精品解析：天津市宁河区芦台第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高三数学 一、（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集、并集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 2. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，但推不出，例如：当时，，但，所以充分性不成立； 若，则，因为是增函数，所以，所以必要性成立. 则是的必要不充分条件. 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从图象提取三个信号：定义域为，时，，左右不关于轴对称.先用极限趋势排除 C，D，再用奇偶性排除 B，验证 A 即可. 【详解】由图象特征：① 定义域为；② 当时，；③ 图象左右不关于轴对称，故不是偶函数. B 项，，，为偶函数，图象应关于轴对称，与题图不符，排除. C 项，，时，，，故，与题图时矛盾，排除. D 项，，时，，，故，与题图矛盾，排除. A 项，，时，，故，符合； 又，为奇函数，时图象与 时图象关于原点对称， 时，在附近时形成正的峰，再下降穿过轴，与题图一致. 4. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特值或不等式的性质可得答案. 【详解】对于A， ，而，A不成立； 对于B，，而，B不成立； 对于C，，因为，所以，，即，C不成立； 对于D，，因为，所以，即，D成立. 故选：D 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 6. 已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定判断A；利用线面垂直的性质判断BD；确定面面位置关系判断C. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得或相交，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：C 7. 在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先用正弦定理求出边长；再利用“已知一角及其对边，三角形有两解”的不等式，求出的取值范围，筛选选项即可. 【详解】如图所示，记的外接圆的半径为，，，由正弦定理得，，则， 在中，为定值，三角形有两解的条件：，即，解得， 因为，，，，， 所以，故答案选C. 8. 下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性，判断函数在区间上是否有最小值. 【详解】对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则是偶函数. 当时，， 在区间上单调递减，所以在区间上无最小值，故选项A错误； 对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是偶函数， 当时，，令， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 根据复合函数的单调性可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故选项B正确； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是奇函数，不符合题意，故选项C错误； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以函数为偶函数. 由，得，因为在区间上， 所以，所以在区间上单调递增， 当时，，但始终大于1，所以该函数在区间上没有最小值，故选项D错误. 故选：B 9. 已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关于对称的函数为，所以的图象与的图象有且仅有四个不同的交点，作出与的图象，利用导数等于斜率，求出临界直线的斜率即可. 【详解】解： 函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上， 关于对称的函数为 所以的图象与的图象有且仅有四个不同的交点， 作与的图象如下： 易知恒过点 设直线与相切于点， 故， 设直线与相切于点， ，故， 故， 故选：B 【点睛】已知两个函数图象交点情况，求参数的取值范围，是难题. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部. 【详解】， 故虚部为. 故答案为：-1 11. 已知，满足，，则值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合，可得，再利用即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 12. 设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 【答案】3 【解析】 【分析】①对利用平方差公式、二倍角公式化简函数解析式对比判断正误；②利用三角函数图像平移规则，先统一函数名称再验证平移结果；③求出解析式，换元结合余弦函数单调区间求解；④写出表达式，换元得到的取值范围，根据区间内最值点、零点个数列出不等式，联立求解范围． 【详解】对于①， ，故①错误； 对于②，向左平移个单位得到： ， 且，②正确； 对于③，， ，解得，函数的单调递增区间为，③正确； 对于④，， 令，则， 恰有3个最值点：正弦函数最值点对应，要求第3个最值点落在区间内、第4个最值点不落在区间内，即； 恰有4个零点：正弦函数零点对应，要求第4个零点落在区间内、第5个零点不落在区间内，即； 联立两个不等式解得，④正确． 13. 已知平面向量，为单位向量且．若平面向量满足，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立坐标系，设，由计算出，利用，设，将转化为，再分类去绝对值，利用辅助角公式转化后即可求最大值. 【详解】设，. 所以，则 不妨取，(当时，最终结果一样). 又，设. 则. 令. 当时，， 当且仅当时，等号成立； 当时，； 当时，； 当时，， 当且仅当时，等号成立. 综上，的最大值为. 14. 若，，且，则的最小值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】先对多变量分离出单变量，进行消元，利用基本不等式化简消除其中变量，再通过构造再利用不等式进行求解。 【详解】因为，所以， 又，令，则原式转换为， 且， 当且仅当时等号成立，此时， 则， 其中， 当且仅当时，即时等号成立， 于是. 故当，，时取得最小值. 15. 已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为___________，的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】由题意得，，则， 不妨设，则线段的长度为； 因为， 所以， 所以， 当时取最大值，最大值为. 三、解答题（本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】（1）最小正周期为； （2）单调递减区间为，； （3）最大值为，取得最大值时； 【解析】 【分析】（1）化简得，根据周期公式求解即可； （2）令，，求解即可； （3）结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以最小正周期为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 由题意得， 因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，取到最大值，且. 所以函数的最大值为，取得最大值时的值为. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的值； （2）若的面积为，，求a的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式，结合三角形内角和性质可求解A； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解； （3）利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得 所以. 因为，所以.所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以. 因为，所以. 因为，所以，则. 由余弦定理得. 所以. 【小问3详解】 由，，所以. 又，， 所以. 19. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出； （3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则：  整理得：，又，解得. 20. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 【答案】（1）当时，，. 令，得. 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数. 则，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数得到具体函数,求导判断单调性，根据单调性得到函数最小值，证明最小值非负即可. （2）代入的取值得到含参函数，先求一阶导数，再分析一阶导数的单调性，根据的取值范围分类讨论的单调性，保证时最小值非负，求解对应的范围. （3）函数单调递增等价于导数在上恒成立，先计算导数的导数，然后讨论的正负，再将转化到用表示，构造函数，利用单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1： 当时，，易得， ，， 当时，结合（1）易得， 所以在上是单调递增函数， 所以，符合题意． 当时，令，． 因为，所以递增． 又，由(1)得，将换作可得，即， 所以， 所以存在唯一的，使得． 当时，，单调递减，则，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 方法2：当时，，易得， 设，当，，所以， 所以在单调递增； 又因为， 当时，，所以在上递增， 所以，符合题意. 当时，，又时，， 存在唯一的，使得. 当时，，递减，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 方法1：若在上单调递增，则恒成立． 令，则． 当时，，故在上单调递增． ，则，不合题意． 当时，恒成立，所以，此时的最大值为0． 当时，由，得． 当时，，递减； 当时，，递增． 所以， 得，此处不等号可以取等． 所以. 求最值法①：令，，则． 令，得． 当时，，递增； 当时，，递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 求最值法②： 令，则． 令，，则． 令，得． 当时，，单调递增；时，单调递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 方法2：若递增，则恒成立． 当时，令，因为，所以递增. 取，则，不合题意. 当时，恒成立，所以，此时的最大值为. 当时，由恒成立，得对恒成立. 令，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则. 则，当时等号可以取到， 再令，，然后求解最大值的过程同方法1中的法①、法②. 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为. 方法3：若单调递增，则恒成立. 当时，可得，解得. 下面证明：当时，存在和，可使恒成立. 当时，，令，则. 当时，，故单调递增. 因为，所以不合题意. 当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则， 令，则. 令，，则.令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 则. 则不等式的解为， 则的解为. 则时，存在，可使恒成立， 则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高三数学 一、（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ） A. B. 6 C. D. 8 8. 下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 11. 已知，满足，，则值为________ 12. 设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 13. 已知平面向量，为单位向量且．若平面向量满足，则的最大值是________． 14. 若，，且，则的最小值为________． 15. 已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为___________，的最大值为___________． 三、解答题（本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的值； （2）若的面积为，，求a的值； （3）若，求的值． 19. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 20. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $