固本拓思，循源致远-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

命题研究 固本拓思， 2026年新高考I ■河南省实验中 2026年新高考I卷数学题目平稳 中有变化，变化中有新意，而创新之处 又全部都在命题规律和育人导向的情 理之中。试题考查内容紧扣学科基础， 题目背景迭代创新，给新一轮高三备考 带来了全新的启示。其中，第16题设 置为解三角形的题目，属于基础题型， 难度适中，但题目体现出了较强的灵活 性。剖析此题，既能透视三角板块的命 题习惯，也可发掘新高考“重教材、重思 维”的底层逻辑。 一、试题呈现 题目已知在△ABC中，AB=3, BC-2/3.cos B=3 3 (1)求cosA。 (2)设D,E两点满足：D在BA 的延长线上，DE∥BC,AE⊥AC。若 DE=6,求CE。 二、题目解析与点评 (一)第(1)问解析 解法1：（余弦定理边式+余弦定 理角式)在△ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC· cosB=32+(2√3)2-2·3·23· 36 循源致远 卷数学第16题评析 学 梁羽 =9,所以AC=3。 3 在△ABC中，由余弦定理得cosA =AB2+AC2-BC29+9-121 2·AB·AC2·3·339 点评：第(1)问的设计意图清晰，两 次使用余弦定理，先求边再求角，将边 角互化的基本路径完整地走了一遍。 需要注意的是：计算出AC=3后， △ABC的三边刚好构成等腰三角形， 这一结论对第(2)问中识别△ADE的 边角关系有提示作用。 解法2：（余弦定理十锐角三角函 数十二倍角公式)在△ABC中，由余弦 定理得AC2=AB2+BC2一2·AB· BC·cosB=32+(23)2-2·3· 28. 3 =9,所以AC=3。 如图1，取BC的中点 为F,连接AF,则AF⊥ BC,BF=CF=√3。 在Rt△ABF中，有 图1 sin∠BAF= BF_3 B3,由 二倍角公式得cos∠BAC=1-2· sin2∠BAF=1-2· 1 3=3 点评：解法2没有第二次使用余弦 定理，而是利用了等腰三角形的性质， 通过作高线找直角三角形，使用直角三 角形中的锐角三角函数和二倍角公式 进行求解，这种解法的好处是运算量偏 小。笔者更倾向于使用解法1。两种 解法都使用了核心公式，没有超纲，更 没有技巧，都是基础知识。两种解法在 思维上存在差异：解法1使用余弦定理 走到底，解法2要根据图形特征寻找合 适的工具。这提示我们在日常学习时 应该注意两种意识的培养：一是多看少 算，选择合适的解题路径和工具；二是 一题多解，头脑风暴，发散思维。同时， 更要熟练掌握不同工具的适用类型，看 透题目本质，争取多题一解，寻找解题 通法。从分值上看，第(1)问通常为6 分，例如，解法1中，两步余弦定理各得 3分，得分点非常清晰。同学们在答题 时需注意：①写清楚“在△ABC中，由 余弦定理得”等依据，不能拿来题目就 写数字；②解题时，要在卷面上分步呈 现出“公式十代数十计算”这样的具体 书写流程，不能跳步。 (二)第(2)问解析 解法1：（诱导公式+正弦定理十 勾股定理)因为点D在BA的延长线 上，DE∥BC,AE⊥AC,所以∠BAC+ ∠DAE=2,∠B+∠D=x, 所以sin∠DAE=sin( 命题研究 ∠BAC=cOS∠BAC= 1 3,cos D= cos(r-B)--cos B= 3 因为D∈(0，π)，所以sinD= √/1-c0s2D = √/1-c0s2B 3 在△ADE中，由正弦定理得， sin D sin∠DAE,即E、∥ AE DE 6 ,所以 3 3 AE=6。 在Rt△AEC中，由勾股定理得 CE2=AE2+AC2=36+9=45,所以 CE=3√5。 点评：本题没有给图形，需要同学 们根据语言描述补出图形。借助平行 与垂直条件，将已知角通过诱导公式搬 运到未知的△ADE中，再利用正弦定 理求出AE,最后由勾股定理得到CE。 该解法的推理链条清晰，几何转化方向 明确，体现了从已知三角形向目标三角 形转移边角信息的通法思路。 解法2：（向量法，即平面向量基本 定理十共线向量基本定理十向量基本 运算)因为点D在BA的延长线上，所 以可设AD=一AAB(入>0)。 又DE∥BC,可设DE=BC。所 以AE-AD+DE=-λAB+BC- -λAB+(AC-AB)=-(入十)AB +AC。 37 命题研究 由AE⊥AC,得AE·AC=0,即 -(入十u)AB.AC+uAC2=0。 因为AB.AC=|AB1·|AC1· cos∠BAC=33·片-3，所以-3 十)十9=0，化简得λ=2。 因为入>0，所以>0。 由|DE1=BC1,得6=2√3μ， 所以a= =吃A=2m=2。 故AE= 3+ 则C克=A正-A元=-3EA店+ 2 停 AC2-2.32 =45,所以CE=3√5。 点评：向量法的优势在于问题的解 决很程序化，通常按照“设系数→列方 程解参数→求模长”的步骤进行运算 即可，不需要判断角之间的关系，也不 需要增加辅助线，适合代数能力比较强 的同学使用，当然弊端是运算量偏大。 该解法几乎涵盖了平面向量的大部分 运算，依次使用了共线向量基本定理、 平面向量基本定理、向量运算等，板块 内综合性较强。解法1重，点强调把角 作为桥梁，转化成三角函数的关系，而 解法2更加依赖于数学运算，在备考阶 38 段，建议同学们同时掌握这两套解题思 路，考试时选择擅长的方法。 三、备考建议 1.回归教材本源，夯实定理基础 备考时要打破刷题误区，重视教 材，夯实基础。复习时，构建板块知识 网，对于重点公式，应思考公式的来源， 公式是如何推导出来的，公式使用的主 要范围是什么。在解三角形板块中，建 议以教材为核心，围绕解三角形的四类 经典题型（已知三边、两边及其夹角、两 边及一边对角、两角一边)吃透解法，确 保守住解三角形板块基础得分。因为 解三角形是向量应用的主要内容之一， 所以同学们也要具备使用向量方法解 决平面几何问题的能力，向量本身具有 两套运算体系，即纯向量法（几何视角） 和坐标法（代数视角），作为教材中的基 本内容，应该熟练掌握。 2.关注图形分析，培养转化意识 解三角形的本质不是计算，而是要 求同学们能识别几何图形中的可用关 系，合理选择数学工具，将图形关系量 化处理。同学们经常误认为解三角形 就是套公式，一旦图形变得复杂，增加 新条件时，就会失去解题的方向。关注 图形和分析图形要求同学们能建立起 “图中有什么→关系转化成什么→转化 后用什么工具求解”这样的分析问题思 路，递进解决问题，形成逻辑闭环，改变 见题就套公式的错误惯性思维。 3.破除情景固化，提升迁移能力 高考数学命题时，对于解三角形板