专题1.4 点到直线的距离（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题1.4 点到直线的距离 教学目标 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式，会求点到直线的距离，体会用代数方法刻画距离的过程． 2.掌握两条平行直线间的距离公式，会把平行线间的距离转化为点到直线的距离. 3.理解轴对称的代数刻画，会求点关于直线的对称点，会用对称解决折叠与反射问题. 4.会用距离的相等关系与对称变换解决距离的和差最值问题，体会数形结合思想. 教学重难点 1.重点 （1）点到直线的距离公式；（2）两条平行直线间的距离；（3）点关于直线的对称； 2.难点 （1）由距离求参数时绝对值的分类讨论；（2）用对称转化距离的和差最值； 知识点01 点到直线的距离 距离公式：点 到直线 （）的距离为 . 使用公式前必须把直线方程化为一般式，并把 、 的系数与常数项都移到等号左边. 特殊情形：点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，到直线 、 的距离分别为 、. 当且仅当 时 ，即点在直线上，这也是判断点与直线位置关系的依据. 由距离求参数时，由 列出含绝对值的方程，去绝对值后一般有两个解，需检验是否符合题意. 【即学即练】 1．点到直线：的距离为_________________． 【答案】4 【来源】广东东莞市第一中学2026-2027学年高二上学期10月段考数学试题 【详解】点到直线：的距离为. 2．已知点到直线的距离为，则_______． 【答案】9或 【来源】福建厦门市杏南中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试卷 【详解】由点到直线的距离公式得，，即，解得或. 3．写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【答案】或(答案不唯一) 【来源】浙江强基联盟2026-2027学年高三上学期8月考试数学试题 【详解】将直线方程化成一般式，得，设点到直线的距离为1，则有，即有，解得或，所以所求点的坐标为或. 4．若点到直线的距离是，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【来源】天津市天津大学附属中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题 【详解】点到直线的距离，解得或. 知识点02 两条平行直线间的距离 距离公式：两条平行直线 ， 之间的距离为 . 使用公式前必须先把两条直线的 、 的系数化为完全相同，再取常数项之差的绝对值. 也可在其中一条直线上任取一点，把问题转化为该点到另一条直线的距离来求解. 两条平行直线间的距离处处相等，夹在两条平行线间的公垂线段的长度就是它们的距离. 由距离求参数时先统一系数，再由 列方程，去绝对值后注意有两解，并检验两条直线是否重合. 【即学即练】 1．直线与直线间的距离为___________． 【答案】 / 【来源】广西壮族自治区钦州市共美学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】根据两直线间的距离公式可得与间的距离 . 2．两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【来源】天津市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】首先将直线两边同乘2，得到与系数一致的平行直线方程. 根据两平行直线的距离公式得. 3．直线与直线间的距离为_______． 【答案】/ 【来源】贵州贵阳市清华中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】直线可化为，所以直线与直线间的距离. 4．直线与直线之间的距离为_____． 【答案】 【来源】浙江省嘉兴高级中学2026-2027学年高二第一学期第一次教学调研数学试卷 【详解】直线，直线，因为，，，所以，所以两直线间距离为：. 知识点03 点关于直线的对称 设点 关于直线 的对称点为 ，则 且 的中点 在 上. 由垂直关系得 （或 ），由中点 在 上再列一方程，联立即可解出对称点坐标. 对称轴垂直平分两个对称点的连线，因此求对称轴就是求线段的垂直平分线. 折叠问题的本质是对称：折痕就是对称轴，折叠后重合的两个点关于折痕对称. 也可先求点 到直线 的距离 ，再把 沿法向量方向平移 得到对称点. 【即学即练】 1．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为，又因为线段的中点为，所以直线的方程为，整理可得.故选：C. 2．若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【来源】重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而，又线段的中点在上，故，解得.故选：D. 3．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线，因为，中点为，且，所以直线的斜率为，所以直线的方程为即.故选：D 4．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【答案】 【来源】江苏省常州市北郊高级中学2025-2026学年高二上学期10月调研数学试题 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为，所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：，整理得.故答案为： 知识点04 距离相等与距离的最值 到两点 、 距离相等的点的轨迹是线段 的垂直平分线，可据此设出所求直线或点的坐标. 过定点 且与 、 距离相等的直线有两类：一类与 平行，另一类经过 的中点. 求 的最小值时，把其中一点关于动点所在的直线作对称点 ，则最小值就是 ，依据是两点之间线段最短. 求点到动直线距离的最大值时，把动直线看作过定点的直线系，距离的最大值就是该点到定点的距离，此时动直线与这一连线垂直. 反射问题的处理：把入射点（或出射点）关于反射轴作对称点，反射光线所在直线必经过这个对称点. 【即学即练】 1．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【来源】广东省深圳市高级中学高中园2025-2026学年高二上学期期中测试数学试题 【详解】因为、两点到直线的距离相等，则，即，可得或，解得或.故选：D. 2．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】由题意可得，所以当直线的斜率不存在时可得；当直线的斜率为零时可得或，故选：C. 3．如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设中的边上的高为，因为，，所以，所以，所以动点在与平行且与的距离为2的直线上，如图所示：作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，在中，因为，，所以，即的最小值为：.故选：B. 4．若直线与平行，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东东莞高级中学 2026-2027学年上学期第一次教学质量检查高二数学试题 【详解】直线与平行，，解得.，即.与的距离. 题型01 点到直线距离的求值与参数问题 【典例1】已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 【答案】ABC 【来源】河南部分学校2026-2027学年高二上学期质量检测（一）数学B卷 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确；对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确；对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确；对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 【变式1】已知直线：． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离为，求的方程； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3)（i）；（ii） 【来源】安徽省滁州中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】（1）略 （2）直线化为一般式， 故 得，所以的方程为 （3）（i）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积最小； （ii）设直线的截距式方程为（，），由（1）知点在上，所以， 此时，，由于这三点共线，且在、之间，所以 有 而，当且仅当时取等号 所以的最小值为 【变式2】已知直线经过点． (1)若原点到直线的距离为1，求直线的方程，并化为一般式方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，求的最小值，并求此时直线的一般式方程． 【答案】(1)或；(2)4， 【来源】陕西铜川市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】（1）解：因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，直线到原点的距离为1，满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得． 此时，直线为 所以直线的方程为或． （2）解：由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到． 由题知，，得到． ， 当且仅当，即时取等号， 所以，的最小值为，此时直线方程为． 【变式3】已知直线，. (1)当时，求的值： (2)当时，直线、的交点为，设，若直线过交点，且点到直线的距离等于，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【来源】广东广州市第二中学南沙天元学校2026-2027学年第一学期月考（一）高二数学试题 【详解】（1）因为，所以由两直线平行的系数关系得，解得. （2）当时，直线，， 联立方程，得到，所以交点， ①直线的斜率不存在时，的方程为，点到的距离为，符合要求； ②当直线的斜率存在时，设的方程为，整理得到， 因为点到的距离为，所以，解得， 代入得直线的方程为：， 综上，直线的方程为：或. 【变式4】已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【答案】(1)；(2)① 斜率为或；② 光线路程：； 【来源】贵州省部分学校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题 【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 题型02 求两条平行直线间的距离 【典例1】若直线与直线平行，则两平行线间的距离是__________． 【答案】 【来源】河南省南阳市多校2026-2027高二上学期阶段性素养评价（一）数学试题 【详解】把化简得，根据平行直线的距离公式得，. 【变式1】求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或；(2)或 【来源】江苏省镇江市县、淮安市等八校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试卷 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 【变式2】已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【来源】陕西铜川市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】已知直线，互相平行，所以，解得，所以的方程为，因为、之间的距离为，所以，解得或，当时，；当时，.综上所述，. 【变式3】已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【答案】 【来源】广西南宁市宾阳中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷 【详解】由已知直线，，且，则，解得或，当时，直线，，即，此时两平行线间距离；当时，直线，，即，此时与重合，与题意不符，综上所述，两平行线间距离. 【变式4】设直线：与：． (1)若，求，之间的距离； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【来源】广东东莞市第一中学2026-2027学年高二上学期10月段考数学试题 【详解】（1）若，则，，得（舍）或， 当时，，即，，，满足， 与之间的距离； （2）：， 当时，，当时，，其中且， 由条件可知，且，得， 由条件可知，， 当时，取得最大值， 此时直线的方程为. 题型03 由两条平行直线间的距离求参数 【典例1】已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 【答案】12 【来源】江苏南京市第十三中学、第九中学等校2026-2027学年高二上学期10月学情调研数学试题 【详解】直线即，则，解得，又，解得或，又，所以，所以. 【变式1】若直线与之间的距离为，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【来源】广东汕头市潮阳实验学校2026-2027学年高二第一学期第一次月考数学试题 【详解】因为直线与之间的距离为，所以，得的值为或 【变式2】若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【来源】广西钦州市浦北县2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题 【详解】直线化为，根据平行线间的距离公式： ，解得：或.故答案为：6或-14 【变式3】下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，，由两平行直线间的距离公式可得 ，解得或，故所求直线方程为或．故选：AC 【变式4】已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【来源】江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试数学试卷 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 题型04 点关于直线的对称与折叠问题 【典例1】点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【来源】江苏省常州市金坛区2024-2025学年高二上学期期中质量调研数学试题 【详解】因为，故，而的中点为，故，所以，所以，故答案为：. 【变式1】下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【来源】8.2直线的交点坐标与距离公式【讲】2027届高三大一轮【实战高考】 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点.选项A：和的中点为，A正确.选项B：和的中点为，B错误.选项C：和的中点为，C正确.选项D：和的中点为，D错误. 【变式2】将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 【答案】 【来源】上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线，中点坐标为，设折痕直线的斜率为，则，得，故折痕直线方程为，即，由题意点与原点关于折痕对称，故得，故.故答案为： 【变式3】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省苏州实验中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题 【详解】由点与点重合，则的中点为，，所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即，由，即对称轴与轴的交点为，而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称，由在轴上，所以点、都在上，则.故选：A 【变式4】已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． (1)求点坐标； (2)求点关于直线的对称点的坐标； (3)求边所在的直线方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【来源】江苏省无锡市青山高级中学2026-2027学年高二上学期10月质量调研数学试题 【详解】（1）由角的平分线所在直线的方程为，设点，则， 设边上的高所在直线的斜率为，因为边上的高所在直线平行于直线，所以， 又因为垂直于高线，所以，即，解得，所以点坐标为； （2）由角平分线的性质可得，点关于的对称点在直线上， 设，则与的中点在直线上，且与直线垂直， 所以，解得，所以的坐标为； （3）由题可知直线即为直线，由（1）（2）分别知，， 则由两点式方程可得，化简整理得， 即边所在的直线方程为. 题型05 直线关于直线的对称 【典例1】已知：，：，则直线关于直线的对称直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西九江市第三中学2026-2027学年高二上学期阶段性测试数学试卷（10.8） 【详解】联立，解得，，设与的交点为，在上取一点，设关于对称轴的对称点为 ， 则的中点在上，即，且 ，斜率，所以，即，联立方程组，解得，，得到对称点 则对称直线一定经过， 所以直线的斜率为，直线过，得斜截式为，整理得. 【变式1】直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【来源】四川省成都市双流区立格实验学校2025-2026学年高二上学期半期质量监测数学试题 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离，可设所求直线为，则或（舍），所以，所求直线为.故答案为： 【变式2】已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 【答案】(1)；(2) 【来源】江苏连云港市东海县白塔高级中学2024-2025学年度高二第一学期期初检测数学试题 【详解】（1）设直线关于点的对称直线为，则， 设直线的方程为， 根据题意，解得或（舍去）， 所以所求直线的方程为． （2）联立，解得， 即两直线的交点坐标为，在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则， 即， 解得，即， 所以，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为． 【变式3】已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 【答案】(1)；(2)；(3)8 【来源】云南省昭通市文屏镇中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】（1）设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. （2）设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. 【变式4】如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 题型06 距离相等与距离的和差最值 【典例1】过点且与点、距离相等的直线方程为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【来源】北京市东直门中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 【详解】直线的斜率为，则过点且与直线平行的直线方程为，即；线段的中点为，则直线的斜率为，则直线的方程为，即，故符合题意的方程为或 【变式1】直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即，则或或，∴l方程为：，． 【变式2】已知两点，，点在轴上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市杨家坪中学2026-2027学年高二第一次月考数学试卷 【详解】点 C 在 x 轴上，A、B 两点均在 x 轴上方，属于同侧两点.点 A 关于 x 轴的对称点 ，由对称性知 ，故 .根据两点之间线段最短，，当且仅当 C 为直线 A'B 与 x 轴的交点时取等号 【变式3】已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【来源】四川省内江市资中第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点.的最小值为. 【变式4】已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【来源】吉林省长春市外国语学校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，即．设关于直线对称的点为，则，解得，即，则，当三点共线时，取到最小值，且最小值为．故选：D. 题型07 反射、光线与三角形中的距离综合 【典例1】已知光线通过点，经直线：反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在直线的方程，并化为一般式方程； (2)在直线上求一点，使； (3)若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1)；(2) ；(3) 【来源】陕西铜川市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】（1）如图所示，设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点，所以其方程为，即， 由和联立，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，，所以， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得：直线方程为，即反射光线所在直线的方程为． （2）设线段的垂直平分线为，因为，所以点在直线上， 又因为点在直线上，所以点为直线与交点， 由，的坐标可知，线段中点， 直线斜率为，所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为，即． 与直线的方程联立，解方程组得点坐标为. （3）设点坐标为，令， 则， 当且仅当最小时，取得最小值，此时且．即点到线段中点的距离最小， 因为点在直线上，所以点是点在直线上的射影，此时是点到直线的距离， 由点到直线距离公式得．所以． 【变式1】光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省太湖高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】根据光线反射的性质，入射点关于反射直线的对称点在反射光线所在直线上. 设点关于直线的对称点为，两点连线与直线垂直，直线斜率为，故两点连线斜率为，即；两点中点在直线上，故.联立解得，即反射光线过点.已知反射光线还过点，计算得反射光线斜率，由点斜式得反射光线方程为.验证各选项：当时，，A、B均不符合；当时，，C不符合，D符合. 【变式2】光线自点射入，经直线：反射后经过点，则（    ） A．入射光线所在直线的方程为 B．反射光线所在直线的方程为 C．入射光线所在直线与夹角的正切值为 D．入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为 【答案】BCD 【来源】安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷（A） 【详解】设点关于的对称点，则，解得：，即，所以入射光线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为：，即，故A不正确；设点关于的对称点，则，解得：，即，所以反射光线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为：，即，故B正确；对于C，因为入射光线所在直线方程为：，所以入射光线所在直线与夹角的正切值，故C正确；对于D,因为反射光线所在直线方程为：，入射光线所在直线方程为：，入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为，故D正确. 【变式3】已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【答案】 【来源】山东济南市历城第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】设关于直线的对称点为，所以，解得，即，依题意在反射光线上，又也在反射光线上，所以，故所求方程为，整理得． 【变式4】已知直线与． (1)若一条光线从与的交点射出，且经x轴反射后经过，求入射光线所在直线的方程； (2)若直线l经过点，且它夹在直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2) 【来源】四川绵阳市南山中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考数学试题 【详解】（1） 联立，两式相加得，解得，代入得，故交点为， 设反射光线经过的点为，根据光线反射的对称性，点关于轴的对称点在入射光线上， 入射光线过和，斜率， 由点斜式得方程： ，整理得 （2）设直线与交于，与交于， 因是中点，由中点坐标公式得： ，即 将坐标分别代入所在直线方程得： ， 解得，即， 直线过和，斜率， 由点斜式得方程： ，整理得. 1．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（    ） A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 【答案】A 【详解】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，则 ，所以直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与直线l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．故选：A 2．一条光线从点射出，到点经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 【详解】由题可知，点关于轴对称的点，由光线反射的性质可知，点在反射光线上，又点也在反射光线上，则斜率，所以由点斜式方程可得，即. 3．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设该直线为，则有，化简得，则或，故该直线为或.故选：AC. 4．已知的三个顶点，，， (1)设D为的中点，求直线的方程； (2)求点A到直线的距离． 【答案】(1)；；(2)； 【来源】北京市平谷中学2026-2027学年高二年级上学期一段考试数学试题 【详解】（1）由题意可得 点,所以直线的方程为即. （2）直线的方程为即, 所以点到直线的距离为. 5．若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 【答案】或 【来源】重庆外国语学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为，此时点到的距离为，点到的距离为，二者不相等，不符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，整理为一般式得， 由点到直线的距离相等，得 ，由于，两边同乘得，所以，整理得，即，解得或, 可得直线的方程为即，或即 6．已知的顶点坐标分别是，，．求 (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求的面积． 【答案】(1) 边上的中线所在直线的方程为 (2) 边的垂直平分线所在直线的一般式方程为 (3) 的面积为 【来源】天津市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】（1）由已知线段的中点坐标为， 又点的坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为； （2）因为，， 所以直线的斜率， 所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 又线段的中点坐标为， 所以边的垂直平分线所在直线方程为， 故边的垂直平分线所在直线的一般方程为， （3）因为直线的斜率，点的坐标为， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 又， 所以的面积. 7．已知直线，与直线相互垂直． (1)求； (2)，相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 【答案】(1)．；(2) 【来源】安徽宣城市部分校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题2卷 【详解】（1）因为直线，与直线相互垂直， 所以得，即．    解得．    （2）由题意知，四边形为矩形，，分别是点到直线，的距离，    所以，    ．    四边形的面积为． 8．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. (1)求垂心H的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【来源】福建省福州第十一中学2026-2027学年第一学期10月适应性练习高二年级数学试卷 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）由（1）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：， 联立直线与的方程，可得，解得，所以， 所以所在直线方程：，整理后可得：. （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得，所以， 则反射光线的方程经过和点， 所以反射光线的方程为，即． 9．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． (1)求顶点，的坐标； (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； (3)求平行四边形的面积． 【答案】(1) ， (2) 和 (3) 【来源】江苏淮安市淮州中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】（1）联立与所在直线的方程得 ，两式相加得，解得，代入得，即， 因为是平行四边形对角线的中点，设， 由中点坐标公式得， ，解得，即. （2）平行四边形对边互相平行，故，， 直线的斜率，故，又过点， 由点斜式得的方程为 ，整理为一般式得， 直线的斜率，故，又过点， 由点斜式得的方程为 ， 整理为一般式得. （3）联立与的方程得 ，解得，即， 由两点间距离公式得 ， 与为一组平行对边，的方程为，的方程为， 由两平行线间距离公式，得对应高为 ， 故平行四边形的面积 . 10．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1)；；(2)；；(3). 【来源】河北廊坊市部分校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试卷 【详解】（1）直线的斜率. 由点斜式得， 整理得. （2）. 点到直线：的距离. 所以. （3），所以直线的方程为，即. 直线的方程为. 设角平分线上任意一点，则点到距离相等， ，得. 得到两种情况： ① ，化简，结合图象(舍去)； ② ，化简，即. 所以的角平分线所在直线方程为. 11．已知实数，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，设直线：，设点那么点到直线的距离为：，因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时， ，所以，即，因为，所以，故答案为：. 12．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于_____． 【答案】 【来源】福建厦门外国语学校2026-2027学年高二年级10月份阶段性检测数学试题 【详解】因为，所以，以点为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则有，设点，设点关于轴的对称点为，其坐标为，设点关于直线的对称点为，直线的方程为，整理得，设，则有，即，进而有，因此，由对称可知，且四点共线，所以的周长等于，的重心坐标为，直线的斜率，进而直线的方程为，代入重心坐标得，即整理得，因为是边上异于端点的一点，所以，所以，所以，，即的周长等于. 13．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【来源】湖北省襄阳市部分学校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为，由，（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线，以及与直线平行的两条直线和（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去，设点到的距离为，①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合；②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合；综上，满足题意的实数为，，；故答案为：，，. 14．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）   A．10 B． C． D．8 【答案】B 【来源】江苏扬州大学附属中学2026-2027学年第一学期高二阶段检测（一）数学试卷 【详解】设，，，则重心即，设，光线反射路径可展开为直线：关于：的对称点；关于：的对称点，展开后，，，共线，且光线经过重心，因此，，三点共线，即，，由共线得，解得或.因为异于端点，所以，即.则周长. 15．如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【来源】安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】在等腰直角三角形中，，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、，设，则，其中，点关于轴的对称点为，直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为，设点关于直线的对称点为，由题意可知，且线段的中点在直线上，所以，解得，即点，由对称性可知、、三点共线，则，即，整理可得，解得或，即或. 16．已知：，：，：，记，，． (1)当时，求原点关于的对称点坐标； (2)在中，求边上中线长的最小值； (3)求面积的取值范围． 【来源】福建省同安第一中学2026-2027学年高二第一学期学情监测数学试题 【详解】（1）当时，：， 设原点关于的对称点坐标为，则， 所以原点关于的对称点坐标为. （2）由题可知，：过定点， ：过定点. 又因为，所以，所以. 联立和方程， 所以由直角三角形中线长为斜边一半可得 边上中线长为 当时，边上中线长有最小值. （3）联立和方程， 点到距离为， 所以面积为， 因为对任意实数，所以， 于是，所以面积范围为 17．已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)直线的方程和点的坐标； (3)求的面积． 【来源】山西太原市第五中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题 【详解】（1） 直线 整理为 ， 令 ，得 ，此时 ，故直线 l 恒过定点 ， 即 . （2）因为点 B 在角平分线 上，设 .由中点坐标公式， AB 中点 .又 M 在中线 上，代入得 ，解得 ，故 . 直线 BA 过 、，斜率 ，方程为 . 因为 是 的平分线，所以直线 BC 与直线 BA 关于直线 对称. 取 A 关于 的对称点 ，则直线 BC 过 与 ，斜率 ， 方程为 ，即 . 点 C 是直线 BC 与中线 CM 的交点，联立 ，解得 ，，即 . （3）， 点 C 到直线 AB： 的距离 ， 故 . 【点睛】角平分线的核心性质是“两边关于角平分线对称”，求对称直线可在一边上取点求对称点再连线；直线系过定点用“分离参数法”. 18．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角板锯成，设直线的斜率为，问： (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含），并求的面积的取值范围． 【来源】江苏省盐城中学2026-2027学年高二上学期10月份阶段性质量检测数学试题 【详解】（1）由题意知：，； 直线经过点，斜率为， 直线方程为：，即； ，，又直线与线段均有交点， . （2）由题意知：直线，由得：，； 由题意知：直线； 由得：，； ， ， ，设，则，， ， 在上单调递增，，， 所以的取值范围是. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 点到直线的距离 教学目标 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式，会求点到直线的距离，体会用代数方法刻画距离的过程． 2.掌握两条平行直线间的距离公式，会把平行线间的距离转化为点到直线的距离. 3.理解轴对称的代数刻画，会求点关于直线的对称点，会用对称解决折叠与反射问题. 4.会用距离的相等关系与对称变换解决距离的和差最值问题，体会数形结合思想. 教学重难点 1.重点 （1）点到直线的距离公式；（2）两条平行直线间的距离；（3）点关于直线的对称； 2.难点 （1）由距离求参数时绝对值的分类讨论；（2）用对称转化距离的和差最值； 知识点01 点到直线的距离 距离公式：点 到直线 （）的距离为 . 使用公式前必须把直线方程化为一般式，并把 、 的系数与常数项都移到等号左边. 特殊情形：点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，到直线 、 的距离分别为 、. 当且仅当 时 ，即点在直线上，这也是判断点与直线位置关系的依据. 由距离求参数时，由 列出含绝对值的方程，去绝对值后一般有两个解，需检验是否符合题意. 【即学即练】 1．点到直线：的距离为_________________． 2．已知点到直线的距离为，则_______． 3．写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 4．若点到直线的距离是，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D．或 知识点02 两条平行直线间的距离 距离公式：两条平行直线 ， 之间的距离为 . 使用公式前必须先把两条直线的 、 的系数化为完全相同，再取常数项之差的绝对值. 也可在其中一条直线上任取一点，把问题转化为该点到另一条直线的距离来求解. 两条平行直线间的距离处处相等，夹在两条平行线间的公垂线段的长度就是它们的距离. 由距离求参数时先统一系数，再由 列方程，去绝对值后注意有两解，并检验两条直线是否重合. 【即学即练】 1．直线与直线间的距离为___________． 2．两平行直线与之间的距离为________． 3．直线与直线间的距离为_______． 4．直线与直线之间的距离为_____． 知识点03 点关于直线的对称 设点 关于直线 的对称点为 ，则 且 的中点 在 上. 由垂直关系得 （或 ），由中点 在 上再列一方程，联立即可解出对称点坐标. 对称轴垂直平分两个对称点的连线，因此求对称轴就是求线段的垂直平分线. 折叠问题的本质是对称：折痕就是对称轴，折叠后重合的两个点关于折痕对称. 也可先求点 到直线 的距离 ，再把 沿法向量方向平移 得到对称点. 【即学即练】 1．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 知识点04 距离相等与距离的最值 到两点 、 距离相等的点的轨迹是线段 的垂直平分线，可据此设出所求直线或点的坐标. 过定点 且与 、 距离相等的直线有两类：一类与 平行，另一类经过 的中点. 求 的最小值时，把其中一点关于动点所在的直线作对称点 ，则最小值就是 ，依据是两点之间线段最短. 求点到动直线距离的最大值时，把动直线看作过定点的直线系，距离的最大值就是该点到定点的距离，此时动直线与这一连线垂直. 反射问题的处理：把入射点（或出射点）关于反射轴作对称点，反射光线所在直线必经过这个对称点. 【即学即练】 1．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 2．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 3．如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若直线与平行，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 题型01 点到直线距离的求值与参数问题 【典例1】已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 【变式1】已知直线：． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离为，求的方程； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 【变式2】已知直线经过点． (1)若原点到直线的距离为1，求直线的方程，并化为一般式方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，求的最小值，并求此时直线的一般式方程． 【变式3】已知直线，. (1)当时，求的值： (2)当时，直线、的交点为，设，若直线过交点，且点到直线的距离等于，求直线的方程． 【变式4】已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 题型02 求两条平行直线间的距离 【典例1】若直线与直线平行，则两平行线间的距离是__________． 【变式1】求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【变式2】已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【变式4】设直线：与：． (1)若，求，之间的距离； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 题型03 由两条平行直线间的距离求参数 【典例1】已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 【变式1】若直线与之间的距离为，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式2】若直线与直线间的距离为1，则__________. 【变式3】下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 题型04 点关于直线的对称与折叠问题 【典例1】点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【变式1】下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 【变式3】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． (1)求点坐标； (2)求点关于直线的对称点的坐标； (3)求边所在的直线方程． 题型05 直线关于直线的对称 【典例1】已知：，：，则直线关于直线的对称直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【变式2】已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 【变式3】已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 【变式4】如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 题型06 距离相等与距离的和差最值 【典例1】过点且与点、距离相等的直线方程为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1】直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式2】已知两点，，点在轴上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【变式4】已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 题型07 反射、光线与三角形中的距离综合 【典例1】已知光线通过点，经直线：反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在直线的方程，并化为一般式方程； (2)在直线上求一点，使； (3)若点在直线上运动，求的最小值． 【变式1】光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（     ） A． B． C． D． 【变式2】光线自点射入，经直线：反射后经过点，则（    ） A．入射光线所在直线的方程为 B．反射光线所在直线的方程为 C．入射光线所在直线与夹角的正切值为 D．入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为 【变式3】已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【变式4】已知直线与． (1)若一条光线从与的交点射出，且经x轴反射后经过，求入射光线所在直线的方程； (2)若直线l经过点，且它夹在直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 1．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（    ） A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 2．一条光线从点射出，到点经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 4．已知的三个顶点，，， (1)设D为的中点，求直线的方程； (2)求点A到直线的距离． 5．若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 6．已知的顶点坐标分别是，，．求 (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求的面积． 7．已知直线，与直线相互垂直． (1)求； (2)，相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 8．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. (1)求垂心H的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 9．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． (1)求顶点，的坐标； (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； (3)求平行四边形的面积． 10．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积； (3)求的角平分线所在直线的方程． 11．已知实数，则的取值范围是______. 12．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于_____． 13．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 14．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）   A．10 B． C． D．8 15．如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 16．已知：，：，：，记，，． (1)当时，求原点关于的对称点坐标； (2)在中，求边上中线长的最小值； (3)求面积的取值范围． 17．已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)直线的方程和点的坐标； (3)求的面积． 18．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角板锯成，设直线的斜率为，问： (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含），并求的面积的取值范围． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $