解三角形视角下“布洛卡点”的性质探索与试题命制-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

大中衔接 解三角形视角下“布洛卡点”的性质探索与试题命制 ■广东省惠州仲恺中学 陈伟流 布洛卡点最早于1816年被德国数 PCsin∠BAC 同理可得 PB 学家克雷尔发现并记录在案，在高等教 b 育中成为微分方程、高等几何（变换与 sin PC sin0 射影)，以及代数几何等多个大学数学 sin∠ABC, a sin∠ACB' 的分支的概念交汇点。凭借其丰富的 PAsin∠ABC sin(∠ABC-0)= 几何内涵，布洛卡点高度契合高考试题 PBsin∠ACB 改革中强调的“新定义”“创新题”等变 sin(∠ABC-0)= 。 所 化趋势。 以sin(∠BAC-0)sin(∠ABC-0)· 【性质探索】 如图1，已知 sin(∠ACB-0)= PCsin∠BAC b △ABC中，A,B,C PAsin∠ABC PBsin∠ACB 的对边分别为a,b, e c,若其内部有一点 图1 PC.PA.PB ·sin∠BAC· P满足∠PAB a sin∠ABCsin∠ACB=sin30。 ∠PBC=∠PCA=0,则称点P为 (2)设△ABC,△PAB,△PBC, △ABC的布洛卡点，0为△ABC的布 △PAC的外接圆半径分别为R,r1, 洛卡角。以下为同学们介绍布洛卡点 的6个重要性质，并给出证明 r2,r3,则有r1·r2·r3=R3。 证明：由性质(1)知，在△APC中， (1)sin(∠BAC-0)sin(∠ABC- AC b 0)sin(∠ACB-0)=sin30。 r3 2sin∠APC2sin∠BAC。 同理 证明：在△APC中，∠APC=π 0-∠PAC=π-0-（∠BAC-0)=π 可 得r1= 2sin∠ABC,r2 一∠BAC,由正弦定理可得 PA a sin 0 2sin∠ACB° 所以r1·r2·r3 b b a sin∠APC sin∠BAC 2sin∠ABC 2sin∠ACB PC PA b b sin(∠BAC-0)' 所以 b 2sin∠BAC 2sin∠ABC sin 0 sin∠BAC,sin（∠BAC-0)= a 2sin∠ACB 2sin∠BAC =R3。 21 大中衔接 (3)若△ABC为非直角三角形，则 1 sin20+cos20 1 =1+ =1+ 1 1 sin20 sin20 tan20 有 n0-ian∠BAC+an∠ABC+ 1 1 1 2 1 a2+b2+c2 tan∠BAC tan∠ABC tan∠ACB/ tan∠ACB 4S△ABC ； sin20 1 1 =1+ 1 1 1 tan2∠BAC tan2∠ABC sin2∠BAC sin∠ABC sin∠ACB° 1 2 tan2∠ACB + 证明：设PA=m,PB=n,PC= tan∠BACtan∠ABC p,在△PAB中，由余弦定理和面积公 2 tan∠ABCtan∠ACB 式得1 cos 0 c2+m2-n2 tan 0 sin 0 2 nc sinθ 2 由tan(∠ABC c2+m2-n2 tan∠BACtan∠ACB。 4S△PAB ,故4S△PAB=(c2十m2- +∠ACB+∠BAC)=0可得 n2)tan0。同理可得4S△PBc=(a2+n2 tan∠ABC+tan(∠ACB+∠BAC) -p2)tan0,4S△Pac=(p2+b2-m2)· 1-tan∠ABC·tan(∠ACB+∠BAC) = tan0。所以4S△ABc=4S△PAB十4S△PBC 0,即 tan ∠ABC+ tan∠ACB+tan∠BAC 1 +4S△pac=(a2+b2+c2)tan0,即 tan 0 1-tan∠ACBtan∠BAC =0,即 a2+b2+c tan∠ABC+tan∠ACB+tan∠BAC 4S△ABC 。 在△ABC中，由余弦 tan ∠ABC·tan∠ACB· 1 1 定理和面积公式得 tan∠BAC,故 tan∠BAC tan∠BACtan∠ABC cos∠BAC b2+c2-a2 1 sin∠BAC 2 bc sin∠BAC tan∠ABCtan∠ACB b2+c2-a2 1 coS∠ABC tan∠BACtan∠ACB 1,即.1 -=1 4S△ABC ”tan∠ABC sin∠ABC a2+c2-b2 a2+c2-b2 1 1 +1+ +1+ 2 acsin∠ABC 4S△ABC tan2∠BAC tan2∠ABC 1 cos∠ACB 1 1 tan∠ACB sin∠ACB tan2∠ACB sin∠BAC a2+b2-c2 a2+b2-c2 1 1 三式相 2 ab sin∠ACB 4S△ABC sin'∠ABC+ in∠ACB 加得 1 1 tan∠BAC × tan∠ABC (PAPBPC c a b =2cos0。 1 1 a2+b2+c2 tan∠ACB tan 0 4S△ABC 证明：由性质(1)知PA 22 大中衔接 sin(∠ABC-0) sin 0 a2c2-b2c2=0,即(a2-b2)2+(a2-c2)2 sin∠ABC =c0s0- tan∠ABC° +(c2-b2)2=0,所以a2=b2=c2,即a= 同型可得 sin 0 =c0s0一 b=c,因此△ABC为等边三角形。 tan∠BAC' 【练一练】若△ABC内一点P PB sin 0 =cos 0- a tan∠ACB。由性质(3) 满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=0,则 可得PA+PB+PC 称点P为△ABC的布洛卡点，0为 =3cos0-sin0· a 十b △ABC的布洛卡角。如 1 图2，已知△ABC中，BC tan∠BAC tan∠ABC =a,AC=b,AB=c,点 1 1 P为的布洛卡点，0为 tan∠ACB =3cos0-sin0· 图2 tan △ABC的布洛卡角。 2cos0。 PB 1)若b=c,且满足PA =3,求 (5)若∠PAC=∠PAB=0,则恒 有a2=bc。 ∠ABC的大小。 证明：由性质(3)知a2+b2十c2= (2)若△ABC为非直角三角形： 4S△ABC_ 2bc sin 20 =4bc cos20=2bc (1 ①证明： tan 0 tan 0 tan 0 tan∠BAC cos 20),a2+62+c2-26c= 1 1 2 bc cos20=b2+c2-a2,即a2=bc。 ian∠ABC+an∠ACB: 注：在性质(5)的条件下，结合 ②若0=6，请判断△ABC的形状 △ABC三个顶点的等价轮换性可知， 并说明理由。 当△ABC的某个内角被平分时，该角 的对边是另外两边的等比中项。 答案：（∠AC=否(2）①证明 (6)若0=石，则△ABC为等边三 略；②△ABC为等边三角形，过程略」 基金项目：广东省惠州市2025年 角形。 度教育科学规划课题“四新”背景下高 证明：由性质(3)知a2+b2+c2= 中数学试题命制路径的探索与实践（编 4√3S△ABc=2√3 acsin∠ABC= 号：2025hzkt304);广东省2025年中小 23ac√1-cos2∠ABC 学教师数学素养提升工程专项科研课 题AI赋能下基于深度学习教学理念 25a2c2- 2+c2-b1 a ,两边平方 的数学思维品质培养的实践研究（编 可得(a2+b2+c2)2=12a2c2-3(a2-b2 号：GDSZSYKT2025214)。 +c2)2,化简可得a4+b+十c4-ab2 (责任编辑侯若晨) 23