专题6.3 等比数列及其前n项和【知识概要+8大题型+巩固训练】讲义-2027届高考数学一轮复习核心考点讲与练

专题6.3 等比数列及其前n项和 知识点1：等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 知识点2：等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·重庆江北·阶段检测）已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 知识点3：等比数列的性质 （1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； （2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等比数列中，对任意，，； （4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. （5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列. 如下图所示： . （6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列． （7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列． （8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （9）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，，则的值为______. 题型一：等比数列基本量的运算 题型二：等比数列的判定与证明 题型三：等比数列的性质 题型四：等比数列前n项和的性质 题型五：奇偶项求和问题的讨论 题型六：等比数列的实际应用 题型七：等比数列的范围与最值问题 题型八：等差数列与等比数列的综合应用 题型一：等比数列基本量的运算 1．（2026·陕西榆林·一模）设等比数列的各项均为正数，若，，则（     ） A．14 B．20 C．28 D．32 2．（2027高三·全国·专题练习）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则（     ）． A．24 B．48 C．64 D．96 题型二：等比数列的判定与证明 5．（26-27高三上·全国·期中）已知数列满足，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．（26-27高三上·全国·期中）已知数列的前项和为，且（）. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 7．（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 8．（26-27高三上·重庆北碚·阶段检测）已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列并求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 题型三：等比数列的性质 9．（26-27高三上·全国·期中）等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10．（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知数列是等比数列，，，则的值为________. 12．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知等比数列，若，，则的值为________． 题型四：等比数列前n项和的性质 13．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 15．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知为等比数列的前项和，若，则_____. 16．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 题型五：奇偶项求和问题的讨论 17．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 18．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 20．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 题型六：等比数列的实际应用 21．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 22．（26-27高三上·北京西城·开学考试）现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（    ） A．642元 B．650元 C．659元 D．667元 23．（2026高三·全国·专题练习）某地2000年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，如果该城市的人口平均增长率为，问要使2010年底该城市的人均住房面积增加到7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米． 24．（25-26高三下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 题型七：等比数列的范围与最值问题 25．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 26．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 27．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 28．（25-26高三下·浙江·期中）已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（    ） A．15 B．9 C．8 D．7 题型八：等差数列与等比数列的综合应用 29．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求． 30．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 31．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 32．（25-26高三下·北京·期末）已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 1．（26-27高三上·甘肃白银·期中）已知，，，且，，，，是等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 5．（25-26高三下·北京海淀·期末）已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 7．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 8．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）（多选）设是公比为的等比数列的前项和，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（     ） A． B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．若，则 10．（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）（多选）已知等比数列是单调数列，且其前项和为，前项积为，，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D．取得最大值时， 11．（25-26高三下·广东江门·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（   ） A．若等差数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列 12．（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 13．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为________． 14．（25-26高三下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 15．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 16．（26-27高三上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 （），且 ，求数列 的通项公式； (3)设 ，求数列 的前 项和 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 等比数列及其前n项和 知识点1：等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 【答案】B 【详解】，因为是正项等比数列，所以. 知识点2：等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·重庆江北·阶段检测）已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)（等价形式也可） 【分析】（1）先设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，再结合题中条件列方程求出，，进而即可得到数列，的通项公式； （2）结合（1），先根据等差数列的求和公式得到的前项和，再根据等比数列的求和公式得到的前项和，进而结合分组求和法即可得到的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 由，则，解得， 所以数列的通项公式为； 所以，，则， 又，则，解得， 所以数列的通项公式为． （2）结合（1），得的前项和为， 的前项和为， 所以数列的前项和． 知识点3：等比数列的性质 （1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； （2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等比数列中，对任意，，； （4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. （5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列. 如下图所示： . （6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列． （7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列． （8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （9）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，，则的值为______. 【答案】 【详解】∵ 数列是等比数列， ∴ ，， . ∴ . 又∵ ，∴ . 题型一：等比数列基本量的运算 题型二：等比数列的判定与证明 题型三：等比数列的性质 题型四：等比数列前n项和的性质 题型五：奇偶项求和问题的讨论 题型六：等比数列的实际应用 题型七：等比数列的范围与最值问题 题型八：等差数列与等比数列的综合应用 题型一：等比数列基本量的运算 1．（2026·陕西榆林·一模）设等比数列的各项均为正数，若，，则（     ） A．14 B．20 C．28 D．32 【答案】D 【详解】由数列各项均为正数的等比数列， 则， 由，则， 所以， 因此. 2．（2027高三·全国·专题练习）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由成等差数列及等比数列的性质可得，再由等比数列的通项公式可得. 【详解】因为成等差数列，所以， 因为是正项等比数列，设公比为，且， 所以，因为， 所以，解得：或（舍去）， 因此. 3．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 因为，则，所以，， 又，则，，解得， 所以. 4．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则（     ）． A．24 B．48 C．64 D．96 【答案】D 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 由，得，解得， . 题型二：等比数列的判定与证明 5．（26-27高三上·全国·期中）已知数列满足，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)由，两边同加得： ； 故是以为首项、为公比的等比数列， ，即． (2)． 【分析】（1）两边同加构造等比，利用等比数列的证明方法即可得证，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）根据分组求和法，代入等比数列前项和公式计算． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，根据分组求和法可知， ． 6．（26-27高三上·全国·期中）已知数列的前项和为，且（）. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明： 当时，，即 ，解得， 当 时，， 整理得，即 ，故， ，所以是以为首项、为公比的等比数列， ，即 ； (2)． 【分析】（1）由计算，化简得到递推公式 ，两边同时加，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，再计算出数列的通项公式； （2）运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【详解】（1）略 （2） ... ...． 7．（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)因为函数，所以， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， . (2) 【分析】（1）根据题意写出数列递推公式，进而根据等比数列的定义证明数列是等比数列，进而根据数列的首项和公比，写出数列的通项公式，进而求出的通项公式； （2）根据条件直接写出数列的通项公式，进而求出，构造新数列，通过作差法，说明数列单调性，进而根据数列最大值，求出参数范围. 【详解】（1）证明略， 可知，即. （2）由（1）可知：， 所以， 所以由，得出，，可得， 设，由， 可知当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有，因此实数k的最大值. 8．（26-27高三上·重庆北碚·阶段检测）已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列并求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，，得； ，，. 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. . 当时，，，，，，； ； . 当时，，符合题意； ，即的通项公式为. (2) 【分析】（1）由，得，结合等比数列的定义即可得证数列为等比数列；利用累加法即可求得通项公式； （2）由和，化简；利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由，，得. ； ； 数列的前n项和. 题型三：等比数列的性质 9．（26-27高三上·全国·期中）等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦达定理以及等比中项即可求解. 【详解】由韦达定理以及、为方程两根可得， ，且 ， 由等比中项可得，，解得， 若，则，解得或，若， 则，则，，满足题意； 若，则，则，，满足题意； 若，则，解得或， 当时，，此时，， 此时，，满足题意； 当时，，此时，， 此时，，满足题意，故. 10．（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为. 由，得， 因为，，化简得，即. 由，得，因为，所以. 则. 所以. 11．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知数列是等比数列，，，则的值为________. 【答案】或 【分析】利用等比数列下标和性质得，结合求出，，再由代入计算即可. 【详解】根据等比数列下标和性质，由，可得， 已知，因此，又，解得或， 由，，因此， 当时，，即；当时，，即. 综上，的值为或. 12．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知等比数列，若，，则的值为________． 【答案】 【详解】因为数列是等比数列，所以. 由，得； 又， 所以， 所以. 题型四：等比数列前n项和的性质 13．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列前项和公式直接计算即可． 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，不符合题意， 所以，由得，， 解得或（舍去）， 故． 14．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用等比数列前项和的分段等比性质列方程求解，结合公比偶次幂的正性排除负解即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，， 根据等比数列前项和的性质： 当时，仍为等比数列，取，则成等比数列， 已知，，设，由等比中项性质可得： ， 展开整理得，解得或，又因为，其中， 故，结合，可得，因此舍去，即. 15．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知为等比数列的前项和，若，则_____. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，结合已知求得，再根据前项和公式，通项公式代入计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 即 因，可化简得：，即 又，所以. 则， 于是， 16．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 题型五：奇偶项求和问题的讨论 17．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 【答案】4 【详解】， 因此， 而，所以， 该数列前项的和为，解得. 18．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前项和公式奇数项之和等于偶数项之和的，可求，由通项公式求得的值． 【详解】设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ： ：， ，， 由题意可得， . 19．（2026高三·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 20．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 题型六：等比数列的实际应用 21．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 【答案】C 【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 22．（26-27高三上·北京西城·开学考试）现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（    ） A．642元 B．650元 C．659元 D．667元 【答案】D 【详解】小明误按复利进行计算，每一年的本息和=上一年本息和(1年利率)，利息=本息和-本金， ,,,,, 所以小明误按复利进行计算，5年后的利息是元. 23．（2026高三·全国·专题练习）某地2000年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，如果该城市的人口平均增长率为，问要使2010年底该城市的人均住房面积增加到7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米． 【答案】87 【分析】先求出2010年底该城市的住房总面积及从2000年底到2010年底，该城市的新增住房面积，进而可求平均每年新增住房面积． 【详解】若人口平均增长率为，则2010年底该城市的住房总面积为（万） 从2000年底到2010年底，该城市的新增住房面积为（万） 所以，平均每年新增住房面积为（万）（万） 24．（25-26高三下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 【答案】C 【详解】设从上至下，第层的灯笼数为盏， 由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 设该数列的前项和为，则，即，解得. 故共有层塔. 题型七：等比数列的范围与最值问题 25．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于1，一项小于1， 又，故同号且，结合，可得， 所以数列单调递减，因此. 对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，由等比数列性质可得，又，所以，故B错误； 对于C，因为，数列单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以，， 因此数列的最大项是，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以使得的的最小值为，故D正确. 26．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义求得公比，由题意可得当，时，取到最小值，继而求出的值. 【详解】因等比数列是递增数列，则其公比， 又因，，成等差数列，则得， 即，整理得， 因，解得或（舍）， 又因，可得，， 因，当，时，取到最小值， 故当时，取最小值. 27．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)当为偶数时，，且为递增数列，；当为奇数时，，不可能为最小值．所以此时的最小值为． 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解； （2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解； （3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解. 【详解】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 28．（25-26高三下·浙江·期中）已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（    ） A．15 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】先根据等比数列性质求出，再结合判断数列单调性，进而确定与的大小关系，然后根据且确定的值. 【详解】正项等比数列中，，，. 记等比数列的公比为，，，，，. 是递减数列，. 已知，，则，，. 又因为，则，，即. 结合前面得到的，可知，解得. 题型八：等差数列与等比数列的综合应用 29．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由及求出，再由求出公比，即可求出，进而用指对互化得； （2）由通项知数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，再用等差、等比数列的求和公式作差． 【详解】（1）因为等差数列和等比数列满足，，，， 所以，即，则等比数列的公比. 所以. 所以. 则，，． （2）由（1）得，即是数列中的第项． 设数列的前n项和为，数列的前n项和为， 因为，，， 所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的. 所以． 30．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由，相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件；及是等差数列求解即可； （2）分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则， 所以； （2）由已知， 所以， 由（1）， 因为， ， 所以， 所以. 31．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1． 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以， 即． （2），因此， . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 32．（25-26高三下·北京·期末）已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 【答案】(1)，；，． (2)，． (3) 【分析】（1）根据题意分别求得等差数列的公差与等比数列的公比，即可求得数列与的通项公式； （2）根据等比数列的前项和公式可得； （3）若数列中的最大项是第项，则，解不等式组，并结合，可得的值． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则公差． ，． 设等比数列的公比为，则． ，． （2） ，． （3）由（1）可得，， 若数列中的最大项是第项， 则， 即， 化简得，解得， 又，所以. 1．（26-27高三上·甘肃白银·期中）已知，，，且，，，，是等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，，，是等比数列，设其公比为，则，得. ∴. 2．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知数列为等比数列，则， 即，解得. 3．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列性质将直接整体代换为，把原等式直接转化为关于和的完全平方式；再结合推断出为正数，开平方即可直接得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：，，， 所以，即， 因为，且，所以； 同理，所以， 所以. 4．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】A 【详解】∵为等比数列，且， 得到的首项为，第二项为，∴的公比为2，∴， 当时，，验证可得时，上式也符合， ∴，∴. 5．（25-26高三下·北京海淀·期末）已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等比数列的通项公式，已知，， 则，， 等比数列前项和公式为， 则， 又，， 则. 6．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 7．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据已知得，应用等差等比数列的前n项和公式求并判断其单调性，进而确定不超过2027的项的个数. 【详解】数列的通项公式为，数列的通项公式为， ， ， ， 数列是递增数列， ， 数列中不超过2027的项有10个. 8．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】由题意可知：5年后本利和是元. 9．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）（多选）设是公比为的等比数列的前项和，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（     ） A． B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】ABD 【详解】依题意，，即有. 有，而数列是公比为的等比数列， 则，又， 所以，A正确； 由于，因此成等差数列，B正确； 显然，由，得， 由，得， 因此，不成等比数列，C错误； 由A知，又，故，而，D正确. 10．（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）（多选）已知等比数列是单调数列，且其前项和为，前项积为，，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D．取得最大值时， 【答案】BC 【分析】设公比为，由题意建立等式计算得，，根据等比数列通项公式可判断A；根据等比数列前项和公式计算可判断B；由题意可得，根据等比数列性质计算可判断C；要使最大，则，计算可判断D. 【详解】对于A，设公比为，由，可知， ，即， 整理得，解得或， 因为等比数列是单调数列，所以， 由得，， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 由等比数列的性质可知，， 又，所以，则，故C正确； 对于D，令，解得，又等比数列是单调递减数列， 所以， 要使取得最大值，需， 所以取得最大值时，或，故D错误． 故选：BC． 11．（25-26高三下·广东江门·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（   ） A．若等差数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列 【答案】BCD 【分析】根据等差数列的定义，得到，可得判定A正确；根据和的关系式，求得，得到，可判定B错误；根据和的关系式，得到时，得到，可判定C错误；当，且为偶数时，得到，，，可判定D错误. 【详解】对于A，由等差数列的定义，可得（为常数）， 若，可得，所以，所以数列是递减数列，所以A正确； 对于B，由数列的前项和， 当时，可得， 当时，， 此时，可得，所以， 所以数列不是等比数列，所以B错误； 对于C，数列的前项和， 当时，可得； 当时，， 令，即，解得， 当时，，满足上式，此时，此时数列为等差数列； 当时，，此时，数列不是等差数列，所以C错误； 对于D，对于等比数列，当公比，且为偶数时，， 可得，，， 此时，，，不能构成等比数列，所以D错误. 12．（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 【答案】 64 【分析】由等比数列基本量求通项，利用数列单调性进行最大值计算求解 【详解】设等比数列公比为q，则，即，即； 因为，所以数列为递减数列且各项均为正，，， 当时，；当时，且递减，所以当时取最大值为 13．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为________． 【答案】7 【分析】根据等比数列通项公式计算得出公比，再结合等比数列求和计算得解. 【详解】设等比数列公比为， 由得， 即，解得，（舍去）， 所以. 14．（25-26高三下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 【详解】设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 15．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解； （2）使用裂项相消法求解. 【详解】（1），即，， 则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， ，当时，； 当时，，； 综上，. （2）， . 16．（26-27高三上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 （），且 ，求数列 的通项公式； (3)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与 的关系，结合等比数列的定义及通项公式求解即可. （2）两边同除以 构造等差数列，结合等差数列的通项公式求解即可. （3）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）当时， ，所以. 当时， ，即 ， 故 是首项为 、公比为 的等比数列，所以. （2）由，得 ， 故 是公差为 的等差数列， 所以，即 . （3）， 所以 . 故 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $