精品解析：湖北九师联盟2027届高三上学期9月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据1，3，5，7，9，11的平均数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 6.5 【答案】B 【解析】 【详解】由平均数定义，得. 2. 已知点，且，，则线段的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设线段的中点为，则，所以线段的中点坐标为. 3. 已知集合，是小于的质数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得：，解得：，即， 又，. 4. 已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助渐近线定义与离心率定义计算即可得. 【详解】由题意知的倾斜角为，所以， 则. 5. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 6. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值. 【详解】取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（）， 则， 直线与所成角的正弦值为. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 8. 设，在中任取两点，，定义随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得中共有9个点，进而根据两点距离求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【详解】由题意，知, 故中共有9个点，从中任选2个点，共有种方法， 故，，2，，， 时，两点为相邻的水平或者竖直格点，共有12组， 时，两点为相邻对角线格点，共有8组， 时，两点为水平或者竖直方向间隔为2的格点，共有6组， 时，两点为 ，共有8组， 时，两点为，共有2组， 故的分布列如下表： 1 2 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内，对应的点在第一象限 【答案】AD 【解析】 【详解】因为，所以，A正确； ，所以的虚部为，B错误； ，C错误； ，在复平面内，对应的点在第一象限，D正确. 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B. 若是上一点，则的最大值为 C. 若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D. 若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,圆由一般方程化为标准方程即可判断；对于B，可以利用圆的参数方程判断；对于C，直线即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，C错误；对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，通过点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确； 对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确； 对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确. 11. 已知函数的极大值为4，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 若，则 D. 过点有且仅有2条直线与函数的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导，分，，三种情况求函数的极大值点，根据极大值为求出的值；对于B，根据零点定义，令求解判断零点的个数；对于C，根据函数的单调性判断大小；对于D，设切点，列切线方程，根据在切线上求出切点的个数. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，为极大值点，而，不合题意； 当时，没有极值，不合题意； 当时，为极大值点，所以，解得，A正确； 对于B ，由A选项可知， 令，则或，所以有且仅有2个零点，B错误； 对于C，， 当时，，在上单调递增， 因为，则，所以，C正确； 对于D，，所以， 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以， 所以或，所以过点有且仅有2条直线与函数的图象相切，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三位数中，被除余的数有______个. 【答案】 【解析】 【分析】找出三位数中被除余的最小数与最大数，这一列数构成公差为的等差数列，代入等差数列通项公式求解项数，得到一共有个． 【详解】三位数中被除余的数从小到大排构成等差数列，且，，公差，所以，解得． 13. 已知，且，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，所以，，所以. 14. 已知菱形的边长为，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，且四面体的外接球表面积为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，得出和为等边三角形，再利用二面角的平面角的定义说明就是二面角的平面角，根据外接球表面积求出外接球的半径，再做出平面截外接球的截面图，化空间为平面，找到球心，通过求出，进而求出的余弦值，最后利用三角函数公式求出答案. 【详解】因为， 所以，，所以和为等边三角形. 设的中点为，连接，，就是二面角的平面角，大小为. 四面体的外接球表面积为，记外接球半径为，，所以. 设和的中心分别为，，过，分别作平面，平面的垂线， 设两垂线相交于点，那么就是四面体的外接球的球心. 由题意知，得， 所以，所以，，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一箱内装有10件产品，其中有2件次品，现从中有放回地随机抽取6个产品进行检验，每次抽取1个. （1）前2次都抽到正品且第3次抽到次品的概率是多少？ （2）若随机变量为6次抽取中次品出现的次数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出任取一件取到次品的概率，然后得到任取一件取到正品的概率，由每次抽取相互独立即可求解. （2）判断的可能值，求出概率，即可求解. 【小问1详解】 设第次抽到次品为事件，由题意知，， 前2次都抽到正品且第3次抽到次品的事件为，因为是有放回地随机抽取产品进行检验， 所以每次抽取相互独立，所以. 【小问2详解】 由题意知， 所以. 16. 如图，在平面四边形中，，，. （1）求证：； （2）若，求的面积. 【答案】（1）在中，由余弦定理， ，所以. 又，由勾股定理的逆定理得. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由(1)知，，所以. 又， 所以. 由得. 设的面积为. 一方面； 另一方面. 由两式相等得，即. 又由余弦定理，. 所以，整理得，解得. 所以. 17. 如图，直三棱柱的体积为，四边形的面积为且，，的中点为，，的中点为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，证出线面平行； （2）先根据体积、矩形面积、线段长度条件列方程组解出三条棱长，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关向量，构造平面的法向量，代入线面角向量公式算出正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，，，其中， 由，为的中点，知， 由直三棱柱的体积为，四边形的面积为，， 得，解得，，， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， ，，， 设平面的法向量为， 那么，即，取，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，的离心率为，且过点，过且斜率大于0的直线交于，两点. （1）求的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）设为坐标原点，连接并延长交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率与椭圆过点建立关于，，的方程组，求出，，得到椭圆的标准方程. （2）设直线的斜率为（），与椭圆方程联立，用韦达定理表示与；把的面积用底与高表示，得到关于的方程，解出后写出直线的方程. （3）由椭圆关于原点对称得. 用点到直线距离公式求的面积；用面积公式与数量积表示，代入韦达定理的结果化简为，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 设椭圆焦距为，由离心率，得. 又椭圆过点，所以. 由得，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由，得，，故，. 设直线（），与椭圆方程联立，消去得. 设，，则，. 于是. 以为底边，高为，所以面积. 整理得，平方得， 即，解得，又，故. 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 由椭圆关于原点对称，点与点关于原点对称，所以. 设的面积为. 直线经过原点，其方程为， 所以点到直线的距离，又，故. 由得，所以. 又. 由及，得. 代入，得， 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 19. 已知函数. （1）求函数的图象在处的切线方程； （2）设. （i）求； （ii）若且，，试判断和的关系，并加以证明. 【答案】（1） （2） （i） （ii），， 由，得，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ①当，时，在上单调递增， 当时，，，所以， 同理，，所以； ②当，时，在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，； 同理，，因为，所以； ③当，时，， ，，所以； ④当，时，， ，，所以. 综上所述，若，当，时，； 当，，或，时，； 当，时， 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率后再利用点斜式表示切线方程； （2）（i）构造函数，通过导数求出的单调性，进一步得到，则即为所求； （ii）通过导数判断单调性，再将 分别在时分四种情况讨论，表示出， 再进一步得到和的关系. 【小问1详解】 ，，，， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知， 由，，得，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据1，3，5，7，9，11的平均数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 6.5 2. 已知点，且，，则线段的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，是小于的质数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设，在中任取两点，，定义随机变量，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内，对应的点在第一象限 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B. 若是上一点，则的最大值为 C. 若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D. 若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 11. 已知函数的极大值为4，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 若，则 D. 过点有且仅有2条直线与函数的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三位数中，被除余的数有______个. 13. 已知，且，则________. 14. 已知菱形的边长为，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，且四面体的外接球表面积为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一箱内装有10件产品，其中有2件次品，现从中有放回地随机抽取6个产品进行检验，每次抽取1个. （1）前2次都抽到正品且第3次抽到次品的概率是多少？ （2）若随机变量为6次抽取中次品出现的次数，求. 16. 如图，在平面四边形中，，，. （1）求证：； （2）若，求的面积. 17. 如图，直三棱柱的体积为，四边形的面积为且，，的中点为，，的中点为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，的离心率为，且过点，过且斜率大于0的直线交于，两点. （1）求的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）设为坐标原点，连接并延长交于点，求的最小值. 19. 已知函数. （1）求函数的图象在处的切线方程； （2）设. （i）求； （ii）若且，，试判断和的关系，并加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $