复数易错问题剖析-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

商一黄學陆题阳漆侧有中学生款理化 复数易错问题剖析 ■卢智军 易错点一：混淆实数与复数的概念、性质 （-1)=（-1)空=1，此时无解。 的适用范围 例1下列命题中，正确命题的个数是 (2)= 1+i(1+i)(√3-i) √3+i (W3+i)(3-i) )。 ①若之∈C,则之≥0：②若之1，之2∈C,且 1+E+马，则虚部为5- 4 4 之1一之：>0，则之1>之2；③若a>b,则a十i> 剖析：(1)将实数幂的乘方运算迁移到复 b十i:④若x,y∈C,则x十yi=1十i的充要 数幂的乘方运算中导致无解。(2)误认为“虚 条件是x=y=1；⑤若x2+y2=0,则x= 部”应该含有虚数单位i。 y=0。 A.0 B.1 C.2 D.3 )易得()-()- 错解：应选B或C或D。 1 剖析：①认为任何一个实数的平方大于 零可推广到复数中，举反例：设之=i,则2= (2)易得是1+E+,所以虚部 4 =一1<0，①错误。②认为两实数之差大于 零可推广到复数中，举反例：设之1=2十i,之 为-1 40 =1+i,满足之1一之2=1>0，但之1，之2不能比 警示：复数的乘法不仅满足交换律与结 较大小，②错误。③把不等式性质推广到复 合律，而且实数集【中整数指数幂的运算律， 数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条 在复数集C中仍然成立。当之∈C时，下列 件，a十i与b+i都是虚数，显然不能比较大 式子不总是成立的：（≈"）”=（之）m(m,n为分 小，③错误。④认为x,y一定是x十yi的实 数)：xm=z”→m=n(x≠1)：x1十号=0→ 部和虚部，当x,y∈C时，xy不一定是x十 之1=之2=0：x2=x2。 yi的实部和虚部，④错误。⑤认为x,y都是 实数，举反例：12十=0，但1≠0，i≠0，⑤错 易错点三：忽视”的周期性引发错误 误。应选A。 例3已知n∈N,则(1+i)”·(1 警示：任意两个实数可以比较大小，而任 意两个复数（至少有一个不是实数时）就不能 错解：原式=1-)（吉） =(-2i)3·i 比较大小。同学们以前学过的函数，不等式 =8”+1 等都是在实数范围内研究的。 剖析：需求出该式子的所有可能取值，” 易错点二：将实数运算法则或性质迁移 的值具有以4为周期的特点，根据n求”必 到复数中 须按被4整除余数为0,1,2,3这四种情况进 例2(1)i为虚数单位，则 行分类讨论。 原式=1-i(吉) =（-2)3·i”= (2)设复数之1=1一i,之2=√3+i,其中i 一8(n=4k+1), 为虚数单位，则之的虚部为 8i(n=4k十2) 8w+1 (k∈N")。 错解：(1) )-[)们 8(n=4k+3), 8i(n=4k) 37 创新题追根溯源 中学生教理化离需数学根02年6月 多入口，多思考，提升运算素养 道高考三角形试题的多视角解答 ■张兵杜海洋 一、试题呈现 (2023年全国2卷第17题)记△ABC的 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 DH △ABC的面积为√3，点D为BC的中点，且 图1 AD=1。 由AD=1,∠ADC=60°，可得AH=1 (1)若∠ADC=60°，求tanB。 ×sin60°= √5 (2)若b十c2=8,求b,c。 。易得DH=2。因为Sa 二、试题分析 -5,所以2C·AH=5,即BC=4。因为 本题涉及正弦定理、余弦定理及面积公 式的综合运用。三角形与向量密不可分，结 所以mB-品 5 D为BC中点，所以BH= 合向量是解答的一个方向；三角形是几何图 5 形，结合几何作图是解答的另一个突破口。 59 三、试题解答 方法2：利用面积相等。因为AD=1, (1)方法1：利用几何作图。如图1所示， 在△ABC中，作AH⊥BC于H。 ∠ADC=60,所以号AD·BD·sin120°+ 警示：复数运算中的几个常用结论：(1士 设方程x2一(2i一1)x+3m一i=0的实 0r-士2i-i1-1eg-1 数根为&，则由根的定义得&2一(2i一1)a+ 3m-i=0,所以(a2+a+3m)-(2a+1)i=0。 1a2+a+3m=0, 根据复数相等的定义得 解得 -(2a+1)=0, 0,w3=1,1十w十w2=0。i的周期性：i=1, ik+=i,i+2=一1，i+3=一i(k∈N);t十 2， +1十i+2十+3=0(k∈N)。 所以当方程有实数根时，n的值为 m= 易错点四：用实数系方程的解法来探究 12 复数系方程的根 12 例4已知关于x的方程x2一(2i一1)x +3m一i=0有实数根，求m的取值。 警示：对于复数集上的一元二次方程ax 错解：因为关于x的方程x2一(2i一1)x 十bx+c=0(a≠0)是否存在实数根，不能用 +3m一i=0有实数根，所以△=[一(2i 判别式△判定，而应利用复数相等的充要条 件进行转化求解。实系数的一元二次方程根 1)]2-4(3n-i)=-3-12m≥0，解得m 、1 的情况，借助判别式合理分类；在复数集C 4 中，方程a.x2+bx+c=0(a,b,c∈R),当△= 剖析：实数系一元二次方程有实数根的 b2一4ac<0时，虚根共轭成对，且x= 判定方法是判别式△≥0，但对于复数系一元 -b±iW4ac-b 二次方程并不适用，上述解法正是走入了这 2a 一误区。依据根的意义，利用复数相等的充 作者单位：陕西省洋县中学 要条件进行转化求解。 (责任编辑郭正华) 38