第30讲 概率（知识清单+6题型讲解练+强化训练）讲义-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考版）

该高中数学高考复习资料聚焦概率专题，覆盖样本空间、古典概型、条件概率、全概率公式等核心考点，按“定义-性质-应用”逻辑构建知识网络。通过知识清单系统梳理、题型讲解分类突破、强化训练分层巩固，帮助学生建立概率问题的解题框架，体现复习教学的系统性和针对性。 资料采用“真题情境化”教学策略，如在古典概型讲解中结合摸球、抽奖实例，引导学生用数学眼光抽象样本点，用数学思维推导概率公式。设置选择、填空、解答题分层训练，配合即时反馈，高效突破高频难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第30讲 概率 知识清单 知识点01：样本空间和随机事件 知识点02：两个事件的关系和运算 知识点03：古典概型的特征 知识点04：古典概型的概率公式 知识点05：概率的性质 知识点06：频率与概率 知识点07：相互独立事件 知识点08：条件概率 知识点09：全概率公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：随机事件的关系 题型2：古典概型 题型3：概率与统计的综合问题 题型4：相互独立事件 题型5：条件概率 题型6：全概率公式的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 知识点02.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 知识点03.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 知识点04.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 知识点05.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 知识点06.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点07.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 知识点08.条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 知识点09.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 题型1：随机事件的关系 【例1-1】（2024·宁夏银川·二模）2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果每道选择题的答案是从A，B，C，D四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（   ） A．AAAAAAAAAAAA B．ABCDABCDABCD C．CDABACADCBDB D．DBCCCDCDBDBD 【例1-2】（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ． 【例1-3】（2020·全国·模拟预测）围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是 ． 【变式1-1】（2022·贵州贵阳·一模）甲、乙两个同学玩摸球游戏.袋子中装有3个黄球，3个绿球，甲先摸，乙再摸，每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的绿球游戏结束.则两个同学共摸球4次游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·上海·模拟预测）某校举行数学文化知识竞赛，现在要从进入决赛的5名选手中随机选出2名代表学校参加市级比赛.某班有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为 . 【变式1-3】（2025·广西河池·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩•德尼•泊松在1838年时发表.它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布.已知某校学生每周体育锻炼的次数服从非零参数的泊松分布，其概率满足，且，则 （参考数据：） 题型2：古典概型 【例2-1】（2024·河北·模拟预测）在一个箱子中有大小质地相同的2张卡片，其中一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则它背面是白色的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·陕西西安·一模）两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在同一层离开电梯的概率是 . 【例2-3】（2025·山东青岛·三模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，假设每箱产品中均恰有件不合格品． (1)若求检验一箱产品时恰好抽到件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到件不合格品的概率大于，求的最小值. 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·湖北荆州·模拟预测）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数可以不选，分别构成集合A，B，C，记中元素的个数为m，则的概率为 . 【变式2-3】（2025·北京海淀·三模）自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注．2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件．每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一．从《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了9家公司的数据． 公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值 百度 中国 108300 6 18050 谷歌Waymo 美国 1454137 110 13219 通用Cruise 美国 831040 68 12221 比亚迪 中国 32054 3 10684 小马智行 中国 174845 27 6475 Nuro 美国 68762 34 2022 Zoox 美国 67015 42 1595 小米 中国 12272 8 1534 苹果 美国 7544 64 117 (1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率； (2)从表中的9家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率； (3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司．你是否同意此观点?并说明你的理由． 题型3：概率与统计的综合问题 【例3-1】（2025·湖南长沙·一模）已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·上海金山·一模）核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 【例3-3】（2025·上海·二模）某校高三共有300名学生，分六个班，每班50人．为了解该校高三学生的视力情况，体检后每班按随机抽样的方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下表： (1)用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值； (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3，4.4，4.5，4.6，4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率． 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 【变式3-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2020·辽宁沈阳·模拟预测）疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务.运营一段时间后，食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度，从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分，满分100分，同学们打分的分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率； （3）若打分超过60分可视为对送餐服务满意，用样本的统计结果估计总体，请估计全年级有多少同学对送餐服务满意. 【变式3-3】（2025·新疆·模拟预测）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下： 高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96 高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98 国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格． 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 (1)从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格的概率； (2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率； (3)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论） 题型4：相互独立事件 【例4-1】（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-2】（2025·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为 . 【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题： (1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率. (2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值. 【变式4-1】（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为，小刚击中靶心的概率为，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ． 【变式4-3】（2024·上海普陀·模拟预测）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 (1)根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； (2)根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 题型5：条件概率 【例5-1】（2025·四川达州·一模）已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【例5-2】（2025·江西新余·模拟预测）小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 【例5-3】（2025·广东揭阳·三模）已知某早餐牛奶店甲推出了A和B两款新口味牛奶，另外一家早餐包子铺乙推出了一款新品包子C.且早餐牛奶店甲向某小区的一名用户配送A款新口味牛奶的概率为0.7，配送B款新口味牛奶的概率为0.5，同时配送A和B的概率为0.3；早餐包子铺乙向该用户配送新品包子C的概率为0.6，且甲店与乙店的配送结果互不影响. (1)在甲店没有向该用户配送A款新口味牛奶的条件下，求它向该用户配送B款新口味牛奶的概率； (2)求这两家店至少向该用户配送A、B、C中的一种的概率. 【变式5-1】（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2025·四川成都·模拟预测）现有两位游客慕名来成都旅游，他们分别从武侯祠、杜甫草堂、宽窄巷子、春熙路、熊猫基地这5个景点中随机选择1个景点游玩，两位游客至少有一人选择武侯祠的条件下，他们选择的景点不相同的概率为 ． 【变式5-3】（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 题型6：全概率公式的应用 【例6-1】（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·浙江·模拟预测）盒子中有3个红球，4个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入5个同色球，则第三次取出红球的概率为 . 【例6-3】（2025·陕西西安·模拟预测）某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” (1)现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； (2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 【变式6-1】（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ） A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825 【变式6-2】（2025·吉林白城·模拟预测）英国数学家贝叶斯（1701－1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件（的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为 . 【变式6-3】（2025·河北邯郸·模拟预测）2025年1月，由我国团队自主研发的人工智能模型DeepSeek发布后，引起世界各大主流媒体和社交网站的广泛关注．已知DeepSeek的运行环境有实验室环境和实际部署环境两种，而且在两种环境中运行是等可能的．在实验室环境和实际部署环境中模型的准确率分别为90%和80%，产生错误的原因主要为过拟合和欠拟合，相应的概率如下表：         运行环境 错误类型 实验室环境 实际部署环境 过拟合 欠拟合 其它 某用户问了这个模型一个问题，求： (1)该模型答对问题的概率； (2)若该模型回答错误，求错误类型为过拟合的概率． 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）现有一组数据0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 3．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·云南昭通·模拟预测）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 10．（2025·四川成都·一模）眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（   ） A．与互为对立 B．与相互独立 C． D． 11．（2025·江苏南通·模拟预测）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2023·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 13．（2024·河南·模拟预测）设同一随机试验中的两个事件A，B满足，，，则 . 14．（2021·山东临沂·模拟预测）甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．开始甲持球，传球两次后，球回到甲手里的概率 ；传球次后，球回到甲手里的概率 ． 四、解答题 15．（2025·甘肃陇南·模拟预测）设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个. (1)在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率； (2)在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率； (3)在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率. 16．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)若，，求接收的信号为0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 17．（2022·重庆·一模）某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束：否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. (1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； (2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序?请说明理由. 18．（2020·全国·模拟预测）“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业.某网络促销平台从消费者中随机抽取500名调查他们的消费金额(单位：元，都在区间内)，得到如下频数分布表，其中消费金额在，，内的频数成等比数列. 消费金额/元 频数 40 60 120 140 20 （1）求，的值； （2）用频率估计概率，求消费金额不少于1100元的概率； （3）用分层抽样的方法从消费金额在，，内的消费者中抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人中消费金额来自不同分组的概率. 19．（2025·山东泰安·二模）某学校有甲、乙两个图书馆.假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆.若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为，已知的分布列如下：（其中） 0 1 2 3 (1)记事件表示王同学在这三天内去图书馆借阅次，事件表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数.当时，试根据全概率公式求的值； (2)是否存在实数，使得，若存在，求的值：若不存在，请说明理由； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 概率 知识清单 知识点01：样本空间和随机事件 知识点02：两个事件的关系和运算 知识点03：古典概型的特征 知识点04：古典概型的概率公式 知识点05：概率的性质 知识点06：频率与概率 知识点07：相互独立事件 知识点08：条件概率 知识点09：全概率公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：随机事件的关系 题型2：古典概型 题型3：概率与统计的综合问题 题型4：相互独立事件 题型5：条件概率 题型6：全概率公式的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 知识点02.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 知识点03.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 知识点04.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 知识点05.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 知识点06.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点07.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 知识点08.条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 知识点09.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 题型1：随机事件的关系 【例1-1】（2024·宁夏银川·二模）2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果每道选择题的答案是从A，B，C，D四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（   ） A．AAAAAAAAAAAA B．ABCDABCDABCD C．CDABACADCBDB D．DBCCCDCDBDBD 【答案】C 【分析】根据随机事件的特征进行逐个判断即可. 【详解】A选项全部是A答案,很显然不正确. B选项A,B,C,D每个有3个答案,但不具备随机性. D选项没有A答案,也不正确. C选项A,B,C,D每个有3个答案,具备随机性,C正确. 故选:C. 【例1-2】（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ． 【答案】/ 【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果. 【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到个白球或黑球的概率均为， 所以，人中回答第一个问题的人数为，则另外人回答了第二个问题， 在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为， 则摸到白球且回答“是”的人数为， 所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为. 故答案为：. 【例1-3】（2020·全国·模拟预测）围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是 ． 【答案】 【分析】根据互斥事件与对立事件概率公式求解即可． 【详解】设“2粒都是黑子”为事件，“2粒都是白子”为事件， “2粒恰好是同一色”为事件，“2粒不同色”为事件， 则事件与事件是对立事件，所以． 因为2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大， 所以，所以，． 又，且事件与互斥，所以， 所以． 故答案为： 【变式1-1】（2022·贵州贵阳·一模）甲、乙两个同学玩摸球游戏.袋子中装有3个黄球，3个绿球，甲先摸，乙再摸，每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的绿球游戏结束.则两个同学共摸球4次游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据摸球规则可知，摸球的可能情况为前3次摸出2个绿球和1个黄球，第4次摸出的是绿球，结合互斥事件概率加法公式求解即可. 【详解】解：由于袋中有3个黄球，3个绿球，若两个同学共摸球4次游戏结束， 则摸球的可能情况为前3次摸出2个绿球和1个黄球，第4次摸出的是绿球， 设事件“两个同学共摸球4次游戏结束”，有以下摸球情况：①黄 绿 绿 绿；②绿 黄 绿 绿；③绿 绿 黄 绿； 由于摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回， 则. 故选：B. 【变式1-2】（2022·上海·模拟预测）某校举行数学文化知识竞赛，现在要从进入决赛的5名选手中随机选出2名代表学校参加市级比赛.某班有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为 . 【答案】/0.7 【分析】得出这次竞赛中该班没有同学参加市级比赛的概率，即只从除甲、乙两名同学外的三名同学中选两个的概率，在根据互斥事件的概率计算即可得出答案. 【详解】在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为. 故答案为：0.7 【变式1-3】（2025·广西河池·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩•德尼•泊松在1838年时发表.它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布.已知某校学生每周体育锻炼的次数服从非零参数的泊松分布，其概率满足，且，则 （参考数据：） 【答案】0.865 【分析】由求得，再由，即可求解. 【详解】由泊松分布概率公式知 ， 故答案为：0.865 题型2：古典概型 【例2-1】（2024·河北·模拟预测）在一个箱子中有大小质地相同的2张卡片，其中一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则它背面是白色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，卡片向上向下颜色有红红，红红，红白，白红四种情况，在确定取出的一张卡片向上一面是红色时，可以利用古典概型概率公式求得其背面是白色的概率. 【详解】因箱子中只有两张卡片，一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色， 从中任取一张，分向上向下的情况总共有：红红，红红，红白，白红四种. 现已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则有：红红，红红，红白三种情况， 故它的背面是白色的概率为. 故选：C. 【例2-2】（2025·陕西西安·一模）两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在同一层离开电梯的概率是 . 【答案】 【分析】根据题意，2人离开电梯的情况有81种，在同一楼层离开的有9种，从而可求概率. 【详解】由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有9种， 则两人在同层离开电梯的概率为 故答案为： 【例2-3】（2025·山东青岛·三模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，假设每箱产品中均恰有件不合格品． (1)若求检验一箱产品时恰好抽到件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到件不合格品的概率大于，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据超几何分布，求出事件概率. （2）根据超几何分布，写出事件概率，根据组合数的计算方法，求参数的值. 【详解】（1）根据超几何分布可知18件正品，2件次品，抽2件，恰好抽到件次品的概率. （2）18件正品，2件次品，抽件，至少抽到件不合格品的对立事件为抽出的全部为合格品，则至少抽到件不合格品的概率，即， 可得，化简得， 解得，约为，所以的最小值为6. 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按甲只在第一天，只在第二天，只在第三天值班分类，数清楚样本点个数，再用古典概型即可得到答案. 【详解】计算总可能值班的样本点个数： 每天值班人选从4人中选1人，且相邻两天值班人不同. 第一天：有4种选择（任何一人均可）； 第二天：不能与第一天相同，因此有3种选择（排除第一天的人）； 第三天：不能与第二天相同，因此有3种选择（排除第二天的人）. 总的样本点个数：. 计算甲恰有一天值班的样本点个数： 甲只在第一天值班有种， 甲只在第二天值班有种， 甲只在第三天值班有种. 所以有古典概型知：. 故选：C. 【变式2-2】（2025·湖北荆州·模拟预测）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数可以不选，分别构成集合A，B，C，记中元素的个数为m，则的概率为 . 【答案】 【分析】2个元素共有4个子集，因此共有64种选法，根据分类加法计数原理求出的选法，再由古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】甲、乙、丙三人分别从两个不同的数中随机选择子集包括空集，构成集合A，B，C， 将两个数记为1,2，则子集可能是，，，， 故甲乙丙三人总共有种选法， 要求计算中仅有一个元素的概率，分以下情况： ①三个集合都是单元素集，只能是或，有2种； ②两个集合是单元素集，一个集合是双元素集，有种； ③一个集合是单元素集，两个集合是双元素集，也有种； ∴最终概率： 故答案为： 【变式2-3】（2025·北京海淀·三模）自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注．2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件．每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一．从《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了9家公司的数据． 公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值 百度 中国 108300 6 18050 谷歌Waymo 美国 1454137 110 13219 通用Cruise 美国 831040 68 12221 比亚迪 中国 32054 3 10684 小马智行 中国 174845 27 6475 Nuro 美国 68762 34 2022 Zoox 美国 67015 42 1595 小米 中国 12272 8 1534 苹果 美国 7544 64 117 (1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率； (2)从表中的9家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率； (3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司．你是否同意此观点?并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意此观点，理由见解析 【分析】（1）由古典概型概率计算公式分析即可求解； （2）由互斥加法概率公式、古典概型概率计算公式以及组合数的计算即可求解. （3）不能单方面从MPD值来说明百度公司的自动驾驶技术超越谷歌公司，事实上百度公司的测试总里程108300远小于谷歌Waymo的1454137，具体说明只需言之有理即可. 【详解】（1）因为表中有4家中国公司，5家美国公司，随机抽取一家中国公司和一家美国公司共种情况． 表中所有的美国公司中，MDP值比百度低的有5家，比AutoX和小马智行低的有3家，比小米低的有1家， 所以抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的情况共有种 故抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率为． （2）设“从表中的9家公司随机抽取3家，至少有2家MPD值大于10000”为事件A， 表中的9家公司中有4家MPD值大于10000． 设“恰有2家公司MPD值大于10000”为事件B，“恰有3家公司MPD值大于10000”为事件C， 则，且B，C互斥 所以 （3）我不同意此观点，理由如下： ①虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waymo的13219，但是百度公司的测试总里程108300远小于谷歌Waymo的1454137，样本比较小，测试值与实际值偏差较大的可能性更大，所以不能确定. ②虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waymo的13219，但是MPD值只是衡量自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一，不能说明百度公司的自动驾驶技术在其他方面也超越了谷歌公司. 题型3：概率与统计的综合问题 【例3-1】（2025·湖南长沙·一模）已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5， 从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法， 要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类： 若两数中不含5，不同的选法有种； 若两数中含5，则不同的选法有种， 所以共有种不同的选法，所以概率为 故选：B. 【例3-2】（2025·上海金山·一模）核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 【答案】(1)4； (2)①；②13个. 【分析】（1）根据分层抽样的特点计算即可‘ （2）①先求出克重大于20克的核桃共9个，再利用组合公式和古典概型即可得到答案； ②利用方差公式求出方差，则得到范围，再对照表格即可. 【详解】（1）个 则应抽取类核桃4个. （2）①因为克重大于20克的核桃共9个， 则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为. ②， 则标准差， ， . 对照表格可知则该20个核桃中有13个核桃的克重位于与之间. 【例3-3】（2025·上海·二模）某校高三共有300名学生，分六个班，每班50人．为了解该校高三学生的视力情况，体检后每班按随机抽样的方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下表： (1)用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值； (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3，4.4，4.5，4.6，4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率． 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 【答案】(1)4.7； (2). 【分析】（1）根据平均数定义直接计算即可； （2）将所有可能结果罗列出来，再由古典概型计算公式直接计算即可得解. 【详解】（1）高三（1）班抽取的 8 名学生视力的平均值为， 据此估计高三（1）班学生视力的平均值约为4.7． （2）因为高三六个班学生视力的平均值分别为4.3，4.4，4.5，4.6，4.7，4.8， 所以任意抽取两个班学生视力的平均值数对有 ， ， ，共15种情形； 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有 ， ，共10种． 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率 为． 【变式3-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率. 【详解】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 【变式3-2】（2020·辽宁沈阳·模拟预测）疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务.运营一段时间后，食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度，从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分，满分100分，同学们打分的分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率； （3）若打分超过60分可视为对送餐服务满意，用样本的统计结果估计总体，请估计全年级有多少同学对送餐服务满意. 【答案】（1）0.005；（2）；（3）450. 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，求出的值； （2）先求出和的人数，然后利用列举法求出所有的可能情况，再利用古典概率公式可得答案； （3）由于样本20人中有18人打分成绩超过60分，所以全年级500人中，约有人对送餐服务满意. 【详解】（1）∵，∴，∴. （2）成绩在的人数=人，成绩在中的学生人数=人， 用a，b表示成绩在的2名学生，用c，d，e表示成绩在的3名学生，从5人中任取2人，具体是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.共有10种情形.符合条件的有3种（cd，ce，de）， ∴概率. （3）样本20人中有18人打分成绩超过60分，即有的学生对送餐服务满意.用样本的统计结果估计总体，则全年级500人中，约有人对送餐服务满意. 【点睛】此题考查频率分布直方图，古典概型的概率，用样本估计总体的情况等知识，属于基础题. 【变式3-3】（2025·新疆·模拟预测）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下： 高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96 高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98 国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格． 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 (1)从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格的概率； (2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率； (3)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论） 【答案】(1) (2)． (3)，． 【分析】（1）根据概率计算方法即可求得结果. （2）利用列举法求得总情况和符合题意的情况即可求得概率. （3）分别计算出平均数和方差即可比较大小. 【详解】（1）由样本中测试数据可知高二学生样本中体质健康不合格的人数为5， 故样本中学生体质健康不合格的频率为， 故从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，估计这名学生体质健康不合格的概率为． （2）设高一年级样本中测试数据为93，94，96的三名学生分别为，，， 高二年级样本中测试数据为90，96，98的三名学生分别为，，， 选取的2名学生构成的基本事件为：，，， ，，，，，，共9个， 其中两名学生的测试数据平均数大于95的有，，，，共4个， 所以选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为， 故选取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率为． （3） 故，． 题型4：相互独立事件 【例4-1】（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由独立事件概率公式和充要条件的概念即可求解. 【详解】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 【例4-2】（2025·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为 . 【答案】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， 所以. 故答案为：. 【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题： (1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率. (2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）应用古典概型结合独立事件的乘积公式计算求解； （2）先应用独立事件乘法公式求概率，再应用错位相减法计算即可. 【详解】（1）设事件，，为分别为第次选择A，B，C套餐，， 如图得， . （2）由（1）知： 　① 则　② ②－①得到： ， X 1 2 3 4 ．．． n P ．．． 　　　③ 则　④ ③－④得：， . 【变式4-1】（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为，小刚击中靶心的概率为，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用事件相互独立性来计算即可． 【详解】小明、小刚两人每次击中靶心的概率分别为，， 则小明、小刚两人每次未击中靶心的概率分别为，， 根据题意，前4次中小明恰好射击3次的情况为第一次小刚击中第二、三次小明均未击中第四次小明射击，其概率为， 第一次小明击中第二次小刚击中第三次小明未击中第四次甲射击，其概率为， 第一次小明未击中第二次小明击中第三次小刚击中第四次小明射击，其概率为， 第一、二次小明未击中第三次小明击中第四次小刚射击，其概率为． 则前4次中小明恰好射击3次的概率为． 故选：D． 【变式4-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ． 【答案】/ 【分析】讨论{第3局乙负，第4，5局乙胜}、{第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜}、{第3，4局乙胜}三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可. 【详解】乙最后的胜利包含三种情况： 一是第3局乙负，第4，5局乙胜，此时乙胜的概率为； 二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为； 三是第3，4局乙胜，此时乙胜的概率为 乙获胜的概率为． 故答案为： 【变式4-3】（2024·上海普陀·模拟预测）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 (1)根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； (2)根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据表格中数据可得与其他三人比赛获胜概率，利用概率的乘法公式以及正难则反的解题思路，可得答案； （2）计算各种安排下比赛获胜的概率，进行比较可得答案. 【详解】（1）由表格可估计与的比赛中获胜的概率， 与的比赛中获胜的概率，与的比赛中获胜的概率， 则估计在区内决赛中三场全输的概率， 所以估计在区内决赛中至少获胜一场的概率. （2）①当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ②当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ③当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ④当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑤当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑥当比赛安排为时，连胜两场的概率为； 由，则当比赛安排为或时，连胜两场的概率最大. 题型5：条件概率 【例5-1】（2025·四川达州·一模）已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】利用条件概率的定义式，先通过与求出，再代入的条件概率公式计算结果. 【详解】根据条件概率公式，先求： 由， 得. 再求： 由， 代入，得. 故选：B 【例5-2】（2025·江西新余·模拟预测）小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 【答案】 【分析】设事件答对第一题，事件小郅晋级，求出、、，利用概率的乘法公式、条件概率公式可得出的值. 【详解】设事件答对第一题，事件小郅晋级，则事件为“小郅可以答对第一题且选中此题”， 则， 因为，， ，因此，. 故答案为：. 【例5-3】（2025·广东揭阳·三模）已知某早餐牛奶店甲推出了A和B两款新口味牛奶，另外一家早餐包子铺乙推出了一款新品包子C.且早餐牛奶店甲向某小区的一名用户配送A款新口味牛奶的概率为0.7，配送B款新口味牛奶的概率为0.5，同时配送A和B的概率为0.3；早餐包子铺乙向该用户配送新品包子C的概率为0.6，且甲店与乙店的配送结果互不影响. (1)在甲店没有向该用户配送A款新口味牛奶的条件下，求它向该用户配送B款新口味牛奶的概率； (2)求这两家店至少向该用户配送A、B、C中的一种的概率. 【答案】(1) (2)0.96 【分析】（1）设甲店向该用户配送A为事件M，配送B为事件N，则甲店没有向该用户配送A为事件，应用条件概率公式，计算可得结果； （2）应用对立事件的性质，可以计算这两家店向该用户不推送A、B、C中任一种的概率，进而计算可得结果. 【详解】（1）设甲店向该用户配送A为事件M，配送B为事件N，则甲店没有向该用户配送A为事件， 由题设可知：，，，， 又，所以， 故. （2）设乙店向该用户配送C为事件Q， 则这两家店向该用户至少配送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲店与乙店的配送结果互不影响， 所以， 因为，所以， 即， 所以. 【变式5-1】（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断. 【详解】若，则， 若，则不一定成立，则不一定成立， 如，时，，满足，但不满足， 若，则，故，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 【变式5-2】（2025·四川成都·模拟预测）现有两位游客慕名来成都旅游，他们分别从武侯祠、杜甫草堂、宽窄巷子、春熙路、熊猫基地这5个景点中随机选择1个景点游玩，两位游客至少有一人选择武侯祠的条件下，他们选择的景点不相同的概率为 ． 【答案】 【分析】记事件为“两位游客中至少有一人选择武侯祠”，事件为“两位游客选择的景点不相同”，根据古典概型概率公式求出，再由条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“两位游客中至少有一人选择武侯祠”，事件为“两位游客选择的景点不相同”， 由题意，两位游客从5个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有5种不同的选法，故共有(种)不同的选法. 两人都不选择武侯祠的方法有(种)， 故两位游客中至少有一人选择武侯祠的方法共有 (种)， 所以两位游客中至少有一人选择武侯祠的概率. AB表示两位游客中至少有一人选择武侯祠，且两位游客选择的景点不同，即一人选择武侯祠，另一人选择其它景点，共有 (种)选法， 故， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由独立事件乘法公式即可求解； （2）由条件概率求解即可； 【详解】（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是. 所求概率为. （2）设事件表示“混双比赛在前3场进行”，事件表示“甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 题型6：全概率公式的应用 【例6-1】（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式求解. 【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，. 则. 故选：D 【例6-2】（2025·浙江·模拟预测）盒子中有3个红球，4个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入5个同色球，则第三次取出红球的概率为 . 【答案】 【分析】考虑前两次取球的所有可能情况，然后分别计算在每种情况下第三次取出红球的概率，最后将这些概率相加. 【详解】前两次取球有以下四种情况：（红，红）、（红，黑）、（黑，红）、（黑，黑）. 计算每种情况的概率以及在该情况下第三次取出红球的概率. 情况一：（红，红） 第一次取红球的概率，因为取完后放回并放入个红球，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第二次取红球的概率，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第三次取红球的概率. 所以这种情况下第三次取出红球的概率为. 情况二：（红，黑） 第一次取红球的概率，取完后放回并放入个红球，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第二次取黑球的概率，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第三次取红球的概率. 所以这种情况下第三次取出红球的概率为. 情况三：（黑，红） 第一次取黑球的概率，取完后放回并放入个黑球，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第二次取红球的概率，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第三次取红球的概率. 所以这种情况下第三次取出红球的概率为. 情况四：（黑，黑） 第一次取黑球的概率，取完后放回并放入个黑球，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第二次取黑球的概率，此时盒子中有个红球，个黑球，共个球. 第三次取红球的概率. 所以这种情况下第三次取出红球的概率为.   计算第三次取出红球的总概率 第三次取出红球的总概率 . 故答案为： 【例6-3】（2025·陕西西安·模拟预测）某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” (1)现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； (2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 【答案】(1)0.815 (2)随着的降低，系统的误判率升高，理由见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出误判率的函数关系，再借助函数单调性判断. 【详解】（1）用事件表示抽到的是正品，把抽到的产品标记为合格品为事件， 则，， 由全概率公式得. （2）设系统的误判率为，则， 所以随着的降低，系统的误判率升高. 【变式6-1】（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ） A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825 【答案】D 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】从这批种子中任选一颗是一，二，三，四等种子的事件分别是， 则，且，两两互斥， 设表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秋结出50颗以上果实”， 则， ， 则 . 故选：D. 【变式6-2】（2025·吉林白城·模拟预测）英国数学家贝叶斯（1701－1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件（的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为 . 【答案】 【分析】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，根据全概率公式即可求解. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则， 故所求概率. 故答案为：. 【变式6-3】（2025·河北邯郸·模拟预测）2025年1月，由我国团队自主研发的人工智能模型DeepSeek发布后，引起世界各大主流媒体和社交网站的广泛关注．已知DeepSeek的运行环境有实验室环境和实际部署环境两种，而且在两种环境中运行是等可能的．在实验室环境和实际部署环境中模型的准确率分别为90%和80%，产生错误的原因主要为过拟合和欠拟合，相应的概率如下表：         运行环境 错误类型 实验室环境 实际部署环境 过拟合 欠拟合 其它 某用户问了这个模型一个问题，求： (1)该模型答对问题的概率； (2)若该模型回答错误，求错误类型为过拟合的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）由条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）设该模型答对此问题为事件,则， 故模型答对问题的概率为， （2）设错误类型为过拟合为事件,则， 因为， ， 所以 所以若该模型回答错误，则错误类型为过拟合的概率为 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）现有一组数据0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率. 【详解】0，l，2，3，4，5，6，7删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为， 所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4， 有四种情况符合要求， 将这组数据随机删去两个数，共有种情况 所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为. 故选：D 2．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D. 【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确. 故选：D 3．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算全校的人数或计算各班抽取的人数后可求学生被选中的概率. 【详解】法一：全校总人数为人，一共抽取40人， 则被抽到的概率为； 法二：一个班抽取的人数为， 则被抽到的概率为.     故选：B. 5．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解. 【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件， 小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则. 故选：C. 6．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出事件，利用全概率公式和条件概率公式进行求解. 【详解】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占. 记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B， 则，所以. 故选；A. 7．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于的方程求解. 【详解】因为， . 又， 所以. 故选：A 8．（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【详解】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·云南昭通·模拟预测）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 10．（2025·四川成都·一模）眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（   ） A．与互为对立 B．与相互独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据对立事件及独立事件定义判断A，B，应用条件概率公式判断D，应用概率基本性质判断C即可. 【详解】因为，，， 则，所以， 所以，则与不对立，故A错误； 得到，与相互独立，故B正确； 而，故，故C正确； ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11．（2025·江苏南通·模拟预测）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意求解概率，即可结合条件概率以及并事件的概率公式求解. 【详解】由题意可得，故C正确， ，则，故B正确，A错误， ，故D错误， 故选：BC 三、填空题 12．（2023·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 【答案】0.7 【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可. 【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次， 所以摸到红球概率的估计值为. 故答案为：0.7 13．（2024·河南·模拟预测）设同一随机试验中的两个事件A，B满足，，，则 . 【答案】/0.375 【分析】根据条件，先计算事件对立事件的概率，再利用全概率公式，逆用即可求出的结果. 【详解】由，得； 由全概率公式：， 则. 故答案是：. 14．（2021·山东临沂·模拟预测）甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．开始甲持球，传球两次后，球回到甲手里的概率 ；传球次后，球回到甲手里的概率 ． 【答案】 【分析】（1）经过一次传递后，落在乙丙手中的概率分别为，而落在甲手中的概率为，由此能求出两次传递后球落在甲手中的概率之值． （2）要想经过次传递后球落在甲的手中，那么在次传递后球一定不在甲手中，所以，，…，由此能求出． 【详解】（1）经过一次传递后，落在乙丙手中的概率分别为， 而落在甲手中的概率为0，因此， 两次传递后球落在甲手中的概率为． （2）要想红过次传递后球落在甲的手中，那么在次传递后球一定不在甲手中， 所以， 因此， ，， ∵， ∴， ， 所以． 故答案为：，． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点要通过题意得到，要想经过次传递后球落在甲的手中，那么在次传递后球一定不在甲手中，所以，这个递推关系是解决本题的关系. 四、解答题 15．（2025·甘肃陇南·模拟预测）设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个. (1)在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率； (2)在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率； (3)在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率，再利用二项分布的概率公式求解. （2）利用古典概型的概率公式求解. （3）将第3个球为白球的事件分拆成四个互斥事件的和，再求出各个事件的概率，结合加法公式求得答案. 【详解】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为， 所以这5个球中恰有3个白球的概率. （2）在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率. （3）在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：白,白,白；白,红,白；红,白,白；红,红,白， 所以所求概率. 16．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)若，，求接收的信号为0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）先求条件概率，结合全概率公式可得答案； （2）（i）利用独立事件的概率公式可得答案；（ii）分别表示出两种方式的概率，作差比较，分情况讨论可得答案. 【详解】（1）设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”， 则“发送的信号为1”，“接收的信号为1”. 由题意可得. （2）（i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1， 此时依次收到1，0，1的概率为 （ii）记三次传输，发送1，依次收到0，1，1为，依次收到1，0，1为， 依次收到1，1，0为，依次收到1，1，1为，且事件相互互斥. 对于三次传输，记发送1，译码为1为事件， 记单次传输发送1，译码为1为事件，则. 因为，所以. 当时，有，即，此时选用三次传输方案. 当时，有，即，选用哪种传输方案都可以. 当时，有，即，此时选用单次传输方案. 17．（2022·重庆·一模）某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束：否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. (1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； (2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序?请说明理由. 【答案】(1) (2)甲按或顺序，理由见解析 【分析】（1）分甲选“B类问题并取得复赛资格”、“C类问题并取得复赛资格”两类所得概率求和得解. （2）因为甲回答A，B两类问题的概率相同，故只要ABC、ACB、CAB这三种回答顺序. 【详解】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为， 甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为， 故所求概率为； （2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑、、这三种回答顺序， 按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率为， ，故甲按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大. 18．（2020·全国·模拟预测）“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业.某网络促销平台从消费者中随机抽取500名调查他们的消费金额(单位：元，都在区间内)，得到如下频数分布表，其中消费金额在，，内的频数成等比数列. 消费金额/元 频数 40 60 120 140 20 （1）求，的值； （2）用频率估计概率，求消费金额不少于1100元的概率； （3）用分层抽样的方法从消费金额在，，内的消费者中抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人中消费金额来自不同分组的概率. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）利用频数之和为500及等比中项列方程组求解，的值； （2）求出消费金额不少于1100元的频数，用古典概型的概率计算公式求解； （3）先利用分层抽样得到从消费金额在，，内抽取的人数，再列举出所有的基本事件，求出所求事件包含的基本事件，即可利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】解：（1）由题意可知得，. （2）消费金额不少于1100元的频数为， 故用频率估计概率可得，消费金额不少于100元的概率为. （3）因为，，三组的频数之比为， 也就是， 所以从，，三组抽取的人数分别是4，2，1， 记抽取的消费金额在区间内的4人分别为，，，， 消费金额在区间内的2人分别为，， 消费金额在区间内的1人为， 从这7人中随机抽取2人的情况有21种，分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，. 记事件表示“抽取的2人中消费金额来自不同分组”，则事件包含的情况有14种， 分别为： ，，，，，，，，，，，，，. 所以. 【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 19．（2025·山东泰安·二模）某学校有甲、乙两个图书馆.假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆.若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为，已知的分布列如下：（其中） 0 1 2 3 (1)记事件表示王同学在这三天内去图书馆借阅次，事件表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数.当时，试根据全概率公式求的值； (2)是否存在实数，使得，若存在，求的值：若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用分布列的性质求得，再计算出，代入全概率公式计算即得； （2）先由得出一个关于a与p的方程，再按照均值定义得出另一个a与p的方程，消去a得出关于p方程，构造函数，分析函数得其最小值为正，方程无解，即不存在符合条件的p值 . 【详解】（1）当时，， 则，解得； 由题意，得， ， ， 由全概率公式，得 . （2）由， 得， 假设存在，使， 将上述两式左右分别相乘， 得， 化简得：， 设，则， ，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以不存在使得，即不存在值，使得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $