第31讲 随机变量及其分布（知识清单+6题型讲解练+强化训练）讲义-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考版）

该高中数学高考复习讲义聚焦随机变量及其分布核心考点，涵盖离散型随机变量、分布列、均值方差、二项分布等8个知识点，按概念-性质-应用逻辑架构知识体系。通过知识清单梳理、题型讲解（举三反三）、分层强化训练，帮助学生系统突破考点难点，构建完整知识网络。 讲义创新采用“知识点-题型-训练”三阶教学法，如题型讲解中结合真题例题与变式训练，强化数学思维与应用意识。分层练习覆盖选择、填空、解答题，精准匹配高考题型，助力学生在有限时间内提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第31讲 随机变量及其分布 知识清单 知识点01：离散型随机变量 知识点02：离散型随机变量的分布列 知识点03：离散型随机变量分布列的性质 知识点04：离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 知识点05：均值(数学期望)与方差的性质 知识点06：二项分布 知识点07：超几何分布 知识点08：正态分布 题型讲解 （举三反三） 题型1：分布列的性质 题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征 题型3：均值与方差中的决策问题 题型4：二项分布 题型5：超几何分布 题型6：正态分布 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 知识点02.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 知识点03.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点04.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 知识点05.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 知识点06.二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 知识点07.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 知识点08正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 题型1：分布列的性质 【例1-1】（2023·全国·模拟预测）两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的分布列计算概率即可. 【详解】4人排成一排共有种不同的排法， 的所有可能取值为0，1，2， 所以， ， ， 所以. 故选：B. 【例1-2】（2022·四川内江·模拟预测）设随机变量的分布列为，，，，为常数，则 ． 【答案】 【分析】首先根据概率和为1可得的值，再由即可得结果. 【详解】随机变量的分布列为，，，， ∴，即，解得， ∴， 故答案为：. 【例1-3】（2024·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果； （2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义. 【详解】（1）当时，，且， ∴， ∴ （2）令，则， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 【变式1-1】（2021·河南南阳·模拟预测）已知为正数，随机变量的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的概率和为1，即可求解. 【详解】由分布列可知，，得． 故选：C 【变式1-2】（2021·浙江金华·模拟预测）已知随机变量的分布列如表，且，则 ，的取值范围为 . 0 1 2 3 【答案】 ， 【解析】根据概率和等于1计算，根据条件求出的范围，得出的范围. 【详解】解：由概率之和等于1可得， 由，可知， 即，解得， 又，故. 又， ， 故答案为：，， 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列性质，数学期望计算，属于基础题. 【变式1-3】（2025·四川成都·模拟预测）一口袋中装有10个小球，其中标有数字的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同. (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A “摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设表示摸球的次数（，求随机变量的期望，并比较期望与1的大小. 【答案】(1)，； (2)，大于1. 【分析】（1）求出从中一次性摸出4个球方法的数目，求出和，即可求得相应的概率； （2）求出的取值，当时，求出，当时，求出，列出列联表求出，得用错位相减，即可求得解. 【详解】（1）从中一次性摸出4个球有种方法， 所以； （2）的取值可能为， 当时， 当时，， 1 2 3 所以 令， 则， 相减得 ， 所以. 为递增数列，故. 题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征 【例2-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题意利用离散型随机变量求出，再由期望公式计算可得. 【详解】的可能取值为2，4， ， 所以. 故选：C. 【例2-2】（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及数学期望公式，列出方程求出、的值，进而利用方差公式求出方差即可. 【详解】由题意知，解得， 所以. 故答案为：. 【例2-3】（2025·陕西西安·模拟预测）某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求m的值； (2)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的学生中抽取8名学生，对其成绩进行失分分析，再从抽到的8名学生中随机抽取3名，记成绩在内的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求解； （2）先求出样本中三段分数的人数，再求出的可取值及对应概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意有：，解得：. （2）根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人 所以随机变量的可取值为0，1，2，3 ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 【变式2-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）设，随机变量X的分布列是 X 0 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】C 【分析】根据分布列求解b的值，然后根据分布列计算随机变量的均值和方差，结合二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以． 因为， 所以， 所以当时，a增大增大， 当时，a增大减小． 故选：C. 【变式2-2】（2025·湖南·一模）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为 ． 【答案】/ 【分析】设投篮总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可. 【详解】设投篮总次数的数学期望为， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 则投篮总次数的数学期望为， 解得 故答案为： 【变式2-3】（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）先确定的可能取值，然后针对不同的取值求出对应的概率，进而可列出的分布列，从而求得期望和方差.. （2）根据条件概率和全概率公式可求得他通过预赛的概率. 【详解】（1）根据题意. ； ； . 所以的分布列为 1 2 3 故随机变量的期望. 所以的方差. （2）设事件“选手甲抽到道会做的题目，”，事件“选手甲通过预赛”， 则，，，两两互斥，. 由（1）知，.又. 所以. 同理，. . 由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率. 题型3：均值与方差中的决策问题 【例3-1】（2024·湖北·二模）数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例得分，有选错得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p（） (1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、D四个选项中任选一个选项；策略二：在A、B、C、D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的期望； (2)若有一个多选题，小明发现A正确，B、C、D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：．选A和B、C、D中的任一个，策略二：选A和B、C、D中的任意2个，在的条件下，判断小明该选择哪个策略. 【答案】(1)期望分别为和 (2)小明应选择策略一 【分析】分两种情况设小明分别采用策略一和策略二的得分情况，在计算相应的概率再求相应的期望；（2）根据条件，分别求出三种情况的分布列，进而求出期望，再根据的值进行讨论，从而得到结论 【详解】（1）设小明分别采用策略一和策略二的得分分别为，， ，； ;     ∴ ,    ; ； ∴ 所以小明分别采取策略一和策略二的得分的期望分别为和 （2）设小明选择策略一和策略二的得分分别为， ；; ；; ,  ； ∵   ∴小明应选择策略一 【例3-2】（2025·陕西安康·模拟预测）目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. (1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； (2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 【答案】(1)答案见解析 (2)同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列. （2）求出回答“回收报废电力设备”题得分的期望，再与比较得解. 【详解】（1）依题意，的可能取值为，，， 则，， ， 所以的分布列为 0 10 30 0.4 0.24 0.36 （2）当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得； 当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，， ，， 因此， 因为，所以， 所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 【例3-3】（2025·山西·一模）新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的． (1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，策略一期望：；策略二期望： 【分析】（1）记“随机选择i个选项作答”，，“小张得0分”．由条件概率及全概率公式求解即可； （2）设用策略一得分为随机变量X，用策略二得分为随机变量Y，确定随机变量的取值，求得相应概率，进而可求解； 【详解】（1）记“随机选择i个选项作答”，，“小张得0分”． ，，，，，， 则 （2）设记小王用策略一得分为随机变量X，X的取值为0，2，3； 记小王用策略二得分为随机变量Y，Y的取值为0，4，6 ，，． 小王用策略一得分X的分布列为 X 0 2 3 P 故． ， ，． Y 0 4 6 P 故； 【变式3-1】（2025·四川自贡·二模）某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别求得先回答类问题得分期望以及先回答类问题得分期望，列出不等式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率： . （2）先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100 ， ， ， ， 先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100 ， ， ， ， 由， 所以， 解得：. 【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【答案】(1) (2)选择停止比赛，拿到奖金的期望更高 【分析】（1）由相互独立事件、互斥事件的概率计算可得答案； （2）计算出停止比赛甲拿到奖金的期望、再继续比赛一局甲拿到奖金的期望可得答案. 【详解】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜， 所以甲在第3局中获胜的概率； （2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）． 方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前三局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率．     再继续比赛，第4局甲获胜的概率 ， 第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（万元）． 因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高． 【点睛】思路点睛：解决决策性问题的关键是比较衡量指标的大小关系，所以根据题意准确求出衡量指标是根本，其基本的解题步骤如下：（1）准确定位，即确定事件的性质，这是准确建立模型、求解概率的基础；（2）建立目标，根据概率知识求出衡量指标的目标式，如果没有特殊要求，则需要求出数学期望与方差两个方面的指标值；（3）比较大小，比较衡量指标的大小，一般采用作差法或作商法比较大小，如果没有特殊要求，则需要先比较变量取值的平均水平——数学期望，若两者相同，则进一步比较变量取值的离散集中程度——方差；（4）做出决策，根据衡量指标值的大小，做出相应的决策． 【变式3-3】（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 题型4：二项分布 【例4-1】（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以. 故选：B 【例4-2】（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ． 【答案】5 【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解. 【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时. 故答案为：5 【例4-3】（2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)第次或第次 【分析】（1）分情况列举出所有符合题意的事件，再利用条件概率公式进行求解即可； （2）设该游戏在第次停止的概率为，表示，通过作商确定的最大值. 【详解】（1）记“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “第次摸出红球，并且答题正确”，， “第次摸出黑球，并且答题正确”，， “第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，， 所以，， 因为，， ，， 所以， 又因为， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，， 所以， 所以. （2）设该游戏在第次停止的概率为， 则前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确， 所以， 所以， 令，解得，令，解得， 所以， 所以的最大值是，即该游戏在第次或第次停止的概率最大，最大值为. 【变式4-1】（2025·山东青岛·三模）若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的方差公式列方程求得，再由二项分布的概率求法求概率. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：B 【变式4-2】（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则 . 【答案】5 【分析】分析得到～，有，由二项式系数的性质求最大值. 【详解】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子号码服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即～， 所以， 由二项式系数的对称性可知当时，最大，即最大，所以． 故答案为：5. 【变式4-3】（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 【答案】(1)分布列见解析，2.4 (2) 【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率. 【详解】（1）由题意得，，其分布列为：，，1，2，3. X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 数学期望为. （2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”. 根据题意，， . 题型5：超几何分布 【例5-1】（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 【例5-2】（2023·江苏·三模）设随机变量（共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X件），则 . 【答案】 【分析】根据超几何分布计算公式可得. 【详解】由随机变量服从超几何分布， 可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10， 根据超几何分布公式可得. 故答案为： 【例5-3】（2025·河北·模拟预测）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． (1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； (2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，求出、的值，利用条件概率公式求出的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，即可求出的值. 【详解】（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生， 所以，， 由条件概率公式可得； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 【变式5-1】（2022·四川成都·模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） ①取出的最大号码服从超几何分布； ②取出的黑球个数服从超几何分布； ③取出2个白球的概率为； ④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 A．①② B．②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④ 【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误； 对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确； 对于③，取出2个白球的概率为，故③错误； 对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大， 总得分最大的概率为，故④正确． 故选：B 【变式5-2】（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 【变式5-3】（2024·四川攀枝花·一模）某智能翻译软件在研发过程中加入了新的算法，它能够更准确地翻译多种语言．该软件的改进主要运用NMT（神经机器翻译）技术和语言模型融合技术．在测试时，如果输入的语句词汇量在个以内，翻译结果被认可的概率为，当输入语句词汇量超过个时，翻译结果被认可的概率为. (1)在一次测试中输入了个语句，翻译结果有个被认可，现从这个语句中抽取个，以X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的语句词汇量超过个的概率为，若翻译结果被认可的概率为，求的值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，则的可能取值为、、、、，再用超几何分布计算出取每个值的概率，最后写出分布列,求期望即可； （2）计算出两种情况的概率相加就是翻译结果被认可的概率，因此借助全概率公式可解出. 【详解】（1）解：已知输入个语句，翻译结果有个被认可，则有个未被认可．从个语句中抽取个，表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，则的可能取值为、、、、，可得 ，， ，， ， 根据数学期望公式可得：. （2）解：设“输入语句词汇量超过个”为事件，则 ，， 设事件表示“翻译结果被认可”，则 ，，， 由全概率公式知 ， 则 ， 即， 解得. 题型6：正态分布 【例6-1】（2025·江苏·模拟预测）已知随机变量，为使在内的概率不小于，则正数的最小值为（   ）（参考：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质可知，从而得解. 【详解】由于， 要使在内的概率不小于， 则，即，所以， 即正数的最小值为. 故选：C 【例6-2】（2023·江苏徐州·模拟预测）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【答案】 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案. 【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知， 因为，所以，即， 随机变量服从正态分布，根据对称性可知， ，则，即. 故答案为：. 【例6-3】（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【答案】(1)个学生； (2)分布列见解析，均值为. 【分析】（1）根据题设求得、，应用正态分布的三段区间概率及对称性得，即可求人数； （2）由题意平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布，应用二项分布的概率公式求分布列，进而求均值. 【详解】（1）由题设，且， 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布， 由， 所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上； （2）由（1）知， 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布， 所以，， ，， 所以分布列如下， 0 1 2 3 . 【变式6-1】（2025·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察图表，根据对称轴得到平均数的大小，根据形状特征得到方差的大小，得到答案. 【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴， 故甲的平均数小于乙的平均数，即， 且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即. 故选：C 【变式6-2】（2025·湖北·模拟预测）某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，求得，得到的概率，进而求得学生数学成绩在130分以上的人数，得到答案. 【详解】由题意知，期末考试数学成绩X服从正态分布， 因为，可得， 则， 又因为某地有8000名学生参加考试， 所以估计某地学生数学成绩在130分以上的人数为. 故答案为：. 【变式6-3】（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大 【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率； （2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润. 【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，. ：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得. ：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得. ：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得. 所以的分布列为： 0.72 0.26 0.02 （2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，. ； ； . 每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，. ； ； . 则乙机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 一、单选题 1．（2020·全国·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式求得k的值，再由二项分布概率公式可求得的值. 【详解】由题意，知圆心坐标为， 圆心到直线的距离为 则，解得或． 因为，所以． 因为， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查二项分布概率公式，属于基础题. 2．（2025·湖南长沙·三模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则（ ） A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.8 【答案】B 【分析】判断出随机变量服从二项分布，利用二项分布的方差公式求出.然后，根据随机变量，依据随机变量线性变换后的方差性质（其中、为常数），求出. 【详解】已知从群体中随机抽取10人，对某活动持满意态度的人数比例为， 设这10人中持满意态度的人数为，那么服从参数为（试验次数），（每次试验成功的概率）的二项分布，即. 对于二项分布，其方差公式为. 将，代入公式可得：. 已知随机变量，根据随机变量线性变换后的方差性质， 所以.由前面已求得，则. 所以. 故选：B. 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（    ） A．180 B．185 C．190 D．195 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性求得，进而有，应用二项分布的期望公式求期望. 【详解】由，可得， 则，故. 故选：C 4．（2025·四川·模拟预测）若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列通项公式用表示、，再结合概率和为求出，最后根据期望公式计算． 【详解】已知数列是公比为的等比数列，可得，． 因为随机变量的所有概率之和为，即，将，代入可得： ，合并同类项得，解得． 根据离散型随机变量的期望公式，把，，代入可得： ． 故选：D． 5．（2021·全国·模拟预测）2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的个数为，从而求得概率. 【详解】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为 故选：D 6．（2025·广东·模拟预测）一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】先求的分布列，再求的期望. 【详解】由题意，的值可以为：6,7,9 表示取出的两个球上的数字为2,4，相当于将三个球排序，2,4排在前两位，所以； 表示取出的两个球上的数字为3,4，相当于将三个球排序，3,4排在前两位，所以； 表示三个球全部取出，相当于将三个球排序，2，3排在前两位，所以. 所以的分布列为： 6 7 9 所以. 故选：A 7．（2020·浙江温州·模拟预测）袋中有3个白球和i个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为，其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意得，当时，可能的取值为：，可得，当时，可能的取值为：，可得，由二项分布分布列求得其相应的期望和方差，比较大小可得选项. 【详解】当时，可能的取值为：，则： ，，，， 所以，所以，； 当时，可能的取值为：，则： ，，，， 所以，所以，； 所以，， 故选：A. 【点睛】本题考查二项分布列，求二项分布列的期望和方差，属于中档题. 8．（2025·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率的性质和正态分布的对称性，计算得出答案. 【详解】由概率之和为1及对称性求解，得. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·陕西西安·二模）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的性质，利用均值与方差的计算性质逐一判断各选项即得. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C错误； 又，故D错误. 故选：AB. 10．（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，求出，再依次判断选项即可． 【详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 11．（2025·湖南长沙·二模）下列说法中，正确的是（ ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【分析】由二项分布的期望和方差公式可得A；利用正态分布的对称性可判断B；由独立事件的乘法公式可得C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，已知随机变量服从二项分布，若，， 则，解得，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，所以对称轴为，则， 因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，若，相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·江苏南通·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 【答案】60 【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 13．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 ． 【答案】 ； 58 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 14．（2025·四川资阳·一模）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得分.若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量，则 . 【答案】 【分析】根据题意求解随机变量的可能取值及对应的概率，进而计算数学期望即可. 【详解】解：根据题意，随机变量的可能取值为， 对应的概率为：，，， 所以， 故答案为： 四、解答题 15．（2025·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.8 (2)分布列见解析，2.4 【分析】（1）由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解； （2）由题意确定服从二项分布，进而可求解. 【详解】（1）任选1名学生，记“该人参加过数据分析”为事件，“该人参加过新媒体运营”为事件， 由题意可知，事件与相互独立，，则， 任选1名学生，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名学生，该人参加过培训的概率. （2）由题意结合（1）可知，3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 的期望. 16．（2025·陕西汉中·一模）某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果． (1)设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率； (2)若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为X，求X的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记第一次摸得荔枝味糖果为事件，第二次摸得荔枝味糖果为事件，利用全概率公式即可求解； （2）确定随机变量的取值，结合概率性质求解分布列与数学期望即可得结论． 【详解】（1）记第一次摸得荔枝味糖果为事件，第二次摸得荔枝味糖果为事件， ，则， 所以； （2）由题可知的可能取值为， 故，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． 17．（2025·山东泰安·模拟预测）某工厂生产一种零件，其长度 （单位：mm）服从正态分布. (1)求零件长度在 内的概率； (2)从一批零件中随机抽取 10 个，设长度在 内的零件个数为，求. （参考数据： ） 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由可知结合给定数据可得结果. （2）由题意知，代入即可. 【详解】（1） （2）由题意知. 18．（2025·甘肃武威·模拟预测）某足球俱乐部举行罚点球表演赛，规定：每组四人，且该组每人最多出场一次，每次出场只派一名队员，一旦有队员出场罚中点球，则该组的表演结束，否则派下一名队员出场.现有甲组的，，，四人组队参加表演赛，他们各自罚中的概率分别为，，，，且，，，互不相等. (1)已知，，，. （i）若甲组每名队员能否罚中相互独立，求甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率； （ii）若前面一人未罚中，则后面紧挨着出场的队员多少受到一些干扰，从而导致罚中的概率变为原罚中概率的.求甲组恰好派，两名队员都出场的概率； (2)已知每名队员能否罚中相互独立，且.若计划安排，分别在第二个、第三个出场，从，中选一个在第一个出场，要使派出的队员人数的期望较小，试确定安排谁第一个出场. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)A 【分析】（1）（i）应用独立事件乘法公式计算求解；（ii）应用条件概率乘法公式计算求解； （2）先应用独立事件乘法公式计算概率，再得出分布列，进而再得出数学期望作差比较计算判断. 【详解】（1）（i）甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率为. （ii）记事件表示“未罚中且罚中”，则. （2）若安排第一个出场，记派出的队员人数为， 由题意可知的可能取值为1，2，3，4， 则，， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 则， 若安排第一个出场，记派出的队员人数为， 同理可得， 则 ， 因为， 所以，，， 则， 所以，即， 所以要使派出队员人数的期望较小，甲组应安排第一个出场. 19．（2025·江苏苏州·三模）现将个编号的小球随机地放入个外观、大小一样的编号也为的盒子中，每个盒子中有且仅有一个小球． (1)时，记小球编号与盒子编号相同的个数为，求的分布列； (2)若号盒子中球的编号为，号盒子中球的编号为，号盒子中球的编号为，我们称编号，，的小球处于一个闭环中．如编号的盒子中放入的小球编号依次是，，，，，，则共有个闭环，其中编号的小球是一个闭环．据此，当时，回答下面两个问题： ①求恰有3个闭环的概率； ②某幼儿园组织名编号的小朋友玩游戏，每个小朋友选择个盒子打开，若这个盒子中有小球编号与自己编号一致，则认为游戏成功．每个小朋友在游戏过程中不能商量，且小朋友完成游戏后，由工作人员将盒子恢复原样，下一个小朋友再开始游戏．如果你是带队老师，在游戏开始前，帮小朋友们制定一个策略，使得所有小朋友都成功的概率大于，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②答案见解析 【分析】（1）先写出可取的值，再写出对应概率进而得出分布列； （2）①应用古典概型结合组合数运算计算求解；②先根据已知条件类推，再结合组合数及排列数计算证明. 【详解】（1），1，2，4． ，， ，． 所以随机变量的分布列如下表所示： （2）①记“恰有3个闭环”为事件，则 因为3个闭环含有的小球数为1，1，4的种数：， 含有的小球数为1，2，3的种数：， 含有的小球数为2，2，2的种数：， 所以． 答：恰有3个闭环的概率为． ②每个小朋友从自己编号的盒子开始打开，看小球编号，再去打开编号为看到小球编号的盒子，以此类推，总共打开3个盒子． 证明：按照上面的策略，只要每个闭环中的小球个数不超过3，则每个小朋友就都能成功，这样就等价于求每个闭环中的小球个数不超过3的概率． 恰有1个闭环中含有4个小球的种数：， 恰有1个闭环中含有5个小球的种数：， 恰有1个闭环中含有6个小球的种数：， 所以每个闭环中的小球个数不超过3的种数为：， 因此，每个闭环中的小球个数不超过3的概率为，即所有小朋友都成功的概率为，大于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 随机变量及其分布 知识清单 知识点01：离散型随机变量 知识点02：离散型随机变量的分布列 知识点03：离散型随机变量分布列的性质 知识点04：离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 知识点05：均值(数学期望)与方差的性质 知识点06：二项分布 知识点07：超几何分布 知识点08：正态分布 题型讲解 （举三反三） 题型1：分布列的性质 题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征 题型3：均值与方差中的决策问题 题型4：二项分布 题型5：超几何分布 题型6：正态分布 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 知识点02.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 知识点03.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点04.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 知识点05.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 知识点06.二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 知识点07.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 知识点08正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 题型1：分布列的性质 【例1-1】（2023·全国·模拟预测）两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2022·四川内江·模拟预测）设随机变量的分布列为，，，，为常数，则 ． 【例1-3】（2024·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 【变式1-1】（2021·河南南阳·模拟预测）已知为正数，随机变量的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2021·浙江金华·模拟预测）已知随机变量的分布列如表，且，则 ，的取值范围为 . 0 1 2 3 【变式1-3】（2025·四川成都·模拟预测）一口袋中装有10个小球，其中标有数字的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同. (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A “摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设表示摸球的次数（，求随机变量的期望，并比较期望与1的大小. 题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征 【例2-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望为（   ） A． B． C． D．3 【例2-2】（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 【例2-3】（2025·陕西西安·模拟预测）某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求m的值； (2)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的学生中抽取8名学生，对其成绩进行失分分析，再从抽到的8名学生中随机抽取3名，记成绩在内的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【变式2-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）设，随机变量X的分布列是 X 0 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【变式2-2】（2025·湖南·一模）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为 ． 【变式2-3】（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 题型3：均值与方差中的决策问题 【例3-1】（2024·湖北·二模）数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例得分，有选错得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p（） (1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、D四个选项中任选一个选项；策略二：在A、B、C、D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的期望； (2)若有一个多选题，小明发现A正确，B、C、D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：．选A和B、C、D中的任一个，策略二：选A和B、C、D中的任意2个，在的条件下，判断小明该选择哪个策略. 【例3-2】（2025·陕西安康·模拟预测）目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. (1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； (2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 【例3-3】（2025·山西·一模）新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的． (1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望． 【变式3-1】（2025·四川自贡·二模）某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【变式3-3】（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 题型4：二项分布 【例4-1】（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ． 【例4-3】（2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 【变式4-1】（2025·山东青岛·三模）若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则 . 【变式4-3】（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 题型5：超几何分布 【例5-1】（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例5-2】（2023·江苏·三模）设随机变量（共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X件），则 . 【例5-3】（2025·河北·模拟预测）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． (1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； (2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 【变式5-1】（2022·四川成都·模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） ①取出的最大号码服从超几何分布； ②取出的黑球个数服从超几何分布； ③取出2个白球的概率为； ④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 A．①② B．②④ C．③④ D．①③④ 【变式5-2】（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ． 【变式5-3】（2024·四川攀枝花·一模）某智能翻译软件在研发过程中加入了新的算法，它能够更准确地翻译多种语言．该软件的改进主要运用NMT（神经机器翻译）技术和语言模型融合技术．在测试时，如果输入的语句词汇量在个以内，翻译结果被认可的概率为，当输入语句词汇量超过个时，翻译结果被认可的概率为. (1)在一次测试中输入了个语句，翻译结果有个被认可，现从这个语句中抽取个，以X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的语句词汇量超过个的概率为，若翻译结果被认可的概率为，求的值． 题型6：正态分布 【例6-1】（2025·江苏·模拟预测）已知随机变量，为使在内的概率不小于，则正数的最小值为（   ）（参考：） A． B． C． D． 【例6-2】（2023·江苏徐州·模拟预测）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【例6-3】（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【变式6-1】（2025·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（2025·湖北·模拟预测）某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为 . 【变式6-3】（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 一、单选题 1．（2020·全国·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·三模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则（ ） A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.8 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（    ） A．180 B．185 C．190 D．195 4．（2025·四川·模拟预测）若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 5．（2021·全国·模拟预测）2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东·模拟预测）一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 7．（2020·浙江温州·模拟预测）袋中有3个白球和i个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为，其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·陕西西安·二模）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 11．（2025·湖南长沙·二模）下列说法中，正确的是（ ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 三、填空题 12．（2025·江苏南通·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 13．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 ． 14．（2025·四川资阳·一模）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得分.若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量，则 . 四、解答题 15．（2025·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 16．（2025·陕西汉中·一模）某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果． (1)设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率； (2)若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为X，求X的数学期望． 17．（2025·山东泰安·模拟预测）某工厂生产一种零件，其长度 （单位：mm）服从正态分布. (1)求零件长度在 内的概率； (2)从一批零件中随机抽取 10 个，设长度在 内的零件个数为，求. （参考数据： ） 18．（2025·甘肃武威·模拟预测）某足球俱乐部举行罚点球表演赛，规定：每组四人，且该组每人最多出场一次，每次出场只派一名队员，一旦有队员出场罚中点球，则该组的表演结束，否则派下一名队员出场.现有甲组的，，，四人组队参加表演赛，他们各自罚中的概率分别为，，，，且，，，互不相等. (1)已知，，，. （i）若甲组每名队员能否罚中相互独立，求甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率； （ii）若前面一人未罚中，则后面紧挨着出场的队员多少受到一些干扰，从而导致罚中的概率变为原罚中概率的.求甲组恰好派，两名队员都出场的概率； (2)已知每名队员能否罚中相互独立，且.若计划安排，分别在第二个、第三个出场，从，中选一个在第一个出场，要使派出的队员人数的期望较小，试确定安排谁第一个出场. 19．（2025·江苏苏州·三模）现将个编号的小球随机地放入个外观、大小一样的编号也为的盒子中，每个盒子中有且仅有一个小球． (1)时，记小球编号与盒子编号相同的个数为，求的分布列； (2)若号盒子中球的编号为，号盒子中球的编号为，号盒子中球的编号为，我们称编号，，的小球处于一个闭环中．如编号的盒子中放入的小球编号依次是，，，，，，则共有个闭环，其中编号的小球是一个闭环．据此，当时，回答下面两个问题： ①求恰有3个闭环的概率； ②某幼儿园组织名编号的小朋友玩游戏，每个小朋友选择个盒子打开，若这个盒子中有小球编号与自己编号一致，则认为游戏成功．每个小朋友在游戏过程中不能商量，且小朋友完成游戏后，由工作人员将盒子恢复原样，下一个小朋友再开始游戏．如果你是带队老师，在游戏开始前，帮小朋友们制定一个策略，使得所有小朋友都成功的概率大于，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $