精品解析：河北邯郸市邯山区扬帆学校2026-2027年学年上学期十月学 情自测九年级数学试卷

远航学校扬帆初中2026-2027学年第一学期初三首考 数学试卷 温馨提示：本试卷满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ） A. P点 B. Q点 C. M点 D. N点 2. 新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，及木条在同一平面内，将木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，其旋转角的最小度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 9. 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 10. 如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 嘉嘉和淇淇说的都对 D. 嘉嘉和淇淇说的都不对 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 反比例函数（k为常数）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值是______． 14. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 15. 如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 16. 如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中： （1）当与重合时，长为________； （2）线段的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 17. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）当时，求的值． （3）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 18. 如图，将绕点顺时针旋转）后得到． （1）如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； （2）将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 19. 如图，四边形内接于，为的直径，，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的； （2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 21. 如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． （1）___________ ，___________ ； （2）设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 22. 某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 23. 如图，圆O为的外接圆， ，，点D是圆O上的动点，且点C、D分别位于的两侧． （1）求圆O的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为M，在点D的运动过程中，线段的最大值为 ． 24. 综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： （2）【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； （3）【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远航学校扬帆初中2026-2027学年第一学期初三首考 数学试卷 温馨提示：本试卷满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ） A. P点 B. Q点 C. M点 D. N点 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 【详解】解：∵平面内有一点到圆心O的距离为5，． ∴该点在圆外， ∴点N符合要求． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 2. 新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 3. 已知反比例函数，且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性判断k的符号，再利用反比例函数图象上点的坐标满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：反比例函数，在各自象限内，y随x的增大而增大， ， 反比例函数图象上任意一点都满足， 需要找到横纵坐标乘积小于0的点， A、，该点不可能在这个函数图象上，不符合题意； B、，该点可能在这个函数图象上，符合题意； C、，该点不可能在这个函数图象上，不符合题意； D、，该点不可能在这个函数图象上，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，直线，及木条在同一平面内，将木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，其旋转角的最小度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如解图，根据三角形的外角的性质，得到，当木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，变为，得到最小旋转角度为. 【详解】解：由图可知， ∴， 当木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，变为， 故最小旋转角度为. 6. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格特征确定点 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标积为定值 列方程求解． 【详解】解：由点 的坐标为 及网格图可知，点 在点 左侧 个单位，下方 个单位处， 点 的坐标为 ， 点 ， 都在反比例函数 的图象上 ， ， 解得， ∴． 7. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得，利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球直径为， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 9. 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出的范围即可. 【详解】解：由题意， 把代入，得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴的值可以是18. 10. 如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， 点、、、都是上的点， ， ， ， ， ， 点、、、都是上的点， ， ． 11. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，如图，连接，由旋转性质可知，，，，，则是等边三角形，是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，，，，然后由勾股定理求出，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由旋转性质可知：，，，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴点的坐标为， 故选：． 12. 已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 嘉嘉和淇淇说的都对 D. 嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对． 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 反比例函数（k为常数）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值是______． 【答案】3（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象位于第一、第三象限的性质，得到比例系数为正，列出不等式求解的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得， ∴只要取大于2的任意实数都符合条件，例如3． 14. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意得，，根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴． 16. 如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中： （1）当与重合时，长为________； （2）线段的最小值为________． 【答案】 ①. 5 ②. 2.5 【解析】 【分析】（1）先求出，当与重合时，证明是等边三角形，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，则，即，，三点在同一直线上，当时，的长度最小，得出为的中位线，进而即可求解． 【详解】解：（1）中，，，， ∴， 如图，当与重合时， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）将绕点顺时针旋转得到， 则此时，，三点在同一直线上， ，， ， 随着点运动，总有，， 总有，即，，三点在同一直线上， 的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小， 中，，，， ，，即为的中点， ，， ，为的中位线， ， 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 17. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）当时，求的值． （3）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2） （3） 点不在这个反比例函数的图象上 【解析】 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入解析式，得， 解得， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ； 【小问3详解】 解：当时， ， ∵， ∴点不在这个反比例函数的图象上． 18. 如图，将绕点顺时针旋转）后得到． （1）如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； （2）将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，利用旋转的性质找到相等的边和角是关键． （1）根据旋转的性质得到，即可求出答案； （2）根据题意得到．由旋转的性质得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由旋转可知， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ∴． 由旋转可知 ∴ ∴ 即旋转角为． 19. 如图，四边形内接于，为的直径，，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由圆内接四边形对角互补得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，由两锐角互余即可得到，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案； （2）先由等腰三角形性质得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径所对的圆周角是直角得到，在中，由含的直角三角形性质及勾股定理求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：四边形内接于，， ， 为的直径， ， 在中，，，则， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，，则， ， ， 为的直径， ， 在中，，，，则，从而由勾股定理可得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆内接四边形对角互补、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练运用圆的相关性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 20. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的； （2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）分别标出的三个顶点关于原点的对称点，连接这三个顶点即可得到； （2）分别将线段的端点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，连接即可得到线段； （3）先由旋转性质得到，然后在网格中写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 点的坐标为． 21. 如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． （1）___________ ，___________ ； （2）设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 【答案】（1）3，4 （2）①，2；② 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ∴， 故答案为：3；4； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， 故答案为：，2； ②设， ， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， 的半径为． 22. 某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． 【小问2详解】 解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 【小问3详解】 解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 23. 如图，圆O为的外接圆， ，，点D是圆O上的动点，且点C、D分别位于的两侧． （1）求圆O的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为M，在点D的运动过程中，线段的最大值为 ． 【答案】（1）⊙O的半径为4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识点，掌握相关几何结论是解答的关键. （1）由题意得，即可求解； （2）连接．可推出，，根据，推出是等边三角形，，即可求解； （3）连接．可推出点M的运动轨迹以为直径的圆，设圆心为J，连接推出，求得，根据即可求解； 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴⊙O的半径为4 【小问2详解】 解：如图1中，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图2中，连接, ∵，， ∴， ∴点的运动轨迹以为直径的圆，设圆心为J， 连接 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，当C、J、M共线时取等号， ∴的最大值为， 故答案为：． 24. 综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： （2）【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； （3）【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：由旋转得，， 又， ，即， 在和中， ， ， ． （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转得，．又，故．结合公共边，可证，得． （2）①由且得．由（1）全等得，，故．作，在中得，，由得，在中由勾股定理得． ②分两种情况讨论直角三角形．当时，由全等得，由旋转得，结合推出，得，故．当时，由全等得，且，故，在中，得． （3）由旋转得，故，，又，得．由（1）全等得．设，则，在中由勾股定理，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，作，垂足为， ， 为等腰三角形， ， 由（1）同理可得，， ，，， ，且， ， 在中， ， ， 又， 在中 ． ②如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， 由旋转得，， ， ，即， ， ； 如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， ， ， ， 综上，或． 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由题意，，，， 为等腰直角三角形， ， 线段（）， 在线段上（不包括）， 由旋转可得，， ， 由（1）同理可得，， ，， 设，则， 在中，， 可得，即， 可得，解得， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $