解三角形一轮复习核心知识梳理-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

夯基固本 解三角形一轮复习核心知识梳理 ■云南省昆明市盘龙区财大附中 田红月 在新教材中，解三角形被纳入“平面 A+B C A+B -tan C;sin- =cos 2;cos 向量的应用”这一章节，成为向量代数运 2 2 算应用于几何问题的核心载体，也是高三 C sin 2 一轮复习的重点内容。新教材的编排重 (2)若△ABC为锐角三角形，则三 构了知识逻辑，打破了传统解三角形独立 模块的知识体系，要求依托向量的模、夹 个内角A:B,C满足：A十B>,即 角与数量积运算推导正、余弦定理，从向 sin A>cos B,sin B>cos A. 量视角揭示三角形边、角关系，实现向量 (3)边角大小关系：大角对大边，小 代数运算与几何性质的深度融合。本节 角对小边，即a>b台A>B。 将系统梳理解三角形的基础概念与重要 二、正弦定理 公式，全方位夯实该模块的复习根基。 1.正弦定理 一、基本概念与三角形内角恒等 在△ABC中，内角A,B,C所对 变换 的边分别为a,b,c,则有a b 1.解三角形定义 sin A sin B 在△ABC中，内角A,B,C所对 C =2R(其中R为△ABC的外 的边分别为a,b,c,三角形的三个内角 sin C 接圆半径)。 与三条边统称为三角形的元素；已知三 2.常用变形 角形中的部分元素，求解其余未知元素 (1)边化角，角化边：a=2 Rsin A, 的过程称为解三角形。 =2Rsin B,c=2Rsin C:sin A-2R' a 2.三角形边角关系 (1)任意三角形的三个内角A,B, b C有数量关系A+B十C=π，由此衍生 sin B= 2R sin C=2 Ria:b:c= 三角恒等变换：sin(A+B)=sinC; sinA:sinB:sinC。 cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)= (2)大边对大角，大角对大边：a一 夯基固本 b台A>B台sinA>sinB台cosA< 三、余弦定理 cosB。 1.余弦定理 a+b+c (3)合分比性质：sinA十sinB+sinC 在△ABC中，内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,则有a2=b2+c2- a+b a =2R。 2bccos A:b2=a2+c2-2ac cos B,c2= sin A+sin B sin A a2+b2-2 abcos C。 (4)由△ABC内角和定理A+B 2.余弦定理的变形 十C=π，可推出如下结论： b2+c2-a2 sin C=sin(A+B)=sin Acos B cos A 2bc cos B= +cos Asin B曰c=a cos B+bcos A。 a2+c2-b2 ,cos C= a2+b2-c2 2ac 2ab 同理有：a=bcos C+ccos B;b= 四、常用的三角形面积公式 ccos A+acos C;-cos C=cos(A+B) 1 1 -cos Acos B-sin Asin B;-tan C (I)SABc=2ah。=2h6= =tan(A+B)=tanA十tanB 1-tan Atan B 2ch:,其中h,h,:分别为三边对应 tan A+tan B+tan C=tan Atan B. 的高。 tan C. 2absin C=1 3.运用正弦定理判断三角形解的 (2)S△ABC= 2acsin B 个数 在△ABC中，已知a,b和A时， 2 bcsin A。 解的情况如下： 1 (3)S△ABc=2(a+b+c)r,其中r (1)如图1所示，A为锐角，a= 为△ABC的内切圆半径。 bsin A,有一个解。 abc (2)如图2所示，A为锐角，bsin A (4)Sax=4R,S△x=2R'sinA· <a<b,有两个解。 sin Bsin C,其中R为△ABC的外接 (3)如图3所示，A为锐角，a≥b, 圆半径。 有一个解。 (5)S△Ac=√p(p-a)(p-b)(p-c), (4)如图4所示，A为钝角或直角： 1 a>b,有一个解；a≤b,无解。 其中p=2a+b+c). 山公公 (6)A-BIAsin A: 2 Sax=·AP-AC. 图1 图2 图3图4 (责任编辑侯若晨) 8