函数的奇偶性问题常见错误剖析-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

错解制析 函数的奇偶性问题常见错误剖析 ■浙江省绍兴市教育教学研究院 施建昌 函数的奇偶性是高中数学的核心 内容之一。在实际考查中，判断函数奇 化简，这样不但可以提高解题效率，而 偶性的能力是区分考生数学素养的重 且能够避免出错。 要维度。从历年高考答题情况来看，考 例2判断函数f(x)=(|x+3| 生在该知识点上的失分率居高不下。 一3)√9-x的奇偶性。 下面将结合典型例题，对五类常见错误 错解：由9-x2≥0得x2-9≤0， 逐一剖析。 所以x∈[一3,3]，所以定义域关于原 一、注意“定义域”是否对称 点对称。因为f(一x)=(|一x+3 判断函数的奇偶性，应将确定函数 3)W9-(-x)2≠-(|x+3|-3)· 的定义域放在第一位，因为定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的前提条件。 √9-x2=一f(x),所以f(x)为非奇 非偶函数。 例1判断函数f(x)=(1一x)· 错解剖析：由定义域为[一3,3]，可 1+x 的奇偶性。 N1-x 得|x+3|一3=x,从而可大大简化判 断的过程。 错解：因为f(x)=(1-x) 1+x 1-x 正解：由9-x2≥0得x2一9≤0， 所以x∈[-3,3]，所以定义域关于原 =√/(1+x)(1-x),所以f(-x)= 点对称，所以|x十3一3=x,所以函数 √(1+x)(1-x)=f(x),所以f(x) f(x)=x√9-x2,所以f(一x)= 为偶函数。 错解剖析：上述解法忽略了函数的 一x√9-x2=-f(x),所以f(x)为 定义域，从而造成了错解。 奇函数。 正解：告≥0得一1≤x1: 三、注意“判断方法”是否最优 判断函数的奇偶性，可用“求和法 所以函数的定义域为[一1,1)。因为定 或“作商法”，选择恰当的方法可简化运 义域不关于原点对称，所以f(x)为非 算，提高解题效率。 奇非偶函数。 例3 判断函数f(x) 二、注意“函数形式”是否可化简 √x2+1+x-1 的奇偶性。 判断函数的奇偶性，能化简的要先 x2+1+x+1 33 错解制析 错解：易知f(x)的定义域为R,因 f(x)为特例函数 为f(-x)= Wx2+1-x-1 16-x2≥0， 所以得 正解：由题意得 解得 √x2+1-x+1 x2-16≥0， 不到f(一x)与f(x)的关系，导致解 x=士4，所以x∈{-4,4}，所以f(x） 题受阻。 的定义域关于原点对称。因为f(x) 错解剖析：若通过作商进行比较， =1+√/16-xz =1-1 则容易得到结果。 Wx2-16+1 正解：易知f(x)的定义域为R,当 =0,所以f(一x)=0=士f(x),所以 x=0时，f(0)=0;当x≠0时，由 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 f(-x) √W1+x2-x-1 五、注意“判断原则”是否遵循 f(x) √1+x-x+1 判断函数的奇偶性有两大原则，一 是注意定义域是否关于原点对称，二是 √1+x2+x+1_(W1+x2)2-(1+x)月 在定义域上先化简再判断。 √/1+x2+x-1 (/1+x2)2-(1-x)2 例5 试判断函数f(x)= -2x =-1,可得f(一x)= 2x 1-z2 一f(x),所以f(x)为奇函数。 |x+2- 。的奇偶性。 四、注意“特例情况”是否需处理 V1-x2 错解：函数f(x)= 若函数f(x)在关于原点对称的 1x+2-2的 定义域内恒有f(x)=0,则f(x)既是 定义域为{x|x≠0且x≠一4}，即定义 奇函数，也是偶函数。有时函数解析式 域不关于原点对称，所以f(x)为非奇 以其他形式出现，容易被忽视。 非偶函数。 例4试判断函数f(x)=1+ 错解剖析：上述解法得到的定义域 只考虑了分母的约束作用，忽视了分子 W16-x2 1 的奇偶性。 √x2-16+1 的约束作用。 16-x2≥0， 正解：由题意得函数f(x)= 错解：由题意得 解得 x2-16≥0， 1-x x=士4，所以x∈{一4,4}，因此f(x) 1x+2-2的定义域为(x-1≤x<0 或0<x≤1}，即定义域关于原点对称， 的定义域关于原点对称。由函数解析 式易得f(一x)=f(x),所以函数 由此可得函数f(x)= 一之，显然 f(x)为偶函数。 错解剖析：实际上，函数f(x)在 f(-x)=一f(x),所以f(x)为奇函 数。® 定义域上的解析式为f(x)=0,即 34