精品解析：天津市复兴中学2026-2027学年高三上学期10月阶段监测数学试卷

2026—2027学年第一学期阶段监测 高三数学 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题题）两部分，第Ⅰ卷45分，第Ⅱ卷105分，共150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考场/座位号和准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂，务必在对应位置作答. 第Ⅰ卷（选择题，共45分） 每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 参考公式：圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高. 一.选择题，选出每题最符合题目要求的一项.（共9题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和并集的定义求解. 【详解】，，， ，. 故选：D. 2. ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解，结合集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，解得或，记为或， 令， 则是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 4. 直线与圆相切，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 5. 若函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性，排除A、D，再由特殊值法排除C，即可得答案. 【详解】由图象关于原点对称，可得为奇函数，结合运算规律可得A、D为偶函数，故排除； 对于C：与图象不符，故排除； 对于B：符合图象. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，学生需熟记运算规律：（1）奇奇=奇、（2）偶偶=偶 （3）奇偶=非奇非偶、（4）奇奇=偶、（5）奇偶=奇、（6）偶偶=偶，再由特殊值法排除选项即可，属基础题. 6. 如图.在正方体中，给出以下四个结论，其中错误的是（ ） A. 平面 B. 在平面内 C. 平面 D. 平面平面 【答案】C 【解析】 【详解】，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 是平行四边形，故四点共面，直线的两个端点都在平面 内，故在平面内，故B正确； ，，与不垂直，故不垂直于平面，C错误； ，故平面，又平面， 由面面垂直判定定理可得平面平面，故D正确． 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中间值，比较这三个数的大小. 【详解】，， ，， ，， . 故选：B. 8. 设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】 ， 因为，所以， 令，则， 当且仅当（）取等号， 转化为， 则， 即最小值为. 9. 已知点为双曲线：的右焦点，点是双曲线右支上的一点，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，再结合双曲线的定义列等式，解得即可. 【详解】设左焦点为， 由题意可得==||=2c， =120°， 即有 ，即有， 由双曲线的定义可得，即为， 即有c=a，可得e==． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共105分） 用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 二.填空题（共6题，每题5分，共30分） 10. 已知为虚数单位，则复数_______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数乘法法则即可计算出结果 【详解】. 【点睛】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求得，然后结合正弦定理即可求解. 【详解】在中，由，可得. 由及，，可得. 故答案为：. 12. 直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 13. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项进行求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得，即的系数为． 故答案为：. 14. 已知向量、满足，，，若向量满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再利用向量模的三角不等式构造关于的绝对值不等式，求解得到取值范围. 【详解】因为，，，所以， 故， 因为，且， 即，即，解得， 则的取值范围是. 15. 过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于，两点，给出以下结论： ①为定值； ②若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则轴； ③存在这样的抛物线和直线，使得(为坐标原点)； ④若以点，为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 写出所有正确的结论的序号__________. 【答案】①②④ 【解析】 【详解】①设过点直线方程为， 联立方程，可得，即 ，故正确 ②过点和原点直线为 当时， ，代入，，则轴，故正确 ③若，则，即， 将代入，不成立，故错误 ④由对称性，不妨假设在第一象限,，在第四象限，， 由，得第一象限图象对应：，求导得：， 故在点切线斜率为，得切线方程为：， 化简的： 第四象限图象对应：，求导得：， 故在点处切线斜率为，切线方程为：， 整理得， 两条切线方程相减可得：，代入， 得，结合， 可得：，即两切线交点的轨迹为抛物线的准线，故正确. 三.解答题（共5题，共75分） 16. 已知函数，． （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）求在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，单调增区间为， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由周期公式求解最小正周期，令求解单调增区间； （2）根据正弦函数的图象即可求解最值． 【小问1详解】 的最小正周期， 令，解得，， 所以单调增区间为，． 【小问2详解】 当时，设， 因为当时，， 所以， 所以最大值为，最小值为． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角C的度数； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据化角为边，再结合，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再根据正弦定理即可得解； （3）利用二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 解：因为，所以， 又，所以， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理可得， 则，解得， 所以， 因为， 所以； 【小问3详解】 解：因为，所以， 所以， 则，， 所以. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 【答案】（1）证明：由题意知、分别是、的中点，则得， 因为平面，平面，所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可； （3）利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则, 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，所以三棱锥体积． 19. 已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得线段长度为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为椭圆的上顶点，过定点）且斜率存在的直线（不经过点）与椭圆交于两点，求证：直线的斜率之和为定值. 【答案】（1） （2）定值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用椭圆中，，三者之间的关系以及离心率的定义和椭圆上点的坐标求解即可得到答案 （2）通过联立椭圆与直线方程，利用韦达定理写出直线的斜率之和即可得到结果 【小问1详解】 由题意可知当时所以 又因为，所以可得，， 所以椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 由题意可知，因为直线过定点且斜率存在 所以可设直线的方程为，即 由可得 由可得或 设， 由韦达定理可得 ， 因为直线不经过点 所以，不与重合 所以 进而可得 所以为定值 【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，计算量较大，求解此类问题基本步骤如下 （1）设直线方程，设交点坐标为， （2）联立直线方程与椭圆方程，得到关于或的一元二次方程，必要时计算 （3）写出韦达定理 （4）将所求问题转化为，（或，）得形式 （5）代入韦达定理求解 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于点，，的周长为，过点的直线交椭圆于不同的两点，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为线段的中点，在轴上存在一点，使成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义由三角形周长求出a，结合焦点得c，再由关系算出b，写出椭圆方程； （2）设直线并联立椭圆，由判别式得到斜率范围，用韦达定理求出中点坐标，根据垂直条件算出E点横坐标，最后换元求值域得到范围． 【小问1详解】 由题意知，，由椭圆定义，的周长为： ，解得，则， 椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 已知直线过点，若直线斜率不存在，则直线：， ，此时直线与椭圆无交点，不符合题意； 故直线斜率一定存在，设为，则直线， 设，， 联立直线与椭圆方程得， 交点为2个，则，解得， 由韦达定理，则， 由，得，，则， 故，故， 令，则，，函数在上单调递增， 当时，； 当时，；故，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期阶段监测 高三数学 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题题）两部分，第Ⅰ卷45分，第Ⅱ卷105分，共150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考场/座位号和准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂，务必在对应位置作答. 第Ⅰ卷（选择题，共45分） 每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 参考公式：圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高. 一.选择题，选出每题最符合题目要求的一项.（共9题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆相切，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 1 5. 若函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图.在正方体中，给出以下四个结论，其中错误的是（ ） A. 平面 B. 在平面内 C. 平面 D. 平面平面 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点为双曲线：的右焦点，点是双曲线右支上的一点，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共105分） 用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 二.填空题（共6题，每题5分，共30分） 10. 已知为虚数单位，则复数_______. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______. 12. 直线：截圆：的弦长为__________． 13. 的展开式中的系数为______． 14. 已知向量、满足，，，若向量满足，则的取值范围是________. 15. 过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于，两点，给出以下结论： ①为定值； ②若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则轴； ③存在这样的抛物线和直线，使得(为坐标原点)； ④若以点，为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 写出所有正确的结论的序号__________. 三.解答题（共5题，共75分） 16. 已知函数，． （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）求在区间的最大值和最小值． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角C的度数； （2）求的值； （3）求的值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 19. 已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得线段长度为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为椭圆的上顶点，过定点）且斜率存在的直线（不经过点）与椭圆交于两点，求证：直线的斜率之和为定值. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于点，，的周长为，过点的直线交椭圆于不同的两点，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为线段的中点，在轴上存在一点，使成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $