“轻套路”命题视域下解三角形试题的难点突破策略-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

命题研究 “轻套路”命题视域下解三角形试题的难点突破策略 2026年新高考Ⅱ卷数学第17题的探究与复习备考建议 ■四川省成都市龙泉中学校张昌金（正高级教师） 2026年新高考Ⅱ卷数学第17题 拉到正确解题轨道上，轻轻松松可得高 是解三角形的大题，试题设计新颖，打 分。可是今年许多同学在做第(1)小题 破了平时命题的套路。往年常将这类 时，未能以角为突破口而被“卡壳”，无 题放在解答题第一题的位置，属于送分 法完成证明；而第(2)小题也无明显 题，而今年调整到第17题，意味着难度 “边”的关系，导致无法完整解决问题， 有所上升。仔细审读该题，就会发现命 进而痛失高分。 题人真是为考生设置了小“难关”，那就 事实上，不管试题如何创新，如何 是该题的解题思维与平常“刷”的题大 反套路，解三角形的题只要横联“三角 不一样，同学们平时做题往往是利用正 恒等公式”，纵用“正余弦定理”，就可从 弦定理、余弦定理等就可快速求出角或 容度过“难关”，就本题而言，最好是采 边，顺利完成边角变换后，思维被迅速 用先角后边的解题策略。下面对该题 块，有时会进行情境创新，将三角形放 旧模型的新包装，本质不变。 置于圆内、球内或者实际背景中等，出 4.理解命题导向，体现育人价值 题目的在于打破同学们原有的固化思 新高考反套路反刷题，备考中同学 维，引导同学们更加科学地认识解三角 们要走出解三角形就是“识别模型十应用 形的作用，将其理解成处理平面几何问 公式”的思维误区，回归到数学学科的育 题的常规工具，尤其是在将来的工作 人本位上。同学们应掌握的是如何使用 中，能够使用该工具量化解决平面中的 基本工具解决问题，在解决问题的过程中 多边形问题，学以致用。备考时应关注 形成核心素养。因此，在备考时从记住公 变式训练，一图多变，调整附加条件，思 式转向理解公式，从识别题型变成分析图 考解题路径如何随之改变。练习时， 形，从大量刷题走向“思考题目→领悟题 尝试多路径解题，如本题中的两种范 目→解决题目→反思题目”的思维成长 式均应考虑到，掌握通性通法，识别出 路径。 题目中的几何关系，理解新题其实是 (责任编辑 王福华) 39 命题研究 进行分析与解答。 答题逻辑：题目中的条件只与角有 一、试题呈现 关，要证△ABC是钝角三角形，首选利 题目在△ABC中，已知cosB= 用角的关系来解决。注意到B已确定 且e0s'(A+C)+sin Asin C 为锐角，而A,C“地位相同”，所以应研 究cosA,c0sC。 (1)证明△ABC是钝角三角形； (2)解法1：设△ABC的外接圆半 (2)若入ABC的面积为，求 径为R,则Sc-祭=2RnA· abc △ABC的周长。 7 二、考点分析 sin Csin B= 4。 1.知识考点 诱导公式、两角和与差的三角函数 因为sinB=√1一cosB=,月 公式、正余弦定理，以及三角形的面积 与周长。 sin Asin C=.16,所以R2-8 7。 2.能力考点 于是b2=4R2sin2B=2,ac= 观察分析能力、转化与化归能力、 4R2sin Asin C=2 运算能力等。 因为b2=a2+c2-2 accos B=(a 三、解法探究 +c)2-2ac-2ac· (一)探究1一先角后边，利用三 ,所以a+c=3. 角恒等公式突破，再用正余弦定理求解 故△ABC的周长为3+√2。 1)因为c0sB=又A十B十 答题逻辑：借助△ABC的外接圆 半径R可将sin Asin C转化为“边”的 C=π，所以cos(A+C)=- 3 关系，再求周长。 1 cos Acos C-sin A sin C=-3 解法2：因为S△ABC= 2acsin B= ①。 cos2(A+C)+sin Asin C=1 4,又sinB=1-cosB=7 所以 得sin Asin C=i6 ②. ac=2。 由(1)的证明过程知sin Asin C= 由①+②得cos Acos C=一 16 i6,而sinB=6,于是sin Asin C 7 7 0,而A,C∈(0，π)，所以A,C中必有 一个是钝角。 sin2B,所以b2=ac=2,即b=√2。 故△ABC是钝角三角形。 由余弦定理得b2=a2+c2一 40 命题研究 2accos B=(a+c)2-2ac-2ac. 3 故△ABC的周长为3+√2。 点评：上面两种解法都很不错，从 于是a十c=3。 角、边去突破“难关”，但探究1更简捷， 故△ABC的周长为3+√2。 只要往c0 s Acos C的方向去考虑钝角 答题逻辑：第(1)小题证明过程中 三角形，思路就变得很自然了，所以本 得到了sin Asin C= 16,进一步可得 题还是先角后边的思路最好。 四、备考建议 7 sin Asin C=16-sinB,此处也可转化 高考“轻套路”命题已经成为一种方 向，旨在打破机械性刷题的固有思维模 为“边”的关系。 式，考查考生是否真正领悟了数学的原 (二)探究2一借“边”助力，以 理、本质，是否真正具备了解决数学问题 “边”统揽全题 的思维和方法，为数学的教与学提供科学 (1)cos2(A+C)+sin Asin C= 的导向。那是不是意味着“轻套路”试题 1 sin Asin C=1-cos2(A+C)= 就无法捉摸呢？不是的，高考试题主要还 sin2(A+C)。 是为广大考生而命制的，绝大多数试题都 又A+B+C=π，所以sin Asin C 可以按照常规的数学思维来解决。 =sin2B,由正弦定理得b2=ac。 高考解三角形解答题的难度一般 由余弦定理得b2=ac=a2+c2 不大，不要过度提升难度。平时复习备 2 ac cos B,整理得2a2-5ac+2c2=0。 考应加强基础知识的强化与巩固，落实 不妨设a≥c,由2a2-5ac+2c2= 三角恒等变换、三角函数的图像与性 0得a=2c,于是a2=4c2>b2+c2= 质、正余弦定理、三角形（可与四边形结 3c2,所以A为钝角。 合)的面积与周长等，这些是重中之重 故△ABC是钝角三角形。 的知识。预测未来的高考命题仍然会 答题逻辑：因为c0s2(A+C)十 坚持“重思维，轻套路”的方向，所以同 sin Asin C=1可全转化为正弦的关 学们不要机械性刷题，要提高观察分 系，即sin Asin C=sinB,所以可利用 析、转化与化归，以及运算等能力，同时 正弦定理转为“边”的关系来解决。 还要加强对解题规律的总结提升。当 (2)因为SAm2csB- 解题遇到“难关”时，要注意从边的关 4 系、角的关系，以及边与角的整体联动 又sinB=1-cosB=,所以ac=2 关系去突破，利用正余弦定理去进行边 与角的转化（这是解三角形大题的必考 由(1)的证明过程知b2=ac,a= 技能)，从而实现破题、解题。 2c,所以b=√2，a+c=3。 (责任编辑王福华) 41