分校·月考)圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆C：，即，圆心为，半径为，，，所以点在圆内，圆C上的点到坐标原点O的最小距离为. 20．(26-27高二上·广东东莞高级中学·)已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆的圆心,半径，且圆心到直线的距离， 由题意可得，即，所以，解得. 21．(26-27高二上·内蒙古赤峰红山区赤峰第四中学·)若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 【答案】 【详解】由圆，圆心为，半径为，则圆心到直线即的距离为，因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，则，解得，即的取值范围是． 22．(26-27高二上·江苏常州高级中学·)已知圆：，直线：，若直线上存在点，使得圆上存在两点，，满足，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】圆：，圆心，半径，过点作圆的两条切线，切线夹角是点对圆的最大张角，若要使得圆上存在两点，，满足，则最大张角大于等于，当最大张角等于时，半角为，设切点为，在直角三角形中，，即，，只要，就存在满足条件的，即圆心到直线的距离，，即，解得，所以实数的取值范围是. 23．(26-27高二上·山西太原第五中学·)方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 24．(26-27高二上·江苏海安高级中学·月考)（多选）已知圆：，圆：，，分别是圆与圆上的动点，则有（    ） A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，的取值范围为 D．当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则不可能等于 【答案】BC 【详解】圆：圆心为，半径； 圆：圆心为，圆心距. 选项A：因为圆心距，， 若圆与圆无公共点，则两圆相离或内含， 当两圆相离时，，解得，且，所以； 当两圆内含时，，解得或，因为，所以. 因此圆与圆无公共点，则或，故A不正确； 选项B：当时，圆：，， 所以两圆相交. 因为①，②， 得，即. 因此两圆公共弦所在直线方程为，B正确； 选项C：当时，圆：， 因为，分别是圆与圆上的动点，且， 所以，即. 因此的取值范围为，C正确； 选项D：当时，圆：. 若，因为是圆的切线，所以， 所以，且， 因此四边形是边长为的正方形，所以. 因为点是圆上的动点，所以，得， 即. 显然 ，因此存在圆上的点使得，D错误. 25．(26-27高三·江苏苏州·调研)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线可化为，当时，解析式为，易知曲线关于轴，轴，原点对称，由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 26．在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 27．(26-27高二上·陕西师范大学附属中学·月考)已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． (1)求圆的标准方程； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【详解】（1）因为圆与轴交于两点、， 则线段的中点为， 由垂径定理可知轴，则点的横坐标为， 将代入，得，解得，得圆心， 圆的半径为， 圆C的标准方程为． （2）设、，由中点坐标公式得，即． 将点的坐标代入圆C的方程得， 即，即，化简得， 线段中点的轨迹方程为． 28．(25-26高二上·北京延庆区·期末)根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径，圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 29．(26-27高二上·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·)求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 30．(26-27高二上·江苏扬州广陵区扬州中学教育集团树人学校·调研)如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； （2）由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 圆 教学目标 1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，会在两种形式之间互化． 2.理解二元二次方程表示圆的充要条件，会用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系，会求圆上点到定点距离的最值． 3.掌握待定系数法、几何法与轨迹法求圆的方程，会用圆的方程解决简单的实际问题． 4.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法，会求圆的切线方程、切线长与弦长． 5.掌握圆与圆的五种位置关系及其判定，会求两圆的公共弦所在直线方程与公切线方程． 教学重难点 1.重点 （1）圆的标准方程与一般方程；（2）待定系数法求圆的方程；（3）直线与圆、圆与圆的位置关系； 2.难点 （1）二元二次方程表示圆的条件；（2）圆的切线方程与弦长；（3）公切线方程的求解与由位置关系求参数时的边界取舍； 知识点01 圆的定义和标准方程 1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 2．圆的标准方程：，其中为圆心，为半径． (1) 如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是． (2) 有关图形特征与方程的转化： 1　 圆心在x轴上：； 2　 圆与y轴相切时：； 3　 圆与x轴相切时：； 4　 与坐标轴相切时：； 5　 过原点： (3) 圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． (4) 标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 3.如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练】 1．(26-27高二·重庆杨家坪中学·月考)已知圆的圆心为，半径，则圆的标准方程为_________． 2．(26-27高二上·北京平谷中学)圆心为，且经过点的圆的标准方程是__________． 3．圆心在x轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程是______． 4．(25-26高二上·江苏南京师范大学附属实验学校·月考)方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 5．(26-27高二上·云南名校协作体·)已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 知识点02 圆的一般方程 1.一般方程：，配方得 . (1) 表示圆的充要条件：；此时圆心为 ，半径为 . (2) 当 时表示一个点 ； (3) 当 时不表示任何图形. 2.标准方程与一般方程的互化： (1) 展开与配方，两种形式本质相同，使用时按条件选择合适的形式. (2) 由一般方程求参数取值范围时，直接令 ，解所得的不等式即可. 3.确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 【即学即练】 1．(26-27高二上·江西南昌第二中学·月考)圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D． ，4 3．(26-27高二上·湖南部分学校·)若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 知识点03 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解，把直线方程代入圆的方程消元，由所得一元二次方程如果有解，直线与圆C有公共点． 1　 判别式，有两组实数解，直线与圆C相交； 2　 判别式，有一组实数解时，直线与圆C相切； 3　 判别式 ，无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 1　 当时，直线与圆C相交； 2　 当时，直线与圆C相切； 3　 当时，直线与圆C相离． 相交； 相切； 相离. 3．由位置关系求参数时，由 与 的大小关系列出不等式（或方程）求解，注意相切是边界情形，取舍时要单独检验.直线恒过定点时，可先求出定点，再由定点与圆的位置关系确定直线与圆的位置关系. 4．求弦长的方法： 1　 应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系； 2　 利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练】 1．(26-27高二·重庆杨家坪中学·月考)直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 2．(25-26高二上·北京密云区第二中学·期中)圆被轴截得的弦长为（　） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·上海崇明区·期末)曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 4．直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高三上·河南南阳·期末)直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 6．过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（    ） A． B．2 C． D． 知识点04 圆的切线与切线方程 1. 如图，点在圆上，则： (1) 圆心到直线的距离等于半径； (2) 利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 2. 过圆外一点 作圆的切线，可设切线方程为 ，由圆心到直线的距离等于半径求出 ；若只解出一个 ，则另一条切线斜率不存在，需补上 . 3. 常见圆的切线方程： (1) 过圆 上一点 的切线方程为 ； (2) 过圆 上一点 的切线方程为 . 4. 切线长公式：过圆外一点 作圆的切线，切线长为 ，其中 为圆心、 为半径. 5. 切线长的取值范围：点 在已知直线上运动时， 的最小值就是圆心到该直线的距离，由此可得切线长的最小值. 6. 切点弦方程：过圆 外一点 作两条切线，切点为 、，则直线 的方程也是 . 【即学即练】 1．过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．过圆上的点的切线方程为______. 3．(26-27高三上·湖北云学联盟·)圆C：在原点处的切线方程为__________． 4．(26-27高二·天津滨海新区大港油田实验中学·)过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 5．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 知识点05 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 1　 有两组不同的实数解时，两圆相交； 2　 有一组实数解时，两圆相切； 3　 方程组无解时，两圆相离或内含． （2）几何法：设两圆的圆心距为 ，半径分别为 、（）. 1　 外离 ； 2　 外切 ； 3　 相交 . 4　 内切 ； 5　 内含 . 3．两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 两圆相交时，把两个圆的一般方程相减就得到公共弦所在直线的方程. 4．两圆公切线的条数： 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 5．过两个圆交点的圆系方程：（），当 时退化为公共弦所在直线.用圆系方程求"过两圆交点且满足某条件的圆"时，先写出圆系方程，再把圆心条件（或过点条件）代入求出 . 6．两圆相切（内切或外切）时，切点在两圆圆心的连线上，可利用三心共线建立方程求参数. 【即学即练】 1．(26-27高二上·重庆渝西中学·月考)已知圆，圆，则两圆位置关系为（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．(26-27高二上·江苏南菁高级中学·月考)两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 3．(26-27高二上·江西上高二中·)圆：与圆：的位置关系及公切线条数分别为（     ） A．外切，3条 B．内切，1条 C．相交，2条 D．外离，4条 4．(26-27高二上·天津第一百中学·)已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．(26-27高二上·吉林长春二道区长春力旺高中·)圆与圆的公共弦长为______ 6．(26-27高二上·江苏海州高级中学·调研)圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 7．(26-27高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·月考)已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 题型01 圆的标准方程 【典例1】(26-27高二上·云南昆明第三中学呈贡校区·)根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)圆心在直线：上，且过和点． 【变式1】(26-27高二上·四川内江资中第二中学·月考)已知圆C的圆心为，且经过原点，则圆C的方程为____________. 【变式2】(26-27高二上·黑龙江佳木斯第十一中学·月考)求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程______ 【变式3】(26-27高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·月考)以，为直径端点的圆的标准方程为__________ 【变式4】(26-27高三上·上海交通大学附属中学·调研)与圆关于直线对称的圆的方程为______． 【变式5】(26-27高二上·江苏无锡青山高级中学·调研)已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 【变式6】(26-27高二上·江苏常州高级中学·)方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 【变式7】(25-26高二上·陕西洛南中学·月考)上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 题型02 圆的一般方程 【典例1】(26-27高二上·广东广州实验学校·月考)已知圆经过点，，． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【变式1】(26-27高二上·江西南昌第二中学·月考)圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】(26-27高二上·江苏盐城四校联盟·)若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【变式4】已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5】(26-27高二上·天津第二新华中学·)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式7】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【变式8】已知二次函数（为非零常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆． （1）求的取值范围； （2）试证明圆过定点（与取值无关），并求出定点的坐标． 题型03 直线与圆位置关系判定与求参 【典例1】(26-27高二上·广东东莞高级中学·)已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(26-27高二上·天津河北工业大学附属实验学校·月考)直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【变式2】(24-25高二下·上海长征中学·)已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式3】(26-27高二上·山西太原成成中学校·月考)下列不可能与直线和相切于同一个圆的直线是（     ） A． B． C． D． 【变式4】(26-27高二上·江苏淮安淮州中学·)若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】(26-27高二上·黑龙江大庆铁人中学·月考)已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6】(25-26高三下·河南九师联盟·开学考)若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型04 根据直线与圆的位置关系求最值及范围 【典例1】(26-27高二上·江苏清江中学·)已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【变式1】(25-26高二·福建厦门第一中学·期末)圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【变式2】(26-27高二上·内蒙古赤峰红山区赤峰第四中学·)(多选)已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 【变式3】(25-26高二下·河南平顶山·期末)已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式4】已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【变式5】(26-27高二上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6】(26-27高二上·江苏南京励志高级中学·调研)已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【变式7】(26-27高二上·四川成都第七中学·)（多选）已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 【变式8】(26-27高二上·江西南昌天行创世纪学校·月考)如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（   ） A．- B．-1 C．0 D．1 题型05 弦长问题及韦达定理的应用 【典例1】(25-26高二上·辽宁锦州·期末)已知曲线与x轴交于两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高二下·浙江杭州第四中学·)已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则 （  ） A．1 B． C． D． 【变式2】已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高二上·山东泰安第一中学·)已知直线与圆相交于两点，且，其中为坐标原点，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】(25-26高二上·浙江金华卓越联盟·)已知为圆：的弦，点，若直线，直线的斜率之积为，则的面积（   ） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最大值 【变式5】(25-26高二上·山东菏泽单县第二中学·月考)已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【变式6】(26-27高二上·黑龙江大庆大庆实验中学实验二部·)已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 题型06 圆的切线方程及切线长问题 【典例1】(26-27高二上·江西九江第三中学·)过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】(26-27高二上·内蒙古赤峰红山区赤峰第四中学·)一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 【变式3】(25-26高三·北京东城区·)某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】(26-27高二·江苏邗江中学·调研)已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5】(26-27高二上·河北石家庄新乐部分校·月考)若在直线：上存在一点，使得过点作圆：的两条切线可以相互垂直，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 题型07 圆与圆位置关系的判定与求参 【典例1】(26-27高二上·重庆江北巴川量子学校·)已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】(25-26高二上·江西赣州·期末)若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【变式2】(26-27高二上·重庆石柱中学校·月考)已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 【变式3】(26-27高二上·河南新乡部分校联考·)已知圆：，圆：．若圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 【变式4】(25-26高二下·辽宁名校联盟·)（多选）已知集合，且 ，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】(26-27高二上·河南青桐鸣·)已知圆：，圆：，若圆上存在点，过可作圆的两条切线，且两条切线互相垂直，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6】(26-27高二上·江苏海州高级中学、清江中学、徐州第三中学、盐城第一中学、扬州大学附属中学·调研)已知，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【变式7】(26-27高二上·安徽宣城部分校·月考)已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型08 两圆的公共弦与圆系方程 【典例1】已知圆的圆心在圆上，且和交于，两点，则__． 【变式1】(26-27高二·广东深圳实验学校高中部·)设圆：与圆：交于，两点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】(26-27高二上·天津第一百中学·)已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 【变式3】(26-27高二上·江苏常州高级中学·)已知点，为坐标原点，圆：． (1)当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； (2)若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 【变式4】已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5】在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 题型09 直线与圆中的定点定值问题 【典例1】(26-27高二上·广西防城港东兴东兴中学·)已知两个定点， 动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E，直线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 【典例2】(26-27高二·江苏南京第十二中学·调研)已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【典例3】(25-26高二上·江西九江·期末)设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． (1)求的取值范围； (2)若，求圆的标准方程； (3)求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 【变式1】已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【变式2】(25-26高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期末)已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【变式3】已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【变式4】(26-27高二上·辽宁沈阳第二中学·)（多选）已知圆，为圆心），动点，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（     ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点为 【变式5】如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【变式6】(26-27高二上·安徽宣城部分校·月考)在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【变式7】(26-27高二上·河北石家庄新乐部分校·月考)已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 【变式8】(26-27高二·浙江柯桥中学·月考)已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 题型10 直线与圆的实际应用 【典例1】(26-27高一上·黑龙江绥化第一中学·)游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高二上·广西百色·期末)如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【变式1】(26-27高二上·湖南永州雅思高级中学·月考)已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 【变式2】(26-27高二上·江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校·)某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为________．（参考数据：取） 【变式3】一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【变式4】(25-26高二·广东深圳宝安区·期末)中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【变式5】(26-27高二上·江苏南通中学·)河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（     ）（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【变式6】(25-26高二上·广东广州中学·期中)据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________．    【变式7】(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【变式8】(26-27高二·海南海口海南中学·)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 题型11 与圆相关的新定义创新问题 【典例1】(26-27高二上·山西太原第四十八中学校·月考)平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1】(26-27高二上·山西太原第五中学·)方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【变式2】(26-27高二上·江苏常州高级中学·)方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 【变式3】(26-27高三·江苏苏州·调研)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(26-27高二上·吉林长春十一高中·)若动点在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（     ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【变式5】(26-27高二上·四川成都第七中学·)我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．已知余弦距离，其中，（为原点）．若点为曲线上任意一点，点，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 1．(26-27高二上·安徽宣城部分校·月考)圆的半径为（     ） A． B．2 C． D．1 2．已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 3．(26-27高二上·重庆巴蜀中学校·)求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 4．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高二·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·)过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．(26-27高二上·江苏常州高级中学·)已知圆：关于直线对称，则圆的半径为（     ） A． B．2 C． D．4 7．(26-27高三上·内蒙古锡林郭勒盟·)过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 8．半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 9．圆恒过的定点是______. 10．直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A． B． C． D． 11．过，，三点的圆的半径为________． 12．求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 13．已知直线：与圆：相交于，两点，则________． 14．(26-27高二上·河南青桐鸣·)（多选）已知圆：，圆：，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 15．(26-27高二上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 16．(26-27高二上·江苏淮安淮州中学·)若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 19．(26-27高二上·湖南邵阳武冈部分校·月考)圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 20．(26-27高二上·广东东莞高级中学·)已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 21．(26-27高二上·内蒙古赤峰红山区赤峰第四中学·)若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 22．(26-27高二上·江苏常州高级中学·)已知圆：，直线：，若直线上存在点，使得圆上存在两点，，满足，则实数的取值范围是________． 23．(26-27高二上·山西太原第五中学·)方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 24．(26-27高二上·江苏海安高级中学·月考)（多选）已知圆：，圆：，，分别是圆与圆上的动点，则有（    ） A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，的取值范围为 D．当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则不可能等于 25．(26-27高三·江苏苏州·调研)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 27．(26-27高二上·陕西师范大学附属中学·月考)已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． (1)求圆的标准方程； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 28．(25-26高二上·北京延庆区·期末)根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 29．(26-27高二上·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·)求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 30．(26-27高二上·江苏扬州广陵区扬州中学教育集团树人学校·调研)如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $