三角函数在跨学科知识中的应用探究-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

智跨学科 三角函数在跨学科知识中的应用探究 ■安徽省霍邱师范学校 王春梅 ■安徽省霍邱县第一中学 余其权 新高考命题愈发重视跨学科融合 =103sin(100πt),即总电压的函数表 考查，不再单一考查公式套用，常依托 达式为u=103sin(100πt)。 交变电流、地形测绘、机械圆周运动等 (2)根据题意列出不等式10√3· 真实生活场景，融合三角恒等变换、正 弦型函数性质、三角不等式、函数最值 sin(100πt)>5√5。两边同除以10，√3，化 等考点，全面检验同学们的数学建模、 简得sin(100πt)> 2。由于0≤100xt 逻辑推导与综合运算等数学学科素养。 本文选取物理交变电流、地理测量、摩 ≤2，结合正弦函数图像，可得石< 天轮圆周运动三类典型题型，提炼各场 5π 景通用解题模型，系统归纳三角函数在 100πt< 6。 求出时间区间是 << 600 不同学科中的应用思路。 计算区间长度得到总持续时长： 应用一、交变电流（物理电学） 600 例1两个同频率交变电压：u1= 5 141 △t= 600 600600150(s)。故当0 10sin100πt 6 u2 10sin 100πt+ ≤t≤0.02时，总电压大于5√3V的持 6 ,总电压满足u=u1十u2。 线总时长是品 (1)求出总电压的函数表达式。 模型总结：交变电压叠加问题的核 (2)求当0≤t≤0.02（单位：s)时， 心，是利用和差化积公式、辅助角公式， 总电压大于5V的持续总时长。 将多组正弦信号整合为标准正弦型函 解析：(1)由总电压定义代入两式， 数。结合物理角速度与相位的对应关 运用和差化积公式可知总电压解析式 系，可将时间范围转化为相位区间，借 助单位圆求解三角不等式，换算出符合 uu+u2 10sin 电压阈值的持续时长。该建模思路适 用于交变电流、简谐振动、声波叠加等 10sin100t+ 200πt =10X2sin cos 6 周期性物理场景，三角函数恒等变换是 24 智跨学科 衔接物理实际问题与数学定量计算的 在Rt△PBC中，BC=PB=h,在 核心工具。 △ABC中，由余弦定理可得BC2= 应用二、地理测量 AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即 例2如图1，山顶P h2=3h2+40000-600h,h2-300h+ 在水平地面的垂直投影点 20000=(h-100)(h-200)=0。又因 为B,A在B的正东方，在 为h>100,解得h=200,所以山高PB A处测得山顶P的仰角为 图1 =200(米)。 30°。从A沿南偏西60°的 (2)由题意知△PGK为等腰直角 方向前行200米后到达C处，在C处测 三角形，所以可设PK=GK=x。又 得山顶P的仰角为45°，已知山高PB大 因为PB=200,四边形GHBK为矩 于100米，测量仪器的高度忽略不计。 形，所以GH=BK=200一x,BH= (1)求山高PB。 GK=x。又因为∠PFB=30°，所以 (2)如图2，从山顶 PF=2PB=400,FB=PF·cos30°= P到G处已修建一条索 NE-- 200√3。在Rt△GFH中，∠GFH= 道，现计划从G处到山 GH 脚F处修建一条近似为 图2 a(0°<a<30),所以FH= tan a 直线段的下山步行栈道。点G在山顶 P下方的山体上，点K在竖直线段PB 200-2.又因为FH=FB-BH= tan a 上，点H在水平地面的线段FB上，满 200√3-x,所以200√3-x= 200-x 足GK⊥PB,GH⊥FB,且点F、H、B tan a 共线，点P、K、B共线。在山脚F处 解得x= 200(w3tana-1) ,所以GH 测得山顶P的仰角为30°，∠PGK三 tan a-1 45°，∠GFH=a(其中0<a<30°)，已 200tana(1-3) 200-x= ,所以 知人在该步行栈道下山时，每行走一米 tan a-1 所消耗的能量为（√2+√6）sin2a焦 GH 200tana(1-√3) GF sin a (tan a-1)sin a 耳，若人从点G沿这条直线段下山栈 道步行至点F全程消耗的总能量不超 200(1-√3) (tan a-1)cos a 过400焦耳，求角α的最大值。 由题意可得(2+√6)sin2a·GF 解析：(1)设PB=h(其中h> 100)米，由题意可知∠PAB=30°， ≤40，所以1=5)E+,6)sime≤ tan a-1 ∠CAB=30°，∠PCB=45°，AC=200, h 1,整理得2√2 sin acos a≤cosa一 在Rt△PAB中，AB= tan 30=3h, sina,所以8sin2acos2a≤cos2a+sin2a 25 智跨学科 2 sin acos a=1-2 sin acos a。令t= 92.5m时，人的心跳速度就会加快，因 2 sin a cos a=sin2a,因为0°<a<30°， 此这段时间被称为“心跳加速时间”，求 游客甲在转动一周的过程中，处于“心 所以t=sin2a∈ 则有2t2≤1 跳加速时刻”的时间段。 -t,即2t2+t-1=(2t-1)(t+1)≤ 解析：（1)如图3所 0,解得0<1<号，即0<sm2a≤行 示，设座舱距离地面最近的 位置为点P,以轴心O为原 又因为0°<2a<60°，0°<2a≤30°，因 点，与地面平行的直线为x 图3 此0°<a≤15°，所以a的最大值为15°。 轴，建立平面直角坐标系。 模型总结：地形高程测量需拆分立 当t=0时，H=10,此时游客甲位 体空间，依托竖直直角三角形的正切关 于点P(0,一55)，取以OP为终边的角 系求解高度与水平距离，结合水平面方 位角，利用余弦定理完成平面测距。面 为一 根据摩天轮转一周大约需要 对能耗、路程等约束条件，可设倾斜角 30min,可知座舱转动的角速度约为 为变量，用三角函数表示线段长度，构 建不等式，结合三角函数的有界性求解 π i5rad/min,所以H=55sin5t 角度最值。该模型适配测绘、建筑、航 海等场景，解三角形公式是地形测量类 2+65,0≤t≤30. 问题的核心计算依据。 应用三、摩天轮机械模型（圆周运动） (2)h55sim-2）+65>92.5 例3摩天轮是一种大型转轮状 的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座 舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四 5 周景色。某摩天轮最高点距离地面高 G6 ,解得10<t<20,故第10min到 度为120m,转盘直径为110m,设置 20min为“心跳加速时间”。 有48个座舱，开启后按逆时针方向匀 模型总结：匀速圆周运动可转化为 速旋转，游客在座舱转到距离地面最近 三角函数模型，依托转盘半径、旋转周 的位置进舱，转一周大约需要30min。 期、初始位置确定正弦或余弦函数解析 (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开 式。根据高度阈值列出三角不等式，结 始转动tmin后距离地面的高度为 合函数图像与周期性，可求解对应运动 Hm,求在转动一周的过程中，H关于 时间区间。该建模方法可通用适配单 t的函数解析式。 摆运动、机械转动、天体公转等周期性 (2)当座舱距离地面的高度超过 往复运动问题。（责任编辑侯若晨） 26