平面向量与复数高考一轮复习攻略-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

夯基固本 平面向量与复数高考一轮复习攻略 ■安徽省蚌埠第五中学 杨明正 平面向量与复数在高中数学中占 意向量a,有且只有一对实数入1，入2，使 据着核心的“桥梁”与“工具”地位。向 a=λ1e1+入2e2o 量具有“数”与“形”的双重身份，既能进 其中，不共线的向量e1,e2叫作表 行代数运算，又有明确的几何意义，这 示这一平面内所有向量的一个基底。 种双重身份使其成为沟通代数与几何 4.平面向量的坐标运算 的桥梁。复数作为中学阶段数系扩充 (1)向量加法、减法、数乘及向量的 的最终环节，搭建起实数、平面向量、几 模。 何之间的桥梁。 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 一、平面向量的核心概念与主干知识 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b= （一)核心概念与主干知识 (x1-x2,y1-y2),Aa=(λx1,λy1), 1.向量的线性运算 |a|=√x1+yi。 如表1所示。 (2)向量坐标的求法。 表1 ①若向量的起点是坐标原点，则终 向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 点坐标即为向量的坐标。 ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则 交换律：a十b 求两个向 =b十a:结合 加法 量和的运 形法 律：(a+b)+ AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= 分 c=a+(b+ c) V(x2-x1)+(y2-y1)7 平行四边形法剥 求a与b 5.平面向量共线的坐标表示 的相反向 减法 a-b=a+ 量-b的 (-b) 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其 和的运算 中b≠0，ab台x1y2-x2y1=0。 求实数入 λa=入a,当λ 入(4a）= >0时，λa与a的方 6.向量的夹角 与向量a (4)a:(λ+ 数乘 的积的运 向相同：当入<0时， 4)a=λa+ (1)定义：已知两个非零向量a和 a;入(a+b) 算 aa与a的方向相反； 当入=0时，a=0 =Aa+λb b,OA=a,OB=b,则∠AOB就是向量 2.两个向量共线定理 a与b的夹角。 向量b与非零向量a共线的充要条 (2)范围：设0是向量a与b的夹 件是：有且只有一个实数入，使得b=a。 角，则0°≤0≤180°。 3.平面向量基本定理 (3)共线与垂直：若0=0°，则a与 如果e1,e2是同一平面内的两个 b同向：若0=180°，则a与b反向：若0 不共线向量，那么对于这一平面内的任 =90°，则a与b垂直。 夯基固本 7.平面向量的数量积 2.四个常用结论 定义：设两个非零向量a,b的夹 (1)一般地，首尾顺次相接的多个 角为0，则|a|bcos0叫作a与b的数 向量的和等于从第一个向量的起点指 量积，记作a·b。|a|cos0叫作向量a 向最后一个向量的终点的向量，即 在b方向上的投影，bcos0叫作向量 A1A2+A2A3+A3A4十…十Am-1A b在a方向上的投影。 =A1Am。特别地，一个封闭图形首尾 几何意义：数量积a·b等于a的长 连接而成的向量和为零向量。 度|a|与b在a的方向上的投影b|· (2)若P为线段AB的中点，O为 cos0的乘积。 8.向量数量积的运算律 平面内任意一点，则0示=(O+ (1)a·b=b·a。 0B). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(b)。 (3)若A,B,C是平面内不共线的 (3)(a+b)·c=a·c+b·c。 三点，则PA+PB+PC=0台点P为 9.平面向量数量积的有关概念 △ABC的重心。 已知非零向量a=(x1,y1),b= (4)在△ABC中，AD,BE,CF分 (x2,y2),a与b的夹角为0，相关概念 别为三角形三边上的中 如表2所示。 线，它们交于点G(如图1 表2 所示)，则点G为△ABCB 的重心，且有如下结论： 图1 概念 几何表示 坐标表示 模 |al=a·a |a=√x+y明 ①GA+GB+G元=0； a·b x1x2十y1y2 夹角 cos cos 6= lallbl Wxi+yi√x+y ②G-号a+心. a⊥b的 充要条 a·b=0 x1x:+y1y:=0 ③Gi-1 (GB +GC),GD= 件 (二)特别注意 c店+C. 1.几个特殊向量 (5)若OA=λOB+OC(入，4为常 (1)要注意0与0的区别，0是一 数)，则A,B,C三点共线的充要条件 个实数，0是一个向量，且|0川=0。 (2)单位向量有无数个，它们大小 是入十以=1。 相等，但方向不一定相同。 (6)对于任意两个向量a和b,都 (3)与向量a平行的单位向量有两 有1Ia|-|b|1≤a±b≤|a|+Ib|。 个，即向透合和一 (7)若a与b不共线，λa十b=0 (入以为常数)，则入==0。 10 夯基固本 3.有关向量坐标的两个结论 (a+bi)(c-di) ac+bd bc-ad (1)已知P为线段AB的中点，若 (c+di)(c-di) e2+dzi(c A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为 +di≠0)。 c1+x2.y1+y2 (2)复数的运算律。 2 2 对任意z1,之2之3∈C: (2)已知△ABC的顶点A(x1, ①复数的加法满足交换律、结合 y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则重心G 律，有之1十之2=之2十之1，（之1十之2）十之3 的坐标为 /x1十x2十x3y1十y2十y3 =之1十（之2十之3)。 3 ②复数的乘法满足交换律、结合 4.平面向量数量积运算的三个常 律、分配律，有之1之2=之2之1，（之1之2）之3 用公式 =之1（之2之3)，之1（之2十义3）=之12十 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2 之1之30 (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2。 (二)特别注意 (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2。 1.三个易错点 二、复数的核心概念与主干知识 (1)两个虚数不能比较大小。 (一)核心概念与主干知识 (2)利用复数相等a+bi=c十di列 1.复数的几何意义 方程时，注意a,b,c,d∈R的前提条件。 (1)复数x=a+bi 一对应，复平 (3)注意不能把实数集中的所有运 面内的点Z(a,b)(a,b∈R)。 算法则和运算性质照搬到复数集中来。 (2)复数z=a+bi(a,b∈R) 例如，存在之1，之2∈C,使之1十x2=0,就 一一对应，OZ。 不能仅推出之1=之2=0，因为之2<0在 2.复数的运算 复数范围内有可能成立。 (1)复数的加、减、乘、除运算法则。 2.复数代数运算中常用的结论 设之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c, (1)(1+i)2=2i:(1-i)2=-2i; d∈R),则： 1+i.1-i =-i。 ①加法：z1十之2=(a+bi)十(c十 1-ii+ di)=(a+c)+(b+d)i; (2)-b+ai=i(a+bi)。 ②减法：之1-x2=(a+bi)-(c十 (3)i4n=1,im+l=i,im+2=-1, di)=(a-c)+(b-d)i; in+3=-i,i4n十i4n+1十i+2十in3=0, ③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+ n∈N*。 di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)复数的模与共轭复数的关系为 之·之=x12=112。 ④除法： 之1 a+bi 22 c+di (责任编辑侯若晨) 11