椭圆的方程及性质讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

椭圆的方程及其性质 【知识梳理】 1、椭圆的定义：在平面内到两定点F_，F_2的距离的和等于常数(大于|FF|的点的轨迹叫椭圆．这两定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。设点P(x，y)是椭圆上任一点，EF5|=2c，则由椭圆定义知： |Pr|+|PF_，|=2a(2a>2c) 2、椭圆的标准方程与性质：_____ 焦点位置________x轴_____y轴__ 3、点与椭圆的位置关系： 段点P迈，精圆方程为之大 +京=1，则 (1)P在椭圆外台PF+lPF>2a台S+益> a2'b2 (2)P在椭圆上台PF+1PF=2a台三+益= a2 )P在图内台P+PK2a台亭+答<1 4、椭圆的参数方程： 。十尔=1的参数方程为： x=acosa (a为参数) y=bsina x2,y2 方+京=1的参数方程为： x=bcosa (a为参数)； y=asina 一般地，如果题目中涉及椭圆的动点或求最值范围问题时，可考虑用参数方程，设椭圆上点的坐标，将问 题转化为三角恒等变换问趣解决，使解趣过程简单明了， 【典型例趣】 一、椭圆的定义 例1、己知三角形的两个顶点是B(-6,0)和C(6,0),周长是32，则第三个顶点A的轨迹方程是 变式1、已知方程，。+广=1表示精圆，则k的取值范围是 3+k2-k 变式2、精圆亡+父=1的一个焦点为F,点P在辋圆上如果线段PR的中点M在y轴上，那么点M 123 的纵坐标是 变式3、己知A(0,四3)、B(0,3)两点，若动点P满足PA中PB6,则点P的轨迹为() (A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在y轴上的椭圆 (C)x轴上的线段 (D》y轴上的线段 变式4、已知F、B,为椭圆上+ y2 =1的两个焦点，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若 259 EA中EB12,则AB 变式5、已知圆C,:(x+3)2+y2=9,圆C,:(x-3)2+y2=81,一动圆M与圆C,外切，与圆C,内切， 则动圆圆心M的轨迹方程是 二、求椭圆的标准方程 例1、求焦点在x轴上，焦距为2V6,且经过点（√3，√2）的椭圆的标准方程 例2、已知椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称，焦距为6，该椭圆经过点(0,4)，求它的标准 方程 例3、焦点在坐标轴上，且经过A(√3，-2)和B(-2√3,1)两点的椭圆的标准方程为 变式1、已知椭圆的一个焦点将长轴分成9：1的两段，且焦距为8，则椭圆的标准方程为一 变式2、椭圆的中心在原点，长轴长是短轴长的4倍，且过点A(4,0),则椭圆的标准方程为 三、椭圆的性质 例1、已知P为椭圆 +y2=1上任意一点，F,F是椭圆的两个焦点 4 (1)PF|PF2|的最大值： (2)PF+PF的最小值： (3)求∠FPF2的最大值 例2、已知椭圆二+上-1的焦点为F,B,椭圆上的动点P的坐标为任y,）,且∠FPF,为钝角，求 94 x,的取值范围 例3、设F是椭圆号+二=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P6=1,2,3,,2》,使 76 FP引，FP,FP引，，FP,,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 例4、如图，把椭圆。+ =1的长轴AB分成8等份，过每个分点作 2516 BRRR R x轴的垂线交椭圆的上半部分于P,,P,P,P,P,P,七个点，F是椭圆 的一个焦点，则1PF+PF+PF+P,F+PF+PF+B,F= 式人、设椭圆话+气1m>)上一点P到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到哺圆 的中心的距离为() A.1 B.2 C.3 D.5 变式2、设椭圆。+二=1的两焦点分别是厅、F,P为椭圆上的一点，则PRPF的最大值 94 是 变式3、已知F、F是椭圆 +上=1两个焦点，点P在椭圆上 84 (1)若PF⊥PF,则这样的P的个数是 个： (2)若∠FPF,是钝角，则这样的P存在吗？ (3)若∠FPF,是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 四、焦点三角形相关问题 例1、已知树圆三 a +存=1(a>b>0,P为椭圆上任一点，∠EPF,=0,求证：△FPF,的面积为 0 S=b2 tan 2 例2、己知椭圆的中心在原点，焦点F、F在x轴上，且椭圆的长轴与短轴长之比为3：2，已知椭圆上一 动点P,满足PF+PF=6· (1)求椭圆的方程： (2)若PF·PE,=0,求△PFF,的面积. 变式1、已知F、F是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠FPE,=60,椭圆的短半轴长为b=√5，则 三角形△PFF的面积为· 6 变式2、已知△ABC以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点，若△ABC面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最 小值为」 变式3、已知椭圆 169 =1的左、右焦点分别为、互，点P在椭圆上，若P、耳、互是一个直角 三角形的三个顶点，则点P到X轴的距离为( A.9