精品解析：河北保定市第一中学1+3融通班2026-2027学年上学期第一次阶段学情检测九年级数学试卷

保定中学2026-2027学年第一学期26融通年级 第一次月考数学试卷 一、选择题（共48分） 1. 已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】∵（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣1≠0， 解得，m≠1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义．理解定义是解题的关键 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移常数项至等号右侧后，等式两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， ． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【详解】解：∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ． 6. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 7. 一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据增长率（降价）模型列一元二次方程，解方程后结合实际意义舍去不合理的解，得到降价百分率． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意可得： ， 解得或， ∵降价的百分率不能大于1， ∴． 8. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需先表示出二月、三月的产量，再根据三个月总产量列方程. 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台，三月份产量为台， ∵一、二、三月份共生产200台， ∴可列方程. 9. 如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作，设与l交于点F，根据平行线的性质求出，然后由矩形得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，设与l交于点F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，根据旋转的性质，可以得到点D的对应点第2028秒在第三象限且与点D关于原点对称，即可写出点D对应点的坐标． 【详解】解：如图，连接， 点在线段的垂直平分线上， ， 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 菱形绕点逆时针旋转，旋转速度为每秒， 菱形绕点每秒旋转一周， ，， 第2028秒时点的对应点在第三象限，与点关于原点对称， 此时点的对应点的坐标为． 11. 如图，在正方形中，M，N为边，上的动点（不含端点），连接，，，若，，则的周长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】延长到E，使得，连接，证明，，解答即可． 【详解】解：延长到E，使得，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和中， ， ∴， ∴， ∴的周长是， ． 12. 已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可得点在运动的过程中，的面积为会发生三次变化，且变化规律是：第一次变化是从0逐步增大，第二次变化是保持不变即意味着此时点所在的边与原图形的底边一定平行，第三次变化是逐步减小，减小到0，说明点P在运动过程中，要经历两个拐点，且三次运动时间相同．分析解答即可． 【详解】解：选项：点在运动的过程中，的面积为发生了二次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到点，逐步减小，减小到0，没有保持不变的变化过程，故该选项不符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到第三个顶点，保持不变，第三次变化是从第三个顶点到点，逐步减小，减小到0，且三次运动时间相同，满足函数的图象，故该选项符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了四次变化，不满足函数的图象，故该选项不符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积不变；但是，三次变化的运动时间不相同，不满足函数的图象， 故该选项不符合要求． 二、填空题（共20分） 13. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 14. 已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向和顶点坐标，再计算给定x范围内端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：已知二次函数为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点是函数的最高点， ∵在范围内， ∴的最大值为， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此的取值范围是． 15. 如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，，然后证明四边形是平行四边形，然后结合勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∵，即， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 16. 如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 17. 如图，四边形是正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，点是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，，则的面积为．其中正确的是__________．（将所有正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得到，，即可判断①；设与交于点G，利用三线合一性质即可判断②；利用三角形内角和定理即可判断③；连接，求出，然后利用三角形中线的性质即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，故①正确； ∵点是的中点， ∴，故②正确； ∴， 设与交于点G，如图， ∵，， ∴，故③正确； 连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的是①②③④． 三、解答题（共52分） 18. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： 解得， 【小问4详解】 解：令， 则原方程为 解得， 当时， 解得， 当时， ，方程无解， 综上，，． 19. 如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）48 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，，由菱形的性质得到，根据勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴菱形的面积． 20. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2）2011 【解析】 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【小问1详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴， ∴ ． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． （1）求的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1） （2）的整数值为， 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于列不等式求解； （2）利用根与系数的关系得到两根和与两根积，代入已知不等式，结合（1）的取值范围确定整数解． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， 解得． 结合（1）的结论，得， 的整数值为，． 22. 平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． （1）求的长； （2）求点E的坐标及直线的函数关系式； （3）若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； 【小问3详解】 解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定中学2026-2027学年第一学期26融通年级 第一次月考数学试卷 一、选择题（共48分） 1. 已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 8. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（ ） A. B. C. D. 无法计算 10. 在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，M，N为边，上的动点（不含端点），连接，，，若，，则的周长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 12. 已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分） 13. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 14. 已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 15. 如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 16. 如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 17. 如图，四边形是正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，点是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，，则的面积为．其中正确的是__________．（将所有正确结论的序号填在横线上） 三、解答题（共52分） 18. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． （3）； （4）． 19. 如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． （1）求的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 22. 平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． （1）求的长； （2）求点E的坐标及直线的函数关系式； （3）若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $