三角函数单调性及其应用问题中的易错点归类探析-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

解数孕械题*塑折中学生表理化 三角函数单调性及其应用问题中的易错点归类探析 4 ■广东省东莞市东华松山湖高级中学 刘梅 三角函数作为高中数学的核心知识模块 「11π15π7 和高考重点考查内容，其单调性作为主要考 8,8J 查形式，往往因问题的高度抽象性和逻辑复 ,点评：本题要求对给定的一般三角函数 杂性成为同学们复习的难点与易错点。本文 进行化简后，求其在限定范围内的单调增区 系统梳理三角函数的单调性及其应用问题， 间。解题时需先通过恒等变换将函数化为标 深人剖析典型易错点，旨在帮助同学们精准 准形式，再类比正弦或余弦函数的单调性求 识别失分原因，提升解题能力。 解。需特别注意以下易错点：第一，避免直接 一、判断三角函数的单调性 求导，而应通过三角函数特性类比分析；第 此类问题主要考查三角函数的基础知 二，化简时需灵活选择恒等变换公式；第三， 识，核心形式包括求单调区间和判断单调性。 需考虑三角函数的周期性对单调区间的影 解题时需先通过变形将函数转化为标准三角 响，并在解题中完整呈现，如引入并附上 函数表达式，再借助正弦或余弦函数的单调 k∈乙；第四，确定单调区间前，需先根据限定 性进行类比分析，从而准确判断或求解目标 范围确定k的值，再代入即可。 函数的单调性特征。 二、由三角函数单调性求参数 例1已知函数f(x)=cosx一 此类问题属于三角函数单调性的应用问 sin xcos x,求函数f(x)在(0,2π)内的单调 题，主要考查通过单调性求解参数的值或取 增区间。 值范围的能力。解答时需遵循以下步骤：首 解析：已知函数f(x)=cosx一sin xcos x 先，通过恒等变换将函数化为标准形式；其 1 = (2cos2sin c(2co 次，根据函数单调性建立与参数相关的等式 或不等式；最后，通过解方程或不等式求出参 2sin cos() 数的值或取值范围。解题过程中需注意函数 合-（竖os2x-m2）+ 2 化简的准确性和单调性判断的严谨性。 例2已知函数f(x)= 2 sin wx- 号=(2x+)+日：因为函数y=ox cos?a 上单调递减， 的单调增区间为[一π十2kπ，2kπ](k∈Z),所 >0)在区间[ 以有一元十2x≤2x十开≤2kx(k∈Z),解得 求实数w的取值范围。 解析：已知函数f(x)= 5m+k≤≤S十kπ(k∈Z)。因为xG 2 sin wx- 8 8十6元<2 cos2 2x 3 2 sin wx-2 cos- (0,2π)，所以3 5π 解得5 <k< 1 十kπ>0， sin(or一若)-2.又正弦函数y=sinx的 8。又k∈乙，所以k=1和k=2,因此函数 1 单调减区间为[+2k,+26k∈ f(x)在(0,2π)内的单调增区间为 「3π7π] π3π L881 所以 2 十2k元≤wx一石≤2 +2kπ(k∈Z), 29 中学生表理化学品军类朝析 解得2π 30 2kr≤x≤3 5元+2kπ(k∈Z)。因为 cos(r+3)sin(x+)+cos(r+ 函数f(x)在区间「工，]上单调递减，所以 6'2 】=[smx+)+o(x+)]· ω 解得4+12k≤0≤10+12k sine+)-cos(e+晋】=sim(x+晋） 5π 2kπ 3 23a cos(+)=-cos(2x+）。当x∈ 因为w>0,所以4+12k>0,10+12k 3 4十 []时2x+e[臣 因为余弦 12k,解得一子<k<-立：又k∈N,所以 1 函数g(x)=c0sx在[臣，可上单调递诚，在 w∈必。故实数w的取值范围为心。 点评：本题是根据已知三角函数的单调 [,上单调通增，所以m()=g() 减区间求解参数的取值范围。解题方法和步 骤按照前面梳理总结的进行即可。解题过程 1,m()=g(）=。故当x∈[-， 中需注意以下易错点：第一，避免直接求导， ]时，函数m(x)的值域为[一1，] 而应通过三角函数特性类比分析；第二，需完 整呈现周期性而引入k,并附上∈Z;第三， 点评：本题属于利用三角函数单调性求 比较函数固有单调区间与题目给定区间时， 解函数的值域。求函数值域的本质是确定其 需明确两者关系以建立参数不等式；第四，注 最值，而最值求解必须建立在明确单调性的 意隐含条件对参数范围的限制，如ω0。解 基础上。解题过程中需注意以下易错点：第 题过程中需严格遵循“函数化简一区间分 一，化简过程的准确性，确保恒等变换的正确 析一参数求解”的步骤，确保逻辑严密。 应用；第二，明确单调性分析路径，既可从简 三、求三角函数最值（极值） 单函数推导目标函数，也可将目标函数性质 此类问题也属于三角函数单调性的应用 反向转化为筒单函数；第三，建立单调性对应 问题，主要考查通过单调性求解函数最值（极 关系时需保持逻辑严谨，避免推理错误。 值)的能力。解答时需遵循以下步骤：首先， 三角函数的单调性及其应用是三角函数 通过恒等变换将函数化为标准形式；其次，根 知识模块中的核心内容，也是高考考查的热 据函数性质判断其单调性；最后，结合单调性 点形式之一。本文系统梳理了相关题型，将 确定最值（极值）。解题过程中需注意函数化 其归纳为三大类：判断三角函数的单调性、由 简的准确性、单调性判断的严谨性，以及周期 单调性求参数取值范围、根据单调性求函数 性对最值分析的影响。 最值，其余题型基本可以化归为这三类当中 例3已知函数f(x)=sinx,g(x) 的一类或多类。针对每类题型，先分析其命 题特征，再提炼对应的解题策略，最后重点剖 cosx,m(x)-[f(x+)+g(x+)门： 析各类题型在解答过程中的典型易错点。三 [r(-)+g(-)],求当x∈ 类题型比较常见的易错点主要包括：第一，忽 视三角函数的周期性导致区间遗漏，或是忽 [一竞，]时，函数m(x)的值域。 视了参数k及其范围的引入；第二，参数求解 时未考虑定义域限制；第三，最值分析中忽略 解析：由函数f(x)=sinx,g(x) 边界条件等。通过建立“题型特征一解题方 osx,得m(x)=[r(x+)+g(x+)门 法一易错警示”的三维分析框架，为单调性问 [f(-君)+x(e-】-[sin(x+) 题的系统掌握提供了完整的解题路径。 (责任编辑王福华) 30