分段函数典型问题透析-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

解題锦囊 1111111111111111111111111川11111111111111111111111111111111 分段函数典型问题透析 ■安徽省舒城中学 陶习满 解：因为函数f(x) 2 x十 -3,x≥1， 分段函数是一类特殊的函数。分 2 所以当x≥1时， 段函数是一个函数，而非多个函数，其 x2+1,x1, 定义域和值域均为各段对应集合的并 2 f(x)=x十 -3在[1，√2]上单调递 集。解决分段函数的策略就是“分段函 数，分段研究”。 减，在（√2，十∞）上单调递增，所以 题型一：求值问题 f(x)在x=√2处取得最小值，即 例1 已知函数f(x)= f(x)mm=22-3;当x<1时，f(x) =x2十1在(-∞，0]上单调递减，在 +1,≤o.则f-)+f() 2x,x>0, (0,1)上单调递增，所以f(x)在x=0 处取得最小值，即f(x)mm=1。综上 解：因为函数f(x) 得函数f(x)的最小值是2√2一3。 2x,x>0, 评注：先求出各段函数的最小值， +1≤0.所以f(-) 再比较得出分段函数的最小值。 (-青+=f(-》=f-3+ 题型三：求参数的取值范围问题 例3已知函数f(x)= r()-2x号青(=×后 1(-a-5)x-2,x≥2， 若对任意 x2+2(a-1)x-3a,x<2, 所以()+f()=-+=4。 的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有 f(x1)-f(x2) 评注：分段函数在不同定义区间上 <0成立，则实数a的 x1-x2 具有不同的解析式，解题时要注意自变 取值范围是 量对应的区间。 解：因为对任意的x1,x2∈R,且 题型二：求最值问题 x1≠x2,都有x1)-f(x2) x1一x2 <0成立， 例2已知函数f(x)= 2 所以f(x)是定义在R上的减函数，所 x+ -3,x≥1， 则函数f(x)的最小 4+4(a-1)-3a≥2(-a-5)-2, x2+1,x<1, 以-a-5<0, 值是 1-a≥2， 23 解题锦囊 解得一4≤a≤一1，所以实数a的取值 评注：对于新定义问题，需紧抓“新 范围是[-4，一1]。 定义”的含义去解决相关问题。 评注：求参数的取值范围问题，要 考虑每段函数都应满足减函数的条件， 同时还要保证分段点处左侧函数值不 已知分段函数f(x)= 小于右侧函数值。 -x2+4ax+1,x<1, 题型四：不等式问题 1-3a 满足Hx1,x2∈ +3,x≥1， 例4已知函数f（x)= -x2+2x,x>0, R且x1≠，都有f)-z)0. 则关于x的不等式 x1-x2 3x+6,x0, 则实数a的取值范围是 f(x)≥|x|的解集是 提示：由Hx1,x2∈R且x1≠x2, x>0, 解：由题意得 -x2+2x≥x 或 都有a)-f:》>0,可知f(x)在 x1-x2 x≤0， 解得0<x≤1或- 定义域R上是增函数。函数g(x)= 3x十6≥-x, 2≤ -x2+4ax十1(x<1)的对称轴为x= x≤0。故关于x的不等式f(x)≥|x 2a,在（一c∞，2a]上单调递增，且g(1) 的解集是 37 =4a:函数h(x)=1-3 2+3在[1， 评注：解题时，既要注意分段函数 十∞)上单调递增，需满足1一3a<0。 对应的不等式关系，还要弄清最终结果 所以要使分段函数f(x)= 是取并集还是取交集。 -x2+4ax+1,x<1, 题型五：新定义问题 1-3a 在定义域R上 例5定义一种运算x①y= +3,x≥1 x(x≤y) 单调递增，则需同时满足 x∈R,y∈R。若|2m y(z>y) 2a≥1， 1⊕m=|2m-1|,则m的取值范围 1-3a<0, 解得 是 g(1)=4a≤1-3a+3=h(1), 解：由|2m-1|①m=|2m-1|, 1 a≥ 2 结合新定义的运算得|2m一1|≤m,所 以4m2-4m+1≤m2,即3m2-4m+ a 3,所以 <a≤，即实数u的取 1区0，解得<m≤1，所以m的取值范 a≤7 围是 值范围是 14 2’7 ® 24