例析分段函数中的参数问题&“函数的概念与性质”综合检测题-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

参老答架 “函数的概念与性质”综合检测题 参考答案与提示 1.提示：由题意得M=N,N= 当x∈[0，十∞)时，f(x)单调递增，由 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则N不是M √7<3<π得f(π)>f(3)>f(√7)，所 的子集，C不正确。无理数e小数点后 以f(π)>f(-3)>f(-7)。应选A。 第4位上的数字为2，故f(4)=2,A不 5.提示：因为f(x)是定义在R上 正确。当y=2时，对应x的值不是唯 的奇函数，所以f(0)=0。又因为 一确定的，即x不是y的函数，B正确。 f(x+2)=f(x),所以2是f(x)的一 由于e为无理数，所以y=f(x)不是 个周期，所以f(2026)=f(0)=0。应 周期函数，D不正确。应选B。 选B。 2.提示：因为y=2,y=x在R上 6.提示：由f(1-x)=-f(x)得 均为增函数，所以f(x)=2x十x在R f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x+ 上为增函数，所以由“f(x1)=f(x2)” 1)。因为f(-x)=f(x),所以f(x+ 可以推出“x1=x2”,由“x1=x2”也可 1)=一f(x),所以f(x十2)=一f(x 推出“f(x1)=f(x2)”,所以“f(x1)= +1)=f(x),所以f(x)的周期为2， f(x2)”是“x1=x2”的充要条件。应选C。 3.提示：y=|x|为偶函数，且当 所以f()=f(2+）=f() x>0时，y=x,即函数y=|x|在(0， f+)=-f()=.应选A. 十∞)上单调递增，A不满足要求。 y=x3为奇函数，且在(0，十∞)上单调 7.提示：由f(1-x)=f(x十3)， 递增，B不满足要求。y=x2为偶函 可得函数f(x)的图像关于直线x=2 数，且在(0，+∞)上单调递增，C不满 对称，所以f()=f(》f() 足要求。y=一3x为奇函数，且在(0， 十c∞)上单调递减，D满足要求。应选D。 f份》.肉为2<1<，且fx)在0 4.提示：因为f（x)是偶函数，所 以f(-7)=f(7),f(-3)=f(3)。 2)上单调递增，所以f()<f(1)< 42 参老搭架 f(),所以f()<f)<f()应 以f(+f(+6)= 5,D错 选B。 误。应选BC。 8.提示：当a=一2时，f(x)=x-2 10.提示：对于A,[|-2.51门= 为偶函数，图像在第一和第二象限，不 [2.5]=2,1[-2.51=|-3=3,A为 经过原点和第三象限，A不符合题意。 假命题。对于B,[2-1.1]=[0.9]= 当a=2时，f(x)=x2为偶函数，图像 0,[2]-[1.1]=2-1=1,0<1,B为真 经过原点，在第一和第二象限，不经过 命题。对于C,因为[x]=[y],所以x, 第三象限，B不符合题意。当a=时。 y∈[n,n+1),n∈Z,所以x-y<1,C 为真命题。对于D,由不等式2[x] f(x)=x,x∈[0，十∞)，图像经过原 [x]-3≥0，解得[x]≤-1或[x]≥ 点，在第一象限，不经过第三象限，C不 所以不等式2[x]2-[x]-3≥0的 3 符合题意。当a= 3时，f(x)=x, 解集为(-∞，0)U[2,十∞)，D为真命 x∈R,为奇函数，图像经过原点和第 题。应选BCD。 一、三象限，D符合题意。应选D。 11.提示：令a=0,b=1,则 9.提示：R()=R()=,A错 f(0)f(1)=f(1)。易知0<f(1)<1, 所以f(0)=1。当x<0时，-x>0, 误。因为p,q∈N,为既约真分数， 所以0<f(一x)<1。又因为f(x)· x=卫，0,1或(0,1)上的无理数，所以 f(-x)=f(x-x)=f(0)=1,所以 黎曼函数的定义域为[0,1]，B正确。 f)72则f>1,A错提. 因为p,g∈N“,卫为既约真分数，所以 B正确。设x1<x2,且x1,x2∈R,则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)- 】的最大值为)，所以黎曼函数的最大 f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)= f(x2)[f(x1-x2)-1]。因为x1< 值为？，C正确。因为f(x)是奇函数 x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2) 且是以2为周期的周期函数，所以 >1。当x<0时，f(x)>1,当x>0 f）=f(18-)-f() 时，0<f(x)<1,f(0)=1,所以f(x1) -f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以 -f(信)=-5f(32+6)=f4②) f(x)是减函数，C正确。因为f(3)= =f(4√2-6)=-f(6-4√2)=0，所 2,所以f(12)=f(6)f(6)=[f(3)] 43 参老答架 6,所以f(22-5)> 等价于 f(-1)=2,f(0)=f(4)=0得2<t≤ 16 4;当a≤0时，f(x)在[-1，t)上单调 f(2t2-5t)>f(12)。又因为f(x)是 递减，则f(x)在[-1，t)上的最大值为 减函数，所以22-5<12，解得-2 ∠ f(一1)=2，不符合题意。综上得实数 t的取值范围为(2,4幻。 t<4,所以不等式f(2t2-5t)>f(12) 15.提示：(1)由题意得f(m)= 的解集为（氵，，D正确。应选 f(·)=f() 十f(n),所以 BCD. 12.提示：设函数f(x)=一x,则 f贤）-fm)-fm f(x)在R上单调递减。因为f(x十 (2)任取x1,x2∈(0，+∞)，且x1 y)=-x-y,f(x)=-x,f(y)= 一y,满足f(x+y)=f(x)十f(y), <x2,则>1。由(1)得f(2)- 所以f(x)=一x是在R上单调递减 的加性函数（答案不唯一）。 f)=f()>0,即f(x)> 13.提示：因为y=-兰为奇函 f(x1),所以f(x)在(0，十∞)上单调 递增。因为f(2)=1,所以2=f(2)+ 数，所以曲线C的图像关于原点对称。 f(2)=f(4),所以f(x+2)-f(2x) 因为两条直线11和12均过坐标原点 >2台f(x+2)>f(2x)+f(4)台f(x O,所以P,Q关于原点对称，M,N关 +2)>f(8x)。又因为f(x)在(0， 于原点对称，所以四边形PNQM为平 十∞)上单调递增，所以 十2>8x'解 行四边形。因为S△OpM=√2，所以 x>0, S△MNQ=2V2。 2 得0<x<乞，故不等式f(x+2) 14.提示：若对任意x1,x2∈R,且 x1≠x2,都有 f(x2)-f(x1) f(2x)>2的解集为x <0,则 0<<} x2-x1 16.提示：(1)因为函数y=f(x) f(x)在R上是减函数，所以<0，即 的图像关于直线x=2对称，所以f(x a≤0，所以实数a的取值范围为 十2)=f(2-x),即f(-x)=f(x+ (-∞，0]。 4)。又因为f(x)是定义在R上的偶 当a>0时，若f(x)在[-1，t)上 函数，即f(-x)=f(x),所以f(x十 的值竣为[01，则f)-- a 4)=f(-x)=f(x),所以f(x)是周 期为4的周期函数。 4,解得a=4或a=一4（舍去），结合 (2)当x∈[-2,2]时，f(x)= 44 参老搭架 一x2+1,因为f(x)是周期为4的周 1 1 <(3-2a)-1,即 ,所以 期函数，当x∈[2,6]时，x-4∈[-2， 2a+13-2a 2],所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2 2a+1>3-2a>0或0>2a+1>3 +1=-x2+8x-15,x∈[2,6]。 2a或2a+1<0<3-2a,解得 2<a< 17.提示：(1)设函数f(x)=x3 或a或a<-2 3 3x2的图像的对称中心为点P(a,b)。 综上得实数a 令g(x)=f(x十a)-b,则g(x)为奇 函数，所以g(一x)=一g(x),所以 的取值范周为(-，-U号，》： f(-x+a)-b=-f(x+a)+b, 19.提示：(1)因为f(z)=工+a f(-x+a)+f(x+a)=2b,所以 x2+1 [(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+ 是奇函数，所以f(0)=0,所以a=0。 a)3-3(x十a)2]=2b,化简整理得 经骏证x)-十1为奇函数。 (3a-3)x2+a3-3a2-b=0,所以 (2)因为a=0,所以f(x)= 3a-3=0, 解得a=1,。所以函 a3-3a2-b=0, b=-2, x十1设1<x1<x2,易得f(x1) 数f(x)=x3一3x2的图像的对称中心 x1(x2+1)-x2(x+1) 为(1，-2)。 f(x2)= (x2+1)(x2+1) (2)推论：函数y=f(x)的图像关 (x1-x2)(1-x1x2) 。因为1<x1< 于直线x=a对称的充要条件是y= (x2+1)(x2+1) f(x十a)为偶函数。 x2,所以x1-x2<0,x1x2>1,所以1 18.提示：（1)由函数f(x)=(2k x1x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0, 一1).xm-2m-3为幂函数，可得2k一1= 即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区 1,解得=1。由f(x)=xm-2m-3(m 间(1，+∞)上单调递减。 ∈N)在(0，+∞)上单调递减，可得 )因为-+2=(-》+ m2-2m-3<0,解得-1<m<3。因 m∈N*,故m=1或m=2。当m=1 4>1,y=f(x)在区间(1，+∞)上单 时，函数f(x)=x4,其定义域为{x 调递减，所以不等式f(x2一x十2)< x≠0}，且f(x)为偶函数，符合题意； f(4)等价于x2-x+2>4,即x2-x 当m=2时，函数f(x)=x-3,其定义 -2>0,解得x<-1或x>2,所以不 域为{xx≠0}，且为奇函数，不符合题 等式f(x2-x+2)<f(4)的解集为 意。综上得m=1,k=1。 (-∞，-1)U(2,+∞)。 (2)由(1)得m=1,则(2a+1)- (参考答案与提示由命题者提供) 45解题锦囊 例析分段函数中的参数问题 ■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 一、由函数值确定参数 例1（多选题）已知函数f(x)= U(2,+∞)。 -x十2，x≤0， 点评：已知分段函数解不等式，需 若f(a)=6,则实数a x2-3,x>0, 在限定的定义域内，先代入对应解析式 的值为()。 解不等式，再筛选出各段内符合取值范 A.-4 B.-3 围的解集，最终取并集。 C.4 D.3 三、由奇偶性确定参数 解：当a≤0时，f(a)=-a十2= 例3已知函数f(x)= 6,解得a=-4;当a>0时，f(a)=a x2+x,x≤0， 为奇函数，则a+b的 -3=6,解得a=3或a=-3(舍去)。 ax2+bx,x-0 综上所述，a=一4或a=3。应选AD。 值为( ）。 点评：已知分段函数的函数值求参 A.-1 B.1 数，需按自变量的取值范围分类代入解 C.0 D.2 析式求解，最后检验所得解是否在对应 解：（方法1）当x>0时，一x<0, 取值范围内。 所以f(一x)=x2-x。因为f(x)为 二、由不等式确定参数 奇函数，所以f(x)=一f(-x)=-x2 例2已知函数f（x)= +x=ax2+bx,所以a=-1,b=1,所 x+1,x≤-2， 以a十b=0。应选C。 x2+2x,-2<x<2,若f(a)>3,则 (方法2)由题意得a+b=f(1) 2x-1,x≥2， -f(-1)=-[(-1)2+(-1)]=0. 实数a的取值范围为 应选C。 解：当a≤-2时，由f(a)=a+1 点评：由奇偶性确定参数时，若定 >3,解得a>2,此时a∈0；当-2<a 义域含参数，则利用奇（偶）函数的定义 <2时，由f(a)=a2+2a>3,解得a 域[a,b]关于原点对称，即a+b=0求 >1或a<-3,此时1<a<2;当a≥2 解；若解析式含参数，则根据f(一x) 时，由f(a)=2a-1>3,解得a>2。 =一f(x)或f(-x)=f(x)列出恒等 综上所述，实数a的取值范围为(1,2) 式，比较系数求解。 25 学以致用 “函数的概念与性质”综合检测题 ■河南省开封高级中学 王国平（特级教师） 一、单选题 f(x)满足f(x+2)=f(x),则 1.记e=2.7182…5904523536… f(2026)等于()。 小数点后第x位上的数字是y,则y是 A.-1 B.0 C.1 D.2 x的函数，记作y=f(x),且定义域为 6.已知函数f(x)的定义域为R, M,值域为V,则下列说法正确的是 f(-x)=f(x),f(1-x)=-f(x), ( )。 若（得）=号则r)等于( )。 A.f(4)=8 B.x不是y的函数 A.-司 D.-16 C.NCM D.y=f(x)是周期函数 7.已知函数f(x)满足f(1一x) 2.已知函数f(x)=2+x,则 =f(x+3),且f(x)在(0,2)上单调递 “f(x1)=f(x2)”是“x1=x2” 增，则( 的()。 Af1<()<( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.f()<f1)<f) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 c.f)<f(日<f1) 3.下列函数中，既是奇函数，又在 区间(0，十∞)上单调递减的是( D.f()<f()<f1) )。 A.y=x B.y=x3 8.若幂函数f(x)=x“的图像经 C.y=x2 D.y=-3x 过第三象限，则α的值可以是( )。 4.若偶函数f(x)的定义域为R, c.2 A.-2 B.2 0. 当x∈[0，十∞)时，f(x)单调递增，则 ()。 二、多选题 9.黎曼函数(Riemann function)是 A.f(π)>f(-3)>f(-√7) 由德国数学家黎曼发现并提出的一个 B.f(π)>f(-√7)>f(-3) 特殊的函数，其基本定义是R(x)= C.f(π)<f(-3)<f(-√7) g2 D.f(π)<f(-√7)<f(-3) 号力，g∈N,号为既约真分数. g 5.已知定义在R上的奇函数 0,x=0,1或(0,1)上的无理数， 26 学以致用 (注：分子与分母是互质数的分数被称 5)26的解集为 为既约分数)则下列结论正确的是 ）。 三、填空题 AR8)日 12.柯西(Cauchy,1789-1857)是 著名的法国数学家。我们把函数方程 B.黎曼函数的定义域为[0,1] f(x+y)=f(x)十f(y)称为柯西方 C.黎受函数的最大值为时 程，满足该方程的函数f(x)称为“加 性函数”。请写出一个在R上单调递 D.若f(x)是奇函数，且是周期为 减的加性函数 2的周期函数，当x∈[0,1]时，f(x) R(x).则/9）+f原+6)-君 1已如简线Cy=子两条 直线11，l2均过坐标原点O,l1和C交 10.对Vx∈R,[x]表示不超过x 于M,V两点，l2和C交于P,Q两点。 的最大整数，如[3.14]=3，[0.618]= 若△OPM的面积为√2，则△MNQ的 0,[-2.71828]=-3,我们把y= 面积为 [x],x∈R叫作取整函数，也称高斯函 14.已知函数f(x)= 数(Gaussian function)。以下关于高斯 ax-x2,x≥0， 函数的命题中，真命题是()。 若对任意x1,x2∈R, -2x,x<0, A.Hx∈R,[lxI门=I[x]I B.3x,yER,[x-y]<[x]-[y] 且1≠2，都有fa)-f<0,则 x2一x1 C.Hx,y∈R,若[x]=[y],则 实数a的取值范围为；若f(x)在 x-y<1 [一1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的 D.不等式2[x]-[x]-3≥0的 取值范围为 解集为（一∞，0）U[2,+∞) 四、解答题 11.已知函数f(x)的定义域为R, 15.已知定义在(0，+∞)上的函数 对任意a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n) +b),f(0)≠0，当x>0时，0<f(x) (m,n>0),且当x>1时，f(x)>0。 <1,则( ）。 1)求证：f(贸 =f(m)-f(n)。 A.Vx∈R,都有f(x)= f(-x) (2)若f(2)=1,解不等式f(x+ B.当x<0时，f(x)>1 2)-f(2x)>2. C.f(x)是减函数 16.已知f(x)是定义在R上的偶 D.若f(3)=2,则不等式f(2 函数，且y=f(x)的图像关于直线x= 27