解三角形常见经典问题归类解析-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

解三角形常见 ■陕西省汉中市四O五学校 分析近几年高考试题发现，解三角 形问题主要围绕“三角形隐含条件、正 余弦定理和三角形面积公式的应用、三 角形中的三角恒等变换”等热点展开， 往往与三角形周长、面积的最值或范围 联系，有时也会与平面向量、均值不等 式和三角函数性质等结合考查，方法灵 活，题型多变，试题难度控制在中等或 以下。本文聚焦高考中解三角形的几 在△BCD中，∠BCD=元一a,由 余弦定理得45=a2=m2+n2 8 2mnc0s(π-a)=m2+n2+ 5mn=(m 十n)2二2mn≥(m+n)2一二”十n7 52 10(m+n)2,所以(m+n)2≤50,0< m+n≤5√2 ②，当且仅当m=n= 5√ 2时等号成立。 结合①②可得0<b+c十m+n≤ 20√2，即这块四边形木板周长的最大 值为20√2cm。故选C。 点睛：本题以《孟子·离娄章句上》 中“规矩”测量为例，让同学们了解到中 国祖先的聪明与智慧、中国文化的博大 精深，点燃了同学们作为中国人的自豪 解题锦囊 圣典问题归类解析 侯有岐（特级、正高级教师） 类常见经典问题的解题思路，希望对同 学们的复习备考有所帮助。 类型一、求基本量问题 三角形包含三条边、三个角、周长 及面积等基本量，“已知某些量，求其他 相关量”是高考常考题型。若所给关系 式中含有边的齐次式或内角正弦的齐 次式，常考虑从正弦定理入手；若所给 关系式中含有a2,b2,c2,或内角的余 之情。题中表面给出的是四边形而非 三角形，长度比较隐藏，但可以通过连 接四边形对角线转化为三角形，观察 “矩”得到长度。题中应用了正、余弦定 理、圆内接四边形的性质和基本不等 式，综合性比较强。 数学文化情境试题，初看如庞然大 物，不是文字多就是图形复杂，阅读量 大，不好下手。但由于立意新，有故事， 图形美，有看头，往往会吸引同学们做 下去一探究竟。一般地，只要读懂题 意，稳住性子，同学们都会很容易地作 答。在命题中融进中华文化的根脉，既 能激发同学们的爱国情感，又能增添同 学们做题的乐趣。这是对我们国家立 德树人高考命题的新突破，它无疑对充 分发挥高考命题的育人功能有着积极 的导向作用。 (责任编辑王福华) 29 解题锦囊 弦，常考虑从余弦定理入手；若以上特 征都不明显时，则要考虑正、余弦两个 定理都可能用到。 例1记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 sin B 1+cos B sin C 2-cos C (1)证明：a,b,c成等差数列； (2)若B=60°，延长BC至D,使 得BC=2CD,求B。 sin B sin C 解析：(1)由1十cosB-2一cosC sin B(2-cos C)=sin C(1+ cos B),2sin B=sin C+sin Bcos C +sin Ccos B,亦即2sinB=sinC+ sin(B+C)。因为B+C=π-A,所 以2sinB=sinA+sinC。由正弦定理 得2b=a+c,所以a,b,c成等差数列。 (2)在△ABC中，因为B=60°，所 以由余弦定理得b2=a2+c2-2ac· cos60°=a2+c2-ac。又由(1)得2b a+c,即6=安，所以a+) 4 a2+c2-ac,化简得3(a-c)2=0,所 以a=c,a=b,所以△ABC为等边三 角形。 设AB=BC=a,则CD=号，BD =3 2,∠ABD=60。在△ABD中，由 余弦定理得AD2=a2+9 4-2a. 30 3a 2 cos60=a2+94-3g-7a,所 424 以AD7 AB 2 点评：在边角互化中，合理选择使 用正、余弦定理是关键，进行边角互化 的基本方向有两个：化边或化角，需根 据具体条件灵活选择，有时还要结合三 角恒等变换中的和差角公式、辅助角公 式及同角三角关系等进行转化。 类型二、解的存在性问题 三角形中解的存在性问题包含两 大类：第一类是SSA型问题，这类问题 常有两种处理方法，一是正弦定理结合 “大边对大角”和三角形内角和定理解 决；二是用余弦定理，根据解的正负解 决。第二类是结构不良型问题，这类问 题通常信息丰富、解法多样，旨在考查 同学们的创新能力和综合分析能力。 例2记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,6,c,已知A- 2 asin B=√6，∠BAC的平分线交BC 于点D。 (1)求b的值。 (2)从下列条件中选择一个作为已 知，使△ABC存在，并求AD的长。 条件①：AB边上的高为3； √3 条件②：△ABC的面积为。 注：如果选择的条件不符合要求， 第(2)问得0分。 解析：1)闪为A-智所以snA 2。又2 asin B-=√6，由正弦定理得 2 bsin A-6,所以b=6 =2。 2③ 2 (2)选条件①：因为AB边上的高 为√3，sinA= √3 ,b=2,所以S△AC -cXbcsin A= 2cX 2,无 解，故△ABC不存在，所以条件①不符 合要求，不选①。 选条件②：S△Ae=2 besin A- 2 分，解得c=2,所以b= c,所以△ABC为等腰三角形。又AD 为∠BAC的平分线，所以AD⊥BC, 故AD=6c含-区x日安 点评：本题属于结构不良型问题，选 条件①，由面积公式得到矛盾，边长c无 解，△ABC不存在；选条件②，由面积公 式得到c=√2，说明b=c,所以△ABC存 在，且为等腰三角形，进一步利用AD为 ∠BAC的平分线求得AD的长。 类型三、与三角形角平分线、中线 及高线有关的问题 三角形中的三线是指三角形的内 角平分线、中线、高线。内角平分线问 题通常需借助三角形内角平分线定理 并综合运用正、余弦定理和面积公式解 决；中线问题常借助向量法或两次利用 解题锦囊 余弦定理解决；高线问题常借助射影定 理或等面积法解决。 例3在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(b+a)(sinB -sin A)=c(sin B-sin C). (1)求A; 《之李A。A3,2D=D,求■ △ABC面积的最大值。 解析：(1)已知(b+a)(sinB一 sinA)=c(sinB一sinC),由正弦定理 得(b十a)(b-a)=c(b-c),化简得 b2+c2-a2=bc。 由余弦定理得cosA=62+c2-a2 2bc =方，因为A∈0，，所以A=子 (2)因为2BD=DC,所以AD= 含a证+aC,故a=合+0 2 一。借助均值不等式得c≤ +gc-6 8,当且仅当b=2c时取等号。 因为sinA= ③ ,所以SAc= 2 esin A≤2x8x9 2 =25。 故△ABC面积的最大值为23。 ,点评：与三角形面积计算有关的问 题，如果在三角形中涉及中线、角平分 线、定比分点等，要回归到其几何意义， 同时要注意互补两角的余弦之和为零、 公共边算两次及三角形中的向量应用。 如本例的第(2)问，利用向量平方化为 31 解题锦囊 边角满足的关系解决三角形面积问题。 类型四、最值或范围问题 三角形中的最值或范围问题的求 解思路主要有两种：一是从边入手，构 造均值不等式。一般情况下，当题目条 件中出现a十b,ab,a2+b2时，可考虑 利用均值不等式a+b≥2√Jab,ab≤ 已。+6≥26及有关变形进行 解决。二是从角入手，将角和函数名称统 一，进而利用三角函数的有界性解决。 例4记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b(acos B十 beos A)=c,B=于 (1)求b的值； (2)求△ABC面积的最大值； (3)求△ABC周长的取值范围。 解析：(1)已知b(acos B+b· cosA)=c,由正弦定理得b(sinA· cosB+sin Bcos A)=sinC,所以 bsin(A+B)=sinC。 又A+B=π-C,所以bsin C= sinC。 因为sinC≠0，所以b=1。 (2)因为B=6=1,所以由余弦 定理得1=a2+c2-ac≥2ac-ac= ac,即ac≤1，当且仅当a=c=1时等 号成立。 2acsin B=3 1 所以S△ABC= √3 故△ABC面积的最大值为3。 32 (3)由(2)知1=a2+c2-ac=(a +c)-3ac≥(a+c)-30)°，化 简得(a+c)2≤4，即a+c≤2，当且仅 当a=c=1时等号成立。 又a+c>b=1,所以1<a十c≤ 2,所以2<a+b+c≤3，故△ABC周 长的取值范围是(2,3]。 点评：求解三角形中面积和周长的 最值问题的常用方法是：在△ABC中， 如果已知一个角及其对边，假设已知 A,a,由余弦定理a2=b2十c2一2bc· c0sA,即可得到“b2十c2”与“bc”的等 量关系。求面积S=2 besin A的最 值，即求bc的最值，在等量关系中，利 用均值不等式b2+c2≥2bc,即可先求 得bc的最值。求周长a十b+c的最 值，即求b十c的最值，在等量关系中， 把b2+c2换成(b+c)2一2bc,再利用 均位不等式c≤士)，即可求得6 十c的最值。 本文通过实例分析了解三角形常 见经典问题的解题思路，有效沟通了解 三角形、均值不等式、三角恒等变换、平 面向量等知识的紧密联系，拓宽了同学 们解决此类问题的思维及视野，因此， 解三角形模块的复习备考要做好归纳 总结、形成知识体系，这样在解题时才 能根据题目特点确定问题的类型，进而 选择恰当的处理方法快速解题。 (责任编辑王福华)