精品解析：湖北鄂东南联盟2026-2027学年高三上学期11月联考数学试卷

高三数学试卷 考试时间：15:00—17:00 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】将存在量词替换为全称量词，保留限制条件不变，否定结论， 因此原命题的否定为，. 2. 已知单位向量、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，、为单位向量，则， ，， 因为，两边平方得， 展开得，代入得，解得， 因为，故. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数诱导公式、指数对数运算性质化简集合B的元素，再求集合A与B的交集即可. 【详解】；；； 因此，又，故. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将目标式变形为，利用“1”的妙用，结合基本不等式求解最小值． 【详解】已知，，所以， 因为， ， 所以  ， 展开计算得 ， 因为，，根据基本不等式可得 ， 当且仅当即时等号成立，满足已知条件， 所以， 所以． 5. 已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等比中项性质求出等差数列的公差，再确定子数列的首项和公比，最后用等比数列前n项和公式计算前10项和. 【详解】由题意得等差数列的通项公式为，其中，. 由子数列为等比数列，且，取前三项得：， ，. 根据等比数列的等比中项性质，，代入得：， 展开整理得，解得（舍去）. 因此，， 即是首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列前项和公式得. 6. 函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，数形结合可得出，，根据得出，再结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，且， 且点与点关于直线对称，所以， 所以，则， 所以， 因为，则，所以， 故，即的取值范围是. 7. 在中，“”是为锐角三角形的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助正弦定理将正弦等式转化为边的关系，结合余弦定理判断最大角类型验证充分性，举反例验证必要性不成立，进而确定条件类型． 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得， 即，，， 充分性验证：若，代入正弦定理得， 由得，同理， 故为最大边，对应角为的最大内角， 将两边除以得， 由于，因此，同理， ，则， 所以 角 为锐角，又角为的最大内角， 因此所有内角均为锐角，即为锐角三角形，充分性成立； 必要性验证：取等边三角形为例，此时，， 左边，右边， 显然左右两边不相等，即必要性不成立； 综上，“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件，A选项正确． 8. 已知函数与的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两函数图象有两个公共点转化为方程且有两个不同的实数根.进而转化为过定点的直线与曲线有两个不同的交点，利用导数求出过该定点的切线斜率，结合图象即可求解. 【详解】由题意，函数与的图象有两个公共点， 即方程有两个不同的实数根， 转化为方程且有两个不同的实数根. 这等价于直线与曲线有两个不同的交点. 因为直线恒过定点， 设过点的直线与曲线相切于点， 因为，所以切线斜率为， 切线方程为. 将点代入切线方程，得，即， 化简得. 构造函数，. 因为恒成立， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值； . 在区间上，单调递减，，无零点； 在区间上，单调递增，最多一个零点. 又，所以，此时切点为，切线斜率. 如图所示，当时，直线与曲线相切于一点，不满足题意； 当时，直线的斜率大于切线斜率，与曲线有两个不同的交点. 当时，直线与曲线最多有一个交点. 因此，当时，函数与的图象有两个公共点. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设i为虚数单位，，为复数，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据虚数的概念及性质、复数的概念、复数的四则运算、复数模的计算公式进行相关分析. 【详解】，则，则A选项正确； 不全为实数的复数无法比较大小，则B选项错误； 若，，满足，但，则C选项错误； 设，， ， ， ，， ， ，所以，则D选项正确. 10. 已知函数（）既有极大值也有极小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】函数既有极大值又有极小值，等价于导函数分子对应的二次方程存在两个不等正实根，结合韦达定理与判别式逐项判断参数符号关系. 【详解】函数定义域为，求导得. 函数既有极大值也有极小值，等价于方程有两个不相等的正实根. 设两根为，，由韦达定理得. 选项A：两根均为正数，故，因此，A正确； 选项B：两根之积，因此，即，B错误； 选项C：方程有两个不等实根，判别式，C错误； 选项D：由、，两式相乘得，因为，所以， 因此，D正确. 11. 如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转角到，逆时针旋转角到，……以此类推，直至，，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 为的中点，则 D. 中点的横坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A可以利用三角函数定义得到，代入二倍角余弦公式计算；选项B先写出旋转后点对应的角，借助诱导公式和周期性化简大角度，从而计算余弦值；选项C利用向量中点公式，两边平方，结合单位圆向量模长为1进行代换化简，推导向量关系式；选项D写出两点坐标，取横坐标平均值，使用和差化积公式化简，验证中点横坐标表达式. 【详解】对于A，因为点为锐角的终边与单位圆的交点， 所以根据三角函数定义可得：. 由二倍角余弦公式，故A错误. 对于B，当时，对应的终边角为， 因此对应的终边角为. 由诱导公式得，故B正确. 对于C，因为为的中点，由向量中点公式， 两边平方得， 由于在单位圆上，所以，即， 代入得， 整理得，故C正确. 对于D，对应的角为，对应的角为， 因此两点的坐标分别为， ， 中点的横坐标为两点横坐标的平均值. 由和差化积公式， 令， 代入得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线斜率为，则实数的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，利用曲线在某点处的切线斜率等于该点的导数值，代入已知条件求解参数. 【详解】由，得， 由曲线在处的切线斜率为，得， 即 ，解得. 13. 已知函数，且，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对该不等式进行变形，构造函数，判断为奇函数且在上单调递增，再转化为函数不等式求解. 【详解】因为函数，令， 而，所以为奇函数. 又因为，所以在上单调递增. 又因为， 所以，即， 故，解得，即. 14. 中，，则的最大值是________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用三角形内角诱导公式化简所求式，再将已知正切关系转化为正弦和角等式，最后通过同角三角函数关系与辅助角公式求最值. 【详解】在中，由，得， 因此，设该比值为，则， 对，两边同乘，得， 将代入，两边除以非零的得， 整理得. 将、代入，得，展开并化简， 由二倍角公式得，即， 由辅助角公式，其最大值为， 当且仅当即时取等，此时取最小值， 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且（，），． （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解； （2）使用裂项相消法求解. 【小问1详解】 ，即，， 则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， ，当时，； 当时，，； 综上，. 【小问2详解】 ， . 16. 在中，，是内一点，且，． （1）若，，求； （2），且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由条件判断为等腰直角三角形，在中，由余弦定理求出，即得，再在中，由余弦定理即可求出答案； （2）设， ，在中，利用正弦定理，建立关于与的三角函数式的方程，再借助于和角的正切公式与同角三角关系式求解即得. 【小问1详解】 如图，因，则，由可得， 即为等腰直角三角形. 在中，由余弦定理， ，则，， 在中，由余弦定理，； 【小问2详解】 设， ，则，，， 因，则， 在中，由正弦定理，， 则可得，即，则， 解得，因，则，故可得， 故的面积为. 17. 已知函数，． （1）若的最大值为6，求实数的值： （2）若，，，是的3个相邻的零点，且，，，成等差数列．求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化成正弦型函数，再根据正弦函数最大值列式求出； （2）先写出零点对应的相位，结合等差数列条件得到零点间距关系，进而求出，代回算出 【小问1详解】 ， 当取最大值时，取得最大值为， 由的最大值为，得，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 令，整理得零点满足的方程为，设， 由，得，设，其中， 方程的解为或， 因此的三个相邻零点对应的相位（从小到大）为， 相邻零点的相位差分别为 对应横坐标的间距为相位差除以，即， 由成等差数列，根据等差中项性质得， 即，所以，所以，得， 解得，所以，即，解得，符合题设条件， 所以. 18. 已知函数，设，，是平面内三个不共线的非零向量，满足，，，，其中． （1）若，若对任意的，，求实数的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题将转化成对任意的恒成立，求导推得的最大值即得参数的取值范围； （2）根据条件得到或，前者易得；后者根据和模长，在坐标系中引入，设，可得点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆在第四象限的部分，而可看成直线与上述轨迹有公共点时的纵截距，数形结合即可求得的范围； （3）利用向量数量积的运算律推得，与（2）同法求得，进而可求出的范围. 【小问1详解】 依题意，等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，也即对任意的恒成立. 设，则，则当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，即， 故得； 【小问2详解】 因，且， 则得或. 当时，； 当时，由，且，， 可在平面直角坐标系中取点，再设， 令，因，则， 因，， 则点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆在第四象限的部分，如图所示. 而， 即， 故可看成直线与上述轨迹有公共点时的纵截距. 由图知，当直线经过点时，解得； 当直线经过点时，解得， 依题意可得，则有，显然， 故的取值范围为； 【小问3详解】 因 ， 令，则， 与（2）同理，可将看成直线与上述轨迹有公共点时的纵截距， 由图知，当直线经过点时，解得； 当直线经过点时，解得， 依题意可得，则有，则， 故的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，值域为，当时，则称是上的自缩函数．（参考数据：，，，，仅供比较大小时参考） （1）若，判断是否是上的自缩函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； （2）若，且是上的自缩函数， （Ⅰ）若，证明：在上单调递增； （Ⅱ）证明：． 【答案】（1）是上的自缩函数，证明如下. 当时，， ，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此在处取得最小值为， ， ， 比较得最大值为，即值域为，定义域为， 由，，， 得，， 所以，是上的自缩函数； （2）（Ⅰ），. 反证法：假设在上不单调递增， 因为在上单调递增，令，得，即，得， 当，，单调递减，当，，单调递增，所以是唯一极值点，也是极小值点， ， 若在上不单调递增， 时，在上的最小值为， 由自缩函数定义，值域最小值不小于定义域左端点，即 ， 结合，得，与矛盾， 时，得，， 而自缩函数要求，故，得，与矛盾， 因此假设不成立，必有，即在上恒成立，故在上单调递增； （Ⅱ）分三类情况讨论： ①当时，，因此，不等式显然成立； ②当在上单调递减时，，值域为，故， 由单调递减得，代入，得 ， 由得，同①，不等式成立； ③当且单调递增时，由（Ⅰ）知单调递增，值域为， 故，整理得，因此有， 令，则， ，故在递减，在递增，最小值， 若，由及在递增，得，与矛盾，故必有，即， 要证，等价于证， 当时，，而，不等式显然成立； 当时，，等价于证， 因在递增，且，设满足，则，故只需证，即证， ，需证，即证， 即证， 令，， 当时，，，故，单调递增， 因此，即成立， 故，结合在递增，得，，则，从而，即. 综上，所有情况均满足，命题得证. 【解析】 【分析】（1）先化简函数并求导确定极值点，计算区间端点与极值点的函数值得到值域，通过数值比较验证值域完全包含于定义域，从而判定为自缩函数； （2）（Ⅰ）采用反证法，假设函数不单调递增则极小值点落在区间内，结合自缩函数 “值域最小值≥定义域左端点” 的约束，推出与矛盾，进而证明函数单调递增。 （Ⅱ）分三类情况覆盖所有可能,当时直接放缩得证；单调递减时推导得，同前成立；且单调递增时，转化为的单调性比较，再构造辅助函数利用单调性完成不等式证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 考试时间：15:00—17:00 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知单位向量、满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 5. 已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，“”是为锐角三角形的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数与的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设i为虚数单位，，为复数，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知函数（）既有极大值也有极小值，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转角到，逆时针旋转角到，……以此类推，直至，，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 为的中点，则 D. 中点的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线斜率为，则实数的值为________________． 13. 已知函数，且，则实数的取值范围为______． 14. 中，，则的最大值是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且（，），． （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，求． 16. 在中，，是内一点，且，． （1）若，，求； （2），且，求的面积． 17. 已知函数，． （1）若的最大值为6，求实数的值： （2）若，，，是的3个相邻的零点，且，，，成等差数列．求实数的值． 18. 已知函数，设，，是平面内三个不共线的非零向量，满足，，，，其中． （1）若，若对任意的，，求实数的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，值域为，当时，则称是上的自缩函数．（参考数据：，，，，仅供比较大小时参考） （1）若，判断是否是上的自缩函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； （2）若，且是上的自缩函数， （Ⅰ）若，证明：在上单调递增； （Ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $