4.2.2等差数列的前n项和公式（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.2.2等差数列的前n项和公式 知识点01 求等差数列前n项和 1． 【答案】C 2． 【答案】 3． 【答案】D 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 4． 【答案】B 5． 【答案】B 6． 【答案】D 知识点03 由Sn求通项公式 7． 【答案】C 8． 【答案】D 9． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论. （2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求. 【详解】（1）当时，； 当时， . 时，上式亦成立. 所以，. （2）由题意， 所以 . 所以 . 知识点04 由前n项和判断数列是否是等差数列 10． 【答案】A 11． 【答案】证明：因为，① 有，② ②－①得． 即 整理得，③ 当时，④ ③－④得， 则（），故数列为等差数列． 【分析】利用得，又，两式相减推得（），即可得证. 【详解】略 12． 【答案】(1)是 (2)不是 【解析】略 知识点05 等差数列片段和性质的应用 13． 【答案】B 14． 【答案】3 15． 【答案】C 知识点06 前n项和与n的比所组成的等差数列 16． 【答案】A 17． 【答案】A 18． 【答案】AB 知识点07 两个等差数列的前n项和之比问题 19． 【答案】D 20． 【答案】 21． 【答案】C 知识点08 等差数列奇数项与偶数项的和 22． 【答案】B 23． 【答案】 24． 【答案】D 知识点09 含绝对值的等差数列前n项和 25． 【答案】52 26． 【答案】B 27． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 知识点10 等差数列前n项和的二次函数特征 28． 【答案】ABD 29． 【答案】12 30． 【答案】ABD 知识点11 求等差数列前n项和的最值 31． 【答案】C 32． 【答案】AC 33． 【答案】(1) (2) ． 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求解即可. （2）求出等差数列前项和，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】（1）设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． （2）由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 知识点12 根据等差数列前n项和的最值求参数 34． 【答案】 35． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 36． 【答案】（答案不唯一，均可） 知识点13 等差数列的应用 37． 【答案】C 38． 【答案】21 39． 【答案】B 1． 【答案】C 2． 【答案】B 3． 【答案】C 4． 【答案】D 5． 【答案】A 6． 【答案】D 7． 【答案】AC 8． 【答案】BC 9． 【答案】ACD 10． 【答案】18 11． 【答案】3725 12． 【答案】 13． 【答案】(1)，故，即， 所以数列为等差数列，公差为1，首项， 故； (2) 【分析】（1）变形得到，证明出为等差数列，求出首项，得到通项公式； （2）在（1）的基础上，利用累加法得到的通项公式，并裂项得到，进而求和即可 【详解】（1）略 （2）， 则 ， 而也符号上式，故, ， 所以 14． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）根据条件，利用累乘法即可求出通项公式； （2）结合（1）求出，利用裂项相消法求和，再求解不等式即可得解． 【详解】（1）当时，由，得，则， 因此， 又当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得， 故， 因此可得，即，解得， 所以满足条件的最大整数． 15． 【答案】(1) (2) 证明：， . 【分析】（1）由结合题设可得数列是以为首项，6为公差的等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由，得， ，即，， 数列是以为首项，6为公差的等差数列， . ， ，. 当时，，满足上式， 数列的通项公式为； （2）略 1． 【答案】C 2． 【答案】 3． 【答案】ACD 4． 【答案】(1)， (2)（i） （ii），满足条件的数列有，两种可能 【分析】（1）根据定义变换的意义，设数列：，，，，结合数列：4，3，3，2，即可求解和数列. （2）（i）根据，可得，，代入即可求出的最小值. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于2，可得，由题意，，，…，，可知，结合，求得，然后检验即可求出结果. 【详解】（1）数列：4，3，3，2，中，因为，设数列：，，，， 数列中不小于1的项有4个，所以， 数列中不小于2的项有4个，所以， 数列中不小于3的项有3个，所以， 数列中不小于4的项有1个，所以， 所以数列：4，4，3，1， 因为：4，3，3，2共4个元素，所以数列的首项为4， 根据题意数列中不小于4的项有2个，不小于3的项有3个，不小于2的项有3个，不小于1的项有4个， 由数列各项均为正整数，且非递增数列，所以数列：4，4，3，1. （2）（i）由题意知，中的最大项即为数列的项数，结合，得， 故，因为，则， 又，故， 注意到数列，满足，且， 所以存在数列满足要求，所以的最小值为. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于， 故， 由题意，，，…，，故，从而， 因为，，故， 若，，则数列有且仅有两个1， 则，不符合题意； 若，，则数列有且仅有一个1， 则， 故，由，故只能，， 此时数列满足要求； 若，，则数列每一项均不小于2， 则， 故，从而， 此时数列可能为，，， 验证只有符合题意， 故取最大值507时，可能的数列有，两种可能. 【点睛】1、自共轭条件：数列项数等于首项，对每一个下标，数列中不小于的项的个数； 2、等差数列求和公式. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.2等差数列的前n项和公式 目录 知识点01 求等差数列前n项和 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 知识点03 由Sn求通项公式 知识点04 由前n项和判断数列是否是等差数列 知识点05 等差数列片段和性质的应用 知识点06 前n项和与n的比所组成的等差数列 知识点07 两个等差数列的前n项和之比问题 知识点08 等差数列奇数项与偶数项的和 知识点09 含绝对值的等差数列前n项和 知识点10 等差数列前n项和的二次函数特征 知识点11 求等差数列前n项和的最值 知识点12 根据等差数列前n项和的最值求参数 知识点13 等差数列的应用 知识点01 求等差数列前n项和 1．（河北省保定市2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·一模）在等差数列中，为其前项的和，若，，则__________． 3．（2026·广西百色·一模）等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 4．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2025·河南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·广东·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，若，则（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 知识点03 由Sn求通项公式 7．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 知识点04 由前n项和判断数列是否是等差数列 10．（24-25高二下·北京·阶段检测）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 11．（4.1等比、等差数列）已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 知识点05 等差数列片段和性质的应用 13．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 14．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 15．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点06 前n项和与n的比所组成的等差数列 16．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 17．（假期必刷18 等差数列）设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 知识点07 两个等差数列的前n项和之比问题 19．（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 21．（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点08 等差数列奇数项与偶数项的和 22．（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 23．（26-27高二上·全国·课后作业）一个等差数列共有2021项，该数列各项不全为0，且奇，偶数项的和均不为0，则它的奇数项的和与偶数项的和之比为______． 24．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 知识点09 含绝对值的等差数列前n项和 25．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，则数列的前10项和为_____. 26．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 27．（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 知识点10 等差数列前n项和的二次函数特征 28．（25-26高三上·浙江·期末）（多选）已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，．若，则的值为______． 30．（25-26高二上·浙江舟山·期末）（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A．若，则数列一定是递增数列 B．若，则 C．一定是关于的二次函数 D．若，则 知识点11 求等差数列前n项和的最值 31．（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）（多选）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 33．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 知识点12 根据等差数列前n项和的最值求参数 34．（2026·广西南宁·一模）设为等差数列的前项和，已知，当或时，取得最值，则的公差________． 35．（26-27高三上·北京平谷·阶段检测）公差为的等差数列的前项和为．若，则______，使得对所有都成立的一个的取值为_________． 36．（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，且，若对于任意，恒成立，则符合条件的公差的一个取值为_________． 知识点13 等差数列的应用 37．（26-27高三上·云南曲靖·期中）挂灯笼是中国年俗文化的重要组成部分．某七层古塔共挂了盏灯笼，最下面一层挂了盏灯笼，每上一层灯笼减少盏，则最上面一层挂的灯笼数量为（   ） A． B． C． D． 38．（2027高三·全国·专题练习）《张丘建算经》卷上有如下问题：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月（按30天计）共织390尺布，则该女最后一天织________尺布． 39．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 一、单选题 1．若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“—等差数列”．已知为“—等差数列”，且，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知等差数列 的公差不为 0，且 ，记其前 项和为 ，若存在正整数 使 成立，则 的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 4．设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 5．数列满足，设数列的前项和为，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．定义新数列：在数列的所有项中，去掉数列中的项得到的数列.若，，则数列的前130项的和为（    ） A．16882 B．16998 C．17446 D．17654 二、多选题 7．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递减数列 B．当时，取得最大值 C．若，则的最大值为11 D．数列的前10项和为50 8．已知数列的前项和，则（     ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 9．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列单调递减 C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为8 三、填空题 10．已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，当最小时，新数列的第3项为______． 11．已知数列，的通项公式分别是，，则两数列前100项中所有相同项的和为________． 12．公差不为的等差数列的前项和为，若也是等差数列．则________． 四、解答题 13．已知数列满足：，，，设． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)设，求数列前项和． 14．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数的值． 15．已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，证明：. 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2．设函数，数列满足（，且）．则数列的通项公式_______，令，设，若对恒成立，则实数t的取值范围为_________． 3．（多选）若数列满足，且对任意正整数，，.记.则下列结论正确的是（    ） A．对任意正整数， B．对任意正整数， C．对任意正整数， D． 4．已知数列：，，…，的各项均为正整数，且，，，…，.定义变换，将数列变换为数列：，，…，，其中，为数列中不小于的项的个数. (1)若数列：4，3，3，2，求，并求一个数列，满足（直接写出结果即可）； (2)记为数列的各项之和，若，. （i）求的最小值； （ii）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.2等差数列的前n项和公式 目录 知识点01 求等差数列前n项和 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 知识点03 由Sn求通项公式 知识点04 由前n项和判断数列是否是等差数列 知识点05 等差数列片段和性质的应用 知识点06 前n项和与n的比所组成的等差数列 知识点07 两个等差数列的前n项和之比问题 知识点08 等差数列奇数项与偶数项的和 知识点09 含绝对值的等差数列前n项和 知识点10 等差数列前n项和的二次函数特征 知识点11 求等差数列前n项和的最值 知识点12 根据等差数列前n项和的最值求参数 知识点13 等差数列的应用 知识点01 求等差数列前n项和 1．（河北省保定市2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列的性质得，所以，得. 因此. 2．（2026·湖南·一模）在等差数列中，为其前项的和，若，，则__________． 【答案】 【分析】列方程组求解等差数列基本量，再利用前项和公式可得. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由于，，则，解得， 所以. 3．（2026·广西百色·一模）等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】由结合等差数列下标和性质求出，再由等差数列前项和公式结合下标和性质求解. 【详解】因为，所以，解得，又， 所以. 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 4．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】对于等差数列（），其前项和满足公式，因此. 根据等差数列下标和性质：若且，则，因此. 将、代入前项和表达式：， 代入化简： ，解得. 5．（2025·河南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，将条件转化为与和有关的等式，联立运算即可求解. 【详解】， ， 两式联立可得：. 6．（2026·广东·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，若，则（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由得，化简得， 所以， 前项和：， 由得，化简得，且， 故. 知识点03 由Sn求通项公式 7．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】 当， 时，，也满足，所以。 令， 时，，故， 时，，故， 因此. 8．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 9．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论. （2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求. 【详解】（1）当时，； 当时， . 时，上式亦成立. 所以，. （2）由题意， 所以 . 所以 . 知识点04 由前n项和判断数列是否是等差数列 10．（24-25高二下·北京·阶段检测）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 11．（4.1等比、等差数列）已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 【答案】证明：因为，① 有，② ②－①得． 即 整理得，③ 当时，④ ③－④得， 则（），故数列为等差数列． 【分析】利用得，又，两式相减推得（），即可得证. 【详解】略 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 【答案】(1)是 (2)不是 【解析】略 知识点05 等差数列片段和性质的应用 13．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 14．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【答案】3 【分析】利用等差数列片断和性质求解. 【详解】是等差数列，则成等差数列， 所以，所以. 15．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 知识点06 前n项和与n的比所组成的等差数列 16．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 17．（假期必刷18 等差数列）设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列通项公式和求和公式逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 知识点07 两个等差数列的前n项和之比问题 19．（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等差数列中 ，把“项之比”化成“和之比”． 【详解】，， 所以 ． 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 【答案】 【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算即可得解. 【详解】因为、均为等差数列，且其前项和分别是和，， 所以. 故答案为：. 21．（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 知识点08 等差数列奇数项与偶数项的和 22．（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将个偶数项分别与其前一项奇数项对应，利用等差数列相邻项之差均为公差，把偶数项之和转化为已知的奇数项之和求解． 【详解】. 23．（26-27高二上·全国·课后作业）一个等差数列共有2021项，该数列各项不全为0，且奇，偶数项的和均不为0，则它的奇数项的和与偶数项的和之比为______． 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列的求和公式以及下标和性质代入计算，即可得到结果. 【详解】因为等差数列共有1011个奇数项，1010个偶数项， 所以，． 又因为，所以． 24．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 知识点09 含绝对值的等差数列前n项和 25．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，则数列的前10项和为_____. 【答案】52 【分析】先利用求出数列的通项公式，再根据通项公式求出的前10项和. 【详解】，当时，； 当时，满足上式；所以. 数列的前10项和为. 故答案为：52 26．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 27．（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 知识点10 等差数列前n项和的二次函数特征 28．（25-26高三上·浙江·期末）（多选）已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设等差数列的公差为，即可表示出，再分和两种情况讨论，即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为， 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确， 当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点， 则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确． 故选：ABD． 29．（24-25高二上·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，．若，则的值为______． 【答案】12 【分析】写出，由二次函数的对称性得到，求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以可看成二次函数， 由二次函数图象的对称性及， 可得，解得． 故答案为：12 30．（25-26高二上·浙江舟山·期末）（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A．若，则数列一定是递增数列 B．若，则 C．一定是关于的二次函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义可判断A的真假，根据等差数列的通项公式求的值，可判断B的真假；根据时，数列的前项和的形式可判断C的真假；根据等差中项的求法求的值，可判断D的真假. 【详解】对A：根据等差数列的概念，当时，等差数列一定是递增数列，故A正确； 对B：若，则，故B正确； 对C：当时，不是关于的二次函数，故C错误； 对D：当时，，故D正确. 故选：ABD 知识点11 求等差数列前n项和的最值 31．（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求和，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】设数列的公差为， 因为， 所以， 所以，又， 所以，故 所以， 所以当时，取得最大值. 32．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）（多选）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 33．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2) ． 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求解即可. （2）求出等差数列前项和，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】（1）设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． （2）由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 知识点12 根据等差数列前n项和的最值求参数 34．（2026·广西南宁·一模）设为等差数列的前项和，已知，当或时，取得最值，则的公差________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和的二次函数特征确定对称轴，结合已知的的值列方程求解公差. 【详解】等差数列的首项为，公差为，则， 前项和，， 因为当或时，取得最值，所以对于二次函数，其图象的对称轴为， 则，解得. 35．（26-27高三上·北京平谷·阶段检测）公差为的等差数列的前项和为．若，则______，使得对所有都成立的一个的取值为_________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【详解】由数列是公差为的等差数列， 则，解得； 由，则等差数列为递减数列， 又对所有都成立，即为前项和的最大值， 即该数列的前项非负，第项及后面的项非正， 即，解得， 所以的一个取值为（答案不唯一，满足即可）． 36．（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，且，若对于任意，恒成立，则符合条件的公差的一个取值为_________． 【答案】（答案不唯一，均可） 【分析】根据求出，由题意可知，解不等式组即可求解. 【详解】由得，解得， 由得，即，解得. 知识点13 等差数列的应用 37．（26-27高三上·云南曲靖·期中）挂灯笼是中国年俗文化的重要组成部分．某七层古塔共挂了盏灯笼，最下面一层挂了盏灯笼，每上一层灯笼减少盏，则最上面一层挂的灯笼数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记第层挂的灯笼数量为，则为等差数列，且． 记的公差为，则的前7项和为，解得. 所以，故最上面一层挂的灯笼数量为． 38．（2027高三·全国·专题练习）《张丘建算经》卷上有如下问题：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月（按30天计）共织390尺布，则该女最后一天织________尺布． 【答案】21 【详解】由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列， 设为，其中，前30项和为390， 于是有，解得， 即该织女最后一天织21尺布． 39．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 一、单选题 1．若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“—等差数列”．已知为“—等差数列”，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则数列是公差为3的等差数列， 由已知得，故的通项公式为： ， 根据累加法，当时，，代入得： ， 其中是首项为3，末项为，项数为7的等差数列， 其和为， 因此： . 2．已知等差数列 的公差不为 0，且 ，记其前 项和为 ，若存在正整数 使 成立，则 的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为（，）， 由可得 ，整理得. 再由可得 ， 将代入整理得 ，解得或， 又因为正整数，故得. 3．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，设， 则，， 故． 4．设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 5．数列满足，设数列的前项和为，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据前项和与通项公式之间的关系可得，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足， 当时，则； 当时，则，可得，即； 且符合上式，所以. 则， 可得，即， 若对任意恒成立，则， 且，可得，解得或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 6．定义新数列：在数列的所有项中，去掉数列中的项得到的数列.若，，则数列的前130项的和为（    ） A．16882 B．16998 C．17446 D．17654 【答案】D 【分析】根据新数列的定义，结合等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由题意，，所以数列中的各项均为偶数，所以数列也必须取偶数， 又，所以必须是奇数，即为奇数。 所以，，，， 因为，，，， 所以数列的前130项，即数列的前133项中，去掉第3项，第16项，第65项， 所以数列的前130项和为， 即数列的前130项和为17654. 二、多选题 7．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递减数列 B．当时，取得最大值 C．若，则的最大值为11 D．数列的前10项和为50 【答案】AC 【分析】先利用与求出公差，得到通项与前项和公式，再逐一分析单调性、最值、的范围以及的前项和来判断选项正误 【详解】设等差数列公差为，由，，解得， 因此通项公式为，前项和． 对于A：公差，所以是递减数列，A正确； 对于B：令，解得，即，，前6项均为正，第7项起为负， 故在时取得最大值，B错误； 对于C：令，解得（为正整数），因此时的最大值为11，C正确； 对于D：前10项和为，D错误． 8．已知数列的前项和，则（     ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】BC 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，即可判断B的正误，对A，由等差数列的定义，即可求解；对C，利用等差数列的前项和公式及等差数列的定义，即可求解；对D，先判断的正负，从而将问题转化成求，即可求解. 【详解】对于B，因为，当时，， 所以时，， 又，满足，所以，故B正确， 对于A，因为为常数，所以是等差数列，故A错误， 对于C，因为，则为常数， 所以数列是等差数列，故C正确， 对于D，因为，则时，，时，， 所以， 又，所以，故D错误. 9．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列单调递减 C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为8 【答案】ACD 【分析】根据已知条件及累加法求出数列的通项公式，利用与的关系求出数列的通项公式，再结合已知条件逐项判断即可求解. 【详解】由，得， 利用累加法得， 解得， 当时，满足上式，所以 当时， 所以，故A正确； 当时，单调递增， 又 所以数列单调递增，且， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 所以当时，取得最小值，故B错误，C正确； 又， 且，时，单调递减，当时，单调递增， 时，取得最小值， 因此是第一个使得的正整数，故D正确. 三、填空题 10．已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，当最小时，新数列的第3项为______． 【答案】18 【详解】原数列各项和为， 设新数列首项为，公差为d，项数为4， 所以新数列的各项和为，化简得． 因为原数列各项均为奇数，所以每组的2个数之和一定是偶数，所以与d都是偶数， 若，则，不符合题意； 若，则， 此时新数列为，满足题意， 故当最小时，新数列的第3项为18． 11．已知数列，的通项公式分别是，，则两数列前100项中所有相同项的和为________． 【答案】3725 【分析】求出两个数列的公共项所组成的新数列，结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】设，则，所以. 因为，所以能被3整除，即能被3整除. 令，，则， 则， 所以公共项构成新数列，. 又，， 所以公共项不能超过299，即，解得. 所以公共项一共25个项，，. 故两数列前100项中所有相同项的和为. 12．公差不为的等差数列的前项和为，若也是等差数列．则________． 【答案】 【分析】利用基本量法结合代数式恒成立可求比值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为也是等差数列，故存在，使得， 故，其中， 故，故，故， 故，故. 四、解答题 13．已知数列满足：，，，设． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)设，求数列前项和． 【答案】(1)，故，即， 所以数列为等差数列，公差为1，首项， 故； (2) 【分析】（1）变形得到，证明出为等差数列，求出首项，得到通项公式； （2）在（1）的基础上，利用累加法得到的通项公式，并裂项得到，进而求和即可 【详解】（1）略 （2）， 则 ， 而也符号上式，故, ， 所以 14．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）根据条件，利用累乘法即可求出通项公式； （2）结合（1）求出，利用裂项相消法求和，再求解不等式即可得解． 【详解】（1）当时，由，得，则， 因此， 又当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得， 故， 因此可得，即，解得， 所以满足条件的最大整数． 15．已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) 证明：， . 【分析】（1）由结合题设可得数列是以为首项，6为公差的等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由，得， ，即，， 数列是以为首项，6为公差的等差数列， . ， ，. 当时，，满足上式， 数列的通项公式为； （2）略 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先推导得，再利用倒序相加法计算求和结果. 【详解】由可得， 即， 所以， 设，将求和式倒序得， 两式相加得，解得. 2．设函数，数列满足（，且）．则数列的通项公式_______，令，设，若对恒成立，则实数t的取值范围为_________． 【答案】 【分析】由条件推得，将其变形后，即得数列为首项是1，公差为的等差数列，继而求出的通项以及的通项公式，根据的奇偶分类，利用分组求和法推得的表达式，再根据参变分离法与函数的单调性即可求出t的取值范围. 【详解】因，，易得， 两边取倒数，可得，即， 则数列为首项是，公差为的等差数列， 故，则，， 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 因对恒成立，而对恒成立， 则只需使，即在为偶数时恒成立， 又因在为偶数时单调递增， 故，可得， 即实数的取值范围为. 3．（多选）若数列满足，且对任意正整数，，.记.则下列结论正确的是（    ） A．对任意正整数， B．对任意正整数， C．对任意正整数， D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题设化简即可判断；对于B，结合A及题设可得，进而得到，再举特例即可判断；对于C，结合B可知，进而求解判断即可；对于D，令，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 而，则，则，故A正确； 对于B，由A知，， 而，， 则， 即， 又，则，， 所以 ， 当时，， 而，显然不满足，故B错误； 对于C，由，，则时，， 由B知，，所以， 又，则，故C正确； 对于D，令，则， ， 所以，又， ， 则， 故D正确. 4．已知数列：，，…，的各项均为正整数，且，，，…，.定义变换，将数列变换为数列：，，…，，其中，为数列中不小于的项的个数. (1)若数列：4，3，3，2，求，并求一个数列，满足（直接写出结果即可）； (2)记为数列的各项之和，若，. （i）求的最小值； （ii）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列. 【答案】(1)， (2)（i） （ii），满足条件的数列有，两种可能 【分析】（1）根据定义变换的意义，设数列：，，，，结合数列：4，3，3，2，即可求解和数列. （2）（i）根据，可得，，代入即可求出的最小值. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于2，可得，由题意，，，…，，可知，结合，求得，然后检验即可求出结果. 【详解】（1）数列：4，3，3，2，中，因为，设数列：，，，， 数列中不小于1的项有4个，所以， 数列中不小于2的项有4个，所以， 数列中不小于3的项有3个，所以， 数列中不小于4的项有1个，所以， 所以数列：4，4，3，1， 因为：4，3，3，2共4个元素，所以数列的首项为4， 根据题意数列中不小于4的项有2个，不小于3的项有3个，不小于2的项有3个，不小于1的项有4个， 由数列各项均为正整数，且非递增数列，所以数列：4，4，3，1. （2）（i）由题意知，中的最大项即为数列的项数，结合，得， 故，因为，则， 又，故， 注意到数列，满足，且， 所以存在数列满足要求，所以的最小值为. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于， 故， 由题意，，，…，，故，从而， 因为，，故， 若，，则数列有且仅有两个1， 则，不符合题意； 若，，则数列有且仅有一个1， 则， 故，由，故只能，， 此时数列满足要求； 若，，则数列每一项均不小于2， 则， 故，从而， 此时数列可能为，，， 验证只有符合题意， 故取最大值507时，可能的数列有，两种可能. 【点睛】1、自共轭条件：数列项数等于首项，对每一个下标，数列中不小于的项的个数； 2、等差数列求和公式. / 学科网（北京）股份有限公司 $