精品解析：湖北武汉市九师联盟部分校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试卷

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占35%左右）；导数，三角函数与三角恒等变换，平面向量（占65%左右）． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，对集合中两个元素进行分类讨论，分别求出的值，再检验集合中元素的互异性即可得出的值. 【详解】由题可知，，则当时，集合中两个元素均为，不合题意； 当时，则或，又知不合题意，所以. 2. 已知平面向量，不共线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，由，不共线，零向量用，线性表示时，系数必须都为0，即可求出的值. 【详解】由平面向量，不共线，又，则，解得，所以. 3. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，先由切线斜率求出切点横坐标，再将切点坐标代入曲线方程求. 【详解】设切点坐标为，因为，所以，解得. 将代入切线方程，得，因此切点坐标为. 将代入曲线方程得，解得 4. 已知角、为第一象限角，“”是“”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为角、为第一象限角， 取，，则，但， 即“”“”； 取，，则，， 则，但，即“”“”. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，弧长为，利用扇形的弧长公式，列出方程，求得的值，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 因为扇形的圆心角为，即圆心角为，可得， 将代入上式，可得，解得，则 所以扇形的面积为. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 7. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据芯片投入资金与毛利润的对应关系求解的函数解析式，再设投入芯片的资金为亿元，建立纯利润关于的函数表达式，通过换元法转化为二次函数求最值，即可得到对应投入芯片的资金额. 【详解】∵ 生产芯片的毛利润与投入资金满足， 且投入亿元时毛利润为亿元，投入4亿元时，毛利润为2亿元. ∴ 代入可得，解得，即. 设投入芯片的资金为亿元，其中，则投入芯片的资金为亿元. 由纯利润的定义得，. 令，，则，. 代入的表达式得：. 该二次函数开口向下，对称轴为，在的取值范围内. ∴ 当时，取得最大值，此时，. 即投入芯片的资金为23.75亿元时，企业获得的纯利润最大. 8. 如图，已知直线，，分别为，上的点，，为线段的中点，为上的动点，作，交于点．若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据和勾股定理表示出三角形边长进一步得到三角形周长，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，，， 为中点，，所以， 因为，所以， 又因为，所以，因此，所以； 设，则，解得. 在中，，所以； 在中，， 所以的周长， 则， 当且仅当即时取等，所以的最小值为. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则在上的投影向量为 D. 若，的夹角为钝角，则m的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】由模长公式可求出可判断A；由垂直向量的坐标表示求出，可判断B；由投影向量的定义可判断C；由，的夹角为钝角可得，可判断D. 【详解】对于A，若，则，， ，，故A错误； 对于B，若，则，解得：或，故B正确； 对于C，若，则，，， 在上的投影向量为：，故C正确； 对于D，若，的夹角为钝角，则， 则，解得：， 所以m的取值范围为，故D错误. 10. 已知非零实数，，满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设，由换底公式判断A；由A得，由得，再根据先判断与大小，再判断B；利用指数幂运算判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】设，因为，，为非零实数，所以且，则 对于A，由换底公式得，所以. 若，则，解得，A正确； 对于B，若，则，所以，因此； 由A知，，则，所以，又因为，所以，B正确； 对于C，，由得 因为，所以，因此，C错误； 对于D，由A知，，所以， 又因为，当且仅当时取等，因为，所以，所以； 当时，，整理得； 当时，，整理得，所以D错误. 11. 在和中，若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为钝角三角形 C. 中必有一个内角为 D. 中必有一个内角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用三角形内角的取值范围，正弦函数、余弦函数的基本性质以及诱导公式、三角形的内角和定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，在中，因为、、，所以，，， 在中，因为、、，且， 所以，，，故、、， 即为锐角三角形，故A正确； 对于B选项，在中，不妨设角、为锐角，即、， 所以，， 由可得， ， 又因为余弦函数在上单调递减，所以，， 若角为锐角，即，则， 由题意可得，所以， 由三角形的内角和定理可得， 所以， 可得，即，矛盾， 因为，所以， 又因为，则，故， 若角为钝角，即，可得， 则，所以， 所以， 即，解得，符合题意，故B正确； 对于C选项，在中，不妨设角、为锐角，则， 由已知条件可知，又因为为锐角，故，故C正确； 对于D选项，在中，不妨设角、为锐角， 若中有一个角为，则必有，这与矛盾，故D错误. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则实数________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称的性质求得的候选值，再代入验证满足奇函数的定义即可. 【详解】由，解得， 由于奇函数的定义域关于原点对称，因此两个间断点和互为相反数，即，解得， 当时，，定义域为， 而 ，满足奇函数的定义， 故实数的值为. 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式无整数解，对的范围进行讨论，写出不等式的解集，即可求解． 【详解】因为“，”为假命题， 当时，原不等式变为，解得，存在整数解，不合题意； 当时，的两根为，且， 所以原不等式的解为，或，有整数解，不合题意； 当且时，，原不等式的解集为， 由题意知，解得，且； 当时，原不等式变为，无整数解，符合题意， 综上，的取值范围为． 14. 若，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法，将原不等式变形为，再考虑，由单调性可得，分离参数即可求解． 【详解】由题意，得，， 令，则，， 令，则， 当时，；当时，， 所以，即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 由，得，所以，所以， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故的取值范围为． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1） ． （2）因为，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 16. 已知函数． （1）求的最小值和单调递增区间； （2）将的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 【答案】（1）的最小值为，单调递增区间为； （2）的最小值为，此时在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦型函数的值域以及单调区间代入计算，即可得到结果；（2）先由三角函数的平移变换可得函数的解析式，再由其对称性即可得到，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，的最小值为，此时，， 令， 解得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为的图象关于直线对称，所以， 解得， 又，故时，的最小值为， 此时， 当时，， 则，故. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，，，求整数的最大值． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，从而确定导数的正负及单调区间； （2）由（1）先求左式最小值。再将其转化为关于的不等式恒成立问题，构造新函数求最值以确定的范围. 【小问1详解】 的定义域为，， 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，，， 所以， 即，恒成立． 令，则， 令，则， 所以，即在上单调递增， 又，，所以存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以整数的最大值为． 18. 已知实数，且，函数． （1）若关于的方程有解，求的取值范围； （2）若． （ⅰ）解不等式； （ⅰⅰ）若，，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅰⅰ） 【解析】 【分析】（1）由变形得出，问题转化为关于的方程有解，等价于，然后分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可得出结论； （2）（i）当时，化简函数的解析式，分析该函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可； （ii）由题意可知等价于，利用基本不等式结合对数函数的单调性可求出函数的最小值，再令，可得出，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 所以，所以，可得，即， 因为，且，所以，所以， 问题转化为关于的方程有解，等价于，即， 当时，，所以时不符合题意； 当时，，所以时符合题意， 故的取值范围为． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， ，，即函数的定义域为， 所以，即为偶函数， 所以可以转化为， 对于函数，当时，， 所以在上单调递增． 又因为在上单调递增，由复合函数单调性可知，在上单调递增， 所以由，得，即， 所以，所以或， 所以的解集为． （ⅰⅰ）由题意得，，，等价于． 而，当且仅当时取等号， 所以． 令，则，，即，． 因为函数、在上均为减函数， 所以函数在上单调递减，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 19. 已知函数（）． （1）若0为的极值点，求a的值； （2）若，求在上的最值； （3）当时，证明：． 【答案】（1）. （2）在上的最大值为；最小值为. （3）要证，即证，即证,函数的定义域为， 构造函数（）， 求导得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当取等号. 令，得：, 因为，所以, 构造函数, 求导得, 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以, 由于上述不等式链中，等号不能同时成立，理由如下： 若，则；此时，而，要取等号需； 若，此时，故第一个不等号 严格成立， 所以严格成立， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）利用极值点导数为零建立方程求出，并利用导数符号变化验证其为极值点； （2）代入值后，判断导函数在给定区间上的符号，得出函数单调性，进而求得最值； （3）通过将不等式转化为证明，巧妙利用常见切线不等式和 进行放缩，并说明等号不能同时成立完成证明. 【小问1详解】 由题意知，函数的定义域为， 求导得， 因为为的极值点，所以，即，解得. 检验：当时，，设，， 故在 上单调递减， 又，所以当时，；当时，，此时为极大值点，符合题意. 所以的值为. 【小问2详解】 当时，，其定义域为， 求导得， 当时，，所以； 又，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在上的最大值为； 最小值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占35%左右）；导数，三角函数与三角恒等变换，平面向量（占65%左右）． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知平面向量，不共线，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角、为第一象限角，“”是“”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 8. 如图，已知直线，，分别为，上的点，，为线段的中点，为上的动点，作，交于点．若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则在上的投影向量为 D. 若，的夹角为钝角，则m的取值范围为 10. 已知非零实数，，满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 11. 在和中，若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为钝角三角形 C. 中必有一个内角为 D. 中必有一个内角为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则实数________． 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为________． 14. 若，，则实数的取值范围为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 16. 已知函数． （1）求的最小值和单调递增区间； （2）将的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，，，求整数的最大值． 18. 已知实数，且，函数． （1）若关于的方程有解，求的取值范围； （2）若． （ⅰ）解不等式； （ⅰⅰ）若，，，求实数的取值范围． 19. 已知函数（）． （1）若0为的极值点，求a的值； （2）若，求在上的最值； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $