拓展专题07 圆锥曲线的定值定点定直线问题（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题07 圆锥曲线的定值定点定直线问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 利用空间向量解决探索性问题 考点二 动点的设法 04 重难题型突破 题型一 斜率型定值问题 题型二 距离、面积型定值问题 题型三 向量型定值问题 题型四 参数型定值问题 题型五 角度型定值问题 题型六 直线过定点问题 题型七曲线过定点问题 题型八 定直线问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题为期中圆锥曲线模块核心综合考点，大多设置在解答题第二小问，少数以多选压轴形式出现；以椭圆为主要载体，抛物线少量涉及，双曲线考查偏少。常见考法有证明动直线过定点、证明斜率/数量积/线段长为定值、探寻定直线等；命题常依托垂直、向量数量积、定点连线、对称等条件，核心流程是联立直线与曲线方程，借助韦达定理化简消参，“特殊探路、一般验证” 是常用解题思路，侧重代数运算与逻辑推证。 二、试题难易度分布 本专题难度较大，无纯粹送分基础题。 中档：参数结构简单，消参难度适中，是期中主流考查形式； 偏难题：参数多、化简量大，隐藏限制条件，作为解答压轴小问，区分度强，对计算功底、式子变形能力要求高 三、整体命题核心规律 解题关键是合理设参、联立韦达、消去参数得到不含参数的关系式；优先用特殊位置先猜出定点、定值、定直线，再做一般性证明；避坑重点：不要忽略直线斜率不存在的情况、判别式大于0的隐含范围，计算时注意因式分解、整体代换简化运算，减少计算失误。 考点一 定值问题处理方法 1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值． 2、直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数． 考点二 定点问题的处理方法 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解． 考点三 定直线问题的处理方法 1、先定性再求解：所谓定性就是根据题设条件确定定点，若存在则定点应在某直线上，定直线若存在则定直线应垂直或平行于某直线． 2、先定量再求证，即先猜后证：从特殊情况入手，求出该直线，再证明该直线对于一般情况也成立． 题型一 斜率型定值问题 【典例1】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的方程； (2)，分别是椭圆的左、右顶点， 经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比. 【变式1-1】（25-26高二下·广东汕头·期中）已知椭圆，它的一个焦点为，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆的方程是，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线与，求证. ，. 【变式1-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 【变式1-3】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 题型二 距离与面积型定值问题 【典例2】（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【变式2-1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设. (1)求椭圆的标准方程： (2)当取何值时，等于椭圆短轴的长； (3)过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）已知双曲线的标准方程为，的左右顶点分别为，，右焦点，离心率． (1)求双曲线的方程及其渐近线方程； (2)过圆上的点作圆的切线，交双曲线于，两点，点为弦的中点，证明：． 【变式2-3】（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 题型三 向量型定值问题 【典例3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆：（），直线：被椭圆截得的弦长为，且满足，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，若的斜率存在，求证：为定值. 【变式3-2】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【变式3-3】（24-25高二下·湖北·开学考试）已知抛物线E：的焦点为F，过F作倾斜角为的动直线l交E于A，B两点．当时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（O为坐标原点），并求出该定值． 题型四 参数型定值问题 【典例4】（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【变式4-1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 【变式4-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值. 【变式4-3】（24-25高二下·贵州遵义·阶段检测）以直线：和直线：为渐近线的双曲线C过点． (1)求双曲线C的标准方程． (2)，是C的两个顶点，P是C上的动点，过点P且垂直于的直线与C交于另一点Q，设直线和相交于点H． ①求点H的轨迹的方程； ②在①的条件下，设，，直线与相交于点R，直线与相交于点T，且，．求证：为定值． 题型五 角度型定值问题 【典例5】（24-25高二下·四川巴中·阶段检测）已知抛物线C：经过点． (1)求的值和抛物线C的准线方程； (2)经过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点．求证：为直角． 【变式5-1】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 【变式5-2】（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 (1)求抛物线的方程； (2)设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 题型六 直线过定点问题 【典例6】（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【变式6-1】（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 【变式6-2】（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为 (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【变式6-3】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 题型七 曲线过定点问题 【典例7】已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【变式7-1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的焦距为8． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，．求证：点A在以线段为直径的圆上． 【变式7-3】（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. (1)求C的方程； (2)若，求面积的最大值； (3)记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 题型八 定直线问题 【典例8】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【变式8-1】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【变式8-2】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【变式8-3】（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 基础固本练（限时：30分钟） 1．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 3．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 4．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)设过点F且斜率为k的直线与双曲线右支交于P，Q两点，线段的垂直平分线与x轴交于点B，求的值. 5．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 综合进阶练（限时：30分钟） 1．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 3．（25-26高二下·湖南张家界·期末）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆锥曲线的定值定点定直线问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 利用空间向量解决探索性问题 考点二 动点的设法 04 重难题型突破 题型一 斜率型定值问题 题型二 距离、面积型定值问题 题型三 向量型定值问题 题型四 参数型定值问题 题型五 角度型定值问题 题型六 直线过定点问题 题型七曲线过定点问题 题型八 定直线问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题为期中圆锥曲线模块核心综合考点，大多设置在解答题第二小问，少数以多选压轴形式出现；以椭圆为主要载体，抛物线少量涉及，双曲线考查偏少。常见考法有证明动直线过定点、证明斜率/数量积/线段长为定值、探寻定直线等；命题常依托垂直、向量数量积、定点连线、对称等条件，核心流程是联立直线与曲线方程，借助韦达定理化简消参，“特殊探路、一般验证” 是常用解题思路，侧重代数运算与逻辑推证。 二、试题难易度分布 本专题难度较大，无纯粹送分基础题。 中档：参数结构简单，消参难度适中，是期中主流考查形式； 偏难题：参数多、化简量大，隐藏限制条件，作为解答压轴小问，区分度强，对计算功底、式子变形能力要求高 三、整体命题核心规律 解题关键是合理设参、联立韦达、消去参数得到不含参数的关系式；优先用特殊位置先猜出定点、定值、定直线，再做一般性证明；避坑重点：不要忽略直线斜率不存在的情况、判别式大于0的隐含范围，计算时注意因式分解、整体代换简化运算，减少计算失误。 考点一 定值问题处理方法 1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值． 2、直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数． 考点二 定点问题的处理方法 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解． 考点三 定直线问题的处理方法 1、先定性再求解：所谓定性就是根据题设条件确定定点，若存在则定点应在某直线上，定直线若存在则定直线应垂直或平行于某直线． 2、先定量再求证，即先猜后证：从特殊情况入手，求出该直线，再证明该直线对于一般情况也成立． 题型一 斜率型定值问题 【典例1】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的方程； (2)，分别是椭圆的左、右顶点， 经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，，又因为，所以， 因为，所以椭圆的方程为； （2）由题知，，设过的直线斜率为，则直线方程为， 设直线与椭圆交于，则， 联立直线与椭圆方程，消元得：， 整理得：， 根据韦达定理：， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以， 因为， 所以 所以， 即. 【变式1-1】（25-26高二下·广东汕头·期中）已知椭圆，它的一个焦点为，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆的方程是，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线与，求证. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由椭圆的一个焦点为可知，故椭圆的另一个焦点为, 则， ，. 椭圆的标准方程是. （2）设，若过点P的切线斜率都存在，设其方程为 ， 由得， ， 因为直线与椭圆相切，， ， 整理得， 椭圆C的两条切线的斜率分别为，， 点P在圆上，，即， ，. 若过点的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为， 则的方程为，的方程为， 所以.综上，对任意满足题设的点，都有. 【变式1-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）如图，设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，消去可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. 【变式1-3】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 题型二 距离与面积型定值问题 【典例2】（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】(1)；(2)直线的方程为或,弦长. 【解析】（1）椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时,与椭圆交于, 此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又,所以. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 【变式2-1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设. (1)求椭圆的标准方程： (2)当取何值时，等于椭圆短轴的长； (3)过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)或时，等于椭圆短轴的长；(3)证明见解析 【解析】（1）由题意，所以，所以， 所以椭圆方程为； （2）当时，，因此， 设直线的方程为， ，椭圆短轴长为2， 由得， 恒成立且，， 所以， 由，解得，所以或；    （3）由（2）知当时，，此时，， 当时，记直线的斜率为，则，直线的斜率为， 所以， 所以， 综上，为定值． 【变式2-2】（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）已知双曲线的标准方程为，的左右顶点分别为，，右焦点，离心率． (1)求双曲线的方程及其渐近线方程； (2)过圆上的点作圆的切线，交双曲线于，两点，点为弦的中点，证明：． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）由焦点坐标可得，而，故，所以， 故双曲线方程为， 渐近线方程为． （2）由可得圆， 若直线的斜率存在， 设，，， 因为为圆的切线，故,即， 由可得， 故 ， 而，故 故，故， 当直线的斜率不存在时，或， 若，则，而，， 因，故， 同理可得若，也有， 故总成立． 【变式2-3】（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以为定值，该定值为6. 题型三 向量型定值问题 【典例3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆：（），直线：被椭圆截得的弦长为，且满足，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由被椭圆截得的弦长为，得， 又，所以，即，解得，， 所以所求的椭圆的方程为. （2）设，，椭圆的右焦点， 所以的方程为， 联立，化简得， 由韦达定理得，；， 所以. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，若的斜率存在，求证：为定值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得， 所以双曲线的渐近线方程： （2）当 时，双曲线方程为 ，焦点 . 设直线 ，不妨设， 联立直线和双曲线方程， 消去 得 . 由韦达定理：， 计算可得 ， 代入韦达定理结果化简得： 因此： 即 为定值 . 【变式3-2】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】(1)，；(2)1. 【解析】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1， 又过点，的方程为； 设 由，得， 【变式3-3】（24-25高二下·湖北·开学考试）已知抛物线E：的焦点为F，过F作倾斜角为的动直线l交E于A，B两点．当时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（O为坐标原点），并求出该定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1） 抛物线E：的焦点， 依题意，直线l的斜率不为0，设直线l：，，， 由消去x得：， 显然，，， ， 当时，，于是，解得， 所以抛物线E的方程为． （2）证明：由（1）可知，，则， 因此对任意的实数t，为定值， 所以无论如何变化，是定值，定值． 题型四 参数型定值问题 【典例4】（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【变式4-1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意有，解得， 故椭圆的标准方程为． （2）若直线斜率不为0，设直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立， 得，显然， 设，，于是由韦达定理可得： ，（*）， 因为，即，则 ，， 将（*）代入，得 整理得． 由的任意性，可得， 若直线斜率为0，取，此时，也满足题意． 故所求． 【变式4-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意，双曲线的左焦点为，由双曲线定义知， 双曲线的实轴长， 因此， 所以双曲线的方程为. （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 由过点的直线与双曲线的右支交于两点， 则直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：， 由，消去并整理得， 设，则， 而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以为定值． 【变式4-3】（24-25高二下·贵州遵义·阶段检测）以直线：和直线：为渐近线的双曲线C过点． (1)求双曲线C的标准方程． (2)，是C的两个顶点，P是C上的动点，过点P且垂直于的直线与C交于另一点Q，设直线和相交于点H． ①求点H的轨迹的方程； ②在①的条件下，设，，直线与相交于点R，直线与相交于点T，且，．求证：为定值． 【答案】(1)；(2)①；②证明见解析 【解析】（1）根据题意可设双曲线方程为：， 代入点，可得：， 即， 故双曲线C的标准方程为； （2） ①设，且，则，由（1）可得 则直线方程为：， 直线方程为：， 上面两式相乘，可得的轨迹方程：，且 因为点在双曲线上，则， 即可得的轨迹方程为：， 故点H的轨迹的方程为； ②设，由，，则直线方程为：， 由直线方程与椭圆方程联立，消可得： ，    设，则， 同理可得直线方程为：， 由直线方程与椭圆方程联立，消可得： ， 设，则， 再由可得：， 由可得：， 则， 再代入可得： ， 又因为点满足椭圆方程，所以， 即, 故为定值. 题型五 角度型定值问题 【典例5】（24-25高二下·四川巴中·阶段检测）已知抛物线C：经过点． (1)求的值和抛物线C的准线方程； (2)经过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点．求证：为直角． 【答案】(1)；；(2)证明见解析 【解析】（1）将点坐标代入得，即， 所以抛物线C的准线方程为. （2）由题知，直线的斜率不为0，设其方程为，， 则， 联立消去得， 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，即为直角. 【变式5-1】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 【答案】(1)或；(2)证明见解析 【解析】（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为，可得为或， 而，所以直线的方程为或； （2）证法一：设，，且， 如图，分别过，作轴的垂线分别交轴于点，， 设直线的方程为， 欲证，可证，即证， 即证，即证，整理得． 由，得，显然，所以，， 所以，故，得证； 证法二：当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以， 当与轴不垂直时，设，，，则，， 由，得，，知，， 直线，的斜率之和为①， 将，及，的表达式代入①式分子， 可得， 所以，可知直线，的倾斜角互补，所以， 综上，，得证. 【变式5-2】（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为点在直线上，所以. 因为的渐近线方程为，所以，故. 所以的方程为. （2）证明如下： 设，由，得，则. 易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为）， 设其方程为，即. 由消去，得. 因为直线与相切， 所以，且，得， 所以直线的方程为， 方程的根为，所以， 所以直线的方程为. 又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离， 又点在内部，所以. 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 (1)求抛物线的方程； (2)设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）解法一：抛物线C的焦点为， 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 点F到l的距离，d取最大值，当且仅当取最小值，即， 此时d取到最大值1，即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 解法二：因为动直线l过点， 所以点F到直线l的距离的最大值为点F到点的距离， 即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； （2）证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，得， 则， 所以， 则， 易知点O，A，B不共线，故和的夹角为钝角， 故为钝角三角形. 题型六 直线过定点问题 【典例6】（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由抛物线上的一点到焦点的距离为， 得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）依题意，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 直线的斜率，直线的方程，由，得， 由轴，得，则，因此，解得， 所以直线：过定点. 【变式6-1】（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）点在椭圆：上，所以， 椭圆的离心率为，，，， 得，，，， 椭圆的标准方程为. （2）证明：设过点的直线，，， 联立方程组得，得， ， ， ，则， ，所以， 同理可得，即， 当时，， 直线的方程为， 整理可得， 所以直线恒过定点， 当时，直线的方程为，也过点， 所以直线恒过定点. 【变式6-2】（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为 (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 【变式6-3】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）双曲线：的一条渐近线为：， ，即， 右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 双曲线的方程为． （2）证明：由题得，设，， 设的方程为， 联立消去并化简得， ，即， 且，， ， ，即 ， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点， 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 题型七 曲线过定点问题 【典例7】已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为. （2）如图所示，可知，设， 则，所以， 所以， 设以为直径的圆交轴于点， 可得， 因为为直径，所以，即，化简得， 而，所以， 所以，所以，解得或， 即以为直径的圆交轴于点，即以为直径的圆交轴于两定点. 【变式7-1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得. 故动点的轨迹方程为. （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 【变式7-2】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的焦距为8． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，．求证：点A在以线段为直径的圆上． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）   由（1）可得， 当直线的斜率为零时，直线方程为，与双曲线的两交点为实轴顶点，显然成立； 当斜率不为零时，设直线的方程为，， 联立，消去得， ， ， ， ， 将和代入可得， 整理可得， 所以， 所以，即，即点A在以线段为直径的圆上， 综上，点A在以线段为直径的圆上. 【变式7-3】（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. (1)求C的方程； (2)若，求面积的最大值； (3)记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）若，可知直线l的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 可得，， 因为，则，， 由，可得， 则， 整理可得， 则， 且，则，可得， 解得，且满足， 可知直线过定点， 则面积 ， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 所以当，时，面积取到最大值. （3）若直线l的斜率不存在，设，，， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线l的斜率存在，设直线，，， 可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以MN为直径的圆过定点， 则，， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的k均成立，则，解得， 所以以MN为直径的圆过定点. 题型八 定直线问题 【典例8】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. （2）   设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 【变式8-1】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为椭圆的焦距为，所以，即， 因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，所以，解得， 所以， 则椭圆的标准方程为． （2）法一：因为点，过点的动直线， 所以设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即． 设，，则，①． 因为，，所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得交点的横坐标②． 将，，代入②得③． 由①得，即④． 将④代入③中，得． 所以点的横坐标为4，即点在定直线上． 法二：设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即．设，， 则，，可得①． 由，，得直线的方程为， 直线的方程为．联立②， 消去，并整理得． 将①代入等式左边，得． 比较，系数，得，解得． 所以点的横坐标为，即点在定直线上． 法三（仿射变换）：作变换，， 则椭圆变为圆． 点，，保持不变． 过的直线变为过的直线，与圆交于． 由圆的几何性质（相交弦定理或相似三角形）可知（同法二）， 直线与的交点的横坐标恒为． 变换回原坐标，横坐标不变，则点的横坐标为， 即点在定直线上． 【变式8-2】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由双曲线 的右焦点为 ，得 ， 即 ， 过 垂直于 轴的弦长为 6， 可得点在双曲线上，即 ， 联立，解方程组得：， 故双曲线 的方程为 （2）证明：由（1）知双曲线 ，右焦点 ， 左顶点，右顶点 ， 设过 的直线方程为 （）， 代入双曲线方程得 整理得 设 ，，则 是上述方程的两个实根， 且 直线 的方程为， 直线 的方程为， 两式相除得， 代入 ， 计算： 由韦达定理，，代入得 ， 利用 ，解得 ， 代入得：， 因此 ，解得 ， 即 ，. 故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上. 【变式8-3】（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）过定点，理由如下： 抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 基础固本练（限时：30分钟） 1．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题可知，即， ， 所以，即，则， 故的标准方程为． （2）设，．由题可知直线与的斜率互为相反数， 当，代入椭圆方程得， 又在第一象限，故． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 于是直线的方程为，直线的方程为 代入，的坐标并作差，得．①   由，得． 由韦达定理，得，即，②   同理可得．③   将①②③代入，得， 故直线的斜率为定值 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 3．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）的渐近线为， 联立，解得或，故， 由对称性可得，则， 故（负值舍去），即抛物线的方程为； （2）由（1）知，设、， 由以线段为直径的圆恰好经过，则， 由，， 则 ， 由，异于，故， 则， 设，，则， ，则， ，，即，， 故,即， 则， 当时，，故直线过定点. 4．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)设过点F且斜率为k的直线与双曲线右支交于P，Q两点，线段的垂直平分线与x轴交于点B，求的值. 【答案】(1)；(2)1 【解析】（1）由题意可得，，则， 又经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以，解得， ， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知，，设直线的方程为， 联立，得， 所以， 若，，则，， 所以， 所以， 所以的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理得，所以， 则，所以． 5．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)过定点， 【解析】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设， 联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 综合进阶练（限时：30分钟） 1．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由题知，，则，， 所以椭圆方程为． （2）①当过左焦点的直线斜率为时，设，，， 即，，故． ②当过左焦点的直线斜率不为时，设直线方程为：， 联立，得，， ，． 由得，， 即，同理， 即， 综上所述，． （3）证明：设，，，， 设直线：， 联立， 得，， ， 即，同理，，． 设直线：，令 则 ． 所以，直线的斜率为定值． 2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1)；(2)或或或；(3)证明见解析 【解析】（1）由题知，解得，， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为（）， 点，的坐标分别为，， 联立得，则， 由，得． 所以 ． 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 由，解得或， 故直线的方程为或或或． （3）由题意得，， 若存在，则的横坐标不为2， 代入，得， 因为 ， 因为存在，所以， 则， 所以，得证. 3．（25-26高二下·湖南张家界·期末）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． （2）设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． （3）证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $