妙解抽象函数问题-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

名师在线 妙解抽象函数问题 ■安徽省临泉县高铁中学（合肥市第六中学临泉分校） 肖靳勇 抽象函数是没有给出具体的函数 A.-1,1] B.[-2,0] 解析式或图像，只给出一些函数符号及 C.[1,3] D.[2,4] 其满足的条件的一类特殊函数。采用 解：函数f(x+1)是将f(x)的图 一些非常规的巧妙方法求解抽象函数 像向左平移1个单位长度得到的，将函 问题往往可以收获意想不到的效果。 数图像左右平移不改变函数的值域，故 一、求值问题 f(x+1)的值域为[0,2]。由y=f(x 例1已知函数f(x)对于任意的 +1)-2,可得0-2≤y≤2-2，即y∈ 1 [-2,0]。应选B。 实数x满足条件f(x十2)=一 f(x)' ,点评：利用函数图像左右平移不改 若f2)=3,则12026) 变值域的特点，先确定f(x十1)的值域， 再通过坐标运算得到函数y的值域。 解：因为f(x+2)= f(x),所以 三、不等式问题 例3已知f(x)是定义在R上的 1 f(x+4)=f(x+2+2)= 单调函数，A(0,1),B(2,-1)是其图 f(x+2) 像上的两点，则不等式|f(x一1)|>1 =f(x),即函数f(x)的一个周期是 的解集是( 4,所以f(2026)=f(506×4+2)= )。 A.(-1,1) f(2)=2 B.(-∞，-1)U(1,+∞) 点评：对f(x)定义域内任一自变 C.(1,3) 量的值x,若f(x十a)=一f(x),则 D.(-∞，1)U(3,+∞) 解：由题意得f(0)=1,f(2)= T-2a(a0):f(x+a)-f(x)' 1 一1，结合f(x)是定义在R上的单调 则T=2a(a>0);若f(x+a)= 函数，可知f(x)在R上单调递减。 1 fx),则T=2a(a>0). 由|f(x-1)|>1,可得f(x-1) <-1=f(2)或f(x-1)>1=f(0), 二、函数的值域问题 所以x-1>2或x-1<0,解得x>3 例2已知函数f(x)的值域为 或x<1。所以所求不等式的解集为 [0,2],则函数y=f(x+1)-2的值域 (-∞，1)U(3,十∞)。应选D。 为( ）。 ,点评：解答本题的关键是判断出函 38 名师在线 数f(x)在R上单调递减，且由|f(x 点评：解不等式2a3 a+1 <1时不能 1)>1得f(x-1)<f(2)或f(x-1) >f(0)。 将不等式的两边同乘以(a十1)，理由 四、函数的奇偶性问题 是a十1的正负不确定。 例4已知定义域为R的函数 六、比较大小问题 f(x)对任意的实数x,y都有f(x十 例6已知f(x+1)是偶函数，当 y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0) 1<x1<x2时，[f(x1)-f(x2)](x1 ≠0，则()。 x)>0恒成立，设a=(2),6 A.f(x)是奇函数 f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系 B.f(x)是偶函数 是()。 C.f(x)既是奇函数也是偶函数 A.b<a<c B.c<b<a D.f(x)是非奇非偶函数 C.b<c<a D.a<b<c 解：由f(0)≠0知f(x)不是奇函 数。令x=0,y=0得2f(0)= 解：因为f(x+1)是偶函数，所以 2[f(0)],因为f(0)≠0，所以f(0)= 函数f(x)关于直线x=1对称。当1 <x1<x2时，由[f(x1)-f(x2)](x1 1。令y=0,x取任意实数得f(x)+ -x2)>0得f(x2)>f(x1),所以 f(-x)=2f(0)f(x),所以f(-x)= f(x)为(1，+∞)上的增函数。因为 f(x),所以f(x)是偶函数。应选B。 点评：判断抽象函数的奇偶性，一 a=f-2)=f1-）=f1+) 般需要对抽象函数作不同的特值代换， 并进行逻辑推理。 f(得》，且3>>2>1，所以b<a<c。 五、参数的取值范围问题 应选A。 例5已知f(x)是定义在R上以 点评：当自变量不在同一个单调区 3为周期的偶函数，若f(1)<1, 间时，可利用函数的对称性，先将自变 )-则实数。的取位粒甫是 量转化到同一个单调区间上再比较。 解：因为f(x)是定义在R上以3 已知函数f(x+1)的定义域为 为周期的偶函数，所以f(5)= [一2,2)，则函数f(x)的定义域为 f(-1)=f(1)<1,所以2a-3 a+1 <1,解 提示：对于f(x+1),令t=x+1, 得-l<a<4,所以实数a的取值范围 则x=t-1∈[-2,2)，所以t∈[-1， 是(-1,4)。 3),所以f(x)的定义域为[一1,3)。® 39