探究解析几何中的定直线及其综合应用问题-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

解器年新摄碧型翻酒中学生教理化 探究解析儿何中的定直线及其综合应用问题 ■江苏省南通海门证大中学 顾陈泉 在解析几何中，有关定直线及其综合应 b 用问题，是探究在点的运动变化或图形的变 解析：(1)由题意知a=1,=tan3 化过程中，相关动点的变化均在定直线上的 √3，所以b=√，故双曲线C的标准方程为 一类创新应用问题。其是立足直线与圆锥 x-y 1。 曲线的位置关系及其综合应用，借助曲线的 轨迹方程的求解，利用动点自身的特点采用 (2)易知T(2,0)为双 一些特殊方法。本文结合解析几何中定直 曲线的右焦点，如图1所 线的几类常见类型，通过实例加以剖析。 示。 一、动点在定直线上 由题意知，直线（的斜 率存在，设斜率为k,则直 图 例1在平面直角坐标系中，已知双 线L的方程为y=k(x 曲线C:一1(a>0,b≥0)，其右支与 2),且-3<k<√5。 x轴的交点坐标为(1,0)，其中一条渐近线 设A（x1,y1),B(x2,y2),联立 的倾斜角为。 y=k(x一2)， 消去y整理得(3一k2)x2十 (1)求双曲线C的标准方程： 3 (2)已知直线1过点T(2,0),且其与双 4k2x-(4k2十3)=0，则△>0，x1十x2= 曲线C的左、右两支分别交于点A、B,在线 —4k2 段AB上取一点E,满足|AE|·|TB|= 3-k2x1x2=- 4k2十3 3-k,且x1≤-1,1≤ |EB|·|AT|,证明：点E在一条定直线上。 x2<2。 6个个个60个066个6个66个6个66·个666个60g个60个606个6666966个60 tan∠PBQ|= k1一k: 1 系。特别对于圆锥曲线中相关要素的取值范 1十k1k, 围、最值等问题的探究，一般转化为对函数的 因为k1一k2|=√(k1十k2)一4k1k, 基本性质的研究问题，或对不等式的研究问 V94.3 √t+9 题等。 12 3 其实，解决圆锥曲线中的探究性综合问 以+2 题，特别是以点、直线、参数等相关元素的存在 ,解得t=士√7。 性的探究为场景的问题时，往往基于对应元 所以|BM|=√7，故存在符合题意的点 素，或肯定顺推法处理，或探究转化法解决，这 B,使得N卫.NQ=O,此时|BM=7。 是两种最为常见且基本的解题思维与方法。 ,点评：利用探究转化法解决圆锥曲线中 当然，根据具体的问题场景，如确定点的存在 的探究问题时，转化探究方向可以使得问题 性时，反证法与验证法也是常用的方法。结合 的突破与求解更加容易操作，如将平面图形 具体场景与应用，灵活变化，活学活用。 的形状、角的关系等转化为直线的斜率的关 (责任编辑王福华) 19 中学生表理化学新摩程猜 设E(xo,yo),因为点E在线段AB上， x=y+1, 所以x1<xo<x2。 联立 消 4 +y2=1, 由|AE|·1TB|=EB·|AT|,可得 √1十k(x。-x1)·WI+k(2-x2)= 去x整理得(m2十4)y2十 2y-3=0,△=4m2+ √十kF(x2一x。)·√十k(2一x1),化简 图3 12(m2十4)>0显然成立。 得4x0-（2十x。)(x1十x2)十2x1x2=0, 设Q(x1,y1),P(x2,y2),y1>0,y2 代人x1十x和x1x2并化简可得x,=之 1 2m 3 0,则y1十y2= m2+4’y1y2= 所以存在点E满足条件，并且点E在定直 m2十41 所以2my1y2=3(y1+y2)。 线x=上。 点评：证明解析几何场景下点在定直线 设直线D,Q:y-产2(x-2),直线 上的一般方法与技巧策略为：(1)几何思维， DP:y=牛2红十2》，联立两方程消去y 借助圆锥曲线图形的对称性来确定动，点的 相关坐标；(2)代数思维，联立直线、曲线等 整理得[y1(x2十2)-y2(x1-2)]x= 之间的关系式构成方程（组）来求解对应的 2y1(x2+2)+2y2(x1-2)。 坐标，进而代入关系式加以变形与转化，合 因为x2=my2十1，x1=my1十1，所以 理消参来实现问题的突破与解决。 [y1(my2+3)-y2(my1-1)]x=2y1(my2 二、交点在定直线上 +3)+2y2(my-1),即(3y1+y:)x= 例2如图2所示，在 4my1y2+6y1-2y2。 又因为4my1y2=6(y1+y2),所以(3y1 △ABC中，|BC引=2√3， +y2)x=6(y1+y2)+6y1-2y2=12y1十 1AB|+AC|=4,若以BC 4y2,而3y1十y2不恒为0，故x=4。 所在直线为x轴，线段BC 图2 综上所述，交点E在定直线x=4上。 的垂直平分线为y轴，建立 点评：解决此类涉及交点在定直线上的 平面直角坐标系。设动顶点A(x,y)。 问题，关键是通过联立直线的方程，或寻找 (1)求顶点A的轨迹方程。 两直线方程之间的关系来分析，从而实现交 (2)记第(1)问中所求轨迹为M,设 点在定直线上的判断问题。 D1(一2,0)，D2(2,0),过点1,0)作动直线l 三、三角形“四心”（内心、外心、重心、垂 与曲线M交于P,Q两点（点P在x轴下 心)在定直线上 方)。求证：直线D1P与直线D,Q的交点 E在一条定直线上。 例3(2025年河北衡水模拟)已知 解析：(1)由|AB|十|AC|=4>|BC F,F:是椭圆C:若+芳-1(a>6>0)的 =2√3，可知点A的轨迹是以B,C为焦点 左焦点和右焦点，点M(1,1)在椭圆C上， 的椭圆（去掉（一2,0），(2,0)两点)，且该椭 且点M到点F1,F,的距离之和为2√3。 圆的长轴长为2a=4,焦距为2c=2√3，所 (1)求椭圆C的标准方程。 以a=2,c=√5，则b=√a'-c=1。 (2)已知直线1的斜率为2，其与椭圆 所以顶点A的轨迹方程为十y=1 C交于A,B两点，试问：△MAB的外心是 (y≠0)。 否在一条定直线上？若在，求出该直线的方 (2)由题意可设直线（的方程为x= 程；若不在，请说明理由。 my十1，如图3所示。 解析：(1)易得椭圆C的标准方程为 20 解数新题碧捏滑中学生表理化 x2,2y2 3+1。(过程略) 3 联立 行十合1，消去y整理得 2 y=kx+1一k, (2)△MAB的外心 (2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-3= 在定直线2x一y-1=0 4k(1-k) 上。理由如下： 0,则x1十1=一 2k2+1。由4=4(2k+ 由题意可设直线 1 1)>0得k≠-名，则≠-号且≠0. 的方程为y= x十t,如 图4 设线段MA的中点为N(xo,yo),则有 图4所示，因为直线l不能过点M(1,1),所 ,=,1=-250=2,所以=x,十 以是 2 2k2+1 1一k 1-k= 2k2+1 y= 2x十t, 202+1-=2,即 联立 消去y整理得3x N(- 2k(1-k)1-k) + =1, 2k2+12k2+1) 3 所以线段MA的垂直平分线的方程为 +4tx+4t2-6=0,由△=16t2-12(4t2 1一k ,2k-2k2 6)20,解得-是<1<号，且≠2 y 2k2+1 友（x+2+1小，即y= 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2 名品 1 ① x1x2=46 At 直线MB的方程为y一1=一k(x一1)， 30 1 若直线MA⊥x轴，则A(1,一1)，代入 k≠0，且k≠之，同理可得线段MB的垂直 1 直线L:y=2x十t,得t=一2，不符合题 平分线的方程为y=1x一k十1 Ex一2k+1 ② 意，故x1≠1。 联立①②，消去参数k可得2x一y一1=0， 同理可得x2≠1。 故△MAB的外心在定直线2x一y-1=0上。 所以直线MA,MB的斜率一定存在。 点评：三角形外接圆的圆心在三角形各 所以如十如一二+二 x21 边的垂直平分线上，利用线段的中点及直线 的垂直关系即可求解。对于涉及三角形的 (3x+-,-1)+(经+-1红，-1D “四心”在定直线上的问题，关键在于剖析相 (x1-1)(x2一1) 关三角形的“心”（内心、外心、重心、垂心）的 +-2)+)-2+2 特征，构建与之吻合的条件来分析与求解。 (x1-1)(x2-1) 其实，解决定直线问题的核心在于确定 定点的轨迹，无论哪种类型的定直线问题， +)() -2t+2 万变不离其宗，比较常用的方法有：①设点 (x11)(x2-1) =0,即 法：设点的轨迹，通过已知点的轨迹，消去参 直线MA与MB的斜率之和为零。 数，从而得到轨迹方程；②待定系数法：设出 设直线MA的方程为y一1=k(x 含参数的直线方程，利用待定系数法求解出 1),即y=k.x十1一k。 系数；③验证法：通过特殊点位置求出直线方 若k=0,则直线MA:y=1,此时A的 程，对一般位置再进行验证。在平时的学习 坐标为(-1，D.代入直线1：y=x十，得 过程中，只要我们能合理总结、理解并掌握这 些相关的技巧方法，定直线问题将迎刃而解。 :=号不符合题意，故人0 (责任编辑王福华) 21