强基计划中三角函数与解三角形试题的思维突破策略-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

强基溯源 强基计划中三角函数与解三角形试题的思维突破策略 盖不袅典公业凳 ■河南省商丘市实验中学 马春林 强基计划数学试题，在很多人眼中 是对基础知识和方法的深度组合与灵 是“高不可攀”的巅峰。但若揭开其神秘 活运用。 面纱，你会发现它并非一味追求偏题怪 题型一：恒等变形的“七十二变” 题，而是在你熟悉的数学版图上，向下深 强基题目中的恒等变形，往往需要 挖思想根基，向上构建高阶思维。三角函 你“反弹琵琶”。例如，备受青睐的正切 数与解三角形正是这样一个极具代表性 恒等式：在斜△ABC中，tanA+tanB 的板块。它承载的远不只是几个公式概 +tanC=tanA·tanB·tanC,这并 念，更是一套融合了代数变形、几何直观 非一个需要死记硬背的公式，而是两角 和逻辑推理的综合性思维体系。本文将 和正切公式的自然推论。它的价值在 带领同学们探寻强基计划中三角函数 于能够实现“和”与“积”的瞬间转化，为 与解三角形试题的思维突破之道。 使用基本不等式铺平道路。 一、认知升维：从“工具”到“思想” 例1(2024年清华大学强基计 在高考中，三角函数与解三角形大 划)已知{sin0,sin20,sin30}= 多扮演着“工具”角色，但在强基计划试 {cos 0,cos 20,cos 30),= 题中，它已升华为一种“思想”，一种考 解析：因为{sin0,sin20,sin30}= 查同学们能否在有限条件下，通过灵活 {cos0,cos20,cos30},所以sin0+ 变形、构造、放缩，达成目标的策略性思 sin 20+sin 30 cos 0+cos 20+ 维。在强基计划试题中，公式的运用倾 cos30,所以sin2(sin0+sim20+ 向于逆向、变形、构造；解题策略倾向于 多视角切入，灵活转化；核心思想倾向 sin38)=sin2（cos0+cos29十 于消元、换元、放缩、数形结合；思维深 度倾向于逻辑推理与创造性构造。总 cos30),所以sin 2sin +sin 2 sin 20 之，强基计划看重的是：当你面对一个 陌生复杂的三角函数或式子时，能否敏 +sinsin 30-sin cos sin cos 20 锐地观察到结构特征，并调用恰当的数 0 3 十sin2cos38,所以cos2 -cos 2+ 学工具来解决问题。 30 50 50 70 二、基础重塑：强基工具箱的三大 cos 2 +cos 2 支柱 30 50 30 70 强基中的“难”，并非天外飞仙，而 sin 2 sin 2+sin 2 -sin 2 +sin 2 12 强基溯源 50 -sn2,所以cos 70 70 (k∈Z),所以cosx为非零实数。所以 -cos- 2 =sin 2 (4-c2)tan2x+12tan x+9-c2=0, sim所以cos9。+s0N sim2 △=144-4(4-c2)(9-c2)>0,解得0 <c2<13且c2≠4。由根与导数的关 系知，tan atan3= 9-c2 4-c2,tan a+tan B 》.所以（唱+）-（号+）=39 12 4-c2。 所以tan(a+B)= 2kπ，k∈Z,或（ +）+(+） tan a+tan B -12 1-tan atan B (4-c2)-(9-c2) 40+2=(2k+1)π，k∈Z,所以0- 12 5 3,k∈Z,或0=4十1)π °，k∈Z,考 例3(2024年厦门大学强基计 8 2π4π 划)对于x∈ 虑周期性，只需要检验0=0， 02 ,则f(x)=√sinx 3’3 十√cosx的值域为( )。 2骨餐管1经枪验9- 8 A.[1,2] B.[1,2] 5π9元13π C.[1,8] D.以上全错 888符合0=0,3,3,2m,不 解析：因为x∈ 0, 2 ,所以0≤ 符合。所以0=46+1) ,k∈Z。 8 sinx≤1,0≤cosx≤1。设y=√sinx 题型二：代数工具的“降维打击” +√cosx,则y2=sinx+cosx十 对于三角函数的题目，常常会回归 2 sin xcos x。再设t=sinx十cosx 到代数求值的问题上。这时，强大的代 数工具便粉墨登场，真可谓“八仙过海， =sm(+》因为+∈[， 各显神通”。 例2(2025年北京大学强基计 3],所以1e1],且mxc0sx 划)若a,B是3cosx+2sinx=c的两 t2-1 个解，且a+B≠kπ(k∈Z),求tan(a十 2.所以y-+2 二t十 β)。 √2t-1,t∈[1，√2]，观察可知，在t 解析：由题意可知，(3cosx十 ∈[1，√2]时，y2=t+√2√2-1为增函 2sinx)2=c2(sin2x+cos2x),且a+十 数。又当t=1时，y2=1;当t=√2时， 日≠x(∈Z,故a,日均不为+x y2=22。所以1≤y2≤22。又y> 13 强基溯源 0,则1≤y≤√22=。故选C。 2.一元为本，极致消元思想 题型三：几何直观的“神来之笔” 多元问题是强基试题中常见的问 三角形不仅是三角函数的载体，其 题，我们的核心任务是“消元”。无论是 丰富的几何性质本身就是解题的利器。 通过三角恒等式消除角度，还是通过换 利用面积公式、几何构造，往往能从图 元消除不同名的三角函数，最终目标都 形中发现代数式难以揭示的关系，为问 是将多变量函数转化为单变量函数，再 题的解决提供简洁优美的路径。 使用导数或不等式工具解决。 例4(2024年上海交通大学强 3.数形结合，激活几何直觉 基计划)已知x2+(y一2)2≤1，则 不要在纯粹的代数变换中迷失。时 刻记住，我们面对的(cosx,sinx)是单位 x十3y的取值范围是 。 圆上的坐标，而求解的三角形是一个“有 Vx2+y2 血有肉”的几何图形，有时，画一条辅助 解析：令a=(x,y),由x2+（y 线，远比进行一堆代数运算来得直接。 2)2≤1知a=(x,y)的起点是(0,0)， 4.刻意练习，总结模型 终点在以(0,2)为圆心、1为半径的圆 从历年真题中总结常见的思维模 面上（包括圆周)。设b=（1,3),〈a, 型。例如，“与正切恒等式相关的三角 b)=0,则c0s〈a,b〉=c0s0= 形最值问题”“与sin2x十cos2x=1相 x+5y,即+5 关的配凑问题”等。强基的题目千变万 √2+y2X2 =2c0s0。由 化，但背后的思维模型是有限的。 图1知，0∈ 03 ,所 强基计划中的三角函数与解三角 形部分，就像一座桥梁，连接着初等数 以十3y =2cos 0 学的技巧之美与高等数学的思想之源。 √x2+y 它不需要你背诵什么神秘的口诀，而是 ∈[1,2]。 呼唤你回到数学的本源一用敏锐的 三、策略为王：构 图1 结构观察、灵活的代数变形、严谨的逻 建思维框架 辑推演，去征服每一个看似复杂的挑 1.以“式”论道，培养结构意识 战。当你不再满足于“会做题”，而是开 面对一个三角表达式，你的第一反 始思考“为什么这么做”和“还能怎么 应不应是“我背过这个公式吗？”而应是 做”时，你就已经踏上了真正的思维突 “这个式子的结构有什么特点？”是齐次 破之路。在这条路上，没有捷径，唯有 式？是具备和与积转化潜力的结构还 对数学之美的热爱和对思维极限的不 是可以通过换元简化的形式？训练自 断挑战方是根本。 己从式子的结构出发寻找方法。 (责任编辑王福华)》 14