答案偶合非真解逻辑疏漏陷误区-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

错解剖析 答案偶合非真解 逻辑疏漏陷误区 道解三角形最值问题错因剖析 ■河北南宫中学 赵 剑 霍忠林 在数学解题中，同学们有时仅以最 当且仅当a=b时等号成立，此时cosC 终结果正确与否作为评判标准，而忽视 对解题过程的审视与反思。事实上，当 取得最小伯名，所以mC取得最大做 解题逻辑存在疏漏时，仍有可能偶然得 √15 出正确答案，倘若对此不加甄别、及时 8 纠正，极易造成数学思维逻辑的混乱， 1 因为S△Ac=2(a十b十c)r= 难以实现解题方法的归纳迁移与灵活 2 absin C,所以r= absin C absin C 应用。因此，数学解题不仅要关注结果 a+b+c 5c 的正确性，更要重视解题逻辑的正确性 absin C ab 和解题过程的严谨性。 5X2 Rsin C10R° 一、试题与错解 a+b12 在△ABC中，内角A,B,C的对 ab 2/ 2c2 故 10R2 10R2 5R2 边分别为a,b,c,且a+b=4c,△ABC 的内切圆半径为r,外接圆半径为R, 2(2R sin C)2 815)2 5R2 5 sin'C 58 求R的最大值。 正确答案：8 当且仅当a=b且sinC- 3 15 时等 错解一 由余弦定理得cosC= a2+b2-c2 a2+b2- 号成立：做后的最大值为 2ab 2ab 点评：错解一通过两次基本不等 1 ab 1 ab 式，再结合不等式的传递性，最终得到 16 (a2+b2)- 8 :X2ab- 1 8 7 2ab 2ab 后的装大值为了这与正确答案相同， 18 错解剖析 并且等号成立的条件a=b和sinC= 的最大值，但是不等式却传递不过去 √15 了。 可以同时满足。但是这个解法是 8 我们再看题干条件a十b=4c,错 存在问题的，同学们可以看出问题所在 解一中在利用基本不等式求cosC的 吗？ 最小值时，等号成立的条件是a=b,此 错解二由错解一知尺=1R, ab 时再结合a十b=4c,就能得到a=b= 2c,此时△ABC的三个内角A,B,C r2 Rsin A·2 Rsin B 由正弦定理得 的值已经确定了，易得此时cosA= R 10R2 5 sin Asin B= 5[cos (A-B)- casB-7osC-名即mA-mB V15 R5sin Asin B 2 cos(A+B)]= 5 [cos (A-B)+ cosC]≤号1+e0sC,当且仅当A 8,所以错解一后续的处理都是在a B时等号成立。 =b=2c条件下进行的，再利用不等式 而由错解一知c0sC的最小值为 6≤士)求报值，这显然是不行合 「日，当且仅当a=b时等号成立，所以 逻辑的，也就是说错解一是默认a=b 1+oc)≥+}-≤ (即A=B)时，发取得最大值，因此虽 然最终也得到了正确答案，但是这不是 亏(1十osC),此时不等式却传递不过 “真解”，这是“歪打正着”。如果这是道 去了。 选择题，那么尚可拿分；如果是道解答 二、错解剖析 题，那么将会因过程而失分。而这个 上述两种解法都是多次使用取等 “多次取等”的逻辑疏漏也导致错解二 条件并且取等条件均可以同时满足，但 出现了问题。 是却得到截然不同的结果，到底哪里出 三、正解与解析 问题了呢？由错解一知，当△ABC为 由错解三知天=5 sin Asin B。 等腰三角形（即a=b,A=B)时发取得 由正弦定理得sinA十sinB= 最大值，错解二正是抓住A,B的对称 A+BA一B 4sinC,即2sin 性，将cos(A一B)的值放大为1，得到 2 -COs 2 cos(A一B)≤1，按说也应该能得出R A+B A+B 4sin (A+B)=8sin2cos- 2， 19 错解剖析 A+B A-B 而sin ≠0，所以cos 的最大值为8 个 A+B A B 点评：正解通过三角恒等变形，将 2,即cos2cos2+sin2 A B A B 含有nA,mB的数变量问题发 -4cos 2 cos 2 -4sin ?sin2,即 2 A A B 亏sin Asin B转化为仅含有tan2的单 3cos 2 cos 2 =5sin sin2,所以 变量问题，再借助基本不等式来处理。 tan 2tan 2-5. A√/15 并且取等条件是tan),此时结 AA 2sin cos2 AB3 B√15 而sin Asin B= 合tan)tan2=5知tan2j,屈 sin2 A +cos 2 A=B,这也解释了为什么错解一可以 B B A “歪打正着”。 2sin 2cos2 2tan 2 四、解题与感悟 B A 1.理顺变量关系，消元才是王道 2 1+tan? 2 函数是贯穿整个高中数学的主线， B 2tan 2 多变量问题是高考数学备考的常见题 型，解决多变量问题的通法就是将复杂 1+tan2 2 的多变量问题通过换元、消元等手段将 其转化为单变量问题，再依托函数思想 Atan 2tan 2 或基本不等式进行解答。 tan? 2 tan? B +tan:4 +tan2 B+ 2.解题切勿只看结果，更需深究内 在逻辑 12 12 5 5 数学学习离不开解题，解题结果正 9 34 3 确不代表解题思路无误，有时仅凭巧合 34 +tan2 A 25 25 +2× 也能得出正确结果，比如本题中的错解 25 A tan 2 一；若只满足最终答案，忽视解题逻辑 的正确性，则容易埋下思维漏洞，因此 15 16 解题时要认真审视每一步推理依据，理 _√15 清解题内在逻辑，及时发现并修正思维 当且仅当tan2 时等号成 谬误，只有这样才能提高解题技能，提 15 升数学素养。 立，故sin Asin B的最大值为6，从而 (责任编辑侯若晨) 20