解三角形问题的常见题型例析&三角恒等变换题型总结-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

知识结构与拓展 中学生教理化高数学2026年7-8月 解三角形问题的常见题型例析 ■陈秀雄 题型一：三角形个数问题 点评：利用正弦定理a=sA或余弦 例1在△ABC中，内角A,B,C所对 sin B 的边分别为a,b,c,若a=80,b=100,A= 定理a=b2+c2一2 bccos A可求边长问题。 至，则符合条件的三角形有( 题型三：求角问题 )。 例3在△ABC中，内角A,B,C所对 A.1个 B.2个 的边分别为a,b,c。若2 acos C+b= C.1个或2个 D.0个 2 ccos A,c=√3a,则A=( )。 解：在△ABC中，由正弦定理得 80 A B爱 2 sinB,所以sinB= 100 5√2 8。 因为a<b,所以 C. D. B>A,故B有两解，即符合条件的三角形有 解：（方法1）已知c=√3a,由正弦定理得 2个。应选B。 sinC=√3sinA,所以sinC=3sinA,所以 点评：由a<b得B>A,结合A=T得 cos°C=1-sinC=1-3sinA。由2 acos C 4 +6=2ccos A 2sin Acos C+sin B= snB=5Y2是解题的关键。 2sin Ccos A,2sin Acos C+sin(A+C)= 8 2 sin Ccos A,可得3 sin Acos C=sin Ccos A, 题型二：求边长问题 所以9 sin'Acos2C=sin'Ccos'A,所以9sin2A· 例2在△ABC中，已知B= 3,AC= 2 (1-3sin2A)=3sinA(1-sinA)。由sinA √19，AB=2,则BC=( )。 ≠0，可得3(1-3sinA)=1-sinA,即sinA A.1 B.√2 =子，所以nA=士号：又0<A<,且 C.√5 D.3 解：（方法1）由余弦定理得AC=AB+ A<C,所以A=石应选A BC-2AB·BCcos B,所以BC+2BC (方法2)由射影定理得b=acos C十 15=0,解得BC=3或BC=一5（舍去）。应 ccosA,代入2 acos C+b=2 ccos A,可得 选D。 3 acos C=ccos A。因为c=√3a,所以 (方法2)由正弦定理得sinC= 19,所以cosC=4I AB.sin B57 (C是 3cosA=cosC。 ① AC 19 锐角)，所以sinA=sin[π一(B+C)]= 由c=√3a及正弦定理得√3sinA= sin(B+C)-sin Bcos C+cos Bsin C sinC。 ② 2 由①+②得3cosA十3inA=1.所 4√19 19 2 19 乙，所以BC= 38 V9×357 以sinA=有，即sinA=士2。又因为A∈ 1 1 AC·sinA 38 =3。应选D。 sin B 3 0,x),且A<C,所以A=吾.应选A。 2 点评：求角问题，利用正弦定理sinA= 8 青一敬学识体种与药骨中学生款理化 asin B或余弦定理cosA= b十c一a即可 C.9 b 2bc D.2 求解。 解：（方法1）由余弦定理b2=a2十c2 题型四：三角形的形状判断问题 2 ac cos B得a-6a+9=0,即(a-3)=0, 例4在△ABC中，若sinA=2sinB· cosC,且sinA=sinB+sinC,则△ABC的 所以a=3.因为c0sB=是，B∈(0，，所以 形状为( )。 V7所以S△ABc=2 ac sin B三2 sin B= A.等腰三角形 2 B.直角三角形 应选B。 C.等腰直角三角形 (方法2)由c0sB三三，BG(0,π)，可得 D.等腰三角形或直角三角形 sin B=7 。由正孩定理得c-曲B所 b 解：（方法1）由sinA=sinB+sinC,结 合正弦定理得a2=b°+c,所以A是直角， 2,所以2 sin Beos C= 以sinC=1,所以C=乏，所以sinA=cosB 所以B十C= 3 2 sin Beos(经-B）=2sinB=sinA=1,所以 2bcsin A=37 2。应选B sinB= 号。因为0<B<2,所以B=平，所 点评：三角形的面积公式：S= 2ah.(h 表示a边上的高)：S= 2 absin C=1 1 以C=平，所以△ABC是等腰直角三角形。 2 acsin B= 1 1 应选C。 ⊙sin A-abc:S=r(a十b十c)Cr为三 (方法2)由sinA=sinB+sinC,结合 角形的内切圆半径)。 正弦定理得a=b十c2,所以A是直角，所 题型六：最值问题 以B+C=2。因为A=x-(B+C),又 例6在△ABC中，AB=2,C= 6,则 sinA=2 sin Bcos C,所以sin(B+C)= AC十√3BC的最大值为()。 sin Bcos C+cos Bsin C=2 sin Bcos C,所以 A.√7 B.2√7 sin(B-C)=0。因为-受<B-C<2,所 2 C.3√7 D.4√7 以B一C=0,所以B=C,所以△ABC是等 解：在△ABC中，AB=2,C= 6,由正弦 腰直角三角形。应选C。 点评：判断三角形形状的两种思路：化 定理得 BC-ACAB =4,所以AC= sin A sin B sin C 边，通过因式分解、配方得到边的相应关系， 4sinB,BC=4sinA,所以AC+√3BC= 从而判断三角形的形状：化角，通过三角恒等 变换，得到内角的关系，从而判断三角形的 4sinB+4√3sinA=4sin (5-A)+ 形状。 43sinA=2cosA+6√3sinA=4√7sin(A 题型五：面积问题 十0)，其中6为辅助角，所以AC+3BC的 例5△ABC的内角A,B,C所对的边 最大值为4√7。应选D。 分别为a,b,c,已知6=F,c=4,cosB= 4 点评：函数y=Asin(w.z十P)(A>0, 则△ABC的面积等于( )。 w>0)的值域为[一A,A]。 A.3√7 3√7 作者单位：湖北省兴山县第一中学 B. 2 (责任编辑王琼霞) 9 中学生数理化高数学2026年7-8月 知识结构与拓展 2sim(至+x)eo(+x)】 Esin(+x） -Ecos(天+z) 三角恒等变换题型总结 =1-sim(任+x)-22 13 点评：利用诱导公式得到sin(牙+x) ■陈海峰 os(至-x）是解题的关键。 三、三角函数的求值 一、和角公式的应用 的3已知sn。+后)+es。=点则 例1已知tan atan B=2,cos(&-B)= sin(e+)的值为一 3,则cos(a十B)=一 解：因为sine+若)十cosa= 5 一，所以 解：因为tanatanB=-sina·sin =2,所 cosa·cos3 √ 1 以sin asin B=2cos&cosB。因为cos(a-B) 2 sin a+- 5,所以 2cos a+cosa= 2sin a 1 1 √ =cos a cos B+sinasin月=3 cosacos B=3,f所 之⊙sx三13，厅以工 2 sin a+ 2cos a= 1 专，所以sin(+）=青 4 以cos acos B-=g,所以sin asin B=2cosa· 2 点评：熟练应用两角和与差的三角公式 cosB=g,故cos(a十B)=cos acos B 是解题的关键。 1 sin asin=-9。 四、三角恒等变换与三角函数性质的 交汇 点评：由两角差的余弦求得cos acos B, sin a sin B的值是解题的关键。 例4函数f(x)=sin2x十2Eco(不+ 二、倍角公式的应用 x)十3的最小值是。 例2 已知cos(任-x)=是0<x< 解：利用诱导公式得sin2x=cos(2x cos 2a ),22cos(经+x)=2Esin(年-z),所 牙求 sin x+cos 一的值。 以f(x)=cos(2x-）+2厄sim(牙-x）+ 解：因为（乐+x)+(开-x)=受，所以 3=1-2sim(e-)+2gsin(开-z)+3 sin(至+x）=cos(至-x）=是因为o<x 5-【Esm(e-F)+] <，所以<平+x<受cos(任+）>0 因为sin(x-牙)∈[-11门.所以函数 又因为os2x=in[2(任+x】=2in(至+ f(x)的最小值为5-（√2+1）2=2-2√2。 )s(停+in+eos=(竖inx十 点评：利用三角恒等变换把函数转化为 f(x)=Asin(wx十O)的形式是解题的关键。 cos)=反n(任+r.所以m0 cos 2x 作者单位：浙江省柯桥中学 (责任编辑王琼霞) 10