(10)平面向量及其应用(含解三角形)、复数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习B ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ① ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 复数的概念与运算 易 0.85 2 选择题 5 三角函数的定义 易 0.80 3 选择题 5 平面向量夹角的余 / 易 0.72 弦值 4 选择题 6 函数的极大值点 中 0.68 选择题 平面几何与向量的 综合 分 0.65 6 几何图形中三角形面 选择题 积的表达式 / 父 0.58 7 选择题 5 三角函数的零点 中 0.50 三角形中平面向量基 8 选择题 5 本定理的应用 / 中 0.35 正弦型函数的图象与 9 选择题 6 0.72 性质 易 复数的三角形式及 10 选择题 6 运算 分 0.65 三角形中不等关系的 11 选择题 6 判断及三角形形状的 / 分 0.35 判断 12 填空题 投影向量 分 0.69 13 填空题 5 复数的模 中 0.55 两角差的余弦公式，利 填空题 中 0.32 用余弦定理解三角形 ·51· ·数学· 参考答案及解析 复数的运算，求复数的 15 解答题 模，复数范围内方程 中 0.68 的根 平面向量的自定义运 16 解答题 15 算，求向量夹角的余 / 的 0.58 弦值 向量的坐标运算，三角 17 解答题 15 函数的对称中心，求三 / 中 0.50 角形周长的取值范围 18 解答题 17 解三角形 求高度 为 0.40 利用正、余弦定理解三 19 解答题 17 难 0.30 角形，求三角形的面积 香考答案及解析 一、选择题 a),P(0,b),则PA=(2,-b),Pi=(1,a-b),所以 1B【解折】因为，=斗-1十 -7=1-3i, PA+3PB=(5,3a-4b),所以|PA+3PB| 所以=1+，其虚部为了故选B √52+(3a-4b)产≥5，当3a=4b时等号成立，所以 .: |PA+3PB|的最小值为5.故选D, 2.A【解析】由题可得cosa= 号，因为角。的终边在 6.A【解析】AE⊥l,AD⊥l2,AC⊥AB,.∠ABD +∠BAD= 第一象限，所以sma=-osa=√-() 登，∠CAE+∠BAD=受，·∠CAE- 号所以cos(受+a）=-sina=- 故选八 ∠ABD=a,0<a<受AB=。AC= sin a cos a' 3.C【解析】由题可得a·b=(-1)×2+2×(-3)= s(a)=2 AB·AC= hhz hihz 2sin acos a sin 2a -8,|a=√5，|b|=√22+(-3)产=√13，所以 (0<a<受).故选A s示 -8=865 5.故选C 7.B 【解析】由f(x)=0,得=cos(3x十牙)， cos x 4.D【解析】因为f(x)=(x-2x+1)e,所以 f(x)=(2.x-2)e-(x2-2x+1)e5= 即1an=cos(号r十于）f(x)的零点即为函数y -e(x2一4x+3)=-e(x1)(x-3),则当 5 x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减：当1<x<3时， tanx与y=cos(号x十牙)图象交点的横坐标，作出 f(x)>0,f(x)单调递增：当x>3时，f(x)0, 函数)=anr与y=cos(号x十牙)在区间（一，2x) f(x)单调递减，所以f(.x)的极大值点为x=3.故选D. 5.D【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐 上的图象，如图所示， 标系， cos(3r+子 P 设CD=a,PD=b,a>0,0≤b≤a,则A(2,0),B(1, ·52· 高三一轮复习B ·数学· 由图可知两图象均关于点（受，0）对称，且两图象在 则|2|=√cos220+sin20=1,而||2=cos20+sin0 =1,则2=2，故B正确；对于C,之·= 区间（一x,受）上有两个交点，在区间（受，2x)上有 (cos 0+isin 0).(cos 0-isin 0)=cos20+sin20= 两个交点，所以f(x)在区间（一π，2π）上的所有零 1,故C正确：对于D,由题意得十1=(cos0+1)+ 点之和为2π.故选B. isin0,所以|之+1|=√(cos0+1)2+sin0= 8.C【解析】取BC边的中点D,连接PD,则2PD √cos0+sin0+1+2cos0=√2+2cos0,因为 PB+PC,所以2PA+2PD=0,则DP=PA,故P为 cos0∈[-1,1]，所以√2+2cos0∈[0,2]，故D错 线段AD的中点，因为P,M,N三点共线，所以存在 误.故选ABC. 实数s,使得AP=sAM+(1-s)AN,故AP=5aAB 11.ABD【解析】对于A,在△ABC中，sin(A+B)= sin(π一C)=sinC,故A正确；对于B,根据大角对 +1-)9花，又A市=号A市=(Ai+AC),且 大边，由A>B,可得a>b,则由正弦定理得sinA> sinB,故B正确；对于C,若△ABC为锐角三角形， AB,AC不共线，所以 ,整理得1+1 则C为锐角，由余弦定理得cosC=a+一C>0, 1-g= 2ab 4 则a2+2-2>0,即a十b>2,由正弦定理得 =4,所以。+4g=a+4)(日+日） sinA+sinB>sinC,故C错误；对于D,在△ABC 中，若a (6+想+)≥(5+2四·日)=号当且 A C,则sinA=sinB A cos 2 仅当。=子，日=冬时等号成立，所以a十4p的最小值 如C,所以由二倍角正弦公式得s号=sm号 C cos 2 为号故选C sim号又A,BC∈(0，x,所以会，号，号∈ C (0,受)，所以号=号=台，则A=B=C,所以 △ABC为等边三角形，故D正确.故选ABD. 三、填空题 1 12.5a【解析】因为a=(2,1),所以|a=V2+1 二、选择题 =√5，因为b为单位向量，所以b|=1,因为 9.BCD【解析】令g(x)=f(x-子)=sin2(x (a十b)⊥(a-3b),所以(a+b)·(a-3b)=a2 2a·b-3b=5-2a·b-3=0,解得a·b=1,所以 苓)+苓」=sin(2x-苓)小则g（)=0, b在a上的投影向量为治a=号a g(-吾)=sm(-要）=-≠g(悟)，所以 13.2【解析】因为复数1与在复平面内对应的点 关于直线y=x对称，设=x十yi(x,y∈R,x≠y), f(x-否)不是偶函数，故A错误：因为f(-否) 则2=y十xi,所以2=(x十yi)(y十xi)=xy十 x2i+y2i+xyi=(x2+y2)i=4i,则x2+y2=4,所 sin0=0,所以x=-答为f(x)的一个零点，故B正 以||=π2+y=2. 确：当-<≤时，-受<2x+吾≤受，所以 14,7.3【解析】如图，连接AC,设圆心为D,AC的中 点为E,连接AD,DE,DB,则AD=13,由题意易知 f()在区同[一受吾]上单调递增，放C正确：因 AC=√AB+BC=10=2AE,AE=5,则 为f(泛）=sin(2×是+号)=sin受=1，所以 cos∠DAC-5-高os∠BAC=C-号，所以 sin∠DAC= 12 f(x)的图象关于直线x=亚对称，故D正确.故 景sm∠BAC=子，所以ms∠BAD 选BCD. m(∠DAC-∠BAC)=高×号+号×号-3， 10.ABC【解析】对于A,|之=√cos0+sin0=1,故 在△ABD中，由余弦定理得BD=AD2十AB A正确：对于B,因为复数之=cos0+isin0(0∈R), 2AD·AB·cos∠BAD=53.8,所以BD≈7.3cm. 2=cos20-sin20+2isin Ocos 0=cos 20+isin 20, ·53· ·数学· 参考答案及解析 17.解：(1)f(x)=(cos2x-sin2x)+2√3 sin xcos x= 3sin 2x+cos 2x-2sin(2) (2分) 令2x十吾=m,k∈Z,则x=一音+经k∈Z, 即函数fx)的对称中心为（一音十经0），k∈乙 四、解答题 (4分) 15,解：因为=，号为实数， (②)曲（倍+号）=-2可知， 所以+-二-生+号为实数， 1+i (1+i)(1-i)2 2m[2(8+受)+音]=-2 3 所以2号2=0,6=2 化简有如(a+导)=-怎。 (6分) 则=2i. (4分) (2)由(1)得22=-4， 则cosa十os(a-哥）=cosa十cos acs号 所以|+22|=|-4+2i=√16+4=25.(6分) (3)由(1)可知=2i, 十s血asin号 所以(m+x)2=(m+2i)2=n2-4+4mi, 3 V 因为复数（十）2在复平面内对应的点位于第四 -2 cos a+ 2sina=5sin(a+牙)=5× 象限， (8分) 所以。0 (）=1 ,解得m<-2, (10分) (3)由f(B)=1可得2sin(2B+)=1,即 又x=2i为实系数方程x+(m2-9)x+4=0 的根， sm(2B+吾)= 所以一4+2(m2-9)i+4=0, 所以m2-9=0,解得m=士3， 又0<B<受，则吾<2B+吾<得 又m<-2,所以m=-3. (13分) 16.解：(1)由题得2a-b=(-5,6), 分) 所以2B+吾-晋，解得B=子· 6 6 (9分) ∴(2a-b)©b=(2a-b)·b--15+249 由正弦定理有sin B sin C sin A3 b 5 a b2 25 =3=2 (5分) 2 (2)由(3a+6)0a-2b)=-号， 所以a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(苓+A) 得(3a+b)·(a-2b)=1-5a·b 5 (a-2b)2. 5-4a·b 一3 =2sinA+2停sA+ =3sinA+√3cosA 解得a·b=4, 5 (9分) =23sin(A+否)， (12分) (a+b)·b=a·b+1=9 0<A<受 |a+b|=a+b=V2+2a…b=√2+ 因为△ABC为锐角三角形，所以 5 -A<受 03 310 (12分) 5 解得A∈（若，）： (13分) ∴.cos〈a+b,b〉= (a+b)·b 5 所以A+∈(5，)： a+bb 310x1 5 则23sin(A+若)∈(3,23]， =30 所以3<a十c≤2v5,则3+√3<a十b+c≤3V5, 10 所以△ABC周长的取值范围为(3十√3,3√5]. a+b与b夹角的余弦值为3而 (15分) (15分) 10 ·54· 高三一轮复习B ·数学· 18.解：(1)设ED1=h, 19.解：(1)在△ABC中由正弦定理得sm∠BAC BC h 由题得ana=A,D,=1,tanB=B,D =2,tan y= AC h sim∠ABC:义BC=2AC, CD=3, (3分) 所以2sin∠ABC=sin∠BAC, 所以AD=,BD,=合GD,=专 (4分) 又∠ACB=120°，所以∠ABC=60°-∠BAC, 所以2sin(60°-∠BAC)=sin∠BAC, 又AC=AC=40m,B,是线段A:C的中点， 即2(sin60°cos∠BAC-cos60°sin∠BAC)= 所以AB,=BC1=20m, (5分) sin∠BAC, 则在△A1B,D1中，由余弦定理得cos∠ABD 即V3cos∠BAC=2sin∠BAC, 40+- 所以tan∠BAC= sin∠BAC_3 cos∠BAC21 (5分) 2x20x号 (2)因为AB=2√7， 在△B,C,D1中，由余弦定理得cos∠C,BD,= 在△ABC中，由余弦定理得AB=AC+BC一 400+6 2AC·BCcos∠ACB, 49 (9分) 2×20× h 即28=AC+4AC-2AC×2AC×(-号），解得 AC=2(负值舍去)，则BC=4, 又∠A1B1D1+∠C1B1D1=π， 40+-40+空合 所以SAe=空AC·BCsin∠ACB=号X2X4X 所 =0 2×20X 2X20X 9-2v (9分) 2 2 (3)在Rt△ADC中，设∠ACD=日(0°<0<90°)， 整理得1h 18 =800,解得h=120V页 11 m, AC=x(x>0), 则BC=2x,CD=xcos0, 所以该建筑物的高度DE=5+120工(m. 11 在△BCD中，可得∠BCD=120°-0，∠CBD= (13分) 0-60°， A:B 由正弦定理得 BC CD (2)在△ABD,中，由正弦定理得sn∠AD,B in∠CDB-sin∠CBD A D xcos 0 rcos 0 1 则2 in∠AB1D1' 5sin(0-60° 2 sin -v3 2 cos0 BC 在△BCD中，由正弦定理得 sin∠B1D1C1 所以4 CD tan0 1 ,可得tang=3v3 2 (15分) sin∠C1B1D 由蜘%-子且AkD=sCB, 即ian∠ACD=3 2 (17分) 所以sin∠ADB=CD=1 sin∠BDCA1D13 (17分) ·55高三一轮复习单元检测卷/数学 (十)平面向量及其应用（含解三角形）、复数 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1,若产-1-3i,则x的虚部为 A-月 C.-gi D 2.如图，角a以Qr为始边，其终边与单位圆0交于点P,且点P的横坐标为号，则c0s(受十a的值为 A.一吉 B-号 c D 3.若向量a=(一1,2)，b=(2,一3)，则a与b的夹角0的余弦值为 A.-V65 65 B.-4V65 65 C.-8v65 D.-16V65 65 65 4.函数f(x)=(x2-2x+1)er的极大值点为 A.x=-3 B.x=-1 C.x=1 D.x=3 5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，AD=2,BC=1,P是CD上一点，则 |PA+3PB的最小值为 A.3 B.√5 C.4 D.5 6.如图，已知直线l1∥l2,A是11，l2之间的一定点，且点A到11，l2的距离分别为h1,h2,B是l2上一 动点，过点A作AC⊥AB交I1于点C.设∠ABD=a,则△ABC的面积S关于角a的函数解析 式为 he(0<a<） E A.S(a)= sin 2a B.S(a)= a(0<a<)】 cos 2a te(o<a<变】 a C.S(a)= sin 2a D.S(a)= cos2a(0<a<5） 数学第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 7.函数f)=sin上一c0 s rcos(号x+牙)在区间（一元，2x)上的所有零点之和为 A.π B.2π C.3π D.4π 8.已知点P在△ABC所在的平面内，且2PA+PB+PC=0,过点P的直线与直线AB,AC分别交 于点M,N,设AM=aAB,AN=BAC(a>0,g>0),则a十43的最小值为 A B.3+2② 4 c D.3+22 2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=sin(2x+5）,则 A.f(x-于)为偶函数 B.x=一否为f(x)的一个零点 Cf(x)在区间[一没，]上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=亚对称 10.已知复数之=cos0+isin0(0∈R),则 A.z=1 B.x2=之2 C.之·g=1 D.x+1≥2 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.sin(A+B)=sin C B.若A>B,则sinA>sinB C.若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB<sinC D若a b A cos2 B C,则△ABC为等边三角形 cos 2 co 班级 姓名 分数 题号 5 7 8 10 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知平面向量a=(2,1),b为单位向量，且(a十b)⊥(a一3b),则b在a上的投影向量为 13.已知复数1与2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且1x2=4i,则1= 14.一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状，已知这个圆的半径 为13cm,AB=8cm,BC=6cm,且AB⊥BC,则圆心到点B的距离约为 cm.(结果精确 到0.1) 三一轮复习单元检测卷十 数学第2页（共4页） B 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知复数=(6∈R,号为实数 (1)求之； (2)求之十z2: (3)若复数(m十之)2(m∈R)在复平面内对应的点位于第四象限，且之为实系数方程x2十 (m一9)x+4=0的根，求m的值. 16.(本小题满分15分) 对于任意两个非零平面向量a,b,定义新运算：a④b=a:b (1)若向量a=(一1,5)，b=(3,4),求(2a-b)⊕b的值： (2)若单位向量a,b满足(3a+b)④(a-2b)=一 3,求a+b与b夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 已知向量a=(-1,2√3)，b=(sinx-cos2x,sin xcos x),函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的解析式及对称中心； (2)若f(侣+号）=-2.求emsa+cms(。-)的值： (3)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=√3，f(B)=1,求△ABC周长的取 值范围. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 某中学的数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了在同一条直线上的 A,B,C三点，AC=40m,B为线段AC的中点，兴趣小组的组长在A,B,C三点上方5m处的 A1,B,C观察该建筑物最高点E的仰角分别为a,B,Y,其中tana=1,tanB=2,tany=3,D为 点E在地面上的正投影，D1为线段DE上与A1,B,,C,位于同一高度的点 (1)求该建筑物的高度DE; (2)求sin∠AD,B的值. sin∠B1D1C R 19.（本小题满分17分) 在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2AC. (1)求tan∠BAC的值； (2)若AB=2√7，求△ABC的面积； (3)设D为△ABC内一点，AD⊥CD,∠BDC=120°，求tan∠ACD的值. 三一轮复习单元检测卷十 数学第4页（共4页）】 ®