第五章 平面向量与复数（举一反三综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

第五章 平面向量与复数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 2．（5分）（2025·广西柳州·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 4．（5分）（2025·江西·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（5分）（2025·湖北武汉·三模）在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 6．（5分）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2025·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 10．（6分）（2025·江西·模拟预测）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 11．（6分）（2025·河北·模拟预测）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·江西·模拟预测）已知向量满足，则 . 13．（5分）（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为 . 14．（5分）（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 16．（15分）（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 17．（15分）（24-25高一下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若，，且与的夹角为，求. 18．（17分）（24-25高一下·辽宁·期末）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．（17分）（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平面向量与复数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【解题思路】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 2．（5分）（2025·广西柳州·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【解答过程】因为复数满足， 因此，复数的虚部为. 故选:D. 3．（5分）（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【解答过程】法一：， 即； 法二： 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 4．（5分）（2025·江西·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】由复数的乘法运算及复数的几何意义可解. 【解答过程】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 5．（5分）（2025·湖北武汉·三模）在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】由已知，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【解答过程】由题设知，且，则， 所以，即 . 故选：C. 6．（5分）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算可得，计算即可求解. 【解答过程】由题意可得，， 因为为的中点， 所以， 则，所以. 故选：A. 7．（5分）（2025·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据,先求得，再由，即可求解. 【解答过程】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A. 8．（5分）（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解. 【解答过程】如图，设为各边三等分点， 根据等边三角形可知，相交于中心点， 根据等边三角形可知：四边形是菱形， 则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线， 所以当点时，动点一定在上， 同理可得：动点一定在上，动点一定在上， 所以当，时，结合点在三角形的内部， 可得集合S为正六边形及其内部区域， 所以当P与F重合时，，即可取到最小值， 当P与C重合时，， 即可取到最大值. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【解题思路】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解. 【解答过程】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 10．（6分）（2025·江西·模拟预测）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】AD 【解题思路】对于A，由向量垂直坐标表示可得m；对于B，由向量模长坐标计算公式可判断选项正误；对于C，由向量平行坐标表示可得m；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，当时，，故，故B错误； 对于C，，由，可得，解得，故C错误； 对于D，当时，，此时在方向上的投影向量的坐标为 ，故D正确． 故选：AD． 11．（6分）（2025·河北·模拟预测）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】通过向量的数量积公式以及向量模长公式等进行计算和判断. 【解答过程】因为，且向量的夹角为， 对于选项A： ，则A错误； 对于选项B： 要使得，则它们的数量积为0. 即，则B正确； 对于选项C： 因为，则，则C错误； 对于选项D：因为， 所以，解得，则D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·江西·模拟预测）已知向量满足，则 . 【答案】 【解题思路】先根据数量积的坐标运算求得，再根据向量的线性坐标运算求解即可. 【解答过程】因为，解得， 则，所以. 故答案为：. 13．（5分）（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为 . 【答案】 【解题思路】设，利用复数相等可得答案. 【解答过程】设，， 则， 所以，解得， 则z的虚部为. 故答案为：. 14．（5分）（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 . 【答案】 【解题思路】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【解答过程】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【解答过程】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 16．（15分）（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 17．（15分）（24-25高一下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若，，且与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量的基本定理得出关于、的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）在中，为边上的点，且，则， 所以，解得. （2）因为为的中点，所以， 所以 . 18．（17分）（24-25高一下·辽宁·期末）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【解题思路】（1）根据题意的，根据在三角形中可求得答案； （2）根据三角形中余弦定理运算公式可求得答案； （3）设，其中，根据，可得，分类讨论可求得的范围. 【解答过程】（1）因为是等腰梯形，，，点为线段中点 所以，则，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，如图所示.作轴于点, ,可得, ， ，, 所以点的坐标为 （2）在中，， 所以, 因此的余弦值； （3）设，其中． 若，则， 即，可得． 若，则不存在， 若，则故． 19．（17分）（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【解题思路】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数值域即可求解. 【解答过程】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$